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1、学习必备 欢迎下载 数学培优专题：一元二次方程 一.知识的拓广延伸及相关史料 1 一元二次方程几种解法之间的关系 解一元二次方程有下列几种常用方法:（1）配方法:如2670 xx，经配方得2(3)2x，再直接用开平方法；（2）公式法；（3）因式分解法。这三种方法并不是孤立的，直接开平方法，实际也是因式分解法，解方程2670 xx，只要变形为22(3)(2)0 x 即可，或原方程2670 xx 经配方化为2(3)2x，再求解时，还是归到用平方差公式的因式分解法，所以配方法归为用因式分解法的手段。公式法在推导公式过程中用的是配方法和直接开平方法，因此，它还是归到因式分解法，所不同的是，公式法用一元
2、二次方程的系数来表示根，因而可以作为公式。由此可见，对因式分解法应予以足够的重视。因式分解法还可推广到高次方程。2 我国古代的一元二次方程 提起代数，人们自然就把它和方程联系起来。事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究。我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究有着优良的传统，并取得了重要成果。下面是我国南宋数学家杨辉在 1275 年提出的一个问题:”直田积（矩形面积）八百六十四步(平方步),只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）,问阔及长各几步？”答:”阔二十四步,长三十六步.”这里,我们不谈杨辉的解法,只用已学过的知识解决上面的问题.上面的问题选自杨辉所著的田亩比类乘除算法。
3、原题另一个提法是:“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步?”这个问题同样可以类似求解.3.掌握数学思想方法，以不变应万变。本章内容蕴涵了丰富的数学方法，主要有转化思想、类比思想、降次法、配方法等。（1）转化思想 我们知道，解方程的过程就是不断地通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程。因此，转化思想就是解方程过程中思维活动的主导思想。在本章，转化无所不在，无处不有，可以说这是本章的精髓和特色之一，其表现主要有以下方面：未知转化为已知，这是解方程的基本思路:一元二次方程转化为一元一次方程，这是通过将原方程降次达到的:特殊转化为一般，一般转化为特殊。例如，通过用配方法解数
4、字系数的一元二次方程2670 xx 归纳出用配方法解一般形式的一元二次方程20axbxc 的方法，进而得出一元二次方程的求根公式，而用公式法又可以解各种具体的一元二次方程，推导出一元二次方程根与系数的关系。又如，通过设未知数，找出等量关系，列方程，把实际问题转化为解方程问题，等等。掌握转化思想并举一反三，还可以解决很多其他方程问题，如高次方程转化为一元一次或一元二次方程，分式方程转化为整式方程，无理方程转化为有理方程，二元二次方程组转化为二元一次方程组，总之，本章学习的关键之一是学会如何“转化”.练习:22211.510axxaa 是方程的一根,求的值;2421032.axa 是方程 x的一根
5、,求a的值 22423101xxxxx 、若，求的值。（2）类比思想 本章多次运用类比找出新旧知识的联系,在新旧知识间进行对比,以利于更快更好地掌握新知识.如用配方法解一元二次方程时,可类比平方根的概念和意义,列一元二次方程解应用题,可类比列学习必备 欢迎下载 一元一次方程解应用题的思路和一般步骤.类比思想是联系新旧知识的纽带，有利于帮助我们开阔思路，研究解题途径和方法，有利于掌握新知识、巩固旧知识，学习时应特别重视。掌握了类比和转化这两大数学思想，举一反三，还可解决许多方程的相关问题。我们来看下面两个例子。例1 解分式方程21421242xxxx 例2 解方程组712xyxy 4 配方法的妙
6、用 所谓配方，就是把一个多项式经过适当变形配成完全平方式。配方法除一元二次方程求根公式推导这一典型应用外，在因式分解、化简二次根式、证明恒等式、解方程、求代数式最值等问题中都有广泛应用，是一种很重要、很基本的数学方法。例1 分解因式21203456xx 例2 化简72 10 例3 解方程421510240 xxx 例4 求2242415xyyx的最小值 5 怎样巧用韦达定理解“看错数”问题 小红和小明一起做作业，在解一道一元二次方程时，小明在化简过程中写错了常数项，因而得方程的两个根是 8 和 2；小红在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是9 和1.你知道原来的方程是什么吗?6
7、 二次三项式的因式分解 我们把形如2(0)axbxc a的多项式叫做x的二次三项式。在了解了形如2()xpq xpq的二次三项式分解因式的方法的基础上，现在介绍利用求出一元二次方程的根的方法，将一般的二次三项式分解因式。222121 212()()(x x)().bcax bx c a xxa xx x x xxax xaa 这就是说，在分解二次三项式2(0)axbxc a的因式时，可先求出方程20axbxc 的两个根1,2x x，然后再写成212(xx)().axbxcaxx 例:在实数范围内分解因式:（1）221xx （2）231xx （3）2283xx （4）2232xxyy 过程因此转
8、化思想就是解方程过程中思维活动的主导思想在本章转化无所不在无处不有可以说这是本章的精髓和特色之一其表现主要有以下方只要数学培优专题一元二次方程一知识的拓广延伸及相关史料一元二次方程几种解法之间不是孤立的直接开平方法实际也是因式分解法解方程即可或原方程变形为经配方化为再求解时还是归到用平方差公式的因式分解法所以配方法归为用因式分解法的手段公式法在推导公式过程中用的是配方法和直接开平方法因此它还予以足够的重视因式分解法还可推广到高次方程我国古代的一元二次方程提起代数人们自然就把它和方程联系起来事实上过去代数的中心问题就是对方程的研究我国古代对代数的研究特别是对方程解法的研究有着优的传统并取得了学习
9、必备 欢迎下载 二、拓展性问题 1 回答下列问题:（1）若方程22(2)10mx 有一个根是 1,则m的的值是多少？（2）已知 2 和1 是方程220 xmxn 的两个根，求m和n的值。（3）若方程23520 xx 有一个根是a,则2610aa的值是多少?（4）已知方程2(0)axbxc a的一个根是1，那么abc 的值是多少?2.解方程（1）222(3)3(3)2yyyy (2)22(1)(2)4tttt 3 已知 m、n 是二次方程2199970 xx 的两个根，求22(19996)(20008)mmnn的值。4 已知关于x方程2(2)2(1)(1)0axaa ，a为何非负整数时，(1)方
10、程只有一个实数根?（2）方程有两个相等的的实数根？(3)方程有两个不相等的实数根?5.在实数范围内分解因式:（1）2243xx （2）2441xx 6.对于向上抛的物体,在没有空气阻力的条件下,有这样的关系:212hvtgt,其中h是上升高度,v是初速,g是重力加速度(为方便起见,本题目2g取10m/s),t抛出后所经历的时间,如果将一物体以25/vm s的初速度向上抛,物体何时处在离抛出点20m高的地方?过程因此转化思想就是解方程过程中思维活动的主导思想在本章转化无所不在无处不有可以说这是本章的精髓和特色之一其表现主要有以下方只要数学培优专题一元二次方程一知识的拓广延伸及相关史料一元二次方程
11、几种解法之间不是孤立的直接开平方法实际也是因式分解法解方程即可或原方程变形为经配方化为再求解时还是归到用平方差公式的因式分解法所以配方法归为用因式分解法的手段公式法在推导公式过程中用的是配方法和直接开平方法因此它还予以足够的重视因式分解法还可推广到高次方程我国古代的一元二次方程提起代数人们自然就把它和方程联系起来事实上过去代数的中心问题就是对方程的研究我国古代对代数的研究特别是对方程解法的研究有着优的传统并取得了学习必备 欢迎下载 7.某零售商购进一批单价为 16 元的玩具,销售一段时间后,为了获得更多的利润,商店决定提高销售价格.经过试验发现,若按每件 20 元的价格销售时,每月能卖360件
12、;若按每件25元的价格销售时,每月能卖 210 件,假定每月销售件数为(y件)是价格y(元/件)的一次函数.(1)试求y与x之间的关系式；(2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下,问销售价定为多少时,才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少?8.根与系数的关系：（2012内江市）若方程20 xpxq 的两根分别是1,2x x,那么1212,xxp x xq,请根据以上结论,解决下列问题:已知关于x的方程26(0)xmxnn,求出一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方程两根的倒数;已知,a b满足221550,1550aabb ,求abba的值;已知,a b c满足0,16abcabc
13、 ,求正数c的最小值.(2012孝 感)已 知 关 于x的 方 程2(3)10 xmxm 求证:无论m为何值时,原方程总有两个不相等的实数根.若1,2x x是原方程的两根,且122 2xx,求m的值和此时方程的两根.三、数学思考 小明有 5 张人民币，面值合计 20 元。(1)小明的 5 张人民币的面值分别是_元、_元、_元、_元、_元。(2)小明到水果店，称了x千克苹果(x是整数)，按标价应付y元，正好等于小明那 5 张人民币中的两张面值之和，这时果筐里还剩下 6 千克苹果，店主便对小明说:“如果你把剩下的也都买去，那么连同刚才你称的，一共就付款 10 元吧。”小明一算，这样相当于每千克比标
14、价减少了 0.5 元,本着互利的原则,小明便答应了,试求x和y.过程因此转化思想就是解方程过程中思维活动的主导思想在本章转化无所不在无处不有可以说这是本章的精髓和特色之一其表现主要有以下方只要数学培优专题一元二次方程一知识的拓广延伸及相关史料一元二次方程几种解法之间不是孤立的直接开平方法实际也是因式分解法解方程即可或原方程变形为经配方化为再求解时还是归到用平方差公式的因式分解法所以配方法归为用因式分解法的手段公式法在推导公式过程中用的是配方法和直接开平方法因此它还予以足够的重视因式分解法还可推广到高次方程我国古代的一元二次方程提起代数人们自然就把它和方程联系起来事实上过去代数的中心问题就是对方程的研究我国古代对代数的研究特别是对方程解法的研究有着优的传统并取得了