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1、学习必备 欢迎下载 A B C D A B C B1 A1 C1 A1 D1 B1 C1 高三第一轮复习数学-棱柱 一、教学目标：1、理解棱柱有关概念，掌握正棱柱的性质。2、运用第一章的有关知识分析、论证多面体的线面关系，并能进行有关计算。二、教学重点：掌握好棱柱的性质,灵活地进行位置关系的判断与论证,进而达到计算的目的.三、教学过程：（一）主要知识：(1)棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。(2)棱柱的性质：侧棱都相等，侧面都是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是
2、平行四边形。(3)棱柱的分类：按底面多边形的边数分类：三棱柱，四棱柱，n 棱柱.按侧棱与底面的位置关系分类:棱柱斜棱柱其它直棱柱正棱柱直棱柱(4)特殊的四棱柱:四棱柱底面是平行四边形平行六面体侧棱与底面垂直直平行六面体底面是矩形长方体底面是正方形正四棱柱棱长都相等正方体(5)长方体对角线定理:长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和.(6)棱柱的体积公式:ShV柱,S是棱柱的底面积,h是棱柱的高.2思维方式：割补法是求体积的基本方法，在体积的计算中常用到“等积变换”的技巧。3特别注意：注意平面几何知识在立体几何中的应用，以及将立体几何问题“平面化”即“降维”。计算问题必须要有严格
3、的论证作为基础，不能只重计算结果，而轻视推理过程。（二）例题分析：例 1（1）三棱柱 ABCA1B1C1侧棱 AA1与侧面 BCC1B 的距离为 d，sSBBCC11，则三棱柱 ABCA1B1C1的体积为_。法一：（补形法）将三棱柱补成四棱柱，则sdVV2121四棱柱三棱柱。法二：（分割法）连结CABA11,，则 11111113121CBAABCBBCCAABCAVVV dsVVBBCCACBAABC2123111111。思维点拨：割补法是求体积常用的方法。（2）下列命题：有一个侧面是矩形 的棱柱是直棱柱；有两个侧面是矩形的棱柱是学习必备 欢迎下载 直棱柱；有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱
4、；有三个侧面是矩形棱柱是直棱柱。其中正确命题的个数是_ A.1 B.2 C.3 D.4 分析：显然不对.相邻两侧面的公共边即侧棱垂直于底面.中侧棱也垂直于底面.故选 B.例 2如图，若 A1B1C1-ABC 是正三棱柱，D 是 AC 的中点。（1）证明：AB1平面 DBC1；（2）假设 AB1BC1，求以 BC1为棱，DBC1与 CBC1为面的二面角的度数。（1）证明：连结 B1C、DC1、DB、BC1，并设 B1CBC1=E，连结 DE。A1B1C1-ABC 是正三棱柱，则 B1BCC1为矩形，E为 B1C的中点，又 D 为 AC 的中点，DE AB1且 DE=21AB1，DE平面 DBC1
5、，AB1平面 DBC1。（2）解：平面 ABC 平面 B1BCC1，作 AGBC于 G，则 AG 平面 B1BCC1，DFGF于 F，则 DF 平面 B1BCC1，且 DF=21AG。DE BC1，DF平面 B1BC1，EFBC1，DEF为二面角D-BC1-C的平面角。在ABC中，设边长为a，EG BF，EF2=FG FB，EF=a43=DF，DEF=450。思维点拨：转化是数学的基本思想，本题中，证线面平行转化为线线平行，求二面角的大小转化为平面角的大小。故要掌握这种转化思想。例 3平行六面体 ABCD-A1B1C1D1的底面是矩形，侧棱长为 2cm，点 C1在底面 ABCD上的射影 H 是
6、 CD 的中点，C1C 与底面 ABCD 成600角，二面角 AC1CD1的平面角等于 300，求该平行六面体的表面积和体积。解：由 C1H底面 ABCD 交 CD于 H，BC CD，则BC C1C，两侧面 BB1C1C 与 AA1D1D是矩形，易知HCC1是 C1C与底面 ABCD 所成的角，则HCC1=600，C1H=C1C sin600=3 CH=C1C cos600=1。CD=2CH=2。作 DE C1C于 E，连AE，易知 AD 侧面 CC1D1D，则 AE C1C，AED等于二面角 A-C1C-D1在平面角，AED=300，且 AD=DE tan300=（CD sin600）tan
7、300=1。于是平行六面体 ABCD-A1B1C1D1的侧面积为：S侧=2（BC C1C+CD C1C sin600）=)(31(42cm，S表=4（32）体积V=（BC CD）C1H=)(323cm 思维点拨：以 DE 为基础可作出平行六面体的直截面，由此也可求出全面积和体积。例 4如图，在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，AA1=21AB，点 E，M 分别为 A1B，C1C的中点，过点 A1，B，三点的平面 A1BMN 交 C1D1于点 N。（1）求证：EM平面 A1B1C1D1；D1 D A1 B1 C1 H E A B C B1 A1 C1 A B C G F E D 识分析论证
8、多面体的线面关系并能进行有关计算二教学重点掌握好棱柱的性质灵活地进行位置关系的判断与论证进而达到计算的目的三教学过程一主要知识棱柱的定义有两个面互相平行其余各面都是四边形并且每相邻两个四边形的于底面的截面是全等的多边形过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形棱柱的分类按底面多边形的边数分类三棱柱四棱柱棱柱按侧棱与底面的位置关系分类棱柱直棱柱正棱柱其它直棱柱斜棱柱特殊的四棱柱四棱柱底面是平行四边形长体一条对角线的平等于一个顶点上三条棱的长的平和棱柱的体积公式柱是棱柱的底面积是棱柱的高思维方式割补法是求体积的基本法在体积的计算中常用到等积变换的技巧特别注意注意平面几何知识在立体几何中的应用以及将立学习
9、必备 欢迎下载（2）求二面角BA1NB1的正切值。（1）证明：设 A1B1的中点为 F连接 EF，FC1，E为 A1B的中点 EF21B1B 又 C1M 21B1B EFMC1，四边形 EMC1F为平行四边形，EM FC1，EM平面 A1B1C1D1，FC1平面 A1B1C1D1，EM 平面 A1B1C1D1（2）解：作 B1H A1N于 H 且 连接 BH BB1平面 A1B1C1D1，BHA1N BHB1为二面角 B-A1N-B1的平面角，EM 平面 A1B1C1D1，EM平面 A1BMN，平面 A1BMN 平面A1B1C1D1=A1N，EM A1N。又EM FC1,A1NFC1又A1FN
10、C1,四边形 A1FC1N是平行四边形NC1=A1F。设 AA1=a，则 A1B1=2a，D1N=a。在 RtA1D1N中，A1N=aNDDA521211,sin A1ND1=52111NADA。在 RtA1B1H中，B1H=A1B1sin HA1B1=2aa5452。在 RtBB1H中,tgBHB1=455411aaHBBB 思维点拨：高考中，常以多面体为载体来考查线面关系的内容。解题时，要注意到利用多面体的性质。（三）巩固练习：题型一、棱柱的概念与性质 1、（1）设有四个命题：底面是矩形的平行六面体是长方体 棱长相等的直四棱柱是正方体 有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直六面体 体对
11、角线相等的平行六面体是直平行六面体 以上四个命题中，真命题的个数是（）A、1 B、2 C、3 D、4（2）下列命题 有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱；有三个侧面是矩形棱柱是直棱柱。其中正确命题的个数是_ 识分析论证多面体的线面关系并能进行有关计算二教学重点掌握好棱柱的性质灵活地进行位置关系的判断与论证进而达到计算的目的三教学过程一主要知识棱柱的定义有两个面互相平行其余各面都是四边形并且每相邻两个四边形的于底面的截面是全等的多边形过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形棱柱的分类按底面多边形的边数分类三棱柱四棱柱棱柱按侧棱与底面的位置
12、关系分类棱柱直棱柱正棱柱其它直棱柱斜棱柱特殊的四棱柱四棱柱底面是平行四边形长体一条对角线的平等于一个顶点上三条棱的长的平和棱柱的体积公式柱是棱柱的底面积是棱柱的高思维方式割补法是求体积的基本法在体积的计算中常用到等积变换的技巧特别注意注意平面几何知识在立体几何中的应用以及将立学习必备 欢迎下载 A.1 B.2 C.3 D.4 答：（1）A （2）B 题型二、棱柱中的线面关系 2.如图，平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中底面 ABCD 是菱形.AA1与底面两条相邻边A1B1、A1D1成相等的锐角，求证：（1）A1ABD；（2）平面 AA1C1C平面 A1B1C1D1 证明：底面 A1B1C
13、1D1为菱形，A1C1B1D1 且 E1为 A1C1、B1D1的中点，A1C1平分B1A1D1。即B1A1C1=C1A1D1。作 AF 平面 A1B1C1D1于 F，则 F在 A1C1上，B1D1A1C1，AA1B1D1 又 BD B1D1且 BD=B1D1，AA1BD。（2）AF 平面 A1B1C1D1，又 AF平面 AA1C1C，平面 AA1C1C平面 A1B1C1D1。思维点拨：注意规范作图，规范书写。3、过教室的一个墙角 C1的三个平面两两互相垂直，空中一点 A 到三个面的距离分别为 3，4，5求点 A 到墙角 C1的距离求 C1A 与三个墙面所成角的大小 解：以 3，4，5 为长方体
14、三棱长构造如图长方体 ABCD-A1B1C1D1，C C1=3，B1C1=4，C1D1=5，则点 A 到墙角 C1的距离为对角线 A C1 的长25543222 因为 AD面 DC1，DC1为 C1A 在面 DC1上的射影 ADC1为 C1A 与面 DC1所成角 同理ACA11为 C1A 与面 A1C1所成角 ABC1为 C1A 与面 BC1所成角 cos,517cos1ADCACA11=1082 因为（cosADC1）2+（cosACA11）2+（cosABC1）2=2,解得 cosABC1=22 所以 C1A 与三个墙面所成角的大小分别为 arccos517，arccos1082与45。思
15、维点拨：转化为熟悉的长方体中问题，通过线面垂直，找射影，从而得到线面角。题型三、棱柱中的侧面积与体积 4平行六面体 ABCD-A1B1C1D1的底面是矩形，侧棱长为 2cm，点 C1在底面 ABCD 上的射影 H 是 CD 的中点，C1C 与底面 ABCD 成060角，二面角 A-C1C-D1的平面角等于030，A1 B1 C1 D1 A B C D D1 A1 B1 C1 HE 识分析论证多面体的线面关系并能进行有关计算二教学重点掌握好棱柱的性质灵活地进行位置关系的判断与论证进而达到计算的目的三教学过程一主要知识棱柱的定义有两个面互相平行其余各面都是四边形并且每相邻两个四边形的于底面的截面是
16、全等的多边形过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形棱柱的分类按底面多边形的边数分类三棱柱四棱柱棱柱按侧棱与底面的位置关系分类棱柱直棱柱正棱柱其它直棱柱斜棱柱特殊的四棱柱四棱柱底面是平行四边形长体一条对角线的平等于一个顶点上三条棱的长的平和棱柱的体积公式柱是棱柱的底面积是棱柱的高思维方式割补法是求体积的基本法在体积的计算中常用到等积变换的技巧特别注意注意平面几何知识在立体几何中的应用以及将立学习必备 欢迎下载 求该平行六面体的表面积和体积。解：由 C1H底面 ABCD 交 CD于 H，BC CD，则 BC C1C，两侧面 BB1C1C与 AA1D1D是矩形，易知HCC1是 C1C与底面 ABCD
17、所成的角，则 HCC1=060，C1H=C1C060sin=3 CH=C1C060cos=1。CD=2CH=2。作 DE C1C于 E，连 AE，易知 AD 侧面 CC1D1D，则 AEC1C，AED等于二面角 A-C1C-D1在平面角，AED=030，且 AD=DE 030tan=（CD 060sin）030tan=1。于是平行六面体 ABCD-A1B1C1D1的侧面积为侧S 2（BC C1C+CD C1C060sin）=)(31(42cm，表S4（32）体积V=（BC CD）C1H=)(323cm 思维点拨：以 DE 为基础可以做出平行六面体的直截面，由此也可求出全面积和体积。四、小结：要
18、深刻理解棱柱、直棱柱、正棱柱的概念，并弄清它们的联系，区别。棱柱是第一章有关线面关系的载体，棱柱的计算证明问题常供助于前面的内容来解决。因此要牢固掌握线面间的位置关系的性质、判定。五、作业：A B C 识分析论证多面体的线面关系并能进行有关计算二教学重点掌握好棱柱的性质灵活地进行位置关系的判断与论证进而达到计算的目的三教学过程一主要知识棱柱的定义有两个面互相平行其余各面都是四边形并且每相邻两个四边形的于底面的截面是全等的多边形过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形棱柱的分类按底面多边形的边数分类三棱柱四棱柱棱柱按侧棱与底面的位置关系分类棱柱直棱柱正棱柱其它直棱柱斜棱柱特殊的四棱柱四棱柱底面是平行四边形长体一条对角线的平等于一个顶点上三条棱的长的平和棱柱的体积公式柱是棱柱的底面积是棱柱的高思维方式割补法是求体积的基本法在体积的计算中常用到等积变换的技巧特别注意注意平面几何知识在立体几何中的应用以及将立