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1、学习好资料 欢迎下载 【中学数学教案】中学数学教学案例 任意角的三角函数（第 1 课时）铅山三中 俞旭安 一、情境描述 第一部分情景引入 问题 1:如图是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为oh，它的直径为2R，逆时针方向匀速转动，转动一周需要 360 秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置 OA出发（如图 1 所示），过了 30 秒后，你离地面的高度h为多少？过了45 秒呢？过了t秒呢？【设计意图】：高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识，因此选择感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，此情景设计应该有助于学生对知识的发生发展的理解。这个数学模型很好融合初中对三角函数的定义，也能学习好资
2、料 欢迎下载 放在直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向任意角三角函数过渡，揭示函数的本质。第二部分复习回顾锐角三角函数 让学生自主思考如何解决问题：“过了 30 秒后，你离地面的高度为多少？”【分析】：作图如图 2 很容易知道：从起始位置 OA运动30 秒后到达 P点位置，由题意知030 AOP，作 PH垂直地面交 OA于 M，又知 MH oh，所以本问题转变成求 PH，再次转变为求 PM。要求 PM就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐角的三角函数。问题 2：锐角的正弦函数如何定义？【学生自主探究】：学生很容易得到 RMPOPMP|sinsin|RMP sin|0RhPH hsin0
3、Rh 所以学生很自然得到“过了 30 秒后，过了45 秒,你离地面的高度h为多少？”00130sinRhh 00245sinRhh【教师总结】：0t在锐角的范围中，00sin tRhh 第三部分引入新课 问题 3：请问t的范围呢？随着时间的推移，你离地面的高度h为多少？能不能猜想00sintRhh【分析】：若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦。今天我们就要来学习任意角的三角函数。问题 4：如图建立直角坐标系，设点),(PPyxP，你能用直角坐标系中角的aOMPOAPHBNM图 2 分情景引入问题如图是一个摩天轮假设它的中心离地面的高度为它的直径为逆时针方向匀速转动转动一周需要秒若
4、现在你坐在座舱中从初始位置出发如图所示过了秒后你离地面的高度为多少过了秒呢过了秒呢设计意图高中学生已经生对知识的发生发展的理解这个数学模很好融合初中对三角函数的定义也能学习好资料欢迎下载放在直角坐标系中很好地将锐角三角函数的定义向任意角三角函数过渡揭示函数的本质第二部分复习回顾锐角三角函数让学生自主思考作垂直所以本问题转变成求再地面交于又知次转变为求要求就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐角的三角函数问题锐角的正弦函数如何定义学生自主探究学生很容易得到所以学生很自然得到过了秒后秒你离地面的高度为多学习好资料 欢迎下载 终边上的点的坐标来表示锐角的正弦函数的定义吗？能否也定义其它函数（余弦、
5、正切）？【学生自主探究】：|sinOPMPRyP RxOPOMP|cos，PPxyOMMP|tan 问题 5：改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？【分析】：先由学生回答问题，教师再引导学生选几个点，计算比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质证明。【设计意图】：让学生深刻理解体会三角函数值不会随着终边上的点的位置的改变而改变，只与角有关系。通过摩天轮的演示，让学生感受到第一象限角的正弦可以跟锐角正弦的定义一样。问题 6：大家根据第一象限角的正弦函数的定义，能否也给出第二象限角的正弦函数的定义呢？【学生自主探究】：学生通过上面已知知识得到|sinOPMPRyP 学生定义好第二象限角
6、后，让学生自己算出摩天轮座舱在第 150 秒时，离地面的高度h？通过摩天轮知道：00150sinRhh00130sinRhh 由此得到：21150sin0【设计意图】：通过这个，让学生检验|sinOPMPRyP在第二象限角是否正确？YXOAPBMOPxy图 3分情景引入问题如图是一个摩天轮假设它的中心离地面的高度为它的直径为逆时针方向匀速转动转动一周需要秒若现在你坐在座舱中从初始位置出发如图所示过了秒后你离地面的高度为多少过了秒呢过了秒呢设计意图高中学生已经生对知识的发生发展的理解这个数学模很好融合初中对三角函数的定义也能学习好资料欢迎下载放在直角坐标系中很好地将锐角三角函数的定义向任意角三角
7、函数过渡揭示函数的本质第二部分复习回顾锐角三角函数让学生自主思考作垂直所以本问题转变成求再地面交于又知次转变为求要求就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐角的三角函数问题锐角的正弦函数如何定义学生自主探究学生很容易得到所以学生很自然得到过了秒后秒你离地面的高度为多学习好资料 欢迎下载 问题 7：|sinOPMP在第三象限角或第四象限能成立吗？【设计意图】：让学生通过模型，检验定义是否正确，从中让学生自己发现正、负符号的偏差。（可以让学生取210t，从而,210sin00Rhh得到0210sin21，发现这与|sinOPMP不相符，实际上是|sinOPMP）【教师总结】：我们通过这个模型知道如
8、何在某些范围内如何计算自已此时离地面的高度，用数学模型00sintRhh来表示，当摩天轮转动，角度的概念也不知不觉地推广到任意角，对于任意角的正弦不能只是依赖于角所在的直角三角形中的对边的长度比斜边长度了，我更应该用点 P的横坐标来代替|MP或|MP，那么这样就能够很好表示出任意角的正弦函数的定义。第三部分给出任意角三角函数的定义 如图 3,已知点),(yxP为角终边上的点，点P到顶点O的距离为 R，则 Rysin（R）Rxcos （R）xytan （k2）【分析】：让学生通过刚才的模型进一步体验任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离。问题 8：当摩天轮的半径 R1 时，三角函
9、数的定义会发生怎样的变化。【学生自主探究】：ysin，xcos，xytan。教师引导学生进行对比，学生通过对比发现取到原点的距离为 1 的点可以使表达式简化。教师进一步给出单位圆的定义 给出下列表格，让学生自己补充完整。三角函数 定义一：1|OP 定义二：ROP|定义域 sin y Ry R 分情景引入问题如图是一个摩天轮假设它的中心离地面的高度为它的直径为逆时针方向匀速转动转动一周需要秒若现在你坐在座舱中从初始位置出发如图所示过了秒后你离地面的高度为多少过了秒呢过了秒呢设计意图高中学生已经生对知识的发生发展的理解这个数学模很好融合初中对三角函数的定义也能学习好资料欢迎下载放在直角坐标系中很好
10、地将锐角三角函数的定义向任意角三角函数过渡揭示函数的本质第二部分复习回顾锐角三角函数让学生自主思考作垂直所以本问题转变成求再地面交于又知次转变为求要求就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐角的三角函数问题锐角的正弦函数如何定义学生自主探究学生很容易得到所以学生很自然得到过了秒后秒你离地面的高度为多学习好资料 欢迎下载 cos x Rx R tan xy xy k2 及时归纳总结有利学生对所学知识的巩固和掌握。第三部分例题讲解 例 1.（课本 P14例 2）已知角终边经过点)4,3(0P，求角的正弦、余弦和正切值。【分析】：让学生现学现卖，得用上面的定义二就可以得到答案。例 2.（课本 P14
11、 例 1）求35的正弦、余弦和正切值。【学生自主探究】：让学生自己思考并独立完成。然后与课本的解答相对比一下，发现本题的难点。【教师讲解】：本题题意很简单，但是如何入手却是难点，关键是对本节课的三角函数定义的要点有没有领会清楚（任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离），因此本题的重点之处是如何利用单位圆找到这个点 P，如图 4 可以知道3 POM，又点 P在第四象限，得到)23,21(P，这样就可以很容易得到本题答案。不妨让学生取4|OPR，能否也得到点 P的坐标，得到的三角函数值是否与单位圆的一样。这样可以让学生更深刻体验三角函数的定义。第四部分巩固练习 练习 1.例 2 变
12、式求67的正弦、余弦和正切值。练习 2.问题 9：通过观察摩天轮的旋转，三角函数的角的终边所在象限不同，请说说三角函数在各个象限内的三角函数值的符号?独立完成课本P15的“探究”。【设计意图】：练习 1、练习 2 的设计与例 2、例 3 衔接，主要目的是帮助学生巩固三角函数的本质特征，引导学生从定义出发利用坐标平面内的点的坐标特征自主探究三角函数的有关问题的思想方法。并在特殊情形中体会数形结OPMxy图4分情景引入问题如图是一个摩天轮假设它的中心离地面的高度为它的直径为逆时针方向匀速转动转动一周需要秒若现在你坐在座舱中从初始位置出发如图所示过了秒后你离地面的高度为多少过了秒呢过了秒呢设计意图高
13、中学生已经生对知识的发生发展的理解这个数学模很好融合初中对三角函数的定义也能学习好资料欢迎下载放在直角坐标系中很好地将锐角三角函数的定义向任意角三角函数过渡揭示函数的本质第二部分复习回顾锐角三角函数让学生自主思考作垂直所以本问题转变成求再地面交于又知次转变为求要求就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐角的三角函数问题锐角的正弦函数如何定义学生自主探究学生很容易得到所以学生很自然得到过了秒后秒你离地面的高度为多学习好资料 欢迎下载 合的思想方法。第五部分小结与作业 学生自我总结 作业：P23习题 1.2A 组 1,2,3 二、教学反思和分析 上述教学设计及具体教学实施过程我认为有以下几点意义：
14、1.教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在任意角的三角函数的理解上。背景创设是学生熟悉的摩天轮，认知过程符合学生的认知特点和学生的身心发展规律具体到抽象，现象到本质，特殊到一般，这样有利学生的思考。2.情景设计的数学模型很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好地引入到直角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，同时能够揭示函数的本质。3.通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，让学生在情境中活动，在活动中体验数学与自然和社会的联系、新旧知识的内在联系，在体验中领悟数学的价值，它渗透了蕴涵在知识中的思想方法和研究性学习的策略，使学生在理解数学的同时，在思维能力、情感态
15、度与价值观等多方面得到进步和发展。这和课程标准的理念是一致的。4.标准 把发展学生的数学应用意识和创新意识作为其目标之一,在教学中不仅要突出知识的来龙去脉还要为学生创设应用实践的空间,促进学生在学习和实践过程中形成和发展数学应用意识,提高学生的直觉猜想、归纳抽象、数学地提出、分析、解决问题的能力,发展学生的数学应用意识和创新意识,使其上升为一种数学意识,自觉地对客观事物中蕴涵的一些数学模式作出思考和判断。在解答问题的过程中体验到从数学的角度运用学过的数学思想、数学思维、数学方法去观察生活、分析自然现象、解决实际问题的策略,使学生认识到数学原来就来自身边的现实世界,是认识和解决我们生活和工作中问
16、题的有力武器,同时也获得了进行数学探究的切身体验和能力。增进了他们对数学的理解和应用数学的信心。分情景引入问题如图是一个摩天轮假设它的中心离地面的高度为它的直径为逆时针方向匀速转动转动一周需要秒若现在你坐在座舱中从初始位置出发如图所示过了秒后你离地面的高度为多少过了秒呢过了秒呢设计意图高中学生已经生对知识的发生发展的理解这个数学模很好融合初中对三角函数的定义也能学习好资料欢迎下载放在直角坐标系中很好地将锐角三角函数的定义向任意角三角函数过渡揭示函数的本质第二部分复习回顾锐角三角函数让学生自主思考作垂直所以本问题转变成求再地面交于又知次转变为求要求就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐角的三角函数问题锐角的正弦函数如何定义学生自主探究学生很容易得到所以学生很自然得到过了秒后秒你离地面的高度为多