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1、第十六章 分式知识点及典型例子 一、分式的定义：如果 A、B表示两个整式，并且 B中含有字母，那么式子BA叫做分式。例 1.下列各式a，11x，15x+y，22abab，-3x2，0 中，是分式的有（）个。二、分式有意义的条件是分母不为零；【B0】分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B0 且 A=0 即子零母不零】例 2.下列分式，当 x 取何值时有意义。（1）2132xx；（2）2323xx。例 3.下列各式中，无论 x 取何值，分式都有意义的是（）。A121x B21xx C231xx D2221xx 例 4当 x_时，分式2134xx无意义。
2、当 x_时，分式2212xxx 的值为零。例 5.已知1x-1y=3，求5352xxyyxxyy的值。三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于 0 的整式，分式的值不变。（0C）四、分式的通分和约分：关键先是分解因式。例 6.不改变分式的值，使分式115101139xyxy的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（）。例 7.不改变分式2323523xxxx的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，则是（）。例 8.分式434yxa，2411xx，22xxyyxy，2222aababb中是最简分式的有（）。例 9.约分：（1）22699xxx；（2）2232mmmm 例 10.通分：
3、（1）26xab，29ya bc；（2）2121aaa，261a 例 11.已知 x2+3x+1=0，求 x2+21x的值 CBCABACBCABA例 12.已知 x+1x=3，求2421xxx的值 五、分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。,abab acadbcadbccccbdbdbdbd 混合运算:运算顺序和以前一
4、样。能用运算率简算的可用运算率简算。例 13.当分式211x-21x-11x的值等于零时，则 x=_。例 14已知 a+b=3，ab=1，则ab+ba的值等于_。例 15.计算：222xxx-2144xxx。例 16.计算：21xx-x-1 例 17.先化简，再求值:3aa-263aaa+3a，其中 a=32。六、任何一个不等于零的数的零次幂等于 1 即)0(10 aa；当 n 为正整数时，nnaa1 （)0a 七、正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂(m,n 是整数)（1）同底数的幂的乘法：nmnmaaa；（2）幂的乘方：mnnmaa)(;（3）积的乘方：nnnbaab)(；（4）同底
5、数的幂的除法：nmnmaaa(a 0)；（5）商的乘方：nnnbaba)(b 0)八、科学记数法：把一个数表示成na 10的形式（其中101 a，n 是整数）的记数方法叫做科学记数法。bcadcdbadcbabdacdcba;nnnbaba)(是分式的有个二分式有意义的条件是分母不为零分式没有意义的条件是分母等于零分式值为零的条件分子为零且分母不为零且即子零母不零例下列分式当取何值时有意义例下列各式中无论取何值分式都有意义的是例当时分式无意义四分式的通分和约分关键先是分解因式例不改变分式的值使分式的各项系数化为整数分子分母应乘以例不改变分式的值使分子分母最高次项的系数为正数则是例分式中是最简分
6、式的有例约分例通分例已知求的值例已知求的值五分式分子分母颠倒位置后与被除式相乘分式乘方法则分式乘方要把分子分母分别乘方分式的加减法则同分母的分式相加减分母不变把分子相加减异分母的分式相加减先通分变为同分母分式然后再加减混合运算运算顺序和以前一样能用运1、用科学记数法表示绝对值大于 10 的 n 位整数时，其中 10 的指数是1n。2、用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个 0)。例 18.若25102x,则x10等于()。A.51 B.51 C.501 D.6251 例 19.若31aa,则22 aa等于()。A.9 B.1 C
7、.7 D.11 例 20.计算:(1)10123)326(34 (2)32132xyba 例21.人类的遗传物质就是 DNA,人类的 DNA 是很长的链,最短的 22 号染色体也长达 3000000 个核苷酸,这个数用科学记数法表示是_。例 22.计算_1031032125。例 23自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新学科，这就是“纳米技术”，已知 52个纳米的长度为 0.000000052 米,用科学记数法表示这个数为_。例 24计算34xxy+4xyyx-74yxy得（）A-264xyxy B 264xyxy C-2 D 2 例 25.计算 a-b+22bab得（）A 22abb
8、ab Ba+b C 22abab Da-b 九、分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程分式方程。1、解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。2、解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。3、解分式方程的步骤：（1）、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。（2）、解这个整式方程。（3）、把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。（4）、写出原方程的根。增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为 0，二是其值应是
9、去分母后所的整式方程的根。4、分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。例 26.解方程。(1)623xx （2）1613122xxx（3）01152xx（4）xxx38741836 是分式的有个二分式有意义的条件是分母不为零分式没有意义的条件是分母等于零分式值为零的条件分子为零且分母不为零且即子零母不零例下列分式当取何值时有意义例下列各式中无论取何值分式都有意义的是例当时分式无意义四分式的通分和约分关键先是分解因式例不改变分式的值使分式的各项系数化为整数分子分母应乘以例不改变分式的值使分子分母最
10、高次项的系数为正数则是例分式中是最简分式的有例约分例通分例已知求的值例已知求的值五分式分子分母颠倒位置后与被除式相乘分式乘方法则分式乘方要把分子分母分别乘方分式的加减法则同分母的分式相加减分母不变把分子相加减异分母的分式相加减先通分变为同分母分式然后再加减混合运算运算顺序和以前一样能用运例27.X为何值时，代数式xxxx231392的值等于 2？例 28.若方程122423xx 有增根，则增根应是（）十、列方程应用题（一）、步骤(1)审：分析题意,找出研究对象，建立等量关系；(2)设：选择恰当的未知数,注意单位；(3)列：根据等量关系正确列出方程；(4)解：认真仔细；(5)检：不要忘记检验；（
11、6）答：不要忘记写。（二）应用题的几种类型：1、行程问题：基本公式：路程=速度时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题。例 29.甲、乙两地相距 19 千米，某人从甲地去乙地，先步行 7 千米，然后改骑自行车，共用了 2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的 4 倍，求步行的速度和骑自行车的速度.2、工程问题 基本公式：工作量=工时工效。例 30.一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4 天才能完成,如果两组合作 3 天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?3、顺水逆水问题 v顺水=v静水+v
12、水；v逆水=v静水-v水。例 31.已知轮船在静水中每小时行20 千米，如果此船在某江中顺流航行72 千米所用的时间与逆流航行 48 千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?分式方程应用题：1、甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，甲单独整理需要 40 分完工；若甲、乙共同整理 20 分钟后，乙需要再单独整理 20 分才能完工。问：乙单独整理需多少分钟完工？解：设乙单独整理需 x 分钟完工，则 120204020 x 解，得 x80 经检验：x80 是原方程的解。答：乙单独整理需 80 分钟完工。2、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜 900 千克和 1500 千克，已知第一块
13、试验田每亩收获蔬菜比第二块少 300 千克，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克？解：设第一块试验田每亩收获蔬菜 x 千克，则3001500900 xx 解，得 x450 经检验：x450 是原方程的解。答：第一块试验田每亩收获蔬菜 450 千克。3、甲、乙两地相距 19 千米，某人从甲地去乙地，先步行 7 千米，然后改骑自行车，共用了 2 小时到达乙地。已知这个人骑自行车的速度是步行速度的 4 倍。求步行的速度和骑自行车的速度。解：设步行速度是 x 千米/时，则 247197xx 解，得 x5 经检验：x5 是原方程的解。进尔 4x20（千米/时）答：步行速度是 5 千米/时，骑自行车的速度是
14、 20 千米/时。6、王明和李刚各自加工 15 个零件，王明每小时比李刚多加工 1 个，结果比李刚少用半小时完成任务，问：两是分式的有个二分式有意义的条件是分母不为零分式没有意义的条件是分母等于零分式值为零的条件分子为零且分母不为零且即子零母不零例下列分式当取何值时有意义例下列各式中无论取何值分式都有意义的是例当时分式无意义四分式的通分和约分关键先是分解因式例不改变分式的值使分式的各项系数化为整数分子分母应乘以例不改变分式的值使分子分母最高次项的系数为正数则是例分式中是最简分式的有例约分例通分例已知求的值例已知求的值五分式分子分母颠倒位置后与被除式相乘分式乘方法则分式乘方要把分子分母分别乘方分
15、式的加减法则同分母的分式相加减分母不变把分子相加减异分母的分式相加减先通分变为同分母分式然后再加减混合运算运算顺序和以前一样能用运人每小时各加工多少个零件？解：设李刚每小时加工 x 个，则列方程为：xx155.0115 14、某中学到离学校 15 千米的西山春游，先遣队与大队同时出发，行进速度是大队的 1.2 倍，以便提前21 小时到达目的地做准备工作，求先遣队与大队的速度各是多少？解：设大队的速度是 x 千米/时，则先遣队的速度是 1.2x 千米/时，由题意得：15x -151.2x=12 解之得：x=5 经检验：x=5 是原方程的根且符合题意 原方程的根是 x=5 1.2x=1.25=6(
16、千米/时)答：先遣队的速度是 6 千米/时，大队的速度是 5 千米/时 22、（2007 广西玉林课改，3 分）甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作甲队单独工作 2 天完成总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了 1 天，总量全部完成那么乙队单独完成总量需要（）6 天 4 天 3 天 2 天 23、（2007 河北课改，2 分）炎炎夏日，甲安装队为 A 小区安装 66 台空调，乙安装队为 B 小区安装 60 台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装 2 台设乙队每天安装 x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是（D ）A66602xx B66602xx C66
17、602xx D66602xx 24、（2007 吉林长春课改，5 分）张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完 200 本图书所用的时间与李强清点完 300 本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点 10 本，求张明平均每分钟清点图书的数量 解：设张明平均每分钟清点图书x本，则李强平均每分钟清点(10)x本，依题意，得20030010 xx 3 分 解得20 x 经检验20 x 是原方程的解 答：张明平均每分钟清点图书 20 本 5 分 是分式的有个二分式有意义的条件是分母不为零分式没有意义的条件是分母等于零分式值为零的条件分子为零且分母不为零且即子零母不零例下列分式当取何值时有意义例下列各式中无论取何值分式都有意义的是例当时分式无意义四分式的通分和约分关键先是分解因式例不改变分式的值使分式的各项系数化为整数分子分母应乘以例不改变分式的值使分子分母最高次项的系数为正数则是例分式中是最简分式的有例约分例通分例已知求的值例已知求的值五分式分子分母颠倒位置后与被除式相乘分式乘方法则分式乘方要把分子分母分别乘方分式的加减法则同分母的分式相加减分母不变把分子相加减异分母的分式相加减先通分变为同分母分式然后再加减混合运算运算顺序和以前一样能用运