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1、 2.3.2抛物线的简单几何性质（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第三章) 一、教学目标1.掌握抛物线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率；2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论；3.对通径、焦半径公式进行初步探索；4.进一步理解数形结合的思想方法在解析几何中的应用。二、教学重难点1.教学重点：抛物线的简单几何性质、利用抛物线的几何性质求方程、对通径与焦半径公式的初步探究。2.教学难点：利用数形结合法对通径、焦半径公式的探究。三、教学过程1.利用数形结合的思想探究抛物线的简单几何性质1.1 知识回顾，温故知新【学生活动】学生完成学案内容，对抛物线的四种方程、
2、图形、焦点坐标、准线方程进行复习。图形方程焦点准线【设计意图】之前学过椭圆、双曲线的几何性质，都是通过图形和方程两方面进行研究的，因此引导学生对抛物线的四种方程、图形、焦点坐标、准线方程进行复习，有利于对抛物线性质的进一步探索。1.2 数形结合，类比探究问题1：类比用标准方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，请思考：我们要研究抛物线的哪些几何性质？如何研究这些性质？【预设答案】前面我们学习了椭圆、双曲线的范围、对称性、顶点、离心率，在双曲线中还学习了渐近线。我们是通过“数”和“形”两方面对椭圆、双曲线的几何性质进行探究的。【设计意图】类比椭圆、双曲线几何性质的研究思路，为接下来用数形结合法
3、研究抛物线的几何性质进行铺垫。问题2：观察图形，你能发现抛物线横、纵坐标的取值范围吗？【预设答案】通过观察图形，学生很容易得到开口向右的抛物线中横、纵坐标的取值范围，即为问题3：从数的角度，也就是从抛物线方程的角度，怎样得到抛物线中横纵坐标的取值范围呢？【预设答案】在方程中，并无限制，因此。而因为，且，所以。【设计意图】让学生从“数”和“形”两个角度探索抛物线的范围。问题4：观察图形，抛物线有几条对称轴？是否有对称中心？【预设答案】学生观察图形容易得到开口向右的抛物线关于轴对称，没有对称中心。问题5：从“数”的角度，怎样说明抛物线图像关于x轴对称？【教师讲授】要说明抛物线的图像关于x轴对称，只
4、需要在抛物线上任取一点，关于x轴的对称点也在抛物线上即可。【设计意图】引导学生从“数”和“形”两个角度探索抛物线的对称性。 问题6：根据图形，观察抛物线的顶点是什么？ 【预设答案】问题7：从“数”的角度，如何从方程中得到抛物线的顶点？【教师讲授】在抛物线的方程中，令，得到。【设计意图】引导学生从“数”和“形”两个角度探索抛物线的顶点。【教师讲授】给出抛物线离心率的定义，并根据抛物线的定义，得出离心率为1。此时，继续引导学生复习椭圆和双曲线的定义和取值范围。1.3 适时归纳，总结提升（范围）抛物线只位于半个坐标平面内（对称性）抛物线只有1条对称轴,没有对称中心;（顶点）抛物线只有1个顶点、1个焦
5、点、1条准线;（离心率）抛物线的离心率是确定值1。2.一题多变，一题多解，学以致用例题1：已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求抛物线的标准方程。【预设答案】由已知抛物线的开口向右，故设抛物线的标准方程为。将带入方程，得到，故抛物线的方程为。变式训练：已知抛物线对称轴为坐标轴，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求抛物线的标准方程。【预设答案】或【设计意图】（1）例题1和变式训练都是对抛物线性质的初步应用，进一步强化待定系数法求抛物线方程的训练。（2）例题2引导学生辨析思考，分类讨论。例题2：斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，求线段的长。【预设答案】方法1：联立
6、直线和抛物线方程，求出两点的坐标，利用两点间距离公式求出的长。【教师板书】设。由已知，抛物线的焦点坐标为，故直线的方程为。联立直线和抛物线，得，所以，因此方法2：利用抛物线的定义，将焦点弦的长度转化为两个焦半径的长度。可以利用方法1求出，也可使用韦达定理。【教师板书】【设计意图】引导学生多种角度思考，培养学生的逻辑思维能力，为接下来探索焦半径和通径公式，进行铺垫。【问题8】连接抛物线上一点与焦点的线段叫做抛物线的焦点弦。根据例题2的方法2，你能否得到抛物线的焦点弦公式？【预设答案】【问题9】你能否总结出另外三种抛物线的焦半径公式？【预设答案】开口向左：；开口向上：；开口向下：。【问题10】有一
7、种特殊的焦点弦，它垂直于抛物线的对称轴，这种焦点弦叫做通径。你能否根据焦半径公式，求出通径的长度吗？【预设答案】通径【设计意图】引导学生对焦半径公式、通径进行提炼与总结。3.深入思考，思维升华【思考1】双曲线的开口大小由离心率来衡量，那么抛物线的开口大小怎样确定呢？【预设答案】通径越长，开口越大。【设计意图】类比双曲线，引导学生利用通径对抛物线的形状进一步探索。【思考2】通径是一类特殊的焦点弦，那么请问通径是抛物线最短的焦点弦吗？【设计意图】思考2由特殊抽象到一般，对例题2利用焦半径求焦点弦问题的进一步升华。另外，为下一节课进一步探索抛物线的焦点弦问题埋下伏笔。在下节课中，将采用更为多样的方法求证“通径就是抛物线最短的焦点弦”。4.小组活动，总结提升【小组活动】小组合作，合作探求另外三种抛物线的几何性质。标准方程图形焦点准线范围顶点对称轴离心率焦半径通径轴轴【设计意图】引导学生利用数形结合的思路对其他三种抛物线进行探究，提升总结。【教师总结】总结课堂内容，并提出思考，你还能有几种方法说明“通径就是抛物线最短的焦点弦”？【设计意图】（1） 梳理本节内容，提炼方法；（2） 为下节课继续探索焦点弦问题埋下伏笔。四、 课后作业（1）课本第136页，课后习题。（2）思考：你还能有几种方法说明“通径就是抛物线最短的焦点弦”？