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1、2.2 平面向量的线性运算 一、选择题（共10小题；共50分）1. 在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=2，则向量 AB+AD+AC 的长度等于 A. 25B. 45C. 12D. 6 2. 已知向量 a，b，且 AB=a+2b，BC=5a+6b，CD=7a2b，则一定共线的三点是 A. A 、 B 、 DB. A 、 B 、 CC. B 、 C 、 DD. A 、 C 、 D 3. 设 为两个非零向量 a，b 的夹角，已知当实数 t 变化时 a+tb 的最小值为 2，则 A. 若 确定，则 a 唯一确定B. 若 确定，则 b 唯一确定C. 若 a 确定，则 唯一确定D. 若 b 确定，则
2、唯一确定 4. 设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点， O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则 OA+OB+OC+OD 等于 A. OMB. 2OMC. 3OMD. 4OM 5. 已知 ABC 的外接圆圆心为 O，且 2AO=AB+AC，OA=AB，则向量 BA 在向量 BC 上的投影向量为 A. 14BCB. 34BCC. 14BCD. 34BC 6. 如图，D 、 E 、 F 分别是 ABC 的边 AB 、 BC 、 CA 的中点，则 A. AD+BE+CF=0B. BDCF+DF=0C. AD+CECF=0D. BDBEFC=0 7. 如图，P1，P2，P 是直线 l
3、 上的不同的三点，且 P1P=PP2，则实数 的取值范围是 A. 1B. 10C. 01 8. 设 A1，A2，A3，A4，A5 是平面上给定的 5 个不同点，则使 MA1+MA2+MA3+MA4+MA5=0 成立的点 M 的个数为 A. 0B. 1C. 5D. 10 9. 设 D，E，F 分别为 ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则 EB+FC 等于 A. BCB. 12ADC. ADD. 12BC 10. 若 AB=5，AC=8，则 BC 的取值范围是 A. 3,8B. 3,8C. 3,13D. 3,13 二、填空题（共5小题；共25分）11. 化简 4a3b62ba= 12. 化
4、简：CA+AB+BC= 13. 已知 O 为 ABC 内一点，OA+2OB+3OC=0，则 SABCSAOC= 14. 如图所示，D 为 ABC 中 BC 边的中点，设 AB=a，AC=b ，则 BD= （用 a，b 表示） 15. 已知非零向量 a，b，c 两两不平行，且 ab+c，ba+c，设 c=xa+yb，x,yR，则 x+2y= 三、解答题（共3小题；共39分）16. 根据下列各小题中的条件，分别判断四边形 ABCD 的形状，并给出证明：（1）AD=BC；（2）AD=13BC；（3）AB=DC，且 AB=AD 17. （1）如图，在矩形 ABCD 中，O 是对角线 AC 与 BD 的
5、交点若 AB=a，BC=b，OB=c，试证明：ab+c=OD；（2）已知 O 为四边形 ABCD 所在平面外的一点，且向量 OA，OB，OC，OD 满足等式 OA+OC=OB+OD作图并观察四边形 ABCD 的形状，并证明 18. 在 ABC 中任取一点 O，取 SA，SB，SC 分别表示 BOC，COA，AOB 的面积，求证：SAOA+SBOB+SCOC=0答案第一部分1. B2. A【解析】BD=BC+CD=2a+4b=2AB，所以 A 、 B 、 D 三点共线3. A【解析】如图，记 OA=a，AB=b，AH=tb，则 OH=a+tb，当 ba+tb 时，a+tb 取得最小值，若 确定，
6、则 a 唯一，b 不确定，若 a 确定， 可能有两解（图中 OA=a 或 OA=a），若 b 确定，则 a 不确定，从而 也不确定4. D【解析】由已知，得 OA=OM+12CA，OB=OM+12DB，OC=OM+12AC，OD=OM+12BD，而 CA=AC，DB=BD，所以 OA+OB+OC+OD=4OM 故选D5. A【解析】设 D 为 BC 的中点，则 AB+AC=2AD=2AO，故 ABC 外接圆圆心 O 为 BC 的中点，所以 BAC=90又 OA=OB=AB，所以 ABC=60，因此向量 BA 在向量 BC 上的投影向量为 14BC6. A7. A8. B9. C【解析】如图，
7、EB+FC=EC+CB+FB+BC=EC+FB=12AC+AB=122AD=AD.10. C【解析】因为 BC=ACAB 且 ACABACABAC+AB，所以 3ACAB13，所以 3BC13第二部分11. 10a【解析】4a3b62ba=4a12b+12b+6a=10a12. 0【解析】因为 CA+AB=CB，所以 CB+BC=013. 3【解析】如图所示，取 BC 的中点 D，AC 的中点 E，连接 OD，OE，则 OA+2OB+3OC=OA+OC+2OB+OC=2OE+4OD=0, 所以 OE=2OD，所以 D，O，E 三点共线，所以 DE=32OE，又 DE 为 ABC 的中位线，BA
8、=2DE，所以 BA=3OE设在 ABC 和 AOC 中，AC 边上的高分别为 h1，h2，则 h1=3h2，所以 SABCSAOC=314. 12ba；【解析】由平行四边形法则可知 AD=12a+b，在 ABD 中，BD=BA+AD=a+12a+b=12ba故答案为 12ba15. 3【解析】因为非零向量 a，b，c 两两不平行，且 ab+c，ba+c，所以 a=mb+cc=1mab， b=na+cc=1nba，所以 1m=1,1=1n,m=1,n=1. 因为 c=xa+yb，x,yR，所以 x=y=1，所以 x+2y=3，故答案为：3第三部分16. （1） 四边形 ABCD 为平行四边形，
9、证略（2） 如图（1），因为 AD=13BC，所以 ADBC 且 ADBC因此四边形 ABCD 为梯形（3） 如图（2），因为 AB=DC，所以 ABDC，且 AB=DC因此四边形 ABCD 为平行四边形又 AB=AD，所以四边形 ABCD 为菱形17. （1） ab+c=abc=ABBCOB=BABCOB=BDOB=BD+OB=OD.（2） 通过作图可以发现四边形 ABCD 为平行四边形证明如下： OA+OC=OB+OD， OAOB=ODOC， BA=CD， AB 与 CD 平行且相等， 四边形 ABCD 为平行四边形18. 如图所示，建立坐标系设 OA=x，OB=y，OC=z，AOC=，AOB=，BOC=+=2 . SAOA+SBOB+SCOC=0xcos,xsin12yzsin+ycos+,ysin+12xzsin+z,012xysin=0,012xyzcossin+12xyzsincos+12xyzsin=0,12xyzsinsin+12xyzsinsin+=0.cossin+sincos+sin=0,sinsin+sinsin+=0. 由于 =2+，所以 cossin+sincos+sin=cossin+sincos+sin=sin+sin=0, sinsin+sinsin+=sinsin+sin+=0. 得证第8页（共8 页）