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1、 3.1.1椭圆的标准方程（第一课时）(选择性必修第一册第三章) 一、教学目标1.根据创设的情景，理解椭圆的定义.2.理解椭圆标准方程的推导过程，在化简中提高学生的运算能力.3.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程二、教学重难点1.重点：理解椭圆的定义及椭圆的标准方程掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程2.难点：理解椭圆标准方程的推导过程，领会坐标法的应用.三、教学过程1.椭圆的概念生成1.1生活中的椭圆问题1:当我们用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面和圆锥侧面的交线）是一个圆.如果改变圆锥的轴和截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢？如果，用一个不垂直于圆锥的轴平面截圆
2、锥，当截面与轴所成角度不同时，得到的截口曲线也不同。它们分别是椭圆，双曲线，抛物线，统称为圆锥曲线。椭圆是圆锥曲线的一种，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用.在生活中，哪些地方有椭圆的身影呢？【预设答案】椭圆形桌子，盘子，火腿肠的斜切面【设计意图】先直观感受椭圆的形状，在生活中寻找例子，建立数学和实际的联系.1.2绘制椭圆，生成概念【数学活动】取一条细绳，用图钉把绳子两端固定，用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在图纸上慢慢移动，看看能画出什么图形？这一过程中，移动的笔尖（动点M）满足的几何条件是什么?（请三名同学上黑板共同参与实验活动，其他同学分组进行）【活动预设】第一幕：细绳两端相距特别近，图形
3、很接近圆第二幕：细绳两端相距适中，图形扁一些，椭圆形状更直观.第三幕：细绳两端相距较远，笔尖绕着细绳转动那么顺畅，图形更扁长.第四幕：细绳一端固定后，固定另一端时之前的一端被拉掉了学生总结画图变化中的不变量，师生一起总结得出：椭圆的定义：平面内，与两个定点F1 、F2 的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。在归纳椭圆定义的过程中，根据实验中同学们出现的现象，如第三幕和第四幕情形，结合学生回答的情况，突出体现“常数”及“常数的范围”等关键词与相应的特征.同时强调平面内的大前提.问题2：在定义中，如果，动点的轨迹又是什么？当时点M的轨迹
4、为:线段当时点M的轨迹不存在【设计意图】改变单一、被动的学习方式，让学生成为学习的主人，给他们提供一个自主探索学习的机会，让他们通过观察、讨论，归纳概括出椭圆的定义，这样既获得了知识，又培养了学生抽象思维、归纳概括的能力.)2.椭圆的标准方程2.1椭圆标准方程的探求（1）建系：（思考：如何建立适当的平面直角坐标系？）学生回答，引导学生总结建系的基本原则. (关注对称性，方程的最简性)（2）设点：设为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距2c(c0), M与F1和F2的距离的和等于正常数2a (2a2c) ，则F1，F2的坐标分别是(-c,0)、(c,0) .（3）动点的几何特征：（4）坐标化：（5）化简
5、：（通过设问、点拨“怎么化简带根式的式子”突破难点学生会提出两种方案：一、是直接将根式平方。二、是将其中一个根式平移再平方.这时教师让学生进行小组讨论，对比、分析这两种方法的优缺点.教师引导，发现以上同学们提出的这两种方法都需要进行两次平方，只是方法二计算较方法一较简单.）先让学生各自在练习本上自行化简，在此过程中，教师一边巡视，一边给予指导和提示，然后选出12位学生的推导过程展示出来，并请学生本人作简要陈述问题3：怎么能让方程 更简洁？怎么能让方程更简洁？不妨设,再化简方程得：该方程叫做焦点在x轴上的椭圆的标准方程.【设计意图】暴露自然思维，通过比较，得出最简洁的方案，而不是被动地接受教材或
6、老师强加给的方法，使学生完全成了学习的主人，由被动的接受变成主动的获取。在师生互动的过程中，让学生体会数学的严谨，使他们的观察能力、运算能力、推理能力得到训练，渗透数形结合的数学思想。并感受椭圆方程、图形的对称美，简洁美，获得成功的喜悦！)问题4：你能在图中找出表示的线段吗？让点运动到轴正半轴上，由学生观察图形自行获得的几何意义，让学生在讲解的过程中体会数形结合思想，引出特征三角形，也为后续学习做好准备.【设计意图】对照图形加以引导，数形结合让学生明白方程中字母的几何意义，对方程的理解有很大的作用.问题5：如果椭圆的焦点在轴上，那椭圆的方程又如何？（让学生猜想方程，并说明如何验证？）方法1：焦
7、点坐标变为，重复推导过程，布置为作业.方法2：引导学生回答，如果椭圆的焦点在轴上（选取方式不同，调换轴）,只要将方程中的调换，可得 这个方程叫焦点在y轴上的椭圆的标准方程.【设计意图】利用类比对称，化归的思想让学生体会问题的本质所在，只是位置不同，图形是一致的，得出焦点在轴上的椭圆的标准方程，避免繁杂计算.2.2 椭圆的标准方程的特点焦点在x轴上的标准方程： （） 焦点在y轴上的标准方程： （）其中 观察：椭圆的两种标准方程有什么异同点？思考：如何从椭圆的标准方程判断椭圆焦点的位置？（小组讨论，教师引导:看形式，看细节）【预设答案】学生总结方程特征：形式上：平方+平方=1，且 细节上：x和y顺
8、序交换（焦点位置不同） 哪个变量下的分母大,焦点就在哪个轴上.3.学以致用例1 平面内，动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是10 ，则动点P的轨迹为（ A ）A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹 变式1平面内，动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是8 ，则动点P的轨迹为（ B）A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹变式2平面内，动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是7，则动点P的轨迹为（ D ）A.椭圆 B.线段 C.直线 D.无轨迹 【设计意图】强调椭圆定义中常数的范围.例2 请完成下列表格：椭圆方
9、程图象焦点坐标同2【设计意图】巩固标准方程a,b,c的含义，焦点位置的判断方法.例3 (1)已知椭圆的两个焦点的坐标分别是，并且经过点，求它的标准方程. （2）求适合条件的椭圆的标准方程：【预设答案】(1)(2) 【方法总结】用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，若两个坐标轴都有可能，则需分类讨论(2)设方程：根据上述判断设方程()或()(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c的方程组两个关键点：先定型，再定量. 常用方法：待定系数法【设计意图】让学生学会用待定系数法求椭圆的标准方程; 分析解答中注意发现学生思维的闪观点，注重不同
10、思维、方法的碰撞. .4.课堂小结问题6：（1）本节课学习的主要知识是什么? （2）求椭圆标准方程常用方法是什么？（3）本节课涉及到了哪些数学思想方法？活动过程:（师）提问 - （生）小结 - （师生）补充完善.一动二定求和常：两个方程大对焦；三个字母勾股弦；四个想法留心间：求美，求简，定义，待定系数法【设计意图】归纳小结由学生来完成，让学生回顾本节所学知识与方法,以逐步提高学生自我获取知识的能力，他们及时发现并纠正自己学习中存在的问题，培养学生学习的主动性和良好的学习习惯.）5.课外作业【基础练习】1下列说法正确的是()A已知F1(4,0)，F2(4,0)，到两点F1，F2的距离之和大于8的
11、点的轨迹是椭圆B已知F1(4,0)，F2(4,0)，到两点F1，F2的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C到点F1(4,0)，F2(4,0)的距离之和等于从点(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆D到点F1(4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆2设F1，F2为定点，|F1F2|6，动点M满足|MF1|MF2|6，则动点M的轨迹是()A椭圆 B直线 C圆 D线段3设定点F1(0，3)，F2(0,3)，动点P满足条件|PF1|PF2|a(a0)，则点P的轨迹是()A椭圆或线段 B线段 C椭圆 D不存在4椭圆1的焦点坐标是( ) A(4,0) B(0，1) C(3,0) D(0，2
12、)5若椭圆1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为( ) A5 B6 C4 D106已知点F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，点P在此椭圆上，则PF1F2的周长等于() A20 B18 C16 D147已知，动点满足 当时的轨迹是 ，方程是 ； 当时的轨迹是 ，方程是 .8方程化简结果为 9若方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_10方程表示椭圆，则的取值范围是 .11.若椭圆1的一个焦点坐标为（0 , 1），则m的值是_12. 求适合下列条件的椭圆的标准方程(1) 两个焦点的坐标分别为(4,0)和(4,0)，且椭圆过点(5,0)(2) 焦距为8，经过P(0,2)点；【拓展提高】13. 求适合下列条件的椭圆的标准方程(1) 与椭圆1有相同焦点，且过点M(3，2)；(2) 过两点，；