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1、 5.5.2三角恒等变换（第2课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第五章) 一、教学目标1. 会将形如的函数转化成形式，并能用来解决周期、最值等问题；2. 可以使用三角函数解决简单的应用问题 二、教学重难点1. 理解归纳辅助角公式中的推导过程及相关辅助角的理解； 2. 尝试以角为自变量建立函数模型求解问题三、教学过程1.问题引入 学习了两角和(差)公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工具，三角恒等变换不仅能解决倍角问题还能解决三角函数升降幂的问题，同时三角恒等变换在化简三角函数式中的也有着重要的作用,那请大家思考以下问题：问题1：若已知，你能求函数的周期，最大值和最小值
2、吗？【活动预设】给学生留出时间，让学生思考问题，教师暂不给出提示追问1：观察例题中两个函数式，如果研究它们的周期和最大、最小值，要将函数式转化为的形式才可以使用正弦函数的性质去判断，那我们要如何利用三角函数公式进行变换呢？你能说出理由吗？【活动预设】教师提出问题，激发学生的求知欲，引导学生能够积极思考并尝试回答【设计意图】引导学生思考问题，发现学习辅助角公式的必要，从而产生学习辅助角公式的需求，顺利引入新课2.例题探究例1.求下列函数的周期，最大值和最小值：（1）； （2）【活动预设】根据问题2的思考学生自主解决例1（1），教师引导学生能够积极思考并尝试回答例1（2）问题2：在第（2）问的式子
3、中提取何值可以使其构成正弦的和差公式呢？如果提取后两项系数不是三角函数特殊值怎么办呢？（2）设，则于是，于是 ，所以 取A=5， 则 ，其中，即 因此，所求周期为，最大值为5，最小值为-5【活动预设】学生思考后尝试分析回答，教师适当引导（1）式中可利用正弦的和角公式，所以要将函数式提取一个常数，使两项的系数可分别写为同一个角的余弦值和正弦值，这样就配凑成两角和的正弦公式，逆用公式即可写为的形式（2）式中，由于，因此提取后要将两项的系数构成平方和是1的形式才能分别看成同一个角的余弦值和正弦值，因此需要提取【设计意图】师生一起探究变形的过程，使学生明确公式的来龙去脉，从具体问题入手方便学生理解，为
4、后面的辅助角公式的一般性推导打下基础追问2：你能归纳一下怎样将转化为的形式吗？【活动预设】学生独立尝试，教师适当引导，最后归纳得出结果：，其中【设计意图】本例是三角恒等变换在数学应用中的举例，归纳得到一般情况，我们称它为辅助角公式，它使得三角函数中对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用追问3：类似的，是否可以写成余弦形式呢？【活动预设】教师引导学生得到结论，其中【设计意图】对于辅助角公式的余弦表示形式也给出推导过程，拓宽学生的思路，提升逻辑推理的数学素养例2如图5.5-2，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形记，求当角取何
5、值时，矩形ABCD面积最大？并求出这个最大面积 问题3：认真审题后思考，我们解题的思路是怎样的？需要使用什么数学知识与方法来解决问题？分析：可先建立矩形ABCD的面积S与之间的函数关系，再求函数的最大值 解：在中， 在中， 所以 ，设矩形ABCD的面积为S ，则 由，得，所以当，即时，因此，当时，矩形ABCD的面积最大，最大值为【活动预设】找S与之间的函数关系可以让学生自己尝试解决，教师启发引导，适时点拨之后提醒学生，自变量的取值范围是，则的范围是，因此当，即时，有最大值，其中是将看成一个整体，利用正弦函数的图象性质求函数的最大值，蕴含了换元思想【设计意图】由以上两道例题可以看出，通过三角恒等
6、变换，我们把转化为的形式，这个过程中蕴含了化归思想追问4：引申思考，本题可以去掉“”，结论改成“求矩形ABCD的最大面积”，该如何解题？【活动预设】学生尝试解决，教师点拨提示，这时对自变量可多种选择，如设，则，尽管对所得函数暂时还无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，使学生感受到以角为自变量解决问题的优点【设计意图】教师点拨，学生动手，增强学生解题的能力，提升数学运算素养3.初步应用求下列函数的周期，最大值和最小值（1）； （2）【预设的答案】（1）解：（方法一） ，其中，即 因此，所求周期为，最大值为13，最小值为-13（方法二），其中，即 因此，所求周期为，最大值为13，最小
7、值为-13（2）解：，其中，即 因此，所求周期为，最大值为，最小值为【活动预设】学生独立完成，教师对过程进行分析评价，并鼓励学生选择不同的三角恒等变换公式进行一题多解【设计意图】对三角公式的应用进行练习巩固，并用一题多解发散思维，提高分析和运算能力4归纳小结教师引导学生回顾本节课的学习内容，并思考回答下面的问题：把形如的三角函数式转化为一个角的一个三角函数的形式，进而求解周期与最值问题大家思考在这其中都使用了哪些数学思想方法呢？【活动预设】教师引导学生归纳：1三角变换要考虑包含的角的不同、三角函数的种类差异，三角函数式的结构差异等多个因素，因此在三角恒等变换的过程中应注意对三角函数式的结构进行分析，根据结构特点选择合适的公式，进行恒等变形还要思考一题多解、一解多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，逆用公式等；2在使用辅助角公式时要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用【设计意图】回顾本节课例题中展现的思维过程，以及主要体现的数学思想方法，在总结中调动学生积极性，锻炼学生归纳总结及语言表达能力四、课外作业教材第229页，习题5.5第11，12题