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1、高中物理竞赛 光学部分1.1 几何光学基础1.3 光的折射1.4 .光在球面上的反射与折射1.5.透镜成像2.1 光的波动性2.2.光的量子性高中物理竞赛 光学第一讲几何光学1.1 几何光学基础1、光的直线传播：光在同一均匀介质中沿直线传播。2、光的独立传播：几束光在交错时互不妨碍，仍按原来各自的方向传播。3、光的反射定律：反射光线在入射光线和法线所决定平面内；反射光线和入射光线分居法线两侧；反射角等于入射角。4、光的折射定律：折射光线在入射光线和法线所决定平面内；折射光线和入射光线分居法线两侧；入射角与折射角,2满足/sin ix=n2 sin i2.当光由光密介质向光疏介质中传播，且入射角
2、大于临界角C时，将发生全面反射现象（折射率为勺的光密介质对折射率为2的光疏介质的临界角.C 2s in e =)01.2 光的反射1.2.1、组合平面镜成像:1.组合平面镜由两个以上的平面镜组成的光学系统叫做组合平面镜，射向组合平面镜的光线往往要在平面镜之间发生多次反射，因而会出现生成复像的现象。先看一种较简单的图 l-2-l高中物理竞赛 光学现象，两面互相垂直的平面镜（交于点）镜间放一点光源S （图 1-2-1）,S发出的光线经过两个平面镜反射后形成了 5、2、S 3 三个虚像。用几何的方法不难证明：这三个虚像都位于以。为圆心、S为半径的圆上，而且S 和号、S 和S 2、S|和S 3、$2
3、和S 3 之间都以平面镜（或它们的延长线）保持着对称关系。用这个方法我们可以容易地确定较复杂的情况中复像的个数和位置。一一 两面平面镜A 0和B 0成 6 0。角放置（图1-2-2）,用上述规律，很容易确定像的位置:以。为圆心、为半径作圆；过S 做/0和阳的垂线与圆交于耳和$2；过，和冬作 S 3图 1-2-28 和 加 的 垂 线 与 圆 交 于 和 S,；过S 3 和$4 作 加 和 8 的垂线与圆交于$5,S|S s 便是S 在两平面镜中的5 个像。双镜面反射。如图1-2-3,两镜面间夹角。=1 5,04=10c m,A点发出的垂直于心的光线射向。后图 1-2-3在两镜间反复反射，直到光
4、线平行于某一镜面射出，则从1点开始到最后一次反射点，光线所走的路程是多少?如图1-2-4 所示，光线经4第一次反射的反射线为B C,根据平面反射的对称性，B C =B C,且/C1.B OC =a。上述4，民均在同一直线上，因此光线在4、人之间的反复反射就跟光线沿A 6 C 直A C L2线传播等效。设N 是光线第次反射的入射点，且图 1-2-4该次反射线不再射到另一个镜面上，则值应满足高中物理竞赛 光学9 0 /的 关 系 是 9 0 4（+1）。，a o 取 n=5,N N O 4 =7 5 ,总路程AN=OAtg5cx=37.3cm2、全反射全反射光从密度媒质1 射向光疏媒质2,当入射角
5、大于临界角a =s i n-/时，光线发生全反射。全反射现象有重要的实用意义,如现代通讯的重要组成部分光导纤维，就是利用光的全反射 图 1-2-5现象。图-2-5是光导纤维的示意图。AB为其端面，纤维内芯材料的折射率=L3,外层材料的折射率2 =12,试问入射角在什么范围内才能确保光在光导纤维内传播?图上2-5 中的r表示光第一次折射的折射角，B表示光第二次的入射角，只要 6大于临界角，光在内外两种材料的界面上发生全反射，光即可一直保持在纤维内芯里传播。3=s i n-1 几 2 i=s i n ；=s i n 百=6 7.4 =_ 夕=9 0 -6 7.4 =2 2 6 sin z/sin
6、r=1.3/1只要 s i n i 0,5 0,i 3 0 即可。-立_例 1、如 图 1-2-6 所示，4 8 表示一平直的平 M a b N面镜，片鸟是水平放置的米尺（有刻度的一面朝A、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _着平面镜），/网是屏，三者相互平行，屏助V上的 图 1-2-6a 力表示一条竖直的缝（即 a 6 之间是透光的）。某人眼睛紧贴米尺上的小孔S （其高中物理竞赛 光学位置如图所示)，可通过平面镜看到米尺的一部分刻度。试在本题图上用三角板作图求出可看到的部位，并在打2上把这部分涂以标志。分析：本题考查平面镜成像规律及成像作图。人眼通过小孔看见的是米尺刻度
7、的像。由反射定律可知，米尺刻度必须经过平面镜反射后，反射光线进入人的眼睛，人才会看到米尺刻度的像。可以通过两种方法来解这个问题。解法一：相对于平面镜AB作出人眼S的像5。连 接Sa并延长交平面镜于点C,连接S 与 点C并延长交米尺片舄于点E,点E就是人眼看到的米尺刻度的最左端；连 接 并 延 长 交 米 尺4P2于 点F,且 与 平 面 镜 交 于D,连 接S与点D,则 点F就是人眼看到的米尺刻度的最右端。E与F之间的米尺刻度就是人眼可看到部分，如 图1 2-7所示。解法二：根据平面镜成像的对称性，作米尺4P2及屏助V的像，/分别是片p2及M N ,a、6的像分别为晨/，如 图1-2-8所示。
8、连接/，S a交48于 点C,延长并交片02于点、E,过点 作6 P2 (力的垂线,交于点反此点就是人眼看到的米尺刻度的最左端；连接助 交14于 点 延 长并交与鸟 于 点 尸，过点F 作 尸 班(A B)的垂线尸上交于点E点夕就是人眼看到的米尺刻度的最右端。跖部分就是人眼通过平面镜可看见的米尺部分。点评：平面镜成像的特点是物与像具有对称性。在涉及到平面镜的问题中,利用这一特点常能使问题得以简洁明晰的解决。高中物理竞赛 光学例 2、两个平面镜 之 间 的 夹 角 为 4 5、6 0、12 0 o 而物体总是放在平面镜的角等分线上。试分别求出像的个数。分析：由第一面镜生成的像，构成第二面镜的物，
9、这个物由第二面镜所成的(d)图 1-2-9像，又成为第一面镜的物，如此反复下去以至无穷。在特定条件下经过有限次循环，两镜所成像重合,像的数目不再增多，就有确定的像的个数。解:设两平面镜/和8的夹角为2，物产处在他们的角等分线上，如 图 2-9(a)所示。以两镜交线经过的。点为圆心，8 为半径作一辅助圆，所有像点都在此圆周上。由平面 镜/成 的 像 用 几 八表示，由平面镜8成的像用鸟，鸟表示。由图不难得出：几 0 3 在圆弧上的角位置为(2%+1)仇尸2，巴在圆弧上的角位置为2(2k-1)。其 中 4的取值为k=l,2,若经过4次反射，力成的像与8成的像重合,高中物理竞赛 光学则(2 4+1)
10、6 =2 一(2 左 一 1)。即k20712 6 =4 5 当 4时,k=4,有7 个像，如图1-2-9(a)所示；20=6 0 =当 3时，k=3,有 5个像，如图1-2-9 (b)所示；w -i z u=当 3时，k=1.5,不是整数，从图 1-2-10 (d)可直接看出，物产经镜A 成的像在镜8面上，经镜8成的像则在镜/面上，所以有两个像。例 3、要在一张照片上同时拍摄物体正面和图 1-2-11几个不同侧面的像，可以在物体的后面放两个直立的大平面镜和使物体和它对两个平面镜所成的像都摄入照像机，如图1-2 T 1所示。图中带箭头的圆圈。代表一个人的头部(其尺寸远小于冗的长度)，白色半圆代
11、表人的脸部，此人正面对着照相机的镜头；有斜线的半圆代表脑后的头发；箭头表示头顶上的帽子，图 1-2 T 1为俯视图，若两平面镜的夹角N A 0 B=7 2。，设人头的中心恰好位于角平分线 1上，且照相机到人的距离远大于到平面镜的距离。1、试在图1-2-11中标出P的所有像的方位示意图。高中物理竞赛 光学上得到的所有的像（分别用空白和斜线表示脸和头发，用箭头表示头顶上的帽子）。本题只要求画出示意图，但须力求准确。解：本题的答案如图1-2-13所示。例4、五角楼是光学仪器中常用的一种元件，如 图1-2 T 4所示。棱镜用玻璃制成，B C、切两平面高度抛光，A B、，两平面高度抛光后镀银。试证明：经
12、2灰面入射的光线，不管其方向如何，只要它能经历两次 反 射（在1 3与 龙 面 上），与之相应的由切面出射的光线，必与入射光线垂直。解：如 图1-2-1 5所示，以，表示入射角，i表示反射角，r表示折射角，次序则以下标注明。光线自透明表面的a点入射，在棱镜内反射两次，由 面 的（在 鹿 面 的6点；入射角为，2=八+2 2.5。：卜巴金图 1-2-1 49点出射。可以看得出,z2反射角为=f j +2 2.5在 四 边 形 姐）。中,高中物理竞赛 光学a=90-i2=90p-22.50=67.5-八0=360-2x112.5-a =135 （67.5-r j=67.5+八i3=90。一万=22
13、.5-八在.lc db中Ncdb=180（1+z：）-&+，）一 2（0+22.5）-2（22.5 一 外）=90图 1-2-15这就证明了：进入棱镜内的第一条光线ab总是与第三条光线ce互相垂直。由于棱镜的。角是直角，A=360-270-Ndec=90-Ndec=k设棱镜的折射率为，根据折射定律有sin/j=n sin rx sin r4=n sin i.F=，4,.G=%总是成立的，而与棱镜折射率的大小及入射角i 的大小无关。只要光路符合上面的要求，由灰面的法线与切面的法线垂直，又有匕=。，出射光线总是与入射光线垂直，或者说，光线经过这种棱镜，有恒点的偏转角90例6、横截面为矩形的玻璃棒被
14、弯成如图1-2T6所示的形状，/一束平行光垂直地射入平表面A上。试确定通过表面力进入的光d全部从表面6 射出的叱的最小值。已知玻璃的折射为1.5。皿 B分析：如图1-2-17所示，从力外侧入射的光线在外侧圆界 图厂2.16面上的入射角较从A内侧入射的光线入射角要大，最内侧的入射光在外侧圆界面高中物理竞赛 光学上的入射角a最小。如果最内侧光在界面上恰好发生全反射，并且反射光线又刚好与内侧圆相切，则其余的光都能保证不仅在外侧圆界面上，而且在后续过程中都能够发生全反射，并且不与内侧圆相交。因此，抓住最内侧光线进行分析，使其满足相应条件即可。解：当最内侧光的入射角a大于或等于反射临界角时，入射光线可全
15、部从8表面射出而没有光线从其他地方透出。即要求而sin n,Rsin a=-R+d_A_1所以 R+d nA_L即 d n-1-1-2故【d 人in 一1 1.5-1图 1-2-17点评 对全反射问题，掌握全反射产生的条件是基础，而具体分析临界条件即边界光线”的表现是解决此类问题的关键。例7.普通光纤是一种可传输光的圆柱形细丝，由具有圆形截面的纤芯A和包层6组成，6的折射率小于4的折射率，光纤的端面与圆柱体的轴垂直，由一端面射入的光在很长的光纤中传播时，在纤芯4和包层6的分界面上发生多次全反射。现在利用普通光纤测量流体厂的折射率。实验方法如下：让光纤的一端（出射端）浸在流体尸中。令与光纤轴平行
16、的单色平行光束经凸透镜折射后会聚在光纤入射端面的中心以 经端面折射图 1-2-18高中物理竞赛 光学进入光纤，在光纤中传播。由于点出发的光束为圆锥形，已知其边缘光线和轴的夹角为“。，如图1-2T8所示。最后光从另一端面出射进入流体用 在距出射端面处放置一垂直于光纤轴的毛玻璃屏在上出现一圆形光斑，测出其直径为4,然后移动光屏。至距光纤出射端面外 处，再测出圆形光斑的直径乙，如图1-2-19所示。(1)若已知力和8 的折射率分别为心与八 求被测流体厂的折射率g 的表达式。(2)若A、心和。均为未知量，如何通过进一步的实验以测出F的值？分析 光线在光纤中传播时，只有在纤芯/与包层8 的分界面上发生全
17、反射夹角为a 的光线，射至/、8 分界面的入射角为i,反射角也为i,该光线在光纤中多次反射时的入射角均为i,射至出射端面时的入射角为a。若该光线折射后的折射角为风 则由几何关系和折射定可得i+a=90 nA sin tz=nF sin 当 z.大于全反射临界角时将发生全反射，没有光能损失，相应的光线将以高中物理竞赛 光学不变的光强射向出射端面。而，i c的光线则因在发生反射时有部分光线通过折射进入8,反射光强随着反射次数的增大而越来越弱，以致在未到达出射端面之前就已经衰减为零了。因而能射向出射端面的光线的.的数值一定大于或等于仆 的值由下式决定：nA si n以=B r (N一 3巴 三 子
18、广 三 三4.与 C对应的a值为图 1-2-2 0ac=9 0。-ic%si n。6；一温时,由。发出的光束中，只有“4册 的 光 线 才 满 足 的 条件下，才能射向端面，此时出射端面处a的最大值为m a x=ac=9 0 -ic 若“o 4,即 入si n a。病 二 怖 时，则 由0发出的光线都能满足 电的条件，因而都能射向端面，此时出射端面处a的最大值为m ax =aQ 端面处入射角a最大时，折射角J也达最大值，设 为 夕 由 式 可 知F Sin Sm ax =厮%由、式可得，当他与时，_ nAs in a0 F S i n%由至式可得，当？外时,高中物理竞赛 光学n.cosic 加
19、 一 ；n,.=-=-s in%*s in 61 1 1 a x4g的数值可由图1-2-2 1 上的儿何关系求得为d 2 dSin/ax =k=,2加-4)/2 2+他-砧 2于是F 的表达式应为=nA sin aJ出；4)+(为-h,)2/”).%)(11)J(号3 +(y/=J ：一 :-(d)-(M2)2(12)(2)可将输出端介质改为空气，光源保持不变，按同样手续再做一次测量,可测得%、4、%,这里打撇的量与前面未打撇的量意义相同。已知空气的折射率等于1，故有当 occ时,1 =nA s in /4)/2 1+出 _的 2(4-4)/2(13)当%2%时1 =74-4-4)/2 1+出
20、一的2(匕-4)/2(14)将(1 1)(1 2)两式分别与(1 3)(1 4)相除，均得高中物理竞赛 光学 22 )+(4)Fdd4（乙-4）/2 1+（其一的2(15)此结果适用于 为任何值的情况。高中物理竞赛 光学 1.3 光的折射1.3.1、多层介质折射如图：多层介质折射率分别为%，%则由折射定律得：I s in il=n2 s in z2=&s in ik1.3.2、平面折射的视深在水中深度为力处有一发光点0，作 制垂直于水面,图 1-3-1求射出水面折射线的延长线与。交点2 的深度/?与入射角i的关系。4n=,设水相对于空气的折射率为 3,由折射定律得 nsini=smi令0M=x
21、,则x=d tgi=d tgi,tgi d j _(s in i)2a=d-；=-于是 tgi ncosi上式表明，由0发出的不同光线，折射后的延长线不再交于同一点，但对于那些接近法线方向的光线，i =0,则s in?”。，c o s i=l于是,da=n这时d 与入射角/无关，即折射线的延长线近似地交于同一点Q,其深度是原光点深度的7一。图 1-3-2高中物理竞赛 光学如 图 1-3-3 所示，助V反射率较低的一个表面，沟是背面镀层反射率很高的另一个表面,通常照镜子靠镀银层反射成像，在一定条件下能够看到四个反射像,其中一个亮度很底。若人离镜距离/,玻璃折射率n,玻璃厚度d，求两个像间的距离。
22、图 中 S为物点，S 是经助V 反射的像,若 51 况,S 3 依 次 表 示 脉 面 折 射,pQ面反射和，版面再折射成像，由视深公式得0,5,=nO,S,0 2 s 2 =。2|=。田+d ,。凡_。+0 2 s 2 _ d+nl+d 2d。自=-=-=1 +一nnno.s.-o,sr=故两像间距离为 1.3.3、棱镜的折射与色散入射光线经棱镜折射后改变了方向，出射光线与入射光线之间的夹角称为偏向角，由 图 1-3-4 的几何关系知d=(iA-z2)+(f-Z 2)=Z|+匕o c其中 s in/=/is in z2 s in i；=s in i；当%,a 很小时，/也，叫=h即6=(77
23、-7)a图 1-3 4图 1 3 5高中物理竞赛 光学厚度不计顶角a很小的三棱镜称之为光楔，对近轴光线而言，6与入射角大小无关，各成像光线经光楔后都偏折同样的角度6,所以作光楔折射成像光路图时可画成一使光线产生偏折角的薄平板，图13-5。设物点S离光楔L则像点S 在S的正上方。h=lo=(n-l)al 谆 6=什1)a o当棱镜中折射光线相对于顶角a对称成等腰三角形时，L=i,2=4。.ctsinz,=sin i.=n sin 1 1 23=2 arcsin(sin )a此式可用来测棱镜的折射率。图 1-3-7由于同一种介质对不同色光有不同的折射率，各种色光的偏折角不同，所以白光经过棱镜折射后
24、产生色散现象。虹和霓是太阳被大气中的小水滴折射和反射形成的色散现象。阳光在水滴上经两次折射和一次反射如图13-6。形成内紫外红的虹；阳光经小滴两次折射和两次反射如图1-3-7,形成内红外紫的霓。由于霓经过一次反射，因此光线较弱，不容易看到。高中物理竞赛 光学1.3.4、费马原理费马原理指出，光在指定的两点之间传播，实际的光程总是为最大或保持恒定，这里的光程是指光在某种均匀介质中通过的路程和该种媒质的折射率的乘积。费马原理是几何光学中的一个十分重要的基本原理，从费马原理可以推导出几何光学中的很多重要规律。例如光的直线传播、反射定律，折射定律，都可以从光程极小推出。如果反射面是一个旋转椭球面，而点
25、光源置于其一个焦点上，所有反射光线都经过另一个焦点，所有反射光线都经过另一个焦点，便是光程恒定的一个例子。止 匕 外，透镜对光线的折射作用，也是很典型的。一平凸透镜的折射率为，放置在空气中，透镜面孔的半径为凡在透镜外主光轴上取一点尸，F =（图 1-3-8）。当平行光沿主光轴入射时，为使所有光线均会聚于尸 点。试问：（1）透镜凸面应取什么形状？（2）透镜顶点/与（1）取。一盯坐标系如图，由光线8尸 和N M F，的等光程性，得nx+f/-x Y+y2=ylf，2+R2高中物理竞赛 光学整理后，得 到 任 一 点 y)的坐标x,y 应满足的方程为z/-22(n J f，2+R2-f(/I)X-7
26、 Jn-1 y2n2-17_ n 4 f，2+R2-f /-/、炉令 XA-/_ I ,a-“-2-_-,则上式成为(n2-l)(x-x0)2-y2-a1这是双曲线的方程，由旋转对称性，透镜的凸面应是旋转双曲面。(2)透镜顶点力的位置 应满足(“2 -1)(4-x0)2=a或者aXA=xo_ _ I 7-Vn2-1J尸+废n-可见,对于一定的和/，司由斤决定。(3)因点尸在透镜外，即4 广，这是对R的限制条件，有、尸+/一/，n-即要求讨论 在极限情形，即 R&后F时,有如下结果:XA-：-Jn-高中物理竞赛 光学即点A与点尸重合。又因a=0故透镜凸面的双曲线方程变为(n2-l)(x-D2-/
27、=0即 y=J2图 1-3-9双曲线退化成过点尸的两条直线，即这时透镜的凸面变成以V为顶点的圆锥面,如图1-3-9所示。考虑任意一条入射光线4 V,由折射定律有 sin=sin。,，由儿何关系sin6=cose=14 7 故.幻 nf sin 0t=.=1 q 兀即所有入射的平行光线折射后均沿圆锥面到达点尸，此时的角&就是全反射的临与WV平面成45的平行光束射到玻璃砖的半圆柱面上,图 1-3-10高中物理竞赛 光学经玻璃折射后，有部分光能从平面上射出。求能从 V平面射出的光束的宽度为多少？分析：如 图1-3-1 1所示。进入玻璃中的光线垂直半球面，沿半径方向直达球心，且入射角等于临界角，恰 好
28、 在。点发生全反射，光线左侧的光线经球面折射后，射 在W V上的入射角都大于临界角，在助V上发生全反射，不能从物V射出，光线右侧一直到与球面正好相切的光线范围上的光线经光球面折射后，在物V面上的入射角均小于临界角，都能从助V面上射出，它们在,加上的出射宽度即是所要求的。解：图1-3-1 1中,8 为沿半径方向入射的光线，在。点正好发生全反射，入射光线在。点与球面相切，此时入射角，=9 0。，折射角为r,则有s in z =n s i n r图 1-3-1 1s in r =-n 2=4 5 这表示在。点折射的光线将垂直助V射出，与M V相交于 点。助V面上您 即是出射光的宽度。OE=R s i
29、n r =-R2图 1-3-1 2讨 论 如 果 平 行 光 束 是 以4 5 角从空气射到半圆柱的平面表面上，如 图1-3 T 2所示，此时从半圆柱面上出射的光束范围是多大?/-s in Y 参 见 图1-3-1 3所示，由折身定律s in 4 5。=j 2 s in r,得 2 ,r =3 0,即所有折射光线与垂直线的夹角均为3 0。考虑在点发生折射的折射光线物，如高中物理竞赛 光学果此光线刚好在/点发生全反射，则有ns in Z.EA O=s in 9 0 ,而=痣，即有 N E A O =4 5 ,因图 1-3-1 3用与阳平行，所以N E A O =408=45。，所以9 =1 8
30、0。-4 5。-6 0。=7 5。，即射向A点左边M A区域的折射光（9 45。）则由小于临界角而能射出，随着小角的增大，当N R?O =45。时，将在。点再一次达到临界角而发生全反射，此时N F O C =15故知能够从半圆柱球面上出射的光束范围限制在A C区域上，对应的角度为7 5 9 165。点 评 正确作出光路图并抓住对边界光线的分析是解答问题的两个重要方向，要予以足够重视。例2、给定一厚度为d的平行平板，其折射率按下式变化(%)=一束光在。点由空气垂直入射平板，并在A点以角a出|0 .射（图1-3-14）0求A点的折射率n”并确定A点的位置及 图13-14平板厚度。（设o=L 2/=
31、13c z,a =3（r）。解：首先考虑光的路线（图1-3-15）0对于经过一系列不同折射率的平行平板的透射光，可以应用斯涅耳定律s i n /?2 ns i n /?3 n2更简单的形式是几 sin=n2 s i n瓦=n3 s i n/?3=高中物理竞赛 光学这个公式对任意薄层都是成立的。在我们的情形里，折射率只沿X轴变化,在平板内任一点有图 1-3-16q sin四=。，与 x 的关系已知，因此沿平板中的光束为sinA=1-nx rr-x图(1-3-16)表明光束的路径是-一 个半径为力”的圆，从而有现在我们已知道光的路径，就有可能找到问题的解答。按折射定律，当光在/点射出时，有sina
32、 sinaYl-=-*sin(90/A)c o s 0 A因 为nA s in =nOj故有于是sin a高中物理竞赛 光学在本题情形=1.3得出/点 的x坐标为x=lc m0光线的轨迹方程为y2+(1+x)2=代 入x=lc m,得到平板厚度为y=d=5c mA)-1例3、图1-3-17表示一个盛有折射率为的液体的槽，:兰-兰-三 二/三；-二-三槽的中部扣着一个对称屋脊形的薄壁透明罩D,8,顶角 至 三 为2 8,罩内为空气，整个罩子浸没在液体中，槽 底46的中点处有一个亮点G请求出：位于液面上方图标平面内的图 1-3-17眼睛从侧面观察可看到亮点的条件。解：本题可用图示平面内的光线进行分
33、析，并只讨论从右侧观察的情形。如 图1-3T8所示，由亮点发出的任一光线 将经过两次折射而从液面射出。由折射定律，按图上标记的各相关角度有 5-M msin a=sin，sin 卜=sin 6n图 1-3-18S 7t 12勿 万/2(/?+e)如果液内光线入射到液面上时发生全反射，就没有从液面射出的折射光线。高中物理竞赛 光学全反射临界角Y。应满足条件sin r=1/可见光线。经折射后能从液面射出从而可被观察到的条件为/九，则任何光线都不能射出液面。反之,只要九 九，这部分光线就能射出液面，从液面上方可以观察到亮点。由此极端情况即可求出本题要求的条件。自。点发出的a 值最大的光线是极靠近切的
34、光线，它被龙面折射后进入液体，由(6)式可知与之相应的；a=n!2.-(p“sin ym=cos(jpyJn2-cos2(p-cos/sin(p 1能观察到亮点的条件为高中物理竞赛 光学n sin ym 1即 cos夕J/-cos2 cp-cossin 1上式可写成cos(pyjn2-cos2(p 1 +cosQsine取平方cos2(p(n2-cos2(p)1 +2cos?sin(p4-cos2 夕(1 -cos2 cp)化简后得(n2-cos2(p)l+2cossin=cos2 夕+sin2 9+2cos8sin夕故(/J-l)cos2(p%,所 以 2/%1。同理，对蓝光有2/%时因为竹
35、2,所以荧光液体发出的光在容器内壁上不可能发生折射角为90的临界折射，因此当厂二厂。时，所看到的壁厚不可能为零了。当 时，应考虑的是图1-3-24中 切 这 样 一 种 临 界 情 况，其 中48光线的入射角为90,BC%线的折射角为。，此时应该有sin 90 _ nsin/n2在直角三角形初中有sin r,=OE/OB因为图1-3-23和 图1-3-24中的2角是相同的，所 以E=r ,即sin 90 _.将小 代入，可得当r/R /n2时，可看到容器壁厚度为零。上面的讨论，图卜3-23和 图1-3-24中6点 和C点的位置都是任意的，故所高中物理竞赛 光学得条件对眼的所有位置均能成立（本段
36、说明不可少）。例 6、有一放在空气中的玻璃棒，折 射 率 5,中心轴线长=4 5 口 力，一端是半径为R-10c m的凸球面。（1）要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜（使主光轴上无限远处物成像于主光轴上无限远处的望远系统），取中心轴为主光轴，玻璃棒另一端应磨成什么样的球面？玻璃棒的望远系统的视角放大率）。分析：首先我们知道对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处物点发出的入射光线为平行于主光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，然后我们再运用正弦定理、折射定律及的小角度近似计算，即可得出最后结果。解：（1）对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处
37、的物点发出的入射光为平行于主光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，如 图 1 3-2 5 所示，图中G 为左端球面的球心。由正弦定理、折射定律和小角度近似得A F 一 _ s i n r _ 1 1R i s i n（/；-八）-r,/八）n-1 即 ZK _i=_L与 一1 高中物理竞赛 光学光线尸鸟射至另一端面时，其折射光线为平行于主光轴的光线，由此可知该端面的球心G 一定在端面顶点8的左方，G 3等 于 球 面 的 半 径 如 图1-3-2 5所示。仿照上面对左端球面上折射的关系可得R?-1 又有 B F=L-A F i 由式并代入数值可得R2=
38、5。”即右端应为半径等于5面的向外凸面球面。（2）设从无限远处物点射入的平行光线用a、b表示，令a过G,6过儿如图卜3-2 6所示，则这两条光线经左端球面折射后的相交点团即为左端球面对此无限远物点成的像点。现在求 点的位置。在M G M中AM _ A _ Rsin（乃-6）sin（p、sin（e -=e-p代入式可有0+o(r=n0-对近轴光线来说，a、0、同样很小，所以有a=0=?=高中物理竞赛 光学代入式可得1 n n-I =-u v R当o o 时 的 y 是焦距 所以,R于=-7-nn-1（b）双介质球面折射成像如 图 1-4-6 所示，球形折射面两侧的介质折射率分别m和山，C是球心，
39、0是顶点，球面曲率半径为R,S是物点，S 是像点，对于近轴光线M =n2i2i=a+B,h=P-0,a吟,B吟,6=包V联立上式解得正，当球心C在入射光的一 侧（凹面朝向入射光）时为负。若引入焦点和焦距概念，则当入射光为平行于主轴的平行光（u=8）时，出射 光（或其反向延长线）的交点即为第二焦点，（也称像方焦点），此时像距即是第二焦距,2,有/当出射光为平行光时，入 射 光（或其延长线）2-1的交点即第一焦点（即物方焦点），这 时 物 距 即 为 第 一 焦 距,有f =*n2 n将2 代入成像公式改写成高中物理竞赛 光学A+A=1u u反射定律可以看成折射定律在2 =一时的物倒，因此，球面镜
40、的反射成像公式可以从球面镜折射成像公式中得到，由于反射光的行进方向逆转，像距U和球面半径R 的正负规定应与折射时相反，在上述公式中令 2 二 一%，_ _2V-V,RT-R,即可得到球面镜反射成像公式I十 5一 R,对于凹面镜R 0,对于凸面镜R 0时，屈折是会聚性的；6V0时，屈折是发散性的。”=0时,对应于r =8,即为平面折射。这时，沿轴平行光束经折射后仍是沿轴平行光束,不出现屈折现象。光焦度的单位是 米，或称 屈光度,将 其 数 值 乘 以1 0 0,就是通常所说的眼镜片的“度数”。(3)镀银透镜与面镜的等效有 一 薄 平 凸 透 镜，凸 面 曲 率 半 径庐3 0前，已知在近轴光线时
41、：若将此透镜的平面镀银，其作用等于一个焦距是3 0 M的凹面镜；若将此透镜的凸面镀银，其作用也等同于一个凹面镜，其其等效焦距。当透镜的平面镀银时，其作用等同于焦距 是3 0 M的凹面镜，即这时透镜等效面曲率半径为6 0”?的球面反射镜。由凹面镜的成像图 1-4-9性质，当物点置于等效曲率中心时任近轴光线经凸面折射，再经平面反射后将沿原路返回，再经凸面折射后，光线过 点，物像重合。如 图L 4-8所示。=1+与。依题意，“=，=二，故=1.5。I 6 0 3 0高中物理竞赛 光学凸面镀银，光 路 如 图1-4-9所示。关键寻找等效曲率中心，通过凸面上任一点A作一垂直于球面指向曲率中心。的光线。此
42、光线经平面折射后交至光轴于CB,令=则=/,i =2 厂=2，得 r =2 0 cm。R r nA由光的可逆性原理知，是等效凹面镜的 物曲率中心，f=lQ c m o例1、如 图1-4 T0所示，一个双凸薄透镜的两个球面的曲率半径均为r,透镜的折射率为n,考察由透镜后表面反射所形成的实像。试问 像物放于何处，可使反射像与物位于同一竖直平 v面 内（不考虑多重反射）。图1-4 T0解：从物点发出的光经透镜前表面（即左表面）反射后形成虚像，不合题意，无须考虑。从物点发出的光经透镜前表面折射后，再经透镜后表面反射折回，又经前表面折射共三次成像，最后是实像，符合题意。利用球面折射成像公式和球面反射成像
43、公式，结合物与像共面的要求。就可求解。球面反射的成像公式为：1 +1 =1,其中反射面的焦距为/=.（左为球u v f 2如 图1-4-1 1甲所示，当 物 点Q发出的光经透镜前表面折射后成像于图1-4-1 1甲Q,设 物 距 为U,像 距 为V,根据球面折射成像公式:高中物理竞赛 光学n.n2.1这里空气的折射率=1，透镜介质的折射率%=，入射光从顶点射向球心,取正值，所以有1 n n-1 =-u v r(1)这是第一次成像。对凸透镜的后表面来说，物点0经透镜前表面折射所成的风点。是它的物点，其物距=一口（是虚物），经透镜后表面反射后成像于Q：,像距为一匕（如图1-4-11乙所示），由球面反
44、射成像公式1112i 匕 A 将前面数据代入得1 1 2-1-=一v 匕 r（2）这是第二次成像。由透镜后表面反射成的像点又作为透镜前表面折射成像的物点。2,其物距=一匕（是虚物），再经过透镜前表面折射成像于必，像距为匕，高中物理竞赛 光学(见 图1-4 T1丙所示)，再由球面折射成像公式一+=(/2)6u v R这时人射光一侧折射率，折射光一侧折射率(是空气)，入射光由球心射向顶点,故R值取负值。所以可写出n 1 /、1-1=(1 n)u2 v2-r代入前面得到的关系可得一 4(3)/W r这是第三次成像，由(1)、(2)两式可解得 +ZL=3 n-l (4)u v,r再 把(4)式 和(3
45、)式相加，可得 1 一2(2-1)(5)u v2 r为使物点。与像点。;在同一竖直平面内，这就要求=一匕U 二-代 入(5)是可解得物距为 2-1说明 由本题可见，观察反射像，调整物距，使反射像与物同在同一竖直平面内，测出物距尸，根据上式就可利用已知的透镜折射率求出透镜球面的半径r,或反过来由己咋的球面半径r求出透镜的折射率n0例2、显微镜物镜组中常配有如图图 1-4-1 21-4 T2所示的透镜，它的表面是球面，左表面H 的球心为G,半径为招，右表高中物理竞赛 光学面$2的球心为。2,半径为氏2,透镜玻璃对于空气的折射率为n,两球心间的距离为 C1C2=-on在使用时，被观察的物位于G处，试
46、证明1、从物射向此透镜的光线，经透镜折射后，所有出射光线均相交于一点九2、QC2=nR2。解：首先考虑号面上的折射，由于物在球心处，全部入射光线无折射地通过加面，所以对$2来说，物点就在G处。再考虑到S 2面上的折射。设入射光线与主轴的夹角为0,入射点为P,入射角为i，折射角为八 折射线的延长线与主轴的交点为0如图1-4-1 3,则由折射定律知sin 0-n sin i=sinr所以 r=6设CP与主轴的夹角为a,则有a=0+i=r+i显然，。WO时，r a ,因此出射线与主轴相交之点Q必在透镜左方。0为AQGP的外角(p=Q-Z.QPCx=r-(r-i)=i在八。2尸中应用正弦定理，得高中物
47、理竞赛 光学。2 二 号sin r sin。QC,=&呀=，见sin/2的数值与。无关，由此可见，所有出射线的延长线都交于同一点，且此此透镜放在空气中时能使从无穷远处于椭球长轴的物点射来的全部入射光线（不限于傍轴光线）会聚于一个像点上,椭圆的偏心率为e0求此透镜材料的折射率n（要论证）；（2）如果将此透镜置于折射率为水 的介质中，并能达到上述的同样的要求，椭圆应满足什么条件？分 析：解此题的关键在于是正确地运用椭圆的几何性质及折射定律。解：（1）根据题设，所有平行于旋转椭球长轴的入射光线经旋转椭球面和球面两次折射后全部都能会聚于同一像点，可作出如下论证：如果经椭球面折射后射向球面的光线图 1-
48、4-15都射向球心C,即射向旋转椭球面的第二焦点入，则可满足题设要求。光路图如图1-4T5所示：必为入射线，/C为经椭球面折射后的折射线，翻 为4点处椭球面的法线，I.为入射角，r为折射角。根据椭圆的性质，法线可平分外，高中物理竞赛 光学故AK与 法 线 的 夹 角 也 是 人 由 正 弦 定 律 可 得F,A sinz F2 A sinz=n,=nFB sinr F2B sinr从而可求得n=-F-.-A-+-F=?-A=2a=1FA+F2B 2C e2a为 长 轴 的 长 度，2c为 焦 点 间 的 距 离；即 只 要 满 足 以 上 条 件，任 意 入 射 角 为/的 平 行 于 旋 转
49、 椭 球 长 轴 的 入 射 光 线 都 能 会 聚 于C(即尸2 )点。(2)如果透镜置于折射率为 的介质中，则要求sinz _ n _ 1sin r n e/_ n即 椭 圆 的 偏 心 率e应满足,-n由 于 椭圆 的e n就 无 解。只要 ，尸为实物，P 为虚像使所有光线都循原路沿相反方向进行，如 将（a）/反向为（b）图所示，则乙表示光线在未遇凸面镜之前是会聚的，尸。为虚物稣均为实物。1.5.3、组合透镜成像A B如果由焦距分别为力和力的46 两片薄透镜构 M,_成一个透镜组（共主轴）将一个点光源s 放在主轴上 一 距透镜u 处，在透镜另一侧距透镜/处成一像S（图 v T1-5-4）
50、所示。对这一成像结果，可以从以下两个不 图5-4同的角度来考虑。因为4 8都是薄透镜，所以互相靠拢地放在一起仍可看成一个薄透镜。设这个组合透镜的焦距是f,则应有1 1 1 I=Il V f 另一个考虑角度可认为s 是 S 经/、8两个透镜依次成像的结果。如 S 经力后成像号，设加位于右侧距为4处，应有1 1 1 I-=f 因为凡位于透镜B 右侧处，对 B 为一虚物，物距为4,再经B 成像,所以1 1 1-1-=-/|高中物理竞赛 光学由、可解得1 1 1-1 =u 八 比较、两式可知1111+=一+一 D 力72如果A、B中有凹透镜，只要取负的力或力代入即可。1.5.4、光学仪器的放大率实 像