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1、题型一：定比点差法2题型二：齐次化3题型三：极点极线问题4题型四：蝴蝶问题10题型一：定比点差法例1已知椭圆（）的离心率为，过右焦点且斜率为（）的直线与相交于，两点，若，求【解析】由，可设椭圆为（），设，由，所以，又由（1）-（3）得，又又例2已知，过点的直线交椭圆于，（可以重合），求取值范围【解析】设，由，所以由（1）-（3）得：，又，又，从而例3已知椭圆的左右焦点分别为，是椭圆上的三个动点，且，若，求的值【解析】设，由，得满足满足由由（1）-（3）得：，又，同理可得题型二：齐次化例4已知抛物线，过点的直线与抛物线交于P，Q两点，为坐标原点证明：【解析】直线由，得则由，得：，整理得：，即：所
2、以，则，即：例5如图，椭圆，经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点P，Q(均异于点，证明:直线AP与AQ的斜率之和为2【解析】设直线则由，得：则，故所以.即.例6已知椭圆，设直线不经过点且与相交于A，B两点若直线与直线的斜率的和为，证明：直线过定点【解析】设直线（1）由，得即：（2）由（1）（2）得：整理得：则，则，代入直线，得：显然，直线过定点题型三：极点极线问题例7已知椭圆M：（ab0）过A（2，0），B（0，1）两点（1）求椭圆M的离心率；（2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点【解析
3、】（1）因为点，都在椭圆上，所以，所以所以椭圆的离心率（2）由（1）知椭圆的方程为，由题意知：直线的方程为设（，），因为三点共线，所以有，所以所以所以因为三点共线，所以，即所以所以直线的方程为，即又因为点在椭圆上，所以所以直线的方程为所以直线过定点例8若双曲线与椭圆共顶点，且它们的离心率之积为（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C的左、右顶点分别为，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线与的斜率分别为，且试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由【解析】（1）由已知得双曲线的离心率为，又两曲线离心率之积为，所以椭圆的离心率为；由题意知，所以，所以椭圆的标准万程为（2）当直
4、线l的斜率为零时，由对称性可知：，不满足，故直线l的斜率不为零设直线l的方程为，由，得：，因为直线l与椭圆C交于P、Q两点，所以，整理得：，设、，则，因为，所以，整理得：，将，代入整理得：要使上式恒成立，只需，此时满足，因此，直线l恒过定点例9如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为.（1）求椭圆E的方程；（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由已知，点在椭圆E上.因此，解得.所以椭圆的方程为.（2）当直线与轴平行时，设直线与椭圆
5、相交于C、D两点.如果存在定点Q满足条件，则，即.所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为.当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于M、N两点.则，由，有，解得或.所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点的坐标只可能为.下面证明：对任意的直线，均有.当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立.当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，A、B的坐标分别为.联立得.其判别式，所以，.因此.易知，点B关于y轴对称的点的坐标为.又，所以，即三点共线.所以.故存在与P不同的定点，使得恒成立.变式1已知A、B分别为椭圆E：（a1）的左、右顶点，G为E的上顶点，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E
6、的另一交点为D（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程可得：，椭圆方程为：（2）证明：设，则直线的方程为：，即：联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：，解得：或将代入直线可得：所以点的坐标为.同理可得：点的坐标为当时，直线的方程为：，整理可得：整理得：所以直线过定点当时，直线：，直线过点故直线CD过定点变式2已知椭圆：的左焦点为，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知，分别为椭圆的左、右顶点，为直线上任意一点，直线，分别交椭圆于不同的两点，.求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.【解析】(1)椭圆的一个焦点，则另一个焦点为,由椭圆的定义知
7、:，代入计算得又,所以椭圆的标准方程为(2)设，则直线，与联立，解得同理所以直线的斜率为=所以直线所以直线恒过定点，且定点坐标为变式3设椭圆过点，且左焦点为（1）求椭圆的方程；（2）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，且满足，证明：点总在某定直线上【解析】（1）因为椭圆的左焦点为，所以，设椭圆方程为，又因为椭圆过点，所以，解得所以椭圆方程为：；（2）设直线的参数方程是，（为参数），代入椭圆方程，得：由，得，即，则，点轨迹的参数方程是，则，所以点在定直线上题型四：蝴蝶问题例10在平面直角坐标系中，已知圆，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，设点的轨迹为曲线。(1
8、)求曲线的方程；(2)若，设过点的直线与曲线分别交于点，其中，求证：直线必过轴上的一定点。(其坐标与无关)【解析】（1）在线段的垂直平分线上，由椭圆的定义知点的轨迹是以为焦点，6为长轴长的椭圆，曲线的方程为：。（2）点的坐标为直线方程为：，即，直线方程为：，即。分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：.当时，直线方程为：令，解得：。此时必过点；当时，直线方程为：，与轴交点为。所以直线必过轴上的一定点。例11已知椭圆的左右顶点分别为点，且，椭圆离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点，且斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上.【解析】（1）因为，椭圆离心率为，所
9、以，解得，.所以椭圆的方程是.（2）若直线的斜率不存在时，如图，因为椭圆的右焦点为，所以直线的方程是.所以点的坐标是，点的坐标是.所以直线的方程是，直线的方程是.所以直线，的交点的坐标是.所以点在直线上.若直线的斜率存在时，如图.设斜率为.所以直线的方程为.联立方程组消去，整理得.显然.不妨设，所以，.所以直线的方程是.令，得.直线的方程是.令，得.所以分子.所以点在直线上.例12已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为，点P为椭圆上一点（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2
10、，若k12k2，求直线l斜率的值【解析】(1)因为椭圆的离心率为，所以a2c.又因为a2b2c2，所以bc.所以椭圆的标准方程为1.又因为点P为椭圆上一点，所以1，解得c1.以椭圆的标准方程为1.(2)由椭圆的对称性可知直线l的斜率一定存在，设其方程为ykx1.设M(x1，y1)，N(x2，y2)联立方程组消去y可得(34k2)x28kx80.所以由根与系数关系可知x1x2，x1x2.因为k1，k2，且k12k2，所以.即.又因为M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆上，所以(4)，(4)将代入可得：，即3x1x210(x1x2)120.所以310120，即12k220k30.解得k或k，又
11、因为k1，所以k.变式4如图，为坐标原点，椭圆（）的焦距等于其长半轴长，为椭圆的上、下顶点，且（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于异于的两点，直线交于点求证：点的纵坐标为定值3【解析】（1）由题意可知：,，又，有，故椭圆的方程为：（2）由题意知直线的斜率存在，设其方程为，用的横坐标表示的纵坐标，再联立的方程和椭圆的方程，消去得，利用韦达定理化简的纵坐标后可得所求的定值.设（），联立直线方程和椭圆方程得，消去得，,，且有，又，由得，故，整理得到，故故点的纵坐标为3变式5已知点在椭圆：上，为坐标原点，直线：的斜率与直线的斜率乘积为（1）求椭圆的方程；（2）不经过点的直线：（且）与椭圆交于，
12、两点，关于原点的对称点为（与点不重合），直线，与轴分别交于两点，求证：.【解析】（）由题意，即又联立解得所以，椭圆的方程为：.（）设，由，得，所以，即，又因为，所以，解法一：要证明，可转化为证明直线，的斜率互为相反数，只需证明，即证明.，.解法二：要证明，可转化为证明直线，与轴交点、连线中点的纵坐标为，即垂直平分即可.直线与的方程分别为：，分别令，得，而，同解法一，可得，即垂直平分.所以，.变式6椭圆（）的左、右焦点分别为，在椭圆上，的周长为，面积的最大值为2.（1）求椭圆的方程；（2）直线（）与椭圆交于，连接，并延长交椭圆于，连接，探索与的斜率之比是否为定值并说明理由.【解析】，得，所以椭圆C的方程为：设，则直线AD：，代入C：得，因为，代入化简得，设，则，所以，直线，同理可得，所以，所以：17学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司