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1、 第六章统计4用样本估计总体的数字特征4.1样本的数字特征4.2分层随机抽样的均值与方差4.3百分位数课后篇巩固提升必备知识基础练1.(2021湖北黄冈高二期末)晓霞在学校的“经典诗词朗诵”大赛中,5位评委给她的分数分别是:93,93,95,96,92,则晓霞得分的中位数与平均数分别是()A.93;93B.93;93.8C.93.5;93.5D.94;93.8答案B2.某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4,9.4,9.4,9.6,9.7,则该射手成绩的方差是()A.0.127B.0.016C.0.08D.0.216解析x=15(9.4+9.4+9.4+9.6+9.7)=9.5,s2=1
2、5(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.6-9.5)2+(9.7-9.5)2=0.016.答案B3.某商场一天中售出某品牌运动鞋13双,其中各种尺码鞋的销量如下表所示,则这13双鞋的尺码组成的一组数据中,众数和中位数分别为()鞋的尺码/cm23.52424.52526销售量/双12253A.25 cm,25 cmB.24.5 cm,25 cmC.26 cm,25 cmD.25 cm,24.5 cm解析易知众数为25cm.因为共有13个数据,所以中位数应为第7个数据,而尺码为23.5cm到24.5cm的共有5个数据,且尺码为25cm的有5个数据,因此第7个数据一
3、定是25cm,即中位数为25cm.答案A4.一组数据中的每一个数据都减去80,得到一组新数据,若求得新数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是()A.81.2,4.4B.78.8,4.4C.81.2,84.4D.78.8,75.6解析原数据的平均数应为1.2+80=81.2,原数据的方差与新数据的方差相同,即为4.4.答案A5.(多选题)(2020山东高一期末)某校举行篮球比赛,两队长小明和小张在总共6场比赛中得分情况如下表场次123456小明得分30152333178小张得分22203110349则下列说法正确的是()A.小明得分的极差小于小张得分的极差B.小明得分
4、的中位数小于小张得分的中位数C.小明得分的平均数大于小张得分的平均数D.小明的成绩比小张的稳定解析A选项,小明得分的极差为33-8=25,小张得分的极差为34-9=25,故A错误.B选项,小明得分的中位数为17+232=20,小张得分的中位数为20+222=21,故B正确.C选项,小明得分的平均数为30+15+23+33+17+86=21,小张得分的平均数为22+20+31+10+34+96=21,故C错误.D选项,计算可得小明和小张平均分相等,但小明分数相对集中,更稳定,故D正确.答案BD6.某样本数据的频率分布直方图如图所示,则依据图形中的数据,可以估计总体的平均数与中位数分别是,.解析第
5、1组的频率为0.045=0.2,第2组的频率为0.15=0.5,则第3组的频率为1-0.2-0.5=0.3,估计总体平均数为7.50.2+12.50.5+17.50.3=13.由题意知,中位数在第2组内,设为10+x,则有0.1x+0.2=0.5,解得x=3,从而中位数是13.故答案为13,13.答案13137.(2020山东济南高一期末)数据18,26,27,28,30,32,34,40的75%分位数为.解析该组数据一共有8个,875%=6,故该数据的75%分位数第6,7个数的平均数,即32+342=33.答案338.若一组数据x1,x2,xn的方差为9,则数据3x1,3x2,3xn的方差为
6、,标准差为.解析数据3x1,3x2,3xn的方差为329=81,标准差为81=9.答案8199.某城区举行“奥运知识”演讲比赛,中学组根据初赛成绩在高一、高二年级中分别选出10名同学参加决赛,这些选手的决赛成绩如图所示.数字特征众数极差平均数方差高一年级a22b39.6高二年级cd85.727.8(1)求出表格中a,b,c,d的值;(2)考虑平均数与方差,你认为哪个年级的团体成绩更好些?解(1)高一年级的成绩为80,87,89,80,88,99,80,77,91,86;高二年级的成绩为85,97,85,87,85,88,77,87,78,88.由此可知高一年级成绩的众数是a=80,平均数b=8
7、5+110(-5+2+4-5+3+14-5-8+6+1)=85.7;高二年级成绩的众数是c=85,极差是d=20.(2)因为两个年级的得分的平均数相同,高二年级成绩的方差小,说明高二年级的成绩偏离平均数的程度小,所以高二年级的团体成绩更好些.10.某校在统计一班级50名学生的数学考试成绩时,将两名学生的成绩统计错了,一个将115分统计为95分,1个将65分统计为85分,若根据统计的数据得出平均分为90分,标准差为5分,则该50名学生实际成绩的平均分及标准差分别为多少?解设没统计错的数据为x1,x2,x48,统计错的两个成绩为x49=95,x50=85,实际成绩为x1,x2,x48,t49=11
8、5,t50=65,则150(x1+x2+x48+95+85)=90,所以150(x1+x2+x48)=90-185,所以x=150(x1+x2+x48+t49+t50)=150(x1+x2+x48)+150(115+65)=90-185+185=90.由s12=150(x1-90)2+(x48-90)2+(95-90)2+(85-90)2,s22=150(x1-90)2+(x48-90)2+(115-90)2+(65-90)2,得s22s12=150(252+252-52-52)=1501200=24,所以s22=s12+24=52+24=49,所以s2=7,即该50名学生实际成绩的平均分为9
9、0分,标准差为7分.关键能力提升练11.期中考试后,班长算出了全班40人数学成绩的平均分为M,如果把M当成一个同学的分数,与原来的40个分数一起,算出这41个分数的平均数为N,那么MN等于()A.4041B.1C.4140D.2解析平均数是用所有数据的和除以数据的总个数而得到的.设40位同学的成绩为xi(i=1,2,40),则M=x1+x2+x4040,N=x1+x2+x40+M41=M,故MN=1.答案B12.某人5次上班途中所花的时间(单位:分)分别为x,y,10,11,9,已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|的值为()A.1B.2C.3D.4解析依题意,得15(x+y+10
10、+11+9)=10,即x+y=20.又15(x-10)2+(y-10)2+0+(11-10)2+(9-10)2=2,所以(x-10)2+(y-10)2=8.由解得x=12,y=8或x=8,y=12,所以|x-y|=4.答案D13.(2021北京房山高一期末)根据气象学上的标准,连续5天的日平均气温低于10 即为入冬.现有甲、乙、丙、丁四地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数):甲地:5个数据的中位数为7,众数为6;乙地:5个数据的平均数为8,极差为3;丙地:5个数据的平均数为5,中位数为4;丁地:5个数据的平均数为6,方差小于3.则肯定进入冬季的地区是()A.甲地B.乙地C.丙地
11、D.丁地解析甲地:5个数据的中位数为7,众数为6,则这5个数据可能为6,6,7,10,11,即连续5天的日平均气温不是都低于10,所以甲地不一定入冬,故A错;乙地:5个数据的平均数为8,极差为3,则这5个数据可能为7,7,8,8,10,即连续5天的日平均气温不是都低于10,所以乙地不一定入冬,故B错;丙地:5个数据的平均数为5,中位数为4,则这5个数据可能为1,2,4,7,11,即连续5天的日平均气温不是都低于10,所以丙地不一定入冬,故C错;丁地:5个数据的平均数为6,方差小于3,如有数据大于等于10,则方差必大于等于(10-6)25=1653,不符合题意,因此丁地连续5天的日平均气温都低于
12、10,所以丁地一定入冬,故D正确.故选D.答案D14.某校年级组长为了解本校高三学生一模考试的数学成绩(单位:分),随机抽取30名学生的一模数学考试成绩,如下表所示:1101441256389121145123749697142115688311613912485981321471281339911710711396141估计该校高三学生一模数学成绩的25%分位数为,50%分位数为.解析把这30名学生的数学成绩按从小到大的顺序排列为63,68,74,83,85,89,96,96,97,98,99,107,110,113,115,116,117,121,123,124,125,128,132,1
13、33,139,141,142,144,145,147.因为25%30=7.5,所以这30名学生一模数学成绩的25%分位数为从小到大排列后第8名学生的成绩,即96;因为50%30=15,所以这30名学生一模数学成绩的50%分位数为从小到大排列后第15名同学和第16名同学成绩的平均数,即115+1162=115.5.答案96115.515.高三(1)班4名体育生的测试成绩分别为82,81,79,78,高三(2)班6名体育生的测试成绩分别为70,76,77,74,78,75,则这10名体育生的平均分与方差分别为、.解析由题意知x1=82+81+79+784=80,x2=16(70+76+77+74+
14、78+75)=75,这10名体育生的平均成绩为x=41080+61075=77.s12=14(82-80)2+(81-80)2+(79-80)2+(78-80)2=52,s22=16(70-75)2+(76-75)2+(77-75)2+(74-75)2+(78-75)2+(75-75)2=203,这10名体育生的方差为s2=1452+(80-77)2+16203+(75-77)2=38572.答案773857216.某城市在进行创建文明城市的活动中,为了解居民对“创文”的满意程度,组织居民给活动打分(分数为整数且满分为100分).从中随机抽取一个容量为120的样本,发现所有数据均在区间40,1
15、00内.现将这些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图如图所示,但不小心污损了部分图形.观察图形,回答下列问题:(1)算出第三组60,70)的频数,并补全频率分布直方图;(2)请根据频率分布直方图,估计样本的众数、中位数和平均数.(每组数据以区间的中点值为代表)解(1)因为各组的频率之和等于1,所以分数在60,70)内的频率为:f=1-10(0.005+0.015+0.030+0.025+0.010)=0.15,所以第三组60,70)的频数为1200.15=18(人).完整的频率分布直方图如图.(2)因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点,从图中可看出众数的估计值为75分.由题
16、得左边第一个矩形的面积为0.05,第二个矩形的面积为0.15,第三个矩形的面积为0.15,第四个矩形的面积为0.3,所以中位数在第四个矩形里面,设中位数为x,则0.05+0.15+0.15+(x-70)0.03=0.5,所以x=75.所以中位数为75.又根据频率分布直方图,样本的平均数的估计值为:45(100.005)+55(100.015)+65(100.015)+75(100.03)+85(100.025)+95(100.01)=73.5(分).所以样本的众数为75分,中位数为75分,平均数为73.5分.学科素养拔高练17.某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中不超过w立方米的部分按4
17、元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10 000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图.(1)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为多少?(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w=3时,估计该市居民该月的人均水费.解(1)由用水量的频率分布直方图知,该市居民该月用水量在区间0.5,1,(1,1.5,(1.5,2,(2,2.5,(2.5,3内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%,用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意,w至少定为3.(2)由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表如下组号12345678分组2,4(4,6(6,8(8,10(10,12(12,17(17,22(22,27频率0.10.150.20.250.150.050.050.05根据题意,该市居民该月的人均水费估计为40.1+60.15+80.2+100.25+120.15+170.05+220.05+270.05=10.5(元).