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1、 第七章概率2古典概型2.1古典概型的概率计算公式2.2古典概型的应用第1课时古典概型的概率计算公式及其应用课后篇巩固提升基础达标练1.从1,2,3,4,5中随机选取一个数为a,从1,2,3中随机选取一个数为b,则ba的概率是()A.45B.35C.25D.15解析随机选取的a,b组成实数对(a,b),有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共有15种样本点,其中ba的有(1,2),(1,3),(2,3),共3种样本点,所以ba的概率为315=15.答案
2、D2.从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为()A.15B.25C.825D.925解析从甲、乙等5名学生中选2人有10种方法,其中2人中包含甲的有4种方法,故所求的概率为410=25.答案B3.将一枚质地均匀的骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为b,c,则方程x2+bx+c=0有相等的实根的概率为()A.112B.19C.136D.118解析样本点总数为66=36,若方程有相等的实根,则b2-4c=0,满足这一条件的b,c的值只有两种:b=2,c=1;b=4,c=4,故所求概率为236=118.答案D4.(多选题)以下对各事件发生的概率判断正确的是()A.甲、乙两人玩剪刀、石头
3、、布的游戏,则玩一局甲不输的概率是13B.在不超过14的素数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为115C.将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数之和是6的概率是536D.从三件正品、一件次品中随机取出两件,则取出的产品全是正品的概率是12解析对于A,如图所示:由图可以看出,所有可能出现的结果共有9种,这些结果出现的可能性相等,P(甲获胜)=13,P(乙获胜)=13,故玩一局甲不输的概率是23,故A错误;对于B,不超过14的素数有2,3,5,7,11,13共6个,从这6个素数中任取2个,有(2,3),(2,5),(2,
4、7),(2,11),(2,13),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(5,7),(5,11),(5,13),(7,11),(7,13),(11,15),共有15种样本点,其中和等于14的只有(3,11)一组,所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为115,故B正确;对于C,基本事件总共有66=36种情况,其中点数之和是6的有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5种情况,则所求概率是536,故C正确;对于D,记三件正品为A1,A2,A3,一件次品为B,任取两件产品的所有可能为A1A2,A1A3,A1B,A2A3,A2B,A3B
5、,共6种,其中两件都是正品的有A1A2,A1A3,A2A3,共3种,则所求概率为P=36=12,故D正确.故选BCD.答案BCD5.20名高一学生、25名高二学生和30名高三学生在一起座谈,如果任意抽其中一名学生讲话,抽到高一学生的概率是,抽到高二学生的概率是,抽到高三学生的概率是.解析任意抽取一名学生是等可能事件,样本点总数为75,记事件A,B,C分别表示“抽到高一学生”“抽到高二学生”和“抽到高三学生”,则它们包含的样本点的个数分别为20,25和30.故P(A)=2075=415,P(B)=2575=13,P(C)=3075=25.答案41513256.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)
6、分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为.解析“从5根竹竿中一次随机抽取2根竹竿”的所有可能结果为(2.5,2.6),(2.5,2.7),(2.5,2.8),(2.5,2.9),(2.6,2.7),(2.6,2.8),(2.6,2.9),(2.7,2.8),(2.7,2.9),(2.8,2.9),共10个样本点,又“它们的长度恰好相差0.3m”包括(2.5,2.8),(2.6,2.9),共2个样本点,由古典概型的概率计算公式可得所求事件的概率为210=15.答案157.若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的
7、概率为.解析甲、乙、丙三人随机地站成一排有:(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,甲,丙),(乙,丙,甲),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共6种样本点,其中甲、乙相邻有:(甲,乙,丙),(乙,甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共4种样本点.所以甲、乙两人相邻而站的概率为46=23.答案238.(2019山东高一月考)第28届金鸡百花电影节将在福建省厦门市举办,近日首批影展片单揭晓,南方车站的聚会春江水暖第一次的离别春潮抵达之谜五部优秀作品将在电影节进行展映.若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位,则春潮与抵达之谜至少有一部被选中的概率为.解析从这五部作品中随机选择两部放在展映的
8、前两位的所有情况为(南方车站的聚会,春江水暖),(南方车站的聚会,第一次的离别),(南方车站的聚会,春潮),(南方车站的聚会,抵达之谜),(春江水暖,第一次的离别),(春江水暖,春潮),(春江水暖,抵达之谜),(第一次的离别,春潮),(第一次的离别,抵达之谜),(春潮,抵达之谜),共10种情况,其中春潮与抵达之谜至少有一部被选中的情况有7种,故所求概率为710.答案7109.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中
9、奖(所有的球除颜色外都相同).(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果;(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由.解(1)所有可能的摸出结果是(A1,a1),(A1,a2),(A1,b1),(A1,b2),(A2,a1),(A2,a2),(A2,b1),(A2,b2),(B,a1),(B,a2),(B,b1),(B,b2).(2)不正确.理由如下:由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为(A1,a1),(A1,a2),(A2,a1),(A2,a2),共4种,所以中奖的概率为412=13,不中奖的概率为1-1
10、3=2313.故这种说法不正确.10.为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养,促进高等教育教学改革,教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛,选拔出甲、乙、丙三支队伍参加决赛.(1)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率;(2)求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率.解根据题意可知其样本空间=(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,甲,丙),(乙,丙,甲),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共6个样本点.(1)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A,事件A包含的样本点有:(甲,乙,丙),(乙,甲,丙),共2个
11、,所以P(A)=26=13.所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为13.(2)设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件B,事件B包含的样本点有:(甲,乙,丙),(乙,甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共4个,所以P(B)=46=23.所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为23.能力提升练1.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲在心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b1,2,3,4,若|a-b|1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为()A.58B.18C.38D.14解析甲、乙所猜数字的情况有(1,1),(1,
12、2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16种情况,其中满足|a-b|1的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)共10种情况,故所求概率为1016=58.答案A2.若A=1,2,3,B=xR|x2-ax+b=0,aA,bA,则AB=B的概率是()A.29B.13C.89D.1解析随着a,b的取值变化,集合B有32=9种可能,如表,经过验证很容易知道其中有8种满足AB=B,所以概
13、率是89.故选C.Bab123113-52,3+5221,23答案C3.(多选题)一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是()A.任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是12B.每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数为16C.每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是12D.每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为16解析记4件产品分别为1,2,3,a,其中a表示次品.A选项,样本空间=(1,2),(1,3),(1,a),(2,3),(2,a),(3,a),“恰有一件次品”的样本点为(1,a),(2,a),(3,a),因此其概率P
14、=36=12,A正确;B选项,每次抽取1件,不放回抽取两次,样本空间=(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),共12种样本点,B错误;C选项,“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6,其概率为12,C正确;D选项,每次抽取1件,有放回抽取两次,样本空间=(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a),共16种样本点,D正确.故选ACD.答案ACD4
15、.(2020山西高三期末)天气预报说,今后三天每天下雨的概率相同,现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率,用骰子点数来产生随机数.依据每天下雨的概率,可规定投一次骰子出现1点和2点代表下雨;投三次骰子代表三天;产生的三个随机数作为一组.得到的10组随机数如下:613,265,114,236,561,435,443,251,154,353.则在此次随机模拟试验中,每天下雨的概率的近似值是,三天中有两天下雨的概率的近似值为.解析每个骰子有6个点数,出现1或2为下雨天,共有6种,则每天下雨的概率的近似值为13,10组数据中,114,251,表示3天中有2天下雨,所以从得到的10组随机数来看,3
16、天中有2天下雨的有2组,则3天中有2天下雨的概率近似值为210=15.答案13155.有6根细木棒,长度分别为1,2,3,4,5,6,从中任取3根首尾相接,能搭成三角形的概率是.解析从这6根细木棒中任取3根首尾相接,有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,2,6),(1,3,4),(1,3,5),(1,3,6),(1,4,5),(1,4,6),(1,5,6),(2,3,4),(2,3,5),(2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6),共20个样本点,能构成三角形的取法有(2,3,4),(2,4,
17、5),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6),共7个样本点,所以由古典概型概率公式可得所求概率为P=720.答案7206.小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计一个游戏,规则如下:将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上,背面朝上,洗匀后抽出一张,放回洗匀后再抽出一张,若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”),则小敏获胜,否则小慧获胜.你认为这个游戏对谁有利?请用列表的方法进行分析,并对构成的汉字进行说明.解这个游戏对小慧有利.每次游戏时,所有可能出现的结果如下:第二张卡片第一张卡片土口木土(土,土)(土,口)(土,木)口
18、(口,土)(口,口)(口,木)木(木,土)(木,口)(木,木)总共有9种结果,且每种结果出现的可能性相同,其中能组成上下结构的汉字的结果有4种:(土,土)“圭”,(口,口)“吕”,(木,口)“杏”或“呆”,(口,木)“呆”或“杏”.所以小敏获胜的概率为49,小慧获胜的概率为59.所以这个游戏对小慧有利.7.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:若xy3,则奖励玩具一个;若xy8,则奖励水杯一个;其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.
19、小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.解用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则样本空间与点集S=(x,y)|xN,yN,1x4,1y4一一对应.因为S中元素的个数是44=16,所以样本点总数n=16.(1)记“xy3”为事件A,则事件A包含的样本点共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所以P(A)=516,即小亮获得玩具的概率为516.(2)记“xy8”为事件B,“3xy516,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.8.(2020安徽高二期末)某校学生社团组织活动丰富,学生会为
20、了解同学对社团活动的满意程度,随机选取了100位同学进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照40,50),50,60),60,70),90,100分成6组,制成如图所示频率分布直方图.(1)求图中x的值;(2)求这组数据的中位数;(3)现从被调查的问卷满意度评分值在60,80)的学生中按分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈了解,再从这5人中随机抽取2人作主题发言,求抽取的2人恰在同一组的概率.解(1)由(0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x)10=1,解得x=0.020.(2)设中位数为m,则0.05+0.1+0.2+(m-70)0.03=0
21、.5,解得m=75.(3)可得满意度评分值在60,70)内有20人,抽得样本为2人,记为a1,a2,满意度评分值在70,80)内有30人,抽得样本为3人,记为b1,b2,b3,样本空间=(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共10个样本点,记“5人中随机抽取2人作主题发言,抽出的2人恰在同一组”为事件A,A包含的样本点个数为4,利用古典概型概率公式可知P(A)=0.4.素养培优练1.某网站推出了关于交通道路安全情况的调查,调查年龄在15,65)的人群,数据表明,交通道路安全
22、仍是百姓最为关心的热点,参与调查者中关注此类问题的约占80%.现从参与调查并关注交通道路安全的人群中随机选出100人,并将这100人按年龄分组:第1组15,25),第2组25,35),第3组35,45),第4组45,55),第5组55,65),得到的频率分布直方图如图所示.(1)求这100人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位);(2)现在要从第1,2组中用分层随机抽样的方法抽取5人,再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查,求第2组恰好抽到1人的概率.解(1)由10(0.010+0.015+a+0.030+0.010)=1,得a=0.035,平均数为2
23、00.1+300.15+400.35+500.3+600.1=41.5岁;设中位数为x,则100.010+100.015+(x-35)0.035=0.5,所以x42.1岁.(2)根据题意,第1,2组分的人数分别为1000.1=10人,1000.15=15人,按照分层随机抽样的方式抽取的人数分别为2人,3人.设第1组抽取的人员为a1,a2;第2组抽取的人员为b1,b2,b3.于是,在5人随机抽取两人的情况有:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共10个样本点.满足题意的有(
24、a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),共6个样本点.所以第2组恰好抽到1人的概率P=610=35.2.(2019重庆巴蜀中学高二月考)从某商场随机抽取了2 000件商品,按商品价格(元)进行统计,所得频率分布直方图如图所示.记价格在800,1 000),1 000,1 200),1 200,1 400对应的小矩形的面积分别为S1,S2,S3,且S1=3S2=6S3.(1)按分层随机抽样从价格在200,400),1 200,1 400的商品中共抽取6件,再从这6件中随机抽取2件作价格对比,求抽到的两件商品价格差超过800元的概率;(2)在清
25、明节期间,该商场制定了两种不同的促销方案:方案一:全场商品打八折;方案二:全场商品优惠如下表,如果你是消费者,你会选择哪种方案?为什么?(同一组中的数据用该组区间中点值作代表)商品价格200,400)400,600)600,800)800,1 000)1 000,1 200)1 200,1 400优惠(元)3050140160280320解(1)根据频率和为1的性质知0.00050200+0.00100200+0.00125200+S1+S2+S3=1,又S1=3S2=6S3,得到S1=0.30,S2=0.10,S3=0.05.价格在200,400)的频率为0.00050200=0.10,价格
26、在1200,1400的频率为S3=0.05.按分层随机抽样的方法从价格在200,400),1200,1400的商品中抽取6件,则在200,400)上抽取4件,记为a1,a2,a3,a4,在1200,1400上抽取2件,记为b1,b2.现从中抽出2件,所有可能情况为:a1a2,a1a3,a1a4,a1b1,a1b2,a2a3,a2a4,a2b1,a2b2,a3a4,a3b1,a3b2,a4b1,a4b2,b1b2,共计15个样本点,其中符合题意的有a1b1,a1b2,a2b1,a2b2,a3b1,a3b2,a4b1,a4b2共8个样本点,因此抽到的两件商品价格差超过800元的概率为P=815.(2)对于方案一,优惠的价钱的平均值为:(3000.10+5000.20+7000.25+9000.30+11000.10+13000.05)20%=150元;对于方案二,优惠的价钱的平均值为:300.10+500.20+1400.25+1600.30+2800.10+3200.05=140元.因为150140,所以选择方案一更好.