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1、2023年云南考研数学一试题及答案一、选择题:110小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是最符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.的斜渐近线为( )A. B. C. D.【答案】B.【解析】由已知,则,所以斜渐近线为.故选B.2.若的通解在上有界,则( ).A. B.C. D.【答案】D.【解析】微分方程的特征方程为.若,则通解为;若,则通解为;若,则通解为.由于在上有界,若,则中时通解无界,若,则中时通解无界,故.时,若,则,通解为,在上有界.时,若,则,通解为,在上无界.综上可得,.3.设函数由参数方程确定,则( ).A连续,不存在 B.
2、存在,在处不连续C.连续,不存在 D.存在,在处不连续【答案】C【解析】,故在连续.时,;时,;时,故在连续.,故不存在.故选C.4.设,且与收敛,绝对收敛是绝对收敛的( ).A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既非充分又非必要条件【答案】A.【解析】由已知条件可知为收敛的正项级数,进而绝对收敛.设绝对收敛,则由与比较判别法,得绝对收玫;设绝对收敛,则由与比较判别法,得绝对收敛.故选A.5.设均为阶矩阵,记矩阵的秩分别为,则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由矩阵的初等变换可得,故.,故.,故.综上,比较可得B正确.6.下列矩阵不能相似对角化的是( )A.
3、 B. C. D.【答案】D.【解析】由于A.中矩阵的特征值为,特征值互不相同,故可相似对角化.B.中矩阵为实对称矩阵,故可相似对角化.C.中矩阵的特征值为,且,故可相似对角化.D.中矩阵的特征值为,且,故不可相似对角化.选D.7.已知向量,若既可由线性表示,也可由线性表示,则( )A B. C. D.【答案】D.【解析】设,则,对关于的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形,解得,故.8.设服从参数为1的泊松分布,则( ).A. B. C. D.【答案】C.【解析】方法一 由已知可得,故,故选C.方法二 由于,于是,因此.由已知可得,故,故选C.9.设为来自总体的简单随机样本,为来自总体的简单
4、随机样本,且两样本相互独立,记,则( )A. B. C. D.【答案】D.【解析】由两样本相互独立可得与相互独立,且,因此,故选D.10.已知总体服从正态分布,其中为未知参数,为来自总体的简单随机样本,且为的无偏估计,则( ).A. B. C. D.【答案】A.【解析】由与,为来自总体的简单随机样本,相互独立,且,因而,令,所以的概率密度为,所以,又由为的无偏估计可得,即,解得,故选A.二、填空题:1116小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.11当时,与是等价无穷小,则 .【答案】【解析】由题意可知,于是,即,从而.12.曲面在处的切平面方程为_ .【答案】【解析】由于在
5、点处的法向量为,从而曲面在处的切平面方程为.13.设是周期为的周期函数,且,则 .【答案】【解析】由题意知,于是.14.设连续函数满足,则 .【答案】【解析】.15.已知向量,若,则 .【答案】【解析】,;,;,.故.16.设随机变量与相互独立,且则 .答案】【解析】.三、解答题:1722小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)设曲线经过点,该曲线上任意一点到轴的距离等于该点处的切线在轴上的截距.(1)求;(2)求函数在的最大值.【解】(1)曲线在点处的切线方程为,于是切线在轴上的截距为,由题意可知,即,此为一阶线性微分方程,根据通解公式可得,将代入上式
6、得,即.(2)由(1)知,于是,.令,解得唯一驻点,故.18.(本题满分12分)求函数的极值.【解】由已知可得,由解得驻点为.又,.在处,取,于是,从而在的领域内;取,于是,从而在的领域内,从而在点处不去极值;在处,于是,故不是极大值点在处,,于是,是极小值点,极小值.19.(本题满分12分)已知有界闭区域是由,所围的,为边界的外侧,计算曲面积分.【解】由高斯公式,有.由于关于坐标面对称,是关于的奇函数,因此,所以.20.(本题满分12分)设函数在上有二阶连续导数.(1)证明:若,存在,使得;(2)若在上存在极值,证明:存在,使得.【证明】(1)将在处展开为,其中介于与之间.分别令和,则,两式
7、相加可得,又函数在上有二阶连续导数,由介值定理知存在,使得,即.(2)设在处取得极值,则.将在处展开为,其中介于与之间.分别令和,则,两式相减可得,所以,即.21.(本题满分12分)设二次型,(1)求可逆变换,将化为.(2)是否存在正交矩阵,使得时,将化为.【解】(1) 由配方法得.令,则,即时,规范形为.令,则时,规范形为.故可得时化为,可逆变换,其中.(2)二次型的矩阵为.,所以的特征值为.二次型的矩阵为.,所以的特征值为.故合同但不相似,故不存在可逆矩阵使得.若存在正交矩阵,当时,即,即相似,矛盾,故不存在正交矩阵,使得时,化为.22.(本题满分12分)设二维随机变量的概率密度函数为(1)求和的协方差;(2)判断和是否相互独立;(3)求的概率密度函数.【解】(1)由题意可得,和的边缘概率密度分别为因此,其中,故.(2)由(1)可知,故和不相互独立.(3)设的分布函数为,概率密度为,则根据分布函数的定义有当时,;当时,;当时,.综上,故