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1、2023年高考数学第二次模拟考试卷数学.全解全析注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、单选题1.设集合 4=xwN|+eN,B =x e N|x 2-3 x-4 4 0,则 A B=()A.(0,1,2 B.0,1,3 C.1,2,3 D.1,2,4【答案】B【详解】由题知，A=x e N|击eN,B=x N|/-3 x-4 4 0
2、,在 A=(x e N|-CN中，x e N,-eN,解得 x=0,1,3,7,x+1 J x+1所以 A=0,1,3,7,B e N|x2 3x 4 o|i|,%2 3x 4/gb是 石 妍 的 充分不必要条2 6件，下列为真命题的是A.-。人 一4 B.p j q C.pvq D.P 7 fq【答案】C【详解】sina=a=+2krt,k&Z a =+Ik r t,上 e Z,a =2 不一定成立，2 6 6 6反之若a =，则s in j=：一定成立，6 6 2sin a =:是 a =的必要不充分条件2 6所以命题。是假命题，Iga Igb=a 0=4a /b,故充分性成立，反之，若&
3、韭,有可能6=0,此时Iga lg 不成立，所以命题q：ga lgb是8 4 b 的充分不必要条件为真命题,据此可得：-1PA是假命题，P人-4是假命题，Pvq是真命题，是假命题.故选C.5.若双曲线 一 =1（0,人0）的离心率为2,则其两条渐近线所成的锐角为（）a b兀 兀 九 2兀A.-B.-C.-D.34 6 3【答案】A【详解】因 为 双 曲 线=l的渐近线方程为=f x,而e=重亘=2,所以4=立，a2 b2 b a a b 3故两条渐近线中一条的倾斜角为F，一条的倾斜角为学，它们所成的锐角为g.6 6 3故选：A.6.在中，AB=5,A C =12,B C =i3,一只小蚂蚁从_
4、M C的内切圆的圆心处开始随机爬行,当蚂蚊（在三角形内部）与.ABC各边距离不低于1个单位时其行动是安全的，则这只小蚂蚁在ABC内任意行动时安全的概率是（）14 12A.-B.-C.-D.4923【答案】A【详解】至。的内切圆。与边BC,AC,A8分别切于点。,尸，连接OAO8,OC,QD,OE,OF,如图，&A C2+AB2=i69=CB2,即有NS4c=90,圆。半径r=A C+A B-B C2=2,即OD=OE=O尸=2,分别取OA,OB,OC的中点 连 A2,BC,AC,则 AB H AB,B C H BC,A C“A C,武 O 到 AB C 三边 AB,B C,A C 的距离分别等
5、于。尸，D，g 0 E，均 为1，显然VWBC:AABC.s i依题意，小蚂蚁在-A EC 内(不含边界)爬行是安全的，其概率为=七 8=0J ABC 4故选：A7.已知各项均为正数的数列 q 满足4=1,1，一般地由数学归纳法知当4 1 时，由a：=a：-1 得4“1(否2 勺+1则若为”4 1,则 暗：41,1,=：；-1,%1,4=1 是最小项.又=琛；-L a：-1,琛：-a：1，所以a e 时，y 0,y=，是减函数，所以“2 3 时，：是递减数列，因此伍，有上界，28时，“0,/(x)是增函数，经过计算，得8*129684，而f(8)a-0.11582 1时满足，*)=。的*满足1
6、 8口，即%88，从而4 6，而4，4，%，氏，4，%这 6 个数中一定有最大值，此最大值也是数列。“的最大项.故选：D.8.已知函数/(x)=x4l nx-a(x4-l)(aw/?),若在。B.a-C.a-D.a 248【答案】C【详解】分析：首先能够发现/(1)=0,下边需要考虑的就是0 x l时，上式可以转化为“上 空 恒成立，之后转化为最值来处理，在解题的过程中，需要反复求导，化简式子，研究对应函数的单调性，得至UOxl时，g(x)=空单调递增，之后应用极限的思想，利用洛必达法则求得结果.X-1详解：由题意知/=0 满足条件，当XX1时，/(力 2 0 在o x 4 1 恒成立可以转化
7、为 士号吧 在 0 x l时恒成立，X-1人/、x4 Inx mil,/、(4x3 1nx+/)，_)_4x3.x4nx x3(x4-41nx-l)令 g(x)=k 贝 U g =-N-=(P T ，令/!(%)=x4-4 1 n x-l,贝!.x x因为0 x l,所以(x)1)=0,从而得到g(x)0,即函数g(x)在(0,1)上单调递增，而Hm犁 土 =H m 41nx+l=J ,故。的取值范围是a z 1点睛：该题考查的是应用导数研究恒成立问题，在解题的过程中，需要构造新函数，将问题转化为求最值问题来解决，该题注意到/=0,也可以通过让函数 x)=x4lnx-a(x4-l)(a R)单
8、调递减，导数小于等于零恒成立，求出结果，再验证其他范围时不成立，从而得到最后的答案.二、多选题9.已知离散型随机变量X 服从二项分布8(,p),其中 eN*,0 p l,记 X 为奇数的概率为。，X为偶数的概率为6,则下列说法中正确的有()A.a+b=i B.=5 时，a=bC.0 p g 时、a 随着”的增大而增大 D.3 P 1 时，a 随着”的增大而减小【答案】ABC【详解】对于A 选项，由概率的基本性质可知，a+b=l,故 A 正确，对 于 B选项，由时，离散型随机变量X 服从二项分布则尸=(X i)=C 出。一；)(左=0,1,2,3,所以a=(j(C+C+C+)=(|X2”T=；,
9、所以。=，故 B正确,对于 C,D 选项，a=(1-P)+T-(1-P)-P =(T P)”,2 2当0 0 !时，”=1二(1一 20)”为正项且单调递增的数列,2 2故&随着的增大而增大故选项C 正确，当g p =BC+CA=8 C+-(8A-8C)=-8A +-B C,故 A 正确；33、3 32 2/2 1BO=BC+CO=BC+-CA=BC+-(BA-BC=-BA+-B C,3 3、)3 3贝 l BDBO=-B A +-B C-BA+-BC=-BA2 BC+-BA-BC【3 3 八 3 3 J 9 9 95 1 13=2+2+jx 3 x 3 x l=H,故 B 错误；如图，以点。
10、为原点建立平面直角坐标系，则 A(-l,0),8。2,0),因为点尸在以A。的中点。为圆心，为半径的半圆上,所以点P的轨迹方程为f +y 2=l,且在x 轴的下半部分,设 P(cosa,sina),ae兀,2兀,所以 BP-BC=cosa-sina+=3cos|a+6,2 4 2 4 I 3)因为aw 兀,2可，所以a+e y.y ,T T所以当。+耳=2兀时，BP-BC取得最大值9,故 C正确；因为 8P=xBA+yBC，所以sin a-2 6 .所以x+y=-sina9+1因为二目兀,2可，所以当。二三时,x+y 取得最大值口后+19故 D错误.1 1.下列结论中正确的是（）A.已知0 x
11、 cosyB.实数机，0,满足2m+/?=1,4+2的最小值为g,2C.tan2x+s的最小值为2忘-2tan-x+2D.已知x 0,y T,x+xy=,则x+y+1的最大值为2【答案】AB【详解】对 A,y=8 s x 余弦函数在（0,%）单调递减，因为0 x y cosy,A正确;对 B,因为2/n+=l,所以2加 +=122。2?,8当且仅当2加=2 =g 时等号成立，（2 7 +）2 =4/+2+4?=1,得 4/n2 4-n2=1 -4mn ,B 正确；2对.C,tan k H-=tan-x+2H-2N 2tan x+2）（-|-2=22-2,tarrx+2 tan-x+2 丫 ，（
12、tairx+2j当且仅当tan2x+2=tan2x=&-2 等号成立，因为0-2 0,y+l 0,x+y+1 2 2 jx（y+l）=2“y+x=2,当旦仅当x=（y+l）n x =l,y=O时等号成立，故x+y+1的最小值为2,D错误.故选：AB.1 2.如图，在正方体ABC。-A B C 0 中，E 为棱。R 上的一个动点，尸为棱4 G上的一个动点，则直线4 A与平面EFB所成的角可能是()1/A.兀-3c兀2-A以。为坐标原点，DA,D C,。所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,如图所示，设 A=1,D E =m ,C1F=n,其中?，e0,l,则A(LO,O),A。，。/)
13、，B(LLO)，E(0,0,/n),A4,=(0,0,1),BE=(-l,-l,w),5尸=(”1,0,1),设平面E F B的法向量为 =(x,y,z),则，-x-y+mz=0(H-1)X+Z=0 BE n=0,即BF n=0取x=-l,则”=+.设直线AA与平面EFB所成的角为asi necos(AA,“卜Jl+/n(n-l)+l+(n-l)2sin 0=当 =1 时，sin=0,当时，/2 2m 2 1，I-1-r m-t-1(I-/l-该式随着机的增大而增大，随着的增大而减小，当母=0,加=1时，sin。取得最大值 也，所以2sin 6 w 0,综 匕 sin。的取值范围是0,所 以
14、公 吟,故 CD错误故选：AB.三、填空题13.己知点A（-l）,8（l,2）,C（2,-l）,O（3,4）,Q）方向上的单位向量为e,则向量A8在CO上的投影向量为.【答案】述e2【详解】由已知得AB=（2,1）,C=（5,5）,AB CD 15 372故AB在C。上.的投影向量为一|e=e=w-e.故答案为：3 2 e214.为了监控某种食品的生产包装过程，检 验 员 每 天 从 生 产 线 上 随 机 抽 取 包 食 品，并测量其 质 量（单位：g）.根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布N J,）.假设生产状态正常，记4 表示每天抽取的火包食品中其质量在（4-
15、3G +3B）之外的包数，若绑1数学期望风,0.0 2,则%的最小值为.附：若随机变量X服从正态分布N 3 b 2）,则 P（-3 b X 4+3 b）“0.9973.【答案】8 详解】质量在（_3b,+3b）之外的概率为l_ P（_ 3 b X 0.02,则人又kwN”,故最小k=8.故答案为：81 5.已知 f(x)是 R 上的偶函数，满足/(x)+2/(x)=(3x+l)e-(x+l)eT,且/(x+a)l 时，/(x)0显然成立，当 00,g(x)即 f(x)单调递增，f(x)f(0)=0,e所以x 0时，r(x)0,/(%)为增函数,又以X)为偶函数,f(x+a)=f(x+a)f_
16、3 3f(x+a)/(x2+1)x+a x2+1=-x2-x-l v a v Y-x +l 恒成立.故 a 的前”项和为【答案】卫；【详解】由题意可知，因为正项数列 q ,所以4 0,当=1 时，飙 =4，解得4=1 或q=o (舍)，石+今+2,2 n n当2时，+T-卜 一%-，由-，得 亚=，解得或4=0 (舍)，n当 =1 时，此式也满足 ,故正项数列 4 的通项公式为勺=*,设 数 列/2：的 前 项 和 为 则故答案为：-n+四、解答题1 7.锐角三角形A8C中，角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且-&一 =tan 8+tan C.c-cos B(1)求角c 的值；若c=2
17、 6,。为 AB的中点，求中线C)的范围.【答案】(1)C=(2)CDe(V7,3j【详解】(1)由一=tan B+tan C ccosBV3sin A _ sin B sin C _ sin B cosC+cosB-sin C _ sin(B+C)_ sin Asin C-cos B cosB cosC cos B-cos C cos B-cos C cos B-cos Csin C=G eosC,C (0,)，tan C=A/3,C=y .U U O 2 1 /U ir uir、2C D=-C4+CB,C D2=2、/4 f 4V由余弦定理有：c2=a2+b2-ab 9 2=a2+b2-a
18、b 9所以C2=；(/+b 2 +a6),c2=；(12+2“b)=3+g“b,a h2y/3由正弦定 理 急=嘉=素sinA-sinB 一3一 2厂 rf 2 1 人 Q Q 人 R Q Q 日 2万 八CD=3+t/?=3+8sin Asin B=3+8sm A sm-A,21 3)c 0 A(27r.2/r.=3+8sin A sin cos A-cos sin AI 3 3 J=4sinA,6=4sin3,=3+8sincosA+-si nA27=3+4/3sin Acos A+4si n2 A=3+2 sin2/1+2（1-cos2A）=5+4i sin 2A-cos2A=5+4si
19、 n12A-工)I 2 2 J I 6；CD2=5+4si n”A-J 因 为 为 锐 角 三 角 形，所以0 ,则 看 2 A.l,且。3+的+。5=28,出+2 是。3,。5的等差中项.数列 加 满足历二1,数列 (tm+i-bn)的前项和为2层+.(工)求 q 的值；(I I)求数列 为?的通项公式.【答案】(工)4=2；(U)2 =15-(4+3)弓 广【详解】详解：(I)由，+2是%，%的 等 差 中 项 得%+为=24+4,所以4 +。4 +%=34+4=28,解得4 =8.由 2 +as=20 得 q H ）=20）因为41,所以 7=2.（H）设 c.=（%）%,数列 c,前项
20、和为 S”.f 5,n=1,由4=2,b 一 b、=（，-%）+（%-3）+他 一 团+他 一 4）=（4-5）|n-2+（4-9）（）+7.g+3.设 7 3 +7 1 +1 1|1+（4 5（万），2 2,+（）丁+（叱5）,所 以:7；=3+4、+4 3）+4.（；）2_（4 _5）（g）,因 止 匕 7；=14（4 +3）（；）,2,乂=1,所以4=15 （4 +3（；）.19.2016年 9 月 15中秋节（农历八月十五）到来之际，某月饼销售企业进行了一项网上调查，得到如下数据:男女合计喜欢吃月饼人数（单位：万人）504090不喜欢吃月饼人数（单位：万人）302050合计806014
21、0为了进一步了解中秋节期间月饼的消费量，对参与调查的喜欢吃月饼的网友中秋节期间消费月饼的数量进行了抽样调查，得到如下数据:已知该月饼厂所在销售范围内有3 0万人，并且该厂每年的销售份额约占市场总量的35%.(1)若忽略不喜欢月饼者的消费量，请根据上述数据估计：该月饼厂恰好生产多少吨月饼恰好能满足市场需求？(2)若月饼消费量不低于2 5 00克者视为“月饼超级爱好者，若按照分层抽样的方法抽取1 0人进行座谈，再从这1 0人中随机抽取3人颁发奖品，用4表示抽取的“月饼超级爱好者”的人数，求的分布列与期望值.【答案】(1)128.25(吨)(2)详见解析【详解】解：(1)根据所给频率分布直方图可知，
22、第三组数据和第四组数据的频率相同，都是：1-50 0(0.0()0 1+0.0002+0.0003+0.0004)-U.23,则人均消费月饼的数量为：750 x 0.0002 x 5004-1250 x0.0004x500+1750 x 0.25+2250 x 0.25+2750 x 0.0003 x 500+3250 x 0.0001x500=1900(克)，喜欢吃月饼的人数所占比例为：鬻=，根据市场占有份额，恰好满足月饼销售，该厂生产的月饼数量为：O1900 X 300000 X X 0.35=128250000(克)=128.25(吨).(2)由条件可知，月饼超级爱好者所占比例为0.2,
23、故按照分层抽样抽取的1 0人中，月饼超级爱好者”共2人.则J的可能取值为0,1,2,且2&=0)=4=2,尸e=1)=卑=,尸(4=2)=卑=!，,d 15 15 C1 15则孑的分布列为012P7157151 的期望值为:E,点”在线段尸。上，且 P H =2 H D,求二面角，一/G C的余弦值.【答案】（1）详见 解 析（2）一显3【详解】（1）证明：因为AE BC,所以A A E F s C B F ,因为E为AO中点，所以CF=2Ab,连接CG并延长，交P D 于M ,连接AM,因为G为APCZ）的重心，所以 为PO的中点，且CG=2GM,所以FG A M,因为4 M u平面E4O,
24、FG(0,3,0),尸(0,0,3),*1,1,0),因为 P H =2 H D，所以 H(0,2,l),因为G为APC。的重心，所以G（l,2,l）设平面尸GC 的法向量勺=（百,另当），FC=（2,2,0）,FG=（0,1,1）,则n,FC=0n,FG=Q2x+2y=0y+z=0,所以取无=1,则 y=i,z=i,所以 4=(1,1,1).设平面 F G 的法向量均=（X 2，%，Z2），FH=（-1,1,1）,所以-x+y+z=0y+z=0贝 iJx=0,取 y=l,贝 Uz=-1,所以巧=（0,1,T）.所以 COS%,%=/2t-n2 限同国3由图可知，该二面角为钝角，所以二面角”-
25、R-C 的余弦值为一手.2 2 921.己知椭圆c：+=i g b o）与双曲线E:-y 2=l 的离心率互为倒数，椭圆c 的上顶点为M,右顶点为N,O 为坐标原点，MON的面积为1.求椭圆C 的标准方程;若直线/与曲线/+丁=从 相切，与椭圆C 交于A,8 两点，求|AB|的取值范围.丫2【答案】（1）二+丁=14(2)(0,2【详解】(1)设椭圆C 的半焦距为c(c0).因为双曲线召:亡-犬=1的离心率为京，所以椭圆C 的离心率为 巫，即 =且 .3-V3 2 a 2因为/k MON的面积为1,所 以;他=1.结合、与/=。2+。2,解得。=2,b=,所以楠圆C的标准方程为三+r =1.4
26、-(2)由(1)知，曲线。：尤 2 +9 =1 为圆.当与圆。相切的直线/斜率不存在时，直线/:x=l,x=l由“f解得 y=#,则|A=6.当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为丫 =+机，A(x,yJ,5(%,%)，X2 2由 Z +=消去 y 并整理得(4K+l)x2+8hwc+4m2-4=0,y=kx+m,A=64攵 262 _4(4公+-4)0,Bp4k2-m2+1 0,-Sian 4/一 4X +工 2 =7，X iX =z-4k2+1 1-4k2+1又因为直线/与圆。：/+丁=1相切,所以-7*=1y/k2+即/=+i,显然女工0,则 a-x j=a+x j-4 x、=)-4XT
27、?=64 k2-1 6m2+16g l)2于是得I孙衍人-止s 好用.令4F+l=t l),则|4B|=L x而，1,即01 1,因此0网42.综上所述，|明的取值范围为(0,2.2 2.已知函数/)=奴-(a+l)l n%(aeR)，/既存在极大值，又存在极小值.求实数”的取值范围；当0。，求实数的取值范围.【答案】(1)。0目/工1(7 0,.【详解】(D尸(才)=,+二_5=浸 一 +1 =(所1)(1),了0,7 X X X X当 a W 0 时，ax-10,/(X)单调递增，当兀(1,y)，r(x)0,7*)单调递减,，所 以 只 有 极 大 值/(1),不合题意，当a0时，若0，l
28、时，a当xe(),|u(l,+)时，/(x)单调递增，当x w j时，f (x)1时，即0 a 01 f(x)单调递增，当xe(l,|时，尸(力0 FLaHl,(2)g(x)=/(ex)=aer-e-x-(a+l)x,/(ev)=aeA+e-A-(a+l)=0,所以 e T（e T）（ae，-l）=0,由 e*-1 =0,得 x=0,E ll aex-1=0 得 x=-Ina,因为 Ovavl,当 x v O 和 时，g(x)0，此时 g(x)在(e,0),(Tna,+x)单调递增，当Ov x v-l na时,g(x)0,对任意0al恒成立,由 此 时,g(X2)g(X)。，所以0,所以(a+
29、l)ln“左1),B|J nala-1设(工)=1 2_ 1x-1k J x+,XG(O,1),(x+l)2-2x-f 1-助 X+1)?x(x+l)22 2 X-+X+1kx(x+l)2k)a+112令9+2+1=0,则A=，4,k k 当&W1时，A0,所以“(x)NO,(功在(0,1)上单调递增,所以/?(x)l nl 1k八 十 10,即 Ina 1工 岩 符 合 题意,当一 1%0,2设/+:+1=0的两个根为，X&且,0，=L所以0 3 1 匕,则当3 X1时，h(x)0,/?(x)在(玉，1)上单调递减,所以当天。l nl-11-1k 1+10,即1n2H舄 不 合 T综上所述，%的取值范围是（Y O,.