向量线性运算及四心综合归类-巅峰课堂】2023年高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）.pdf

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1、专题5-2向量线性运算及四心综合归类目录一、热点题型归纳【题型一】基底就是坐标轴.1【题型二】基底拆分：绕三角形.4【题型三】基底拆分：待定系数型.4【题型四】基底拆分：均值不等式求最值型.6【题型五】基底拆分：求最值型.8【题型六】三角换元型.10【题型七】等和线型.12【题型八】极化恒等式.15【题型九】奔驰定理.16【题型十】四心与向量1：重心.18【题型H-四心与向量2：外心.19【题型十二】四心与向量3：内心.21【题型十三】四心与向量4：垂心.22【题型十四】向量点落在区域内.24【题型十五】向量超难压轴小题.26二、真题再现.错误!未定义书签。三、模拟检测.错误!未定义书签。【题

2、型一】基底就是坐标轴【典例分析】_ _.（2022广东深圳高三阶段练习）在AABC中，。为边8 C 的延长线上一点，且 而=3而，记 而=2 蔗=5，则 而=（）,-4-1-2 rA.C L b B.ci b3 3 3 34 Ip 2 1 rC.a b D.a+b3 3 3 3【答案】A【分析】根据题意，利用的向量的线性运算可得AO=AB+即=4B+BC=AB+（AC-A8）,即可得解.【详解】.4 4/-1 4 1 -4 方法一：基础拆解法：A D =AB +B D =AB +-B C =AB +-（A C-AB =-AB +-A C =-a+-h,3 3、3 3 3 3故选：A.方法二：坐

3、标轴法，由题意可得如图，显然再第二象限，所以系数是（-,+）且y方向分向量的模大于1,故选S【提分秘籍】基本规律在平面向量的线性运算中，如 图 而=x6X+y而，x,y的范围可仿照直角坐标系得出，0 A.丽类比于x,y轴，直角坐标系中有四个象限，类 比 在（0,训,而）中也有四个象限，如 第I象限有第D象限有第DI象限有；及，第W象 限 有 也 可 类 比 得 出 其 中 的 直 线 方 程，二元一次不等式组表示的平面区域等等.在平面内，有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系，同样地，在平面内有公共原点且不垂直的两条数轴构成的坐标系，我们称之为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，两条坐

4、标轴的公共原点称为斜坐标系的原点，其坐标记为（0,0）,点？是斜坐标系xOy中的任意一点，与直角坐标系相类似，过点尸分别作两坐标轴的平行线，与X轴、y轴交于点、N,若M、N在X轴、轴上分别对应实数。、b,则有序数对（/与叫做点P在斜坐标系xQy中的坐标，记为2。力）.若点A（和）、8区，出）是斜坐标系M X（4你=。）中任意两点.【变式演练】_ 1 _.1 1.（2022 广 东 高三开学考试）在平行四边形A B C D中，点E、尸分别满足D E -E C ,B F =-F D ,A B =a,A D =b，则 乔=（）A.5 c-i 3br B.11 a-5b r C八 13a-3by D.

5、19a-5 br12 4 12 4 12 4 12 4【答案】A【分析】结合向量加法法则与减法法则运算求解即可.【详解】解：基础解法因为在平行四边形ABC。中，点E、F分别满足。2=g比，B F =F D,所 以 而=而 _ 荏=（丽+而;）_（而+函，呼=;丽=；（而-碉=：0-）,所以6尸=2+和 一 矶 一,+：）=?一予方法二：坐标轴法.ED如图，建立坐标系。则 方=丽=4 不,显然处于第四象限，坐 标 是（+,），分向量的模都小于1,并且 X分向量的模小于1/2,故答案是Auiiiu uuu ciiiti m2.（2022广东广州市真光中学局三开学考试）如图，在AABC中，B D =

6、2DC,A D =m A B +n A C，则一=n（）A.-B.-C.D.22 3 3 答案A【分析】根据平面向量基本定理，平面向量的线性运算即可求解.【详解】解：方法一：基础解法.,在AABC中，B D =2 D C,则而 一 通=2（/-而）.而=：而+|而，又 明=m A B +n A C，1 2 m 1 ,3/%=一,n=,一=,故达：A.3 3 2方法二：坐标轴法如图，作坐标轴平行线，可得E 为三等分点（近 C）,F 为三等分点（近 A）,故 m 为 1/3,n 为 2/3,所以答案为 A【题型二】基底拆分：绕三角形【典例分析】（2022.全国高三专题练习）如图，在平行四边形ABC

7、。中，对角线4 c 与 8。交于点。，且 由=2荏，则E B=（）1一 5 一 1一 5 一 5 1一 5 1.A.-A B A D B.-A B +-A D C.-A B A D D.-A B +-A D6 6 6 6 6 6 6 6【答案】C【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】方法一:因 为 的=2荏，所 以 荏=国=萍 以 而+而）,所 以 丽=福 _ 荏=丽 _、（而+砌=而而.。故选：C.方法二：绕三角形法【提分秘籍】基本规律一部分基础不太好的同学，对于利用基底基础定理求解推导掌握的不是太顺利，可以把这个简化为 绕三角形”：标记出基底（共起点），然后把要求的向量按照三角

8、形法则来推导。三角形法则T共 线（拉长或者缩短）T三角形法则T共 线（拉长或者缩短）。周期反复，一直到推导为基底。【变式演练】1.（2 0 2 2 全国高三专题练习）如图，n A B C D V,福=，AD=b,点E是AC 的三等分点（EC =；A C）,贝 3=（）1-2厂 c 2-l 2 r c2rl 5A.-a b B.a b C.a+-b D.a+-b3 3 3 3 3 3 3 3 答案B【4加】根据向量的加法法则和减法法则进行运算即可.【详解】D E =A E-A D =-A C-A D =-（AB +A D）-A b =-a一 一h3 3 3 3故选：B.2.（2 0 2 3 全国

9、高三专题练习）在平行四边形A B C D中，醺=彳AB，C F=彳 丽，G 为所的中点，则 砺=（）3 3A.-A D-A B B.-A B-A D2 2 2 23 一 1 .3 -1 -C.-A D AB D.-A B A D4 2 4 2【答案】B【台析】根据题意和平面向量的线性运算即可得出结果.详解D G =D E +D F =（DA+AE+D C=-A D +-A B +A B =A B-A D.故选：B.3.在4/8 C中，G为A 4 8 c 的重心，M为A C上一点，且 满 足 流=3 前，贝（J （）k 1.1 1*,.*1 1 ,i A.G M =-3A B+AC B.G M

10、=-A B -A C12 3 12-1 -7-1-*1 -*7 -4C.G M =-AB-V AC D.G M =-AB -AC3 12 3 12山东省滨州市2 0 19 届高三第二次 模 拟（5 月）考试数学（理）试题【答案】B【分析】根据三角形重心的性质，结合向量的加法和减法即可判断结论。【详解】由题意，画出几何图形如下图所示:根据向量加法运算可得的=GA+A M因为G 为Z A BC的重心，M满 足 砒=3 彳而所 以 布=|x：（屈+屈+前A M =AC所以G M =-AB+：4 C）+=AB-24c所以选 B3 4【题型三】套底拆分：待定系数型【典例分析】一?_ _ _ _（2 0

11、2 2 全国高三专题练习）在梯形A 8 C D 中，A B/CD 且?!B=4 Cr）,点尸在边B C AP =-A B +A A D ,则实数4=（）【答案】A【分析】延长AD、CB交于点E,根据三点共线的推论得 到 丽=：南+,正，再根据梯形上下底的比例关系，即可得到AE=1A。，代入即可得解；【详解】解：延长A。、C B 交于点E，则 8、P、E 三点共线，于是可 得 而=（而+亚，因为钻8且 相=48,所 以 而=&而，.2 3 4 -2 一 4 4所以 AP=-A 8 +-x 4Q=AB+A O,故；1 =一；5 5 3 5 5 5【提分秘籍】基本规律平面向量基本定理（平面内三个向量

12、之间关系）：若 I、1 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量有且只有一对实数4、4,使 Q=4 q+4 e2.（1）选定基底，则 4、4,是唯一的（2）处理技巧：可“绕三角形”，可待定系数，可 建 系。【变 式 演 练】1.（2022全国高三专题练习）如图，在AABC中，A D =A D C E 是 BD 上一点，A E =AB +A C,16 4则实数义的值为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【分析】由 而=2O C，得 AC=V A O,代入AE=jA B+二AC中，再由E,8,D 三点共线，列方程可求2 16 4出实数的值_ _ .1 1 .1 _.1 1

13、,1 ；4_1【详解】因 为 而=2反，得 AC=丁A Q,因为+所以AE=7 7A3+1kAD,X 16 4 16 4 2因为E,仇。三点共线，所以匚+与?=1,解得;1 =4,故选：B16 42 一1 .2.（2020 四 川 模拟 预 测（理）在 ABC中，A D =D C，P 是线段8。上一点，A P=m A B +-A C ,则实0数机的 值 为（）A.-B.；C.D.-3 2 3 6【答案】C【分析】利用平面向量线性运算法则得 行=通+g亚，再利用三点共线定理求解即可.【详解】；在&ABC中 正=觉，:.AP =m A B+y A C m A B +A D,是线段8。上一点，6 3

14、1 27 +=1,则机=.故选：C.3.如图，四边形48。是平行四边形，E 是 8 c 的中点，点厂在线段C。上，且CF=2DF,AE与BF交于点P,若 丽=几 瓶，贝！|几=（）3 5 3 2A.B.-C.D.一4 8 8 3【答案】A【分析】设 出 京=，丽+（1 根）/=加 丽+（1 m）（4万+方 广），求得4户=普丑4月+（1 m）A75,再利用向量相等求解即可.【详解】连接 A F,因为 8,P,F 三点共线，所以 AP=mAB+（l-，）A/?=mAB+（l T”）（AO+。77）,因为CF=2 O E,所 以 办=；友=g而，所 以 衣=包尹 而+（1 加）通.因为是BC的中点

15、，所以彳后=而+!前=而+，而.因为衣=%荏，2 22/71+1-=A、V3而+（1-诟=小 通+亚 -m =-X A=-所以 3 I 2 人 则I 2,解得 4.故选：A【题型四】基底拆分：均值不等式求最值型【典 例 分 析】（2023 全国高三专题练习）如图，在AABC中，。是线段8 c 上的一点，且 配=4而，过点。的直线分别交直线AB,AC于点M,N ,若 疝=2 通，A=AAC（/10,/0）,则彳-；的最小值是（）A.2百-2 B.2 4 +4 C.2 6-4 D.2石+2【答案】C3 1 1 3【分析】根据平面向量基本定现，以及三点共线，可确定4 的关系，即77+丁 =1,可得丸

16、-一=丸+丁-4,44 4 2再利用基本不等式求最值即可.详解由条件可 得 而=而+而=通+已 而=而+（而-通）=3 诟+上/，_ _ _.3 _ 1 _V A M =X AB,AN=j uAC.A 0,/z 0,/.A D =A M+A Nf 因为 M,Q,N 三点共线，3 1 ,3 4/4，a 3 1 （3Z.A-,则 2-=2-4 4（/13 1当且仅当2=:，即 行 状时取等号，故力一-的最小值是2石-4；故选：C.【提分秘籍】基本规律利用向量基底理论，求 出“和定”或 者“积定”，再用均值不等式技巧求出最值和范围【变式演练】2 11.(2022 全 国 高三专题练习)如图，在 小

17、BC中，M,N 分 别 是 线 段 AC上的点，且 4M=,4 8,=_ _ _ _ 1 2D,E 是线段8C 上的两个动点，且 AD+AE=xAM+y 4 N(x,y R),则嚏+7 的的最小值是()4 9 一A.4 B.C.D.234【答案】B uliu”|iuui【分析】根据平面向量共线定理可 设 明=机 冷+浅，+=AE=AAB+JJAC,4+=1,再结合AD+AE=xAM+yA N 得2x+y=6,最后运用基本不等式可求解.UU01 ULU1 UUU-【详解】设=+帆+=1，AE=AAB+juACf 4+=1,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3 _._ _ _ _贝 ij A

18、D+AE=mAB+nAC+A.AB+juAC=(m+A)AB+(n+/J)AC=-(m +3(n+)AN=xAM+yAN,3 2 1 2 1彳(m+2)=x,3(72+/)=y=m+A=x,n+ju=-y ,zn+4+=2 n x+5 y =2=2x+y=6.LLIJ 2 1 _ _ .(1 2、1 f _ c y 4%、1 f _ _ _ y4所以一 1 一 =(2+y)4一 =2+2+2+2+2 J-x=,x y 6 x y)6 0,y 0）,则（+1 的最小值为（）A.9 B.8 C.4 D.2【答案】A【分析】根据向量共线定理得推论得到x+2y=l,再利用基本不等式“1”的妙用求解最小

19、值.【详解】因为点F 为线段3 c 上任一点（不含端点），所以x+2y=l,.1 2（1 2 Y-、1 2y 2x._ l2y 2x 八故一+=+（x+2y）=l+一 +45+2/-.=9,x y x y）x y x y当且仅 当 包=生，即x=y=：时等号成立，故选：AX y 33.（2022.河南许昌三模（文）在AABC中，点。在 8 c 上，且满足忸q=；忸。，点 E 为 AD上任意一点,1 2若实数X,y 满足BE=xB A+yB C,则一+一的最小值为（）x yA.272 B.4/3C.4+24 D.9+4正【答案】D【分析】先根据共线向量定理的推论，三点共线的结论可得，x+4y=l

20、,再根据“1”的代换即可求出.【详解】因为=,所 以 丽=x +y m，,i BE=xBA+4 yB b.由AE,O三点共线可得x+4y=l,且x 0,y 0.所以4+2 =卜+2卜+4),)=9+空+曳2 9 +2&=9+4夜,x y (x y j y x当且仅当=血 门时取等号.故选：D.【题型五】基底拆分：求最值型【典例分析】.在平行四边形A B C。中，A B =J 5,A D =2,N A =1 3 5。，瓦?分 别 是 钻,4。上 的 点,且 通=/而，AF =A D,（其中4（），且4 X +=1.若线段所的中点为加，则当|碇|取最小值时，/的值 为（）A.3 6 B.3 7 C

21、.3 8 D.3 9【答案】B【分析】利用=结合向量线性运算、数量积运算，以及4丸+=1,求得当Z为何值时|就|取得最小值，进而求得与 的 值.A【详解】依题意可 知 而.通=|通卜|无4-05 1 3 5 =-2 ,M C A C-A M =AB +Al）-A E+A F=1 1 一 g/l）而+而，所以|就|=5祀?通通.而+而2 由于4丸 +4 =1,=_ 4；1,所团-彳=_ _1 L =_ L以可化为 卞储一4 +1，根据二次函数的性质可知，/lx+y 0y 0y+ii(*),又x+y +2%+1+1,作出不等式组(*)表示的可行域，如图,y+1 表示可行域内点(x,y)与P(-l,

22、-l)连线的斜率，由图形知k pBx+l3，噎=寸=3,2-(-1)3 改 0-(-1)1 y+1 1 X+1即一4 2 3,-3 x+l 3 y+1 3,7-+1 4,y+1故选c.2.在A A S C中，点。满足B D=-5 C 94当 点在线段AO上移动时，A E =A A B +A C,则f=(2-+的最小值是()A 3710A -10【答案】c【解析】n廊15-49C.1 04 1D.8【分析】如图，存在实 数 机 使 得 检=加 而(0加1),1 3 -A B+-A C,所以A E =m=A B+A C,所以.4个 mZ=43机4原式/=(4-1)一+2m72m=当 5时,3 .设

23、向量。4 =(尤+2,/-G e o s 2 a),O B=(y,+s i n t z c o s a),其中 为实数，若 04 =2 08,x则一的取值范围为()yA.-6,1 B.-1,6【答案】A【解析】C.4,8 D.(-oo,l试题分析：由)=2砺,得x+2=2y2 厂，整理得x-3 cos 2a=y+2 sin a cos ax=2y-2x2-y =2sin 26z+I 3,由A.A 冗2 sin 2a H I 3,.2 4y-9 y+2 0得-2 K x 2-y 2,又 x=2y-2,则-2K4(y-l)-y 0Ix 2y 2 2 x解得上 4 y 4 2,而一=二 一2 ,故-

24、6W 4 1,即选 A.4 y y y y【题型六】三角换元型【典例分析】在直角梯形ABC。中，ABAD,ADI IBC,AB=BC=2 A D 2,瓦尸分别为8C,C D的中点，以A为圆心，AO为半径的圆交4 B于G,点P在弧DG上 运 动(如 图).若 而=/1荏+而，其中2,ZR,则62+的取值范围是()A.1,72B.1,2721C.V2,2A/2D.2,272【答案】D【分析】建立如图所示的坐标系，则A(0,0),B(2,0),D71 _ _sina)(0ay),由彳=入+得，(cosa,行表示，利用辅助角公式化简，即可得出结论.(0,1),C(2,2),E(2,sina)=入(2,

25、1),F(1,1.5),P(cosa,1,【详解】解：建立如图所示的坐标系，则 A(0,0),B(2,0),D(0,T CP(cosa,sina)(0a一),21),C(2,2),E(2,1),F(11.5),由 而=入 而+V而 得，(cosa,sina)=X(2,1)(7,A21)+|i(-3-),入，H用参数a进3=cosa=2X-卜i,sina=X+/16X+g=671a +e4；.2&sin-s in a-cosa8兀3万，-4 44+-sina-cosa=2(sina+cosa)=2/2 sin(a +?)71(。+一)4G2,2&|,即C+n的取值范围是2,272 I.8 4 4

26、242/、冗、sin cc)4e4当2故选D.【提分秘籍】基本规律利用向量几何意义等知识转化为圆的概念和方程，再用圆的参数方程进行三角代换，可达到化繁为简的目标【变式演练】UUU UUU UUIU1.在矩形ABC。中，AB=3,A 0=4,点尸是以点C为圆心,2为半径的圆上的动点，设AP=/IAB+AD，则九+的最小值为O【答案】B【分析】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，写出圆的方程，利用三角换元，结合向量的线性运算，将问题转化为三角函数的最值求解，即可求得结果.【详解】如图，建立平面宜角坐标系，故可得C（3,4）,A（0,0）,5（3,0）,r（0,4）,故点尸在圆 C:（x-3）2+（

27、y-4）2=4上设/(2cos6+3,2sin6+4),AB=(3,0),AD=(0,4),uuii uim Ulin 2cos+3=3A又”=+所以 12sme+4=42 15 7从而几 十 =cos9+Qsine+2=sin(e+0)+2 2 7，故选：B.32.若向量，B是不共线的两个向量，2 3万与+共线，当4 0时，24-的最小值为（）A.4 B.2 C.D.毡22【答案】A【分析】利用平面向量共线定理求出4的关系式，再利用基本不等式：积为定值，和有最小值即可求解.【详解】因为2Z 3石与九共线，由平面向量共线定理可知，3 =与3 3 2?I 5所以4=一一A,所以2X =2/1+一

28、，因为之0,所以22+吆22、2加=4,2 4 A V 22当且仅当24=，即；1 =1时等号成立.故选：AA3.已知 RfAABC,A B =3,BC=4.则x+y的最大值是()C4=5,P为AABC外接圆上的一动点，且 而=通+以 花，A.54B.43C.6【答案】B【分析】以AC的中点为原点，以AC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设尸的坐标为（g c o s 6,g s i n。求出点A,5,C的坐标，根据向量的坐标和向量的数乘运算得到x +y =工s i n （。+e）+工，根据正弦函数的6 2图象和性质即可求出答案.【详解】解：以AC的中点为原点，以AC为x轴，建立如图所示的平

29、面直角坐标系,则AABC外接圆的方程为f+产,设P的坐标为（c o s ag s i n e）,4 1 2 3过点 8 作 6。垂宜 轴，：s i n A =,AB=3 B D=A S s i n A =，A D =A B-c o s A =x 39555 9 7:.O D =A O -A D =-=，B2 5 1 055I7O T1 2 44,C|,0：.AB =9 1 25 T,A C =（5,0）,A P =c o s +,s i n 2 2 2：A P x A B +yACc o s +,s i n 2 2 29 1 2+y（5,0）=|X +5 y,葭 x=X.*.-c o s +-

30、=-x+5 y,-s i n =x,y =-c o s-s i n+-,x =s i n,2 2 5 -2 5 2 8 2 24【题型七】等和线型【典例分析】（20 23全国高三专题练习）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆。，尸为圆。上任一点，若AP =xAB+y A C,则2x +2y的最大值为（）8 4A.-B.2 C.-D.13 3【答案】A【彳后】等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决.【详解】O,4/E作年的平行线与圆相交于点P,与直线4 8 相交于点E,与直线4 c 相交于点凡设 衣=2 通+宿 则7+4=1,A p A p 4BC/EF,.设弁=下 =3 则/15

31、 AC 3*AE=kAB,AF=kAC,AP=AAE+pAF=AkAB+jukAC:.x=Ak,y-p kQA 2x+2y=2(丸 +)攵=2%故选：A.【提分秘籍】基本规律等和线原理：O A =ZOB+juO C,(Z G 7?)2+/=1OF-AOB+pOC,(A,G/?)2+/=m,贝【变式演练】1.如图，延长正方形A8C。的边CZ）至点E,使得。E=C D,动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点4,若AP=AAB+AE,则下列判断正确的是（）A.满足4=2的点尸必为3 c 的中点B.满足2+=1的点尸有且只有一个C.满足2+=3的点尸有且只有一个3D.的的点P有

32、且只有一个【答案】c【分析】建立坐标系，讨论尸e A 3，PGBC，PGCD,P eA D四种情况，出义+的范围，再判断每个选项的正误，即可得出结果.【详解】如图建系，取AB=1，；恁=赤+方 后=4方 一 通，A P -A A B +/JAE （2）AB+f.iAD （A 4）（1,0）+（0,1）=（丸一,4），动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，当 PwAB 时，有（）/!一 4 V I 且=（）,；.（）之+41,当尸eB C时，有 力一=1 且OWW 1,则之=+1,.1K/LW2,14+43,当 PeCD 时，有 0 2一 月 1 且=1,则+当尸 GAD

33、时，有九一=0 且 0 S/W 1,则a=，0 W/IW 1,。的中点时，均满足2+4=1,此时点P不唯一，故B错误；选项C,当点P取C点时，4 一 M=1且4=1,解得；1 =2,几+为3,故C正确；3选项D,当点尸取BC的中点或D E的中点时，均满足几+=/,此时点P不唯一，故D错误；故选：C.2.如图，AABC中，A D =D B,A E =E C,C D 与 B E 交 于 F,设矗=1，A C b，/=疝+肪，则（%丁）为【答案】A【详解】延长A b交8 C于点M；,/A D =DB,A E =EC,CD 与 B E 交于 F ,点 F 是 M BC的重心,-2 TA F=-A M

34、,3fTT f2-2 1 T T 1 T I 1 -A M=-(A B+A C),A F =-A M=-x-(A B+A C)=-(A B+A C)=-a +-b2 3 3 2 3 3 3又:A F=xa+yb.”x _1则a,y)为黑y=-3；故答案选A3.如图，在边长为2的正六边形ABC）户中，动圆。的半径为1,圆心在线段CO（含端点）上运动，P是圆。上及内部的动点，设向量A=?A月+AF（/*,为实数），则加+的取值范围是（）A.（1,2 B.5,6 C.2,5 D.3,5【答案】C【解 析】以A为 坐 标 原 点，A B 所 在 直 线 为 x轴 建 立 直 角 坐 标 系，则B（2,

35、0）,F（-l,V 3）,o e：（x-）2+（y+V 3a-4/3）2=l,（2 2一 9=72.法 3：极化恒等式AC-BC=1（AC+BC）2-（A C-B C）2=i r（2AM）2-A B2=l1 82-62=72.【提分秘籍】基本规律基础知识：（2-2 -2a+b=a+2ab+b（a-石）=a-2ab+b（力）1在 ABC中，。是边8C的中点，则A B.AC=|A D|2-|DB|2,AB D C【变式演练】1.如图放置的边长为1的正方形ABC。，顶点A。分别在x轴，轴正半轴（含原点）滑动，则 砺.反 的因为 1 3_9O E O C AE C D,D E=A)sin60=73,由

36、Z A B C =Z A E C=90n A,反C,E四点共圆，且直径为AC.则 丽.就=|阿 T 珂=|B E|2-（V 3）2 AC2-3=22-3=l所以（而 品）=1./max【题型九】奔驰定理【典例分析】在A48C中，。为其内部一点，且 满 足 砺+反+3砺=6，则A4O3和AAOC的面积比是（）A.3：4 B.3:2 C.1:1 D.1:3【答案】D【解析】取 A C 中 点/，则由）+反+3历=6 得 2两=一 3而，所以2|3/|=3|0 到，。在线段5 M 上，因此Sj :S“=S2 5 =0B:20M =1：3,选 D.【提 分 秘 籍】基本规律奔驰定理mO4+sO8+tO

37、C=6 空=高;5%co$GCBO=S：m【变式演练】1.设点。在 AABC的内部，且 29+3砺+4反=0,若 AABC的面积是2 7,则 AAOC的面积为（）15A.9 B.8 C.D.72【答案】A【详解】延长O C到 D,使得OD=2OC,因为2砺+3砺+4交=6,所以DO A+-O B +2OC=0,2以OA,O D 为边作平行四边形OAED,对角线交点为F,OE交 AC于 H,因 为 而=2反,所 以 砺=一 砺,_ 3 _ _ 1 _ _ 1_因为 OC:AE=1:2,所以 OH:HE=1:2,所以 3 O H =-O B,：.OH=一 一 O B,所以 OH=-BH,2 2 3

38、所以AAOC的面积是A4BC面 积 的 所 以 AAOC的面积为9.故选：A2.已知等边。4BC边长为4,。为其内一点，且4次+7砺+3沅=6,赃 MOB的面积为A.竽 B.第C.D.1【答案】B/，：.OD=OF=,：.0 D=总 亦 Sg。”土 x 袅42=号，故选B.3.已知P为A A B C内一点，且，3PA+2 P B +P C 0,则S”.：5 0叱 为。A.1:2 B.1:3 C.1:5 D.1:6如图：设D、E分别为A3、AC的中点，V 3PA+2 P B +P C 0,：.P C-P B =-3（P B +PA）,B C -3 x 2 P D =-6 P D ,同 理 由（而

39、 +前）=一久而+序），即2 P E =-2 x P D,：.P E =-B C.，P到A5的距离等于。到A5的距离的工，设AABC的面积为S,3 6则 SAB=，故 S&PAB:SM B C 为 1:6,故选 D.6【题型十】四心与向量1：重心【典例分析】过A A B C内一点历任作一条直线，再分别过顶点A,B,C作/的垂线，垂足分别为。，旦 尸，若而+而+方=6恒成立，则点A/是A A B C的（）A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心河北省保定市2 0 1 8-2 0 1 9学年度第一学期高三期末调研考试数学试题【答案】B【详解】本题采用特殊位置法较为简单.因为过A A 8 C内一点M任

40、作一条直线，可将此直线特殊为过点A,则 而=0,有 曲+守=6如图:则有直线AM经 过B C的中点,同理可得直线BM经过AC的中点，直线CM经过AB的中点，所以点”是A A 8 C的重心，故选B【提分秘籍】基本规律（1）。是A A B C重心o 赤+砺+云=0,（2）P是平面ABC内任一点，的=3（西+2月+回，0 6是人钻。重心.【变式演练】1.在4 A B e中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,。为。4 B C的 夕 卜 心，。为B C边上的中点，c=4,AO AD=5,s i n C +sinA-4 s i n B =0,贝!Je o s A =（）【答案】C【解析】由题意，。为4

41、 4 B C 的外心，。为B C 边上的中点，可得:而=i（A B+C）,因 为 而 A D=5,可得:布“话+而）=：（布 亚）+：（而 冠）=5,又 而 AB=|A B2,X O -AC=3 元 2,所以有竽+亨 =5即?+?=5,因为c =4,所以b =2,又因为s i n C +s i n A 4 s i n B =0,所以4 b c =Q,a =4,由余弦定理：cosA=笔贮=；,故选c.2bc 42.已知A,B,C是不在同一直线上的三个点，O是平面ABC内一动点，若 丽-丽=2（醺+；及）2 e O,+8）,则点p的轨迹一定过4 4 B C 的（）A.外心 B.重心 C.垂心 D.

42、内心【答案】B【分析】设出BC的中点。，利 用 向 量 的 运 算 法 则 化 简 而 一 次 据 向 量共线的充要条件得到?在三角形的中线上，利用三角形的重心定义：三中线的交点，得到选项【详解】解：如图，取 8c的中点Q,连接A O,则 通+1册=福+丽=而.又由 一 砺=2（荏+而），J.0 户-。印 二 之 八 力，即Q =/l 而.2 2又义 0,+8）,.P 点在射线AO上.故 尸的轨迹过AM C的重心.故选：B.3 .在四边形A B C O 中，G为 B C D 的重心，A G =2,点O在线段AG上，则（8 +”）的最小值为（）A.-3 B.-2 C.-1 D.0 答案A【4析】

43、苜先根据平面向量的加法几何意义，三角形重心的性质和平面数量积的概念得到OA（PB+OC+OD）=-3OA OG,再利用基本不等式性质即可得到答案.【详解】如图所示：因 为 前=而+册,前=反+西，砺=丽+方 6，所 以 丽+反+而=3 砺，于是 有 次（砺+反+而）=3 砺.砺 =-3 厉|J旃X|OA|-|OG|=1,当且仅 当 网=|/=1 时取等号，/所以3（而+反+而）=3 丽 砺 2-3.故选：A【题型十一】四心与向量2：外心【典 例 分 析】已知。为锐角 A B C 的外接圆的圆心，t a n A =2,若 垩 0丽前=2 机/，贝！|相的值为（）s i n C s i n BA

44、石 R 2石 V3 n 2百A.B.C.D.-5 5 3 3【答案】B【详解】如图所示，取 43的中点。AC的中点后，连接OD,QE,则A B,O E _ L AC；所以 福 石=|福所|COS4 A O =的L，/同=M，所以由鬻而+黑恁=2 加 而，I|2 2 s i n c s i n D设A4BC的外接圆半径为R,则|印 同=/?,由正弦定理得 d _ =M fl=2R，sinC sin B所以AB卜 2/?sin C,|AC|=2/?sin B,R.|AO|=R，代入可得2cosBsinC-7?2+2cosCsin J?-/?2=2mR2，:;in.=2不所 以 sin Ccos B

45、+cos C sin B=sin(B+C)=sin A=m 乂 闪 为 tan 4=2,可得 5【提 分 秘 籍】基本规律(1)0是MBC外心o|函H丽H瓦卜(2)若。是 A4BC外心，则 sin2A砺+sin2B砺+sin2c反=0.(3)若。是AABC外心，则对于平面内任意点P,均有：=4-+c o s B-+o s 2sinBsinC 2sinAsinC 2sirk4sinB【变式演练】1.已知AABC,AB=6,AC=3,N是边BC上的点，且 丽=2配，。为A4BC的外心，丽 加 的值 为OA.8 B.10 C.18 D.9【答案】D1 -2 【详解】因为 3N=2NC，所以 AN-A

46、B=2AC-2AV，因此 AN=+AC；取AB，AC中点分别为D,E,则。0L A 8,OEVAC-.因此=18,AC AO=|AC|A|=|AC|2所 以 福 血 =(g通+|硝.亚 福而+g 痔 A0=6+3=9.故选D2.已知 4BC外接圆的圆心为0,AB=2V3,AC=22,4为钝角，M是BC边的中点，则 而 而=()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】”是BC边的中点，.宿=荏+而)，0 是力BC 的外接圆的圆心，:A0-AB=|70|ABcosBAO=AB=1X (2)2=6.同理可得AO-AC=AC2=|x(2V2)2=4.AM-AO=(AB+AB)-AO=AB-AO

47、+|AB-AO=x C 6+4；=5.故选 C.3.在 AABC中，内 角 A,B,C 的对边分别为a,c,O 是 M B C 外接圆的圆心，若 叵acosB=显-且COSB-T-zr COSC.p,AB+-AC=mAO，则 m 的值是（）sinC-sinBA.B.C./2 D.2V24 2【答案】C【解 析】因 为yflacosB=yflc b,由 余 弦 定 理 得 /+/一/=缶 b，整 理 得lacb2+c2-a1 4 2 b c,所以c o sA=+U一二=正,即4 =工，因为。是AABC的外心，则对于平面2hc 2 4内任意点P,均有：p0=cosA.+cos3 p*+cosC 代

48、 令尸与A重合，及4=工得2sinfisinC 2sinAsinC 2sinAsinJB 4布=穿-荏+T”前=也+些正,.空通+蟠而皆而，v2sinC v2sinB 2（sinC sinB）sinC sinBm=f2.故选 C.【题型十二】四 心 与 向 量3：内心【典例分析】3 _ _ _ _（2022 江 苏 高三模拟）在 ABC 中，cosA=j,。为 AABC 的内心，AO=xAB+yAC（x,y e R）,则 x+y的最大值为（）A 2 6-V6 7-V7 口 8-2 03 5 6 7【答案】D1 An An【分析】设 而=%/=以 而+/ly正，根据三点共线可得人+丁=:=笠=三

49、三，结合图像分析运算.2 AD AO+OD【详解】如图：圆。在边A R 3c上的切点分别为E F,连接。区。尸，延长A。交BC 丁点。3 F）设/OAB=。，则 cos A=cos 20=1 -2sin2 0=,则 sin 0=4 4iStAD=AAd=AxAB-i-AyAC；B,D,G三点共线,则双+。=1,即冬旦故选：D.7即 x+y 二A【提分秘籍】基本规律（2）。是 AABC 内心 aOA+bOB+cOC=0,（2）。是AABC内心sinAOA+sinBOB+sinCOC=6.【变 式 演 练】1.点。为 A B C 所在平面内一点,-（A B A C、O A O B O A O C,

50、A O A +（1明AC）则 八 43。的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形【答案】B【详解】.OA OBOA OC,:.OA（OB-OC）=OA CB=O OABC.A O 在/B A C 的角平分线上，所以A O 既在B C 边的高上，也是/B A C 的平分线，所以 A B C 是等腰三角形.故选：B2.。是平面上一定点，A 8,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足:.（福O P O A +AU 明+A CAe0,+oo）,则 p 的轨迹一定通过A A B C 的。AcyA.内心B.垂心 C.重心D.外心【答案】AAR【详解】函、A cA C|而