中考数学 四边形.pdf

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1、2008年中考数学四边形解答题（0 8黑龙江鸡西23题）2 3.（本小题满分6分）有一-底角为6 0 的直角梯形，上底长为1 0 c m,与底垂直的腰长为1 0 c m,以上底或与底垂直的腰为 边作三角形，使三角形的另一边长为1 5 c m,第三个顶点落在下底上.请计算所作的三角形的面积.23.解：当 8 E =1 5 c m 时,A 8 E的面积是5 0 c m 2；当C F =1 5 c m时，B C F的面积是75 c m 当5 E =1 5 c m时，AS CE的面积是25不c n?.（每种情况，图给1分，计算结果正确1分，共6分）（0 8黑龙江鸡西26题）2 6.（本小题满分8分）已

2、知：正方形A 8 C O中，NA M N=4 5 ,N M4N绕点A顺时针旋转，它的两边分别交C 3,DC（或它们的延长线）于点M,N.当NMA N绕点A旋转到BM=DN时（如 图1）,易证BM+DN=MN.（1）当N MAN绕点A旋转到B M WO N时（如图2）,线段B M,O N和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明.（2）当N AMN绕点A旋转到如图3的位置时，线段8 M,O N和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.如图，把 A ND绕点A顺时针9 0,得到 4 B E,则可证得E,B朋 三 点 共 线（图形画正确）证明过程中，证得：ZE A M=NNA M.证得

3、：X W M AN M.ME =MN：ME =B E +BM=DN+BM(2)（3 分）（4分）（5分）E（6分）DN+BM=MNDN-BM=MN(8 分)（0 8黑龙江大庆）2 0.（本题5分）如图，在 A B C。中，E,尸分别是边BC和AD上的点且8 =。尸，则线段AE与线段C/有 怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论.F（第20题）（0 8北京市卷1 8题）1 8.（本小题满分5分）如图，在梯形 4 6 C O 中，AD/B C ,AB 1 A C ,N 8 =4 5 ,A D =6,8 c =40,求。C 的长.解:图1（0 8北京市卷1 8题解析）（本小题满分5分）解法一：如

4、图1,分别过点4。作于点E,DF工BC于点F.1分/.A E/D F.又 A O 8 C ,四边形A E F O是矩形.EF=A D =41.2 分：A BVA C ,N 8 =4 5。，8 c =4万AB A C .：.A E=E C =-B C =242.2D F =AE=2 V 2,CF=E C-E F=6.4 分在 Rt/X OF C 中，N O F C =9 0 ,D C =YJDF2+CF2=J（2近）2+诋2.5 分解法二：如图2,过点。作。/4B,分别交A C,BC于点E,F .1分A B1 A C ,Z A E D =A B A C=9 0.AD/B C,：.Z D A E=

5、1 8 0c-ZB-Z B A C=4 5 .在 RtaABC 中，ZBAC=90,N8=45,BC=472,：.AC=BC sin450=4V2x=422分在 RtZAOE 中，ZAED=90,ZDAE=45,AD=6，：.DE=AE=1.：.CE=AC-AE=3.4 分在 RtaOEC 中，ZCED=9Q,：.DC=y/DE2+CE2=712+32=V10.5 分（08北京市卷22题）2 2.（本小题满分4分）已 知 等 边 三 角 形 纸 片ABC的 边 长 为8,。为A 8边 上 的 点，过 点。作。G 8 c交AC于点G.DE J.BC于点E,过点G作GE_LBC于点尸，把三角形纸片

6、ABC分别沿OG,DE G/按 图1所示方式折叠，点4 B C分别落在点A,B,C 处.若 点A,B,C 在矩形。EQG内或其边上，且互不重合，此时我们称A B C（即图中阴影部分）为“重叠三角形”.A,B,C。恰好落在网格图中的格点上.如图2所示，请直接写出此时重叠三角形A8C的面积；（2）实验探究：设A。的长为 机，若重叠三角形ABC存在.试用含机的代数式表示重叠三角形ABC的面积，并写出机的取值 范 围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）.备用图 备用图解：（1）重叠三角形A6C的面积为；（2）用含用的代数式表示重叠三角形A8C的面积为:根 的 取 值 范 围 为.（08北京市卷22

7、题解析）：（1）重叠三角形ABC的面积为6 .1分（2）用含加 的代数式表示重叠三角形ABC的面积为6（4-ip；.2分Q加 的取值范围为一Wm 4.4分3（0 8北京市卷25题）25.请阅读下列材料：问题：如 图1,在菱形A B C O和菱形8 E R G中，点A,B E在同条直线上，P是线段O F的中点，连结PG,P C.若=尸=6 0,探究P G与P C的位置关系 及 空 的 值.P C小聪同学的思路是：延长G P交。于点“，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.图2 E请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段P G与P C的位置关系 及 空 的值；P C（

8、2）将 图 I 的菱形B E F G绕点3顺时针旋转，使菱形B E F G的对角线8尸恰好与菱形A B C D的边A B在同条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）.你 在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.（3）若 图1中Z A B C =N B E F=2 a（0 a 0).(1)D,R两 点 间 的 距 离 是；(2)射线QK能否把四边形C D E E分成面积相等的两部分？若能，求出f的值.若不能，说明理由；(3)当点P运动到折线EE-尸C上，且点尸又恰好落在射线QK上时，求，的值；(4)连结P G,当P G A B时，请章授写出f的值.图15(08河北省卷2

9、6题解答)2 6.解：(1)2 5.(2)能.如图5,连结DE,过点尸作尸”LAB于点”，由四边形C O E R为矩形，可知QK过。F的中点。时，Q K把矩形C D E F分为面积相等的两部分(注：可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明)，此时。=O F =12.5 .由 8尸=2 0,丛H H E C BA,得“B =16.4 12.5 +16 /故，=-=7-.4 8（3）当点尸在E/上（2WW 5）时，如图6.7Q B =4t ,DE+E P =lt,由 座 BC A,得 七 型=二5 0 30,2 1.t-4 .4 1当点P在尸。上（5WW 79时，如图7.已知Q B =4

10、f,从而P B =5 t,由 PP=7 f 35,B F =2 0,得 5/=7/35 +2 0.解得，=722 39（4）如图 8,t =l-；如图 9,Z =7 .3 4 3K图7（注：判断尸G A 6可分为以下几种情形：当时，点P下行，点G上行，可知其中存在7P G 71 8的时刻，如图8；此后，点G继续上行到点/时，f =4,而点P却在下行到点再沿E F上行,发现点尸在E F上运动时不存在尸G A B；当5 WW 时 点P,G均在尸C上，也不存在P G A B ；7由于点P比点G先到达点。并继续沿C O下行，所以在79，8中存在P G /1 8的时刻，如 图9：当78 WW 1 0时，

11、点 尸，G均在C D匕 不存在P G A B）（0 8 内蒙赤峰）20.（本题满分1 0 分）如图，用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形A8 C O是菱形吗？如果是菱形请给出证明,如果不是菱形请说明理由.2 0.答：四边形A B C Z）是 菱 形.（不写已知、求证不扣分）.（2分）证明：由A 6 C O得四边形A8 C O是 平 行 四 边 形.（4分）过 A,。两点分别作AEL6 C 于 E,。尸，43于尸.N C F B =Z A E B=9 0 .（6 分）/A E =C F（纸带的宽度相等）N A B E =N C B F ,：.Rt A a S B f i Rt C B

12、F.（8 分）A B =B C四边形A B C。是 菱 形.（1 0 分）（0 8 山西省卷）25.（本 题 1 2 分）如图，已知4 A B C 是等边三角形，D、E分别在边B C、A C 上，且 CD=CE,连 结 D E 并延长至点F,使 E F=A E,连 结 A F、B E和 CF。（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“且”表示，并加以证明。（2）判断四边形A B D F是怎样的四边形，并说明理由。（3）若 A B=6,B D=2 D C,求四边形A B E F的面积。（第 25题）（0 8 山东滨州 2 1 题）21.（本题满分 1 0 分）在梯形 A B CD 中，A B C

13、D,乙4 =9 0 ,A B=2,B C=3,CD=1,E是 A D 中点，试判断E C与 E B 的位置关系，并写出推理过程。解：（0 8 山东滨州2 1 题）2 1.E C LE B略证：过点C 作 C T，AB于 F,则四边形A FCD 是矩形，在 放 B C/中，可算得C F =2&则 A D=C F =1 4 1,故 D E=A E=-A D=y/22在 R t A B E f n R t OC E 中,E B2=A E2+A B2=6E C2 D E2+C D2=?EB?+E C?=9=BC?：.N C E B=9 0 E B 1 E C（0 8山东聊城2 2题）2 2.（本题满分

14、8分）如图，矩形A B C。中，。是AC与8 D的交点，过。点的直线EF与A 8,C O的延长线分别交于 F .（1）求证：的宜 D O F ；（2）当 政 与AC满足什么关系时，以A,E ,C/为 顶 点的四边形是菱形？证明你的结论.解：（0 8山东聊城2 2题）2 2.（本题满分8分）（1）证明：.西边形A 6 C O是矩形，：.OB=O D（矩形的对角线互相平分），A E/C F（矩形的对边平行）.:.N E =N F ,Z O B E =Z O D F .D O F（A.A.S）.4 分（2）当E F _ L A C时，四边形A E C T是 菱 形.5分证明：.四边形A 6 C O是

15、矩形，O A =O C（矩形的对角线互相平分）.又 由（1）。口得，O E =O F ,四边形A E C尸是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.6分又 E b _ L A C,/.四边形A E C F是 菱 形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.8分（注：小括号内的理由不写不扣分）.（0 8山东临沂2 1题）21.（本小题满分7分）如图，L IA B CD中，E是CD的延长线匕一点，B E与A D交于点F,D E =、C D。2求证：A A B F A CE B;若4 D E F的面积为2,求D A B CD的面积。解：(0 8山东临沂21题)证明：.四边形ABCD是平行四边形

16、,A Z A=Z C,AB/CD,ZABF=ZCEB,A AABFACEB.2 分(2)V四边形ABCD是平行四边形，ADBC,AB幺CD,/.DEFACEB,DEFS/XABF,.3 分第23题图D E -C D,2.S&DEF _ DE)-Qq X CEB LrLe S g E F“74分 0q t s D EF-乙?,S ACEB=18,SBF=8,6分,S 四边形=S 岫 CE-S AD EF=16,Spq边形A B C。=S四边形8c。尸 +S BF=16+8=247分(0 8山东青岛21题)2 1.(本小题满分8分)已知：如图，在正方形A B C。中，G是C O上一点，延长3 C到

17、E,使C E =C G,雌 B G并延长交Q E于尸.(1)求证：留26 D CE；(2)将 O C E绕点D顺时针旋转90得到 4 ,判断四边形E Z G Q是什么特殊四边形？并说明理由.证明：(0 8山东青岛21题)(1),四边形ABCD是正方形,BOCD,NBCD=90 .V ZBCD+ZDCE=180,A ZBCD=ZDCE=90.又 TCG 二 CE,AABCGADCE.4(2):D C E绕D顺时针旋转90。得到aDAE,CE=AE .VCE=CG,.CG=A E.四边形A B CD 是正方形，A B E D G,A B=CD.A B-A E =CD-CG,即 B E =D G.四

18、边形D E B G 是平行四边形.8（0 8 山东潍坊2 1 题）21.（本题满分1 0 分）如图，ABC。为平行四边形，A D a,BE/A C ,OE交AC的延长线于尸点，交 BE 于 E 点.（1）求证：D F =F E ：（2）若 AC=2Cb,ZADC=60 A C 1 DC ,求 BE 的长;（3）在（2）的条件下，求四边形A8EO的面积.（0 8 山东潍坊2 3 题）23.（本题满分1 1 分）如图，矩形纸片A8CD中，A B =8,将纸片折叠，使顶点6落在边A 0的E点上，折痕的一端G点在边BC上，3G=10.（1）当折痕的另一端/在A8边上时，如 图（1）,求的面积；（2）当

19、折痕的另一端 尸 在AO边上时，如 图（2）,证明四边形8GEF为菱形，并求出折痕G尸的长.图（0 8 山东烟台25题）25、（本题满分14分）如图，菱形AB C D 的边长为2,B D=2,E、F分别是边AD,C D 上的两个动点，且满足AE+C F=2.（1）求证：AB D E 丝B C F；（2）判断4 B E F 的形状，并说明理由；（3）设a B E F 的面积为S,求 S的取值范围.B(D证明J.菱形AECD的边长为2,BD=2,.,.ABD和BCD都为正三角形.:.NBDE=NBCF=60,BD=B C.VAE+DE=AD=2,而 AETCF=2,DE=CF.:.ABDE4 BC

20、F.(2)解i/XBEF为正三角形.理由：BDE9 ECF,.,NQBE=NCBF,BE=BF.,.,ZDBC-ZDBF+ZCBF=60%.NDBF+NDBE=6O.即/BF=60.BEF为正三角形.解:设 BE=BF=EF=x,则 S=-y n l sin60，=亨当 BEAD 时，工.小=2Xsin600=，0本今 蚁(遍 =竽.当BE与AB重合时，工.大=2,：S.大2?=4&syr.4（0 8年江苏常州）已知：如图，在矩形AB C D 中，E、F分别是边B C、AB 上的点，且 E F=E D,E F _ L E D.求证:AE 平分NB AD.（第23题）(0 8年江苏常州)如图,这

21、是一张等腰梯形纸片,它的上底长为2,下底长为4,腰长为2,这样的纸片共有5张.打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形，那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形?分别画出它们的不尊图，并写出它们的周长.(0 8年江苏连云港20题)(本小题满分8分)如图，在宜角梯形纸片A B C。中，AB/D C,NA=90 ,C D A D,将纸片沿过点。的直线折叠，使点A落在边CD上的点 处，折痕为。尸.连接尸 并展开纸片.(1)求证：四边形A OEE是正方形；(2)取线段A F的中点G,连接EG,如果B G =C),试说明四边形G B C E是等腰梯形.（第20题图）（0 8 年江苏连云港 20 题）证明：（1）/A

22、=90 ,AB/D C,:.Z AD E=9Q由沿 O F 折叠后D 4/7 与重合，知 A）=D E,Z D E F=90.(第20题答图),四边形A D E尸是矩形，且邻边AZ),A E相等.四边形A DE F是正方形.3分(2)-.-CE/B G,且 C E W 6 G,.,.四边形 G B C E 是梯形.4 分.四边形 A O E F 是正方形，.,.AO =IF E,Z A=G F E=9 Q 0.又点G为A E的中点，.AG =FG.连接。G.在 AG O 与 bG E 中，A D =FE,Z A=Z G F E ,A G =FG ,.-.f f i S O FGE,:DG A

23、=NE G B.6 分:B G =C D ,6G C O,.四边形5 CDG是平行四边形.D G /CD.:.N D GA=N B .:.N EGB =N B .四边形G B C E是等腰梯形.8分注：第（2）小题也可过点。作4?,垂足为点H,证 故次CBH.（08年江苏南京21题）（6分）如图，在 A8C。中，E,尸为上两点，且BE=CE,AF=DE.求证：（1）空吹 DCE；（2）四边形ABCD是矩形.（08年江苏南京21题）（本题6分）（第21题）解：(1)BE=CF,BF=BE+EF,CE=CF+EF,：.BF=CE.1 分四边形ABCD是平行四边形，AB DC.2 分在和OCE中，v

24、 AB=DC,BF=CE,AF=DE,辘 DCE.3 分(2)解法一：.阻达 DCE,ZZ?=ZC.4 分.四边形A5CO是平行四边形,A B/C D.：.N8+NC=180.ZB=Z C=90.5 分四边形4 5 c o是矩形.6分解法二：连接AC,DB.vAag&K DCE,NAFB=ZDEC.：.ZAFC=ZDEB.4 分在AR7和O E8中，v AF=DE,AAFC=4DEB,CF=BE,绮在 DEB.AC DB .5 分.四边形ABC。是平行四边形，四边形ABC。是矩形.6分（08年江苏南京22题）（6 分）如图，菱形4 5 C O（图 1）与菱形E F G H（图 2）的形状、大小

25、完全相同.（1）请从下列序号中选择正确选项的序号填写；点、E,F ,G H ；点、G,F ,E H ；点、E,H ,G R ；点 G,”，E F .（第 22题）如果图1 经过一次平移后得到图2,那么点A,B,C。对应点分别是；如果图1 经过一次轴对称后得到图2,那么点A,B,C。对应点分别是；如果图1经过一次旋转后得到图2,那么点A,B,C。对应点分别是；（2）图 1,图 2 关于点。成中心对称，请画出对称中心（保留画图痕迹，不写画法）：写出两个图形成中心对称的：条性质：.（可以结合所画图形叙述）（08年江苏南京22题）（本题6 分）解：（1）；.3 分（2）画图正确.5 分答案不惟一，例如

26、：对应线段相等，O C =O E 等.6 分（08年江苏宿迁21题）（本题满分8 分）如图，在平行四边形A 8 C O 中，E 为8 c 的中点，连接4 E 并延长交。C 的延长线于点（1）求证：A B C F（2）当B C j A F满足什么数量关系时，四边形A 8/C 是矩形，并说明理由.DF第 21题（08年江苏宿迁21题）（1）证明：.四边形A 8 C 0 是平行四边形AB/CD,AB=C D：.N B A E =N C F E,N A B E =N F C E为 的 中 点E B =E C：.A A B E =F C E：.A B C F .（2）解：当B C =A F时，四边形A

27、6 P C 是矩形.理由如下：4 B C A B =C/四边形A B F C是平行四边形,?B C =A F.四边形4 BFC是矩形.（0 8年江苏泰州2 7 题）如图,在矩形A B C D 中，A B=2,AD=C。（1）在边C D 上找一点E,使 E B 平分N A E C,并加以说明；（3 分）（2）若 P为 B C 边上一点，且 B P=2 C P,连接E P 并延长交A B 的延长线于F。求证：点 B平分线段A F；（3 分）4 P A E 能否由a P F B 绕 P点按顺时针方向旋转而得到？若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能,请说明理由。（4分）（0 8 年江苏泰州2 7 题

28、）（1）当 E为 C D 中点时,E B 平分江A E C。.1 分由 N D=9 0,D E=1,A D=V 3,推得 D E A=6 0,同理，ZC E B=6 0 ,从而/A E B=/C E B=6 0 ,即 E B 平分NA E C .3 分C F c P 1(2)：C E B F,r.=一，B F=2 C E。.5 分B F B P 2V A B=2 C E,.点B 平分线段A F.6分V ZA E P=ZB P=9 0 ,.,.P A SA P F B o .9 分.P A E 可以P F B 按照顺时针方向绕P点旋转而得到。旋转度数为1 2 0 f l a.1 0 分（0 8

29、年江苏无锡2 0 题）（本小题满分6分）如图，已知E是矩形A6CO的边CO上一点，BF LA E TF,试说明：死 EAD.（08年江苏无锡20题）解法一：.矩形ABC。中，AB/CD,ZD=90,（2分）ZBAF=ZAED.（4 分）v BF 1A E,:.ZAFB9Q：.ZAFB=ZD.（5 分）由8以 EAD.（6分）解法二：.矩形 A8CO 中，ZBAD=ZD=9ff.（2 分）ZBAF+ZEAD=90,ZEAD+AAED=90,ZBAF=ZAED.（4 分）（08年江苏无锡21题）（本小题满分7分）如图，四边形 46CO中，AB/CD,AC 平分 NBA。，CE II kD 交.A

30、B书 E.（1）求证：四边形AECO是菱形；（2）若点E是A 8的中点，试判断ABC的形状，并说明理由.（08 年江苏无锡 21 题）（1）/AB/C D,即 AEC O,又,：CEH AD,二.四边形4ECO是 平 行 四 边 形.（2分）AC 平分 ZBAO,A Z.CAE=CAD,.（3 分）又.AOCE,ZACE=ZCAD,：.ZACE=ZCAE,：.AE=CE,四边形AECO是菱形.（4分）（2）证法一：.是4中点，4；=3后.又：AE=CE,:.BE=CE,:.NB=NBCE,.（5 分）ZB+ZBCA+ABAC=180,.（6 分）2NBCE+2NA CE=180,ZBCE+ZA

31、CE=90.即NACB=90,.ABC是直角三角形.（7分）证法二：连O E,则且平分4C,.（5分）设OE交AC于尸.E 是 A3 的中点，EF/B C.（6 分）BCLAC,.,.ABC是直角三角形.（7分）（0 8年江苏无锡2 8题）（本小题满分8分）一种电讯信号转发装置的发射直径为31 k m.现要求：在一边长为30 k m的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市.问：（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？答题

32、要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由.（下面给出了几个边长为30 k m的正方形城区示意图，供解题时选用）图1（0 8年江苏无锡2 8题）解：（1）将 图1中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在 这4个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为23 0&=1 5后 3 1,每个转发2装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装4个这种装置可以达到预设的要求.（3分）（图案设计不唯一）（2）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得B E =D G =CG.将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设 A E =x,则 E D =

33、30 x,D H =5.由 6 E =O G,X2+302=152+（3 0-X）2,即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求.（6分）或：将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得B E =3 1,“是CO的中点，将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，则 A E =回-？。？=府，D E =30-7 6 1 ,D E=7（30-V 6 1）2+1 52 2 6.8 3 1,即如此安装三个这个转发装置，能 达 到 预 设 要 求.（6分）要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点.如图3,用一个直径为31的。去 覆 盖 边 长 为3 0的 正 方 形A B C D，设。

34、经 过A,8 ,。与A0交 于E ,连3 E ,则A E=7 312-302=屈 0）,第（1）题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由.B（23题图4）（23题图5）（23题图6）(3)在第(2)题图5中，连结。G、B E,且a=3,b=2,k=-,求B l+OG?的值.22 3.解:(1)BG=DE,BGLDE2分BG=DE,BG 仍然成立.1分在 图(2)中证明如下.四边形ABC。、四边形A8CO都是正方形二 BC=CD,CG=CE,ZBCO=NECG=90NBCG=NDCE.1 分?.BCG s DCE(SAS).1 分/.BG=DE NCBG=Z.CDE又

35、Y ZBHC=NDHO NCBG+匕BHC=90NCDE+ZDHO=90 NO。”=90.BG ID E .1 分(2)BG1OE成立，BG=DE不成立.2分简要说明如下.四边形ABC。、四边形CEG都是矩形，且A8=a,BC=b,CG=kb,CE=ka(a#b,Z0).BC_CG_ N BCO=NECG=90。DC CE a：.NBCG=ZDCE：.BCG DCE.1 分.ZCBG=ZCDE又：NBHC=ZDHO ZCBG+NBHC=90NCDE+ZDHO=90 ZDOH=90BG 1 DE1分(3)BG ID E：.BE2+DG2=OB2+OE2+OG2+OD2=BD2+GE2又=b=2,

36、k =25 P2+G E2=22+32+12+（-）2.1 分A B E2+DG2=.1 分（0 8上海市卷）23.（本题满分1 2 分，每小题满分各6分）如 图 1 1,已知平行四边形ABC Z）中，对角线AC,BD交于点O,E是8 0延长线上的点，且 AC E是等边三角形.（1）求证：四边形A 8 C O是菱形：后（2）若N A E O =2 N E 4 O,求证：四边形A 8 C O是正方形.图1 12 3.证明：（1）.四边形A 8 C。是平行四边形，；.AO =CO.（2分）又.AC E是等边三角形，.E O J.AC,即.（2 分）平行四边形 .（2分）（2）.AC E是等边三角形

37、，.N 4E C =6 0 .（1 分）v E O 1 A C,.N AE ON A E C =30。.（1 分）2/Z A E D =2Z EAD ,/.Z E A D =5 ：.Z A D O =Z E A D +Z A E D =45.（1 分）.四边形 A 8 C O 是菱形，.440 0 =2 4 4 0 0 =90 .（2 分）四边形A B C。是正方形.（1分）（0 8安徽省卷2 0 题）2 0.（本题8 分）如图四边形ABC D和四边形AC E 1）都是平行四边形，点 R为 DE 的中点,BR 分别交AC、C D于点P、Q o请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；求 BP

38、 ：P Q ：Q R（0 8 安徽省卷 2 0 题解析）：（1）ABC P ABE R,AP C Q AP AB,（2）V四边形ABC D和四边形AC E D都是平行四边形P C 1；.BC=AD=C E,AC/DE,；.P B=P R,=-R E 2X V P C/7DR,.PCQSRDQ又.,点R是 D E 中点，.DR=R E。P Q P C P C 1 .-=-=-=-f Q R 2 P Q oQ R D R R E 2又,.,BP=P R=P Q+Q R=3P Q.8 分A BP ：P Q ：Q R=3：1 ：2.1 0 分P C Q AR DQ,AP AB AR DQ .4 分A

39、DAABFCb第2 0 题图(0 8安徽芜湖2 1 题)21.(本小题满分8 分)如 图，在梯形ABC。中，AD/BC,AB=DC=AD,NC=60,4 E，3。于点,F是 C D 的中点，DG 是梯形4BCD的高.(1)求证：四边形AE F D是平行四边形；A D(2)设AE=X,四边形DE G F 的面积为y,求 y 关于x的函数关系式./V(0 8安徽芜湖2 1 题解析)/(1)证明：V AB=DC,梯形 ABC D 为等腰梯形.N C=6 0 ,.G.ZBAO=ZAOC=120,又：48=AO,第 2 1 题 图AABD=NADB=30.:.ZDBC=NADB=30./.ZBDC=90

40、.由已知 A E J.3 O,，AE DC.2 分又；A E 为等腰三角形ABD的高，E是 B D 的中点，：F 是 DC 的中点，；.E F BC.；.E F AD.四边形AE F D是平行四边形.4 分(2)解：在 R t Z AE D 中，ZADB=30,V AE=x,：.AD=2x.在 R t DG C 中 N C=6 0 ,并且。C=AO=2x,；.O G=6x.6 分由(1)知：在平行四边形AE F D中E/=AO=2 x,又O G LBC,二DG_LE尸，二四边形DE G F 的面积尸DG,2y=x2x y/3x=y/3x2(x 0).8 分(0 8江西省卷)2 0.如图，把矩形

41、纸片A6CO沿EF折叠，使点8落在边AO处.(1)求证：BE=BF；(2)设AE=a,AB=b BF=c,试猜想a,b c之间有何等量关系，并给予证明.上的点6 处，点 4 落在点A2 0.(1)证一：由题意得=NBFE=NBFE,在矩形 ABCO 中，v AD/BC,：.NBEF=NBFE,.2 分NBFE=ZBEF.3 分BF=BE.4 分:.BE=BF .5 分证二：连结B E,由题意得，BE-BE.ZBEF=ZBEF.1 分在矩形 ABC。中，/AD/BC,N B EF=ZBF E.2 分Z B E F =Z B F E .3 分:.B E=B F .4 分:.B E=B F .5 分

42、(2)解：可猜想a,b c 之间存在关系：a2+b2=c2.6分证一：由题意知，AE=AE,.由（1）知 B E=B F .在 中，N A=9(T,A E=a AB b B E=c,：.a2+h2=c2.8 分证二：由题意知，B E =B E.由(1)知 B F =B F,：.B F =B E.在 R t Z AE 8中，.N A=90,AE,=a A B =b B E =c,：.a2+h2=c28 分（0 8福建龙岩2 5题）2 5.（1 4分）如图，等腰梯形ABC D中，AB=4,C D=9,Z C=6 0 ,动点P从点C出发沿C D方向向点D 运动，动点Q同时以相同速度从点D 出发沿DA

43、方向向终点A 运动，其中个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.（1）求 A D 的长；（2）设 C P=x，问当x为何值时P DQ 的面积达到最大，并求出最大值;（3）探究：在 BC 边上是否存在点M使得四边形P DQ M 是菱形？若存在，请找出点M,并求出BM 的长；不存在，请说明理由.（0 8福建龙岩2 5题解析）（1 4分）（1）解法一：如图2 5-1过 A 作 A E L C D,垂足为E .依题意，D E=9=-4 =?5.2 分2 2D E 5在 R t Z X ADE 中，AD=-=x 2 =5.5 分co s 6 0 0 2解法二：如图2 5-2CPD过点A 作 AE B

44、C 交 C D 于点E,则C E=AB=4.2 分Z AE D=Z C=6 0 .图 2 5-2又；/D=/C=6 0 ,.AE D是等边三角形.AAD=DE=9-4=5.5 分(2)解：如图2 5-1V C P=x,h 为 P D 边上的高，依题意，4 P D Q 的面积S可表示为：S=-P D h .6 分2=(9x)x ,s i n 6 0 2=(9xx2)4右，,81V3,、=-(x )+-.84 2 16由题意,知 0 x 5 .9 分Q O 1 Pl当 x 二一时(满足0 x A B),将纸片折叠一次,痕E F交4。边于E,交BC边于尸，分别连结A F和C E.(1)求证：四边形A

45、 F C E是菱形：(2)若A E =1 0 c m,4AB/的 面积为2 4 c m2,求AAB/的 周长；(3)在线段AC上是否存在一点P,使得2A2=A C4？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.使点A与C重合，再展开，折(第2 5题)2 5.解：(1)连结E F交AC于。，当顶点A与C重合时，折痕E E垂直平分A C,O A =OC ,Z A OE =NC OF=9 0.1 分在平行四边形A 8 C O中，A D/B C ,：.Z E A O =ZF C O,.-.A t 2 E C OF.：.O E =O F.2 分四边形A E C E是菱形.3分(2)四边形

46、A/C E是菱形，：.AF=A E =W.设 A 8=x,B F =y,v ZB =90,x2+/=100.4 分（x +y）2-2x y=1 0 0 又4行=2 4,；x y =2 4 ,则 孙=4 8.5 分由、得：（x+y =1 9 6.6分;.x +y =1 4,x +y =-1 4 （不合题意舍去）.A 877 的周长为 x +y +A F =1 4+1 0 =2 4.7 分(3)过E作“，AO交AC于P ,则P就是所求的点.证明：由作法，Z A E P =90 ,9 分由(1)得：ZA OE =90 又 N E A O =N E A P ,A E P,.丝=殁，则 A E?=A0

47、A P.1 0 分A P A E1,1.四边形AFCE 是菱形，：.A O =-A C,：.A E2=-A C AP.1 1 分2 22 A E2=A C A P.1 2 分(0 8湖北恩施1 8题)1 8.(本题满分8 分)如 图 7,在平行四边形A B C D 中，/A B C 的平分线交C D 于点E,X V Z A D F=-Z A D C,2ZC B E=-ZA B C2 ZA D F=ZC B E6分A A A D F A C B E A F=C E8 分(0 8湖北恩施2 0 题)20.(本题满分8 分)如 图 8,C为线段B D 上一动点，分别过点B、1)作 A B 1 B D

48、,ED IB D,连接 A C、EC.已知 A B=5,D E=1,B D=8,设 C D=x.(1)用含x的代数式表示A C+C E 的长；(2)请问点C满足什么条件时,A C+C E 的值最小？(3)根据中的规律和结论,请构图求出代数式J/+4+7(1 2-%)2+9 的最小值.E图 8(0 8湖北恩施2 0 题 解 答)解：(1)7(8-%)2+2 5 +1.2 分(2)当A、C、E 三点共线时,A C+C E的值最小 4分(3)如下图所示,作B D=1 2,过点B作 A B _ L B D,过点D作 ED _ L B D,使 A B=2,ED=3,连结A E 交 B D 于点C.A E

49、 的 长 即 为 代 数 式+4 +)(1 2 +9 的最小值.6 分过点A作 A F B D 交 ED 的延长线于点F,得矩形A B D F,则 A B=D F=2,A F=B D=8.所以A E=9+(3 +2=13E即 y/x2+4+7（1 2-X）2+9 的最小值为 13.8 分（08湖北黄冈）1 2.如图，已知梯形A8C7）中，A D/BC,N8CO=6 0 ,则下列说法正确的是（）A.梯形A8CO是轴对称图形 B.BC=2ADC.梯形A8CO是中心对称图形D.AC平分NDC6AB=CD=AD,AC,8。相交于。点,（08湖北黄冈）1 4.（本题满分7分）已知：如图，点E是正方形A

50、8C 0的边A B上任意点，过点。作D P L D E交6 c的延长线于点尸.求证：DE=DF.（08湖北黄石26题）2 6.（本小题满分9分）如图，NA5M为直角，点C为线段6A的中点，点 是射线B M上的一个动点（不与点3重合），连结AD,作5 E J.A O,垂足为E,连结C E,过点E作交BD于F.（1）求证：BF=FD；（2）NA在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并说明理由：（3）NA在什么范围内变化时，线段。E上存在点G,满 足 条 件 并 说 明 理 由.4（08 湖北黄石 26 题解答）（1）在中，v AC BC,：.C E -A B,；.CB=CE,2：.NCEB=Z