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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知函数/（箝=得*+2）e x（t 0）,若函数f（x）在x eR上有唯一零点，贝心的值为（）A.1 B.,或 0 C.1 或 0 D.2 或 022 .已知函数/（x
2、）=c os xs in 2 x,下列结论不正确的是（）A.y=/（x）的图像关于点（匹0）中心对称B.y=/（x）既是奇函数，又是周期函数c.y=/（x）的图像关于直线X 对称 D.y=/（x）的最大值是乎3 .已知抛物线。：9=4 2%（0）的焦点为尸，过焦点的直线与抛物线分别交于A、B两点，与），轴的正半轴交于点S,与准线/交于点T,且|/%|=2|A S|,则黑=（）I I2 7A.-B.2 C.-D.35 24 .已知x,y&R,则是，一0）经 过 点 皿2,2立），焦点为尸，则 直 线 板 的 斜 率 为（）A.2 7 2 B.也 C.旦 D.-2夜4 26 .2020年是脱贫攻坚
3、决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁 4 名干部派遣到A、B、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A县的分法有（）A.6 种 B.12 种 C.24 种 D.36 种7 .复数z=一G是虚数单位）在复平面内对应的点在（）2-zA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8 .设集合 A =X|%2 -5%-6 v。,B =1 x|x-2 0 1,则 A B =()A.1 x|-3 x 2 C.1 x|-6 x 2 B.1 x|2 x 2 jD.1 x|1 x 0,b 0）的焦距为2 c.点A为双曲线C的右顶点，若点A到双曲线C的渐a2 b2近线的距离
4、为c,则双曲线C的离心率是（）2A.7 2 B.7 3 C.2 D.31 2 .函数y=c os 2 x-A s in 2 x xe 0,）的单调递增区间是（）c冗 c兀 71 71A.0,7 B.0,C.D.L 6 j L 3 1 6 2 J L二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。1 3 .已知全集。=1,0,1,集合A =0,|x|,则电A=.1 4 .双曲线=1的焦距为_ _ _ _ _ _ _ _,渐近线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _.5 41 5.已知数列他.的前“项和为S“且满足S“+a“=-2,则数列%的通项%=.1 6.已知F 为抛物线C：*2=力的焦点
5、，尸为C 上一点，M(-4,3),则PMF周 长 的 最 小 值 是.三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在 AABC中，内 角 所 对 的 边 分 别 为 a/,c,已 知 出 b,且cos2 A-cos2 B-3 sin A cos A-V3 sin 5 cos B(I)求角。的大小；(H)若。=石，求 AABC面积的取值范围.18.(12 分)已知数列 4 满足，4=1,%=4,且 4+2-4。“+1+3。“=0(”1).(1)求证：数 列 为 等 比 数 列，并求出数列 4 的通项公式；(2)设=2 a“，求 数 列 也 的前项和S”.19.
6、(12 分)已知 a e R,函数=,g(x)=x-ln(x +l)(e =2.71828 是自然对数的底数).(I)讨论函数/(x)极值点的个数；(E D 若 a=l,且命题“V xe 0,”)，/(x)2%g(x)”是假命题，求实数攵的取值范围.20.(12分)已 知 a,4 c 均为正实数，函数/(x)=%+，+%-*+*的最小值为1.证明：a2+b2+4c2 9;21.(12分)在直角坐标平面中，已知AABC的顶点A(2,0),8(2,0),。为平面内的动点，且 sinA sinB+3cosc=0.(1)求动点C 的轨迹。的方程；(2)设过点尸(1,0)且不垂直于x 轴的直线/与。交于
7、P,R 两点，点 P 关于x 轴的对称点为S,证明：直线RS过 x轴上的定点.r2 v2122.(10分)已知椭圆C：J+4=l(。人0)，与 x 轴负半轴交于A(-2,0),离心率e=.b 2(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线/：)，=+”与椭圆C 交于N(w，%)两点，连接A M，A N 并延长交直线x=4 于(%),、1 1 1 1(X 4，乂)两点，已知一+=+，求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标.乂 2%”参考答案一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】求出函数的导函数，当”0时，只需/(-l n
8、f)=o,即l n f+l =0,令g )=l n f l +l,利用导数求其单调区间,t t即可求出参数/的值，当。=0时，根据函数的单调性及零点存在性定理可判断；【详解】解：.*)=膏*+-2)4-X (/(),A fx)=2te2x+(t-2)e -1 =(f e*-1)(2 e*+1),.当f 0时,由 /(x)=()得x =-I n r,则/(X)在(F,-l n/)上单调递减，在(I n/,”)上单调递增，所以/(I n r)是极小值，.只需/X l n f)=0,即 I n f 1 +1 =0.令 g Q)=l n f 1+l,贝 i J g (r)=1 +l 0,.函数 g(t
9、)在(0,+8)上单t t t t调递增=0,.”=1；当f =()时，f(x)=-2ex-x,函数，(x)在R上单调递减,V/(l)=-2 e-l 0,函数在R上有且只有一个零点，的值是1或0.故选：C【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，零点存在性定理的应用，属于中档题.2.D【解析】通过三角函数的对称性以及周期性，函数的最值判断选项的正误即可得到结果.【详解】解：A:f(2jr-x)=cos(2-x)sin 2(2-x)=-cosxsin 2x=-/(x),正确；B：/(-x)=cos(-x)sin2(-x)=-cosxsin2x=-f(x),为奇函数，周期函数，正确；C:/(万一
10、工)=cos(万 一 x)sin2(一1)=cosxsin2x=/(x),正确；D：y=2sinxcos2x=2sinx-2sin3x,t =sinXf f w 1,1则 g(1)=2 2 r,g,(t)=2-6 r ,/e -l,1,则 r 时g(/)0,-1 r或1 /时g(f)。，即g(f)在 一 印 上 单 调 递 增，在-1,一 曰 和 *上单调递减；且g V =绰，g(T)=，fig4=半 与，故D错误.故选：D.【点睛】本题考查三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断函数最值，属于中档题.3.B【解析】过点A作准线的垂线，垂足为“，与)轴交于点N,由|E4|=2|AS|和抛物线
11、的定义可求得|T 5|,利用抛物线的性质 府 +同=方 可 构 造 方 程 求 得 忸 目，进而求得结果.【详解】过点A作准线的垂线，垂足为“，AM与 轴交于点N,由抛物线解析式知：F（P，O）,准线方程为 =-P.M =2AS,=：.AN=OF=j,：.AM=P，A 1 2由抛物线定义知：|AF|=|A M|=p,.Ms|=/k同=，.|S月=2p,.网=|S尸|=2 p.1 1 2 1 3 1 1 ,由抛物线性质府+网=1=万得：而+西=丁 解 得 网=.冏=竺,西 一）-.故选：B.【点睛】本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.4.D【解析】
12、x X%y,不能得到一 i,一 1成立也不能推出x y,即可得到答案.y y【详解】因为x,yeR,|x当x 1,2 yX故时，一 1不成立，yX当一 1时，不妨取x=2,y=-l,则 不 成 立，y综上可知，“X y”是“一 0）经过点M（2,2夜）（2?=2 p x2,P=2,F（1,O）,kM F=22,故选：A【点睛】考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题.6.B【解析】分成甲单独到A县和甲与另一人一同到A县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到A县的分法数.【详解】如果甲单独到A县，则方法数有C；x=6种.如果甲与另一人一同到A县，则方法数有C；x$=6种.故总的方法数有6+
13、6 =1 2种.故选：B【点睛】本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.7.B【解析】利用复数的四则运算以及几何意义即可求解.【详解】i/（2+z）-l +2 z 1 2.解：Z=-=-T =-=-1-I 92-i（2-z）（2 +z）5 5 5则复数z=!（i是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：I2-i 5 5）位于第二象限.故选：B.【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题.8.D【解析】利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可.【详 解】由题意知，集合 A=|x|-l x6,B=x|x 2,由集合的交运算可得,A c 6=x|-l x 2.故选:D【
14、点 睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题.9.A【解 析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可利用排除法解得；【详 解】解：依题 意，/（_*）=+（x）2 cos（尤）=皿+1 cosS=（X）,故 函 数/（X）为偶函数，图象关于），轴-x 20 x 20对 称，排 除C；%2 4 2而/（万）=一 女 0,排除 D.故选：A.【点 睛】本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于基础题.10.A【解 析】根 据 加=2或 机+2=2,验证交集后求得加的值.【详 解】因 为A B=2,所 以m=2或M+2=2.当，%=2时，A 5=2,4,不符
15、合题意，当 机+2=2时，加=0.故选A.【点 睛】本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题.11.A【解 析】由点到直线距离公式建立。1,C的等式，变形后可求得离心率.【详 解】b,ab 1由题意A(a,O),一条渐近线方程为y=x,即 区-a y=o,：,d=-j=-c,a 7 a+b 2ab 1 2 o n -0-)1 2 4 4 2”，、r rT =C，即-=c，e4 4e2+4=0 e=v2 c 2 4c2 4故选：A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础.1 2.D【解析】利用辅助角公式，化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，并采用
16、整体法，可得结果.【详解】因为 y =c o s 2 x s i n 2 x =2 s i n(-2 x)=2 s i n(2 x-),由1-2 4 万W 2 x W-12k/c,k GZ,解得 6 6 2 6 2T T T T TT-+k 7 r x MQ|=5,当 且 仅 当 ,P,Q三点共线时，等号成立，所以 PMF的周长最小值为5+J(-4)2+(3-2)2=5.故答案为：5+V17.【点睛】本题考查抛物线定义的应用，考查数形结合与数学转化思想方法，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(I)C=3；(II)S.(O孚【解析】(I)根据 cos
17、?A-cos?5=G sin Acos A-6 s in 3 c o s 8,利用二倍角公式得到1 +cos2A l+cos2B 石 G 乃、.(n )-=sin2A-sin2 5,再由辅助角公式得到sin 2 A-=sin 2 B-,然后根据正2 2 2 2 I I 6)弦函数的性质求解.(D)根 据(I)由余弦定理得到3=/+而，再利用重要不等式得到曲W 3,然后由sine求解.【详解】（I）因为cos?A-cos2 B=V3 sin A cos A-V3 sin B cos B,所以1 +cos 2A21 +cos 2B _2 sin2A-sin2B2 2 s in 2 A-=s i n
18、 2 f i-,2 2 2 2sin2A-J=sin|2B-J,2A-=2B-或 2A-卜 2B-=冗,6 6 6 6A =6 或 A+B 言，因为山b,所以A+八 年所以c=；3（II）由余弦定理得：c2=a1+b2-2abcosC 所以/+Z?2=3+ab lab所以 W 3,当且仅当a=b取等号，又 因 为 疝b,所以a,3,所以S,=ahsinc=2乎做（。苧【点睛】本题主要考查二倍角公式，辅助角公式以及余弦定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.1 8.（1）证明见解析；。=老二!（2）S（21）3 川+3 （+D 2 n 4 2【解析】（1）根据题目所给递推关系式得到4+2一4+
19、1=3（4+1一。“），由此证得数列。，向-4 为等比数列，并求得其通项公式.然后利用累加法求得数列%的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得数列出 的前项和S“【详解】（1）已知a“+2-4a+|+3a“=0,则见+2一%+1=3(%+1一凡)，且%-4=3,则%+“”为以3为首相，3为公比的等比数列，“3 一 1所以4+1 =3”,an=(-0时，.“X)有一个极小值点.(2)(1,+?)【解析】试 题 分 析：(1)f (x)=ae*-l,分 aWO,a 0 讨论，当 a W O 时，对 V x w R,f (x)=ae*-1 0 时f (x)=O,解得x=-ln a,f(x)在(一,I
20、 n a)上是减函数，在(I n a,+。)上是增函数。所以，当a W O时，f(x)没有极值点，当a 0时，f(x)有一个极小值点.(2)原命题为假命题，则逆否命题为真命题。即不等式f(x)l讨论。试题解析：(I )因为f(x)=a e*-x 1,所以 f(x)=a e l,当 a 0 时，对 V x e R,f(x)=a ex-l 0时，f(x)=a e X-l,令f(x)=O,解得x =ln a,若x e(-o o,-ln a),贝！J f(x)0,所以f(x)在(-I n a,+00)上是增函数，当x =-I n a时，f (x)取得极小值为f (-ln a)=ln a ,函数f (x
21、)有且仅有一个极小值点x =-I n a,所以当a W O时，f(x)没有极值点，当a 0时，f(x)有一个极小值点.(H)命题“W x e 0,+8),f(x)?k g(x)”是假命题，贝 Txe 0,+e),f(x)k g(x)”是真命题，即不等式f(x)0,所以h(x)在 0,+巧上是增函数，h(x)h(O)=O,即F(x)“，所以F(x)在(),+“)上是增函数，所以F(x)F(0)=0,即f(x)2 k g(x)在xG 0,+8)上恒成立.k当k l时，因为h(x)=e-而1在 0,+力)是增函数，因为h(O)=l k 0,k所以h(x)在(O,k-l)上存在唯一零点x ,当xw 0
22、,x 0)时,h(x)h(X o)=O,h(x)在 0,x 0)上单调递减,从而h(x)w h(o)=o,即F(x)W 0,所以F(x)在 O,X o)上单调递减，所以当 X e(O,X o)时，F(x)F(O)=O,即 f(x)k g(x).所以不等式f(x)0,则函数“、1 1 1 、1 /1、1 111/=尤+靛+x-手+疔 龙+/-(无 下)+0=/+*+记，又函数/(x)的最小值为1,即1 1 1=1 9由柯西不等式得(+h2+4c2)(1+1 +1)2=9,当且仅当a=b=2c=g时取“=”.故/+/+府2(2)由题意，利 用 基 本 不 等 式 可 得 一?-,r+r -,+,a
23、 ab b 4c be a 4c ac(以上三式当且仅当a=b =2c=C时同时取“=”)，、1 1 1 ,由 知,/+乒+后=1，所以，将以上三式相加得二+2-+-二 2二+k+7方=2ab be ac a b 4c J即ab 2bc lac【点睛】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题.2 221.(1)+-=1 (y r O)；(2)证明见解析.4 3【解析】-y V(1)设点C(x,y),分 别 用.表示sin 4、表示sin 3和余弦定理表示cosC,将sin Asin3+3cosC=0表|AC|I oC|示为3、y的方程，再化简即可；设 直 线方程
24、代入Q的轨迹方程，得（3，+4）丁+6叫,_9=0,设点P（%，x）,/?（x2,y2）,S（3,-y J,表示出直线R S,取y=0,得x=4,即可证明直线RS过 左轴上的定点.【详解】（1）设C（x,y）,由已知sinAsin3+3cosC=0,.y2,A C B C -A B _ +3 x U,AC-BC 2AC-BC.y2+3x（x+2）2 +y 2+d-6=0（尸0）,2化简得点C的轨迹。的方程为：r2+v-2=1 （y#0）；4 3（2）由（1）知，过点b（l,0）的直线/的斜率为（）时与。无交点，不合题意故可设直线/的方程为：x=my+l（加/0）,代入。的方程得：（3+4）9
25、+6 叼 9=0.设P（x”y J,R（9,%），则S（3,-y）,6m 9x+9 ，）1 y2 =7 .-3m+4-3m+4，直线RS：y+y=%+卜 一/）.x2-x令 y=0,得x=%（%-内）+内=M+XM =（冲2+1）+（，3+1）上=2 mxy2+（X+%）=2 mxy2 +1 =2加1 3疗+4）+=4.%+X%+%6?3m2+4直线RS过x轴上的定点（4,0）.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法、余弦定理的应用和利用直线和圆锥曲线的位置关系求定点问题，考查学生的计算能力，属于中档题.2 222.(1)+-=1 (2)证明见解析；定点坐标为(1,0)4 3【解析】(1)由条件直
26、接算出即可y=kx+m,2(2)由 /2 得(3+4攵+8如a+4病 一2=0,X +工2=_8,=痴,由心根=心。可上 +匕=1.v -3 +4公 1 2 3 +4公14 36y.6%1111得 力=一 ，同理=一：，然后由一+=一 +一 推出2 =-%即可玉+2 +2 乂%为【详解】c 1(1)由题有Q=2,e =；。=1,工 =2 一2=3.a 22 2.椭圆方程 为 工+二=1.4 3(2)由,y=kx-vm,x2 y2 得(3 +4%2)工2+8加a+4加2 -12=0 4 3 =6 4/病 一4(3 +4/)(4 w2-0 n 病 4y+%-玉+2 r,-+2(y+%)X%6 M 6%6 y ly 24(%+%)=%必 +无2%:.4(3 +m +A x 2+相)=斗(京2+根)+x式 H +m)，(4左一根)(再+/)-2AXJX2+8/7：=0：（4kni）-8km3+4/-2k（W-1 2）3+4严+8 m=0=24（左 +m）3+4k2=0m=-k，此时满足 nr 4k+3y=kx+m=k(x l).直线MN恒过定点(1,0)【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.