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1、2020-2021学年银川市长庆高级中学高二上学期期末数学试卷(理科)一、单选题(本大题共1 3小题，共65.0分)1 .己知复数z =(l+2 i)2,则z的 实 部 为()A.-3 B.2 C.4 D.4 i2 .已知曲线y =f(x)在x=5处的切线方程是y =-x+8,则/(5)与/(5)分别为()A.3 1 3 B.3,1 C.1 ,3 D.-1,13 .8.下列命题为真命题的是A.已 知&b e R,则“-二(一”是“彳o且b。”的充分不必要条件abB.已知数列2 j为等比数列，则“%对%”是 4$”的既不充分也不必要条件C.已知两个平面3,若两条异面直线必，为满足M二a,w u/
2、5且 谢/p ,n/cc,则a/pD.三飞 e(-x,O),使3 0,若对任意T H 6(0,+8),关于X的不等式0-1)靖 一(/(x),若l a2,则()A.f(2。)/(2)/(lo g2a)C.f(log2d)f(2。)/(2)7.下列结论中，正 确 的 是()B./(2)/(Z o5 2a)/(2a)D.f(log2a)/(2)a c B.b a=c C.a=c b D.c a b1 0 .已知等差数列 an 的公差d H 0,首项的=d,数列 W 的前几项和为方,等比数列 4 是公比q 小于1 的正弦有理数列，首项瓦=d 2,其前n 项和为q,若光是正整数，则q 的可能取值为()
3、A.；B.5 C.；D.；7 7 2 41 1 .若a、b 分别是方程x +I g x =4,x +1 0 x=4 的解，/(x)=+2,X 02 x-l 的解的个数是()A.1 B.2 C.3 D.41 2 .赣州市为支援边远山区的教育事业，组织了一支由1 3 名教师组成的队伍去支教.记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“(1)有中学高级教师；(2)中学教师不多于小学教师；(3)小学高级教师少于中学中级教师；(4)小学中级教师少于小学高级教师；(5)支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；(6)无论是否把我计算在内，以上条件都成立.”由队长的叙述可以推测出他的学
4、段及职称分别是()A.小学中级 B.小学高级 C.中学中级 D,中学高级1 3 .如果函数/+2 伍-1)1+2 在区间(-0 0,4 上是减少的，那么实数费的取值范围是A.a 4-3 B.C.&45 D.a)5二、单空题(本大题共4小题，共 2 0.0 分)1 4 .设be凡 i 为虚数单位，若(a+5)i=2 5 i,则ab 的值为1 5 .若不等式“2 5 x +60的解集为(a,b),则券瑞=.1 6 .在x克a%的盐水中，加入丫克/?%的盐水，浓度变为c%,则x与y的 函 数 关 系 式 为 .1 7 .已知函数f(x)=2 x -g(x),若函数y =f(x)的图象在点(2,/(2
5、)处的切线方程为y =-x -1,贝叼(2)+g 2)=.三、解 答 题(本大题共7小题，共8 2.0分)1 8 .已知函数/(%)=ax +b d x +c(a,b,c是常数)在x =e处的切线方程为(e -l)x +e y -e =0,且f(l)=0.(I)求常数a,b,c的值；(H)若函数g(x)=x2+e R)在区间(1,3)内不是单调函数，求实数的取值范围.1 9 .(/)生活中有这样的常识，若/)克糖水中含糖“克，在此糖水中加糖X克，则糖水浓度会变大,因而显得更甜.当。，瓦X均是正数，且0小时，根据此现象写出一个不等式并予以证明；()证明：设的三边，求证：_ 9一+丝+_ 2,n&
6、N+).(1)求。2,。3,。4的值，并猜想数列 an的通项公式内,.(口)用数学归纳法证明你猜想的结论.2 2 .已知x =1是函数/(x)=(ax -2)e*的一个极值点.(a e R)(I)求a的值；(H)当x2 G 0,20 t,证明：/(x i)-/(x2)e.2 3.用一边长为1米，另一边长为a(0 a 1)米的矩形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个长为x的小正方形，然后把四边翻折90。角，再焊接而成，设该容器的容积为/(%).(1)求的表达式，并写出它的定义域；(2)求容器的容积的最值，并说明理由.2 4.(本小题满分12分,(I)小问5分,(口)小问7分)已知函数曾解$
7、=上色二.X：F 3飞(I)若函数和 或在区间I硼,微北蔡前耽涉麟上存在极值，求实数腾的取值范围；1 鲁,7,(1)设 减 颍=；八 礴 撼-3 1若对任意需您:卿焉:恒有修侬炉工：-鼠 求实数僦的取值范围.参考答案及解析I.答案：A解析：解：复数z=(l+2i)2=-3+4i,则z的实部为一 3.故选：A.利用复数的运算法则即可得出.本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.2.答案：B解析：本题考查了导数的几何意义，属于基础题.利用导数的几何意义得到/(5)等于直线的斜率-1,由切点横坐标为5,得到纵坐标即/(5).解：由题意得/(5)=-5+8=3,f(5)=-1.
8、故 选:B.3.答案：C解析：选项,4中，才+“4-2=才+2=(+;W 0 =a b 0且6 0的必要不ab ab ab充分条件，所以月错；选项B中，由得，或，?0 ,可以推出。4。5；但若。4 0 q 1数列有可能是摆动的等比数列，如：1,T,1,-1,1,-1，此时推不出外 /生，所以3错；选项。中，当x 0(*。=1 =3%4%,所以。错.故答案为C.4.答案：B解析：解：令f (m)=m-ln(?n+1)-l(m 0),则Jf(m)=1-=-0,)m+l m+l所以f(m)在(0,+8)上单调递增，所以/(m)/(0)=-4,故问题转化为至少存在两个正整数,使得1)蜡 W:-1成立，
9、设g(x)=(X -l)e，/l(x)=y 1,则 g(x)=xe*,当x 0时g(x)0,g(x)单调递增；由于a0,当x 0时，/i(x)也单调递增.又g(l)=0,h(1)=/-1,因为(x -1)/-y m-l n(m +1)-l(e为自然对数的底数)至少有2个正整数解，所以g S/i，且g S/i(2),即0.2故选：B.构造函数f(m)=m-l n(m +1)-l(m 0),利用导数可求得/(m)/(0)=-1,于是问题转化为至少存在两个正整数x,使得(*-1)峭49一1成立，再分别设g(x)=(x -l)e,/i(x)=y-l,通过导数研究它们的单调性，从而可得答案.本题考查了利
10、用导数研究函数的单调性及参数问题的求解，突出考查了等价转化思想及逻辑思维能力、综合运算能力，属于难题.5.答案：B解析：试题分析：由于综合法是从条件入手，推出结论，那么命题“对于任意角僦 由 卡 磅 一 品/图=百%叙 的 证 明：应当“踊靖剧图=:触壁基 筋 端M i i微除需 爵 S 盗a 用g =麴解 费 遥W.葭=蹈鼠 1翁 满足时，根据现有的结论公式推理得到，故是综合法，选8.考点：综合法点评：主要是考查了综合法来证三角恒等变换的运用，属于基础题。6.答案：D解析：解：函数/(x)对任意的X C R都有/(x)=f(2-x),则函数f(x)关于直线x =1对称.当x4 1时，其导函数
11、尸(%)满足x f (x)f(x),则(x -l)f (x)0,xl时，f(x)0,此时函数/(x)单调递增；xl时，f(x)0,此时函数/(%)单调递减.若 1 a 2,则 0 l o g 2a 1 2 2a,/(l o g2a)=f(2 l o g2a),2 l o g 2a e (1,2),/(l o g2)=/(2-l o g2a)f(2)f (x)，可得(x -l)f (x)0,进而得到单调性.若la2,则0 l o g?。1 2 0时，/(%)=ex-*此时尸(x)=ex-x-l,则,(x)=ex-l,在区间 0,+8)上，/(%)=ex-l 0,则1(x)为增函数，则有(无)2/
12、(0)=0,则/(x)在区间 0,+8)上为增函数；则有/(a)/(l n 或)，即b a,综合可得：b a=c；故选：B.根据题意，由偶函数的性质可得/(I n 烟=/(I n 条，即a =c,由函数的解析式求出/(x)和/(x),结合导数与函数的单调性分析可得f Q)在区间 0,+8)上为增函数，分析可得ba,据此分析可得答案.本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，涉及对数的比较，属于基础题.10 .答案：C解析：解：等差数列 an 的公差d 力0,首项%=d,可得见 i =nd,数列 成 的前几项和为,则加=d2(l2+22+-+n2)=w(w+1)(2 n+1)d2,6S3 _
13、3X4X7 d 2 1-6 d2(l+q+q2)=会 是 正 整 数，将选项代入可得q =；，金是正整数8.故选：C.运用等差数列和等比数列的通项公式，化简可得引=就 定 是 正 整 数，代入选项，即可得到所求值.本题考查等差数列、等比数列的通项公式和求和公式，考查运算能力，属于中档题.11.答案：B解析：解：a b分别是方程x +仞 =4,x +10*=4 的解，a+Iga=4,b+10b=4,a=l Of 4-b =10b,故 Q=4 b,即 Q+b=4；当 0时，方程f (%)=2x 1可化为2=2%1,解得，X=|;故关于x的方程f (x)=2 x-1的解的个数是2,故选B.由题意可得
14、Q=IO4-。，4-h=10ft,再作出函数y=4-与y=10 的图象，从而可得a+b=4；从而解得.本题考查了对数函数与指数函数的互化与应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题.12.答案：A解析：解：设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为a,b,c,d,则 a+Z?+c+d=13,d 1,c+dW a+b,b c,a b,所以 13 (a+b)W a+b,所以 a+b 之 7,c+dW 6,若a+b=7,贝！Jc+d=6,因为a 1,所以c 4,因为b c,所以b 5 b矛盾，当队长为小学中级时,去掉队长,则a=2,b=4,c=5,d=1,满足d=l l.c +d=6 a
15、 +b=4,b=4 c =5,a=2 b=4,当队长为小学高级时，去掉队长，则a=3,b=3,c=5,d=l,不满足a b,当队长为中学中级时，去掉队长，则a=3,6=4,c=4,d=1,不满足b c,当队长为中学高级时，去掉队长，则a=3,6=4,c=5,d=0,不满足d 2 1,综上可知队长为小学中级，故选：A.先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一讨论即可得解.本题考查了简单的合情推理及分类讨论思想，属中档题.13.答案:A解析：解析：函数|f(x)=x 2+2(a-l)x+2 是开口向上,对称轴为需=1-麟的抛物线；所以在区间，一 4 上是单调减函数,需满足3 1-谢速q,二阑七-31故
16、选A14.答案：10解析：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题.解：由(a+b i)-i=2 53得 b+ai=2-5 i,即a=5,b=-2.贝！Jab=-5 x(-2)=10.故答案为10.15.答案:解析：解：不等式一一 5X+6 rm-3-故答案为：先解一元二次不等式，求得Q,b的值，将其代入，分式同除3、可求得极限值.本题主要考察求一元二次不等式的解集，求极限，属于基础题.16.答案：y=x解析：解：根据题意，得；x-a%+y b%=(%+y)c%,化简得，Q%+by=(%+y)c,即y(b-c)=ex ax,c-a,y=x故答案为：y=港 北根据溶液的含盐量，列出方程x-a%
17、+y-b%=(x+y)-c%,求出x与y的函数关系式.本题考查了根据溶液的含盐量，求函数关系式的应用问题，是基础题目.17.答案：10解析：解：因为y=f(x)的图象在点(2,/(2)处的切线方程为y=-x-l,二(=-1,/(2)=-2-1=-3./(2)=2 x 2-g(2)=-3,A g(2)=7.又因为f(x)=2-g(x),(2)=2-g(2)=-1,g=3.5(2)+(2)=10.故答案为：10.先根据y=的图象在点(2,f(2)处的切线方程为y=-x-l,求出/(2)和(2)的值，然后利用/(x)=2 x-g(x),求出/2)、g(2)的值即可.本题考查导数的几何意义和运算，同时
18、考查学生的运算能力和逻辑推理能力，属于基础题.18.答案：解：(I)由题设知，/0)的定义域为(0,+8),f，(x)=a+5,/(%)在x=e处的切线方程为(e-l)x+ey-e=0,/(?)=一 等，且f(e)=2-e,即。+3=一”，且ae+b+c=2-e,又/(1)=Q+C=0,解得Q=1,b=1,c=l(5分)()由(I)Ml/(x)=-x +Inx+l(x 0)g(%)=%2+m/(x)=%2-mx+minx+m(x 0):.g(x)=2%=(2x2 mx+m)(x 0)(7分)令d(%)=2x2 mx+m(x 0).(i)当函数gO)在(1,3)内有一个极值时，g(x)=0在(1
19、,3)内有且仅有一个根，即d(x)=2x2 mx+m=0在(L3)内有且仅有一个根，又,d(l)=2 0,当d(3)=0,即m=9时,d(x)=2x2 mx+m=。在(1,3)内有且仅有一个根%=|,当dR 0时，应有d 0,即2x32-3m +n i 9,A m 9.(ii)当函数g(x)在(1,3)内有两个极值时，g(x)=0在(1,3)内有两个根，即二次函数d(%)=2x2-mx+m=0在(1,3)内有两个不等根，=m24 x 2 x m 0d(l)=2 m+m 0d(3)=2 x32-3m +m 0,解得&m 9.V 0),分类讨论，建立不等式，即可求实数m的取值范围.本题考查导数知识
20、的运用，考查函数的极值，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题.19.答案：解：(/)写出一个不等式为：2 0：b(6+x)0 a+x a _(J)-a)x b+x b 网b+力,c m。b c()证明：由(/)的结论得，见b,c 0,且 ,-,均小于1,D +C C +。4+。a la b lb c 2c二-:,-,-b+c a+6+c C+Q a+b+c a+b+6+ca b c la lb 2c.b+c c+a a+b a+b+c a+b+c a+b+c解析：本题主要考查不等式证明的应用，熟悉分析法和综合法证明不等式是解答本题的关键，是高考中常见的题型，属于中档题.(/)
21、首先写出一个不等式，再运用证明不等式的方法即可求解；()由(/)的结论得到6,c 0,且 二,上-,三 均 小 于1,再运用综合法证明即可求解.b+c c+a a+b20.答案：解:(I)求导函数,可得/(#)=d +a,在x=2处取得的极小值是一(2)=0,八2)=-(8 44+a=0,F 2u+b=.3 3a=-4,6=4.(口)由(1)知(%)=/一4,由(%)=0,得 =2或一2.比较端点值和极值得出函数%)的最大值与最小值：/(-4)=-p -2)=拳 2)=-/(3)=1.所以/Q)的最大值为g,最小值为一：解析：(I)求导函数，建立方程，可求a、b的值，从而可求a+b的值(H)比
22、较端点值和极值得出函数f(x)的最大值与最小值.本题考查导数知识的运用，考查函数的极值与最值，解题的关键是正确求导，理解极值与最值的含义.21.答案：解：(1)%=3即=3：二 1，1113 1 7 1 a 1 a2=-f =一,Qq =?=一,a4=7 =,3x3+1 6 3 x l+l 9 3 x l+l 12猜想：an(H)：当n=l时，猜想成立，假设n=k(k 6 N*)时猜想成立，即 以=亲那么几=k+1时，ak+1ak _ 3k _ 1-i-3在+1 3 金+1 3(k+l)二 当n=k+1时猜想仍成立.根据，可以断定猜想对任意的n e N*都成立.解析：(I )由 题 意=3即代
23、入计算，可求。2、。3、值，并根据规律猜想出数列%的通项公式；(n)检验n=1时等式成立，假设n=k 时命题成立，证明当n=k +1时命题也成立.本题主要考查归纳推理，数学归纳法.考查运算化简能力、推理论证能力、化归转化思想.22.答案:(I)解：已知/(*)=(稣+&-2)靖,f(l)=0,a =1.当a =1时，f(x)=(%-l)ex,在x =1处取得极小值.(H)证明：由(I)知,/(%)=(x-2)ex,f(x)=(x-l)ex.当x e 0,1 时,f(x)=(x-l)ex 0,f Q)在区间(1,2 单调递增.所以在区间 0,2 上，f(x)的最小值为f(l)=-e,又/(0)=
24、-2,/(2)=0,所以在区间 0,2 上，f(x)的最大值为/(2)=0.对于刀 2 6 0,2 有/1(X 1)f(%2)-A na x Q)所以-1。2)0且满足I：=2、0,解得o x 0 /(%)的表达式为f(x)=4%3-(2a+2)x2 4-a x,它的定义域为(0,).(2)v /(%)=4 x3 (2a +2)x2+a x,x G (0,|).:./(%)=12x2 (4 a +4)x +a,由/Q)=0,得 X =a+l+、所 工 或 =a+I a F6 6.当 a =1时，容器的容积取最大值，由广(乃=0,得=1 喑叵=)舍)，或x=y 三 叵=?当x 6(0,时，f(x
25、)0,%)单调递增；当x e g,时，f(%)0,/(x)单调递减.二容器的容积的最大值为：/(5=64*$一4 铲+”合 春解析：(1)由长方体的体积计算公式能求出/(%)的表达式和它的定义域.(2)求出(x)=12x2-(4a +4)x +a,利用导数的性质能求出容器的容积的最大值.本题考查函数的表达式及其定义域的求法，考查容器的体积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用.24.答案：(1)点 毒；(n)如:谢士：解析：试题分析：(I)求出函数的极值，在探讨函数在区间j 陶蹴(开二晨其中，磁泗)上存在极值,孙寻找关于m的不等式，求出实数m的取值范围；(I I)先
26、求导，再构造函数的动=入端-褊巾一制,工 溪求出h(x)的最大值小于0即可.试题解析：(I )由题意出唯前=f 竺 蛔*=一 叱 然:酒当如:需.,：4时，消 闲M旗；当察那时，,施 司 虬 所 以 踊 述 在 鲫 州 上 单 调 递 增，在以141 ssBj上单调递减，故.巽碱在需=4处取得极大值.因为函数加碱在区间咻硼存总i（其中啾油H）上存在极值，k 军心“心，.所以号 1 得”髅,*：:.即实数幽的取值范围是 邛.,工k翼）*1 JL L 曾 JM.宣（n）由题可知，研承蛹 且善（珍=：/，；%&：,因为嘉,史题盛，所以一上泡舒 飒.:喊I-磷 1-重：当斓蟾旗时，然K球?期，不合题意.当麒孕痼时，由您解加:一鼠 可得如 萼 匕 变 -1.当砥 谢玄：!时，您唯f f i,此时：糜磁空（W4壁叱所以微磁在斛圆内单调递增,又颍怎=，所以飕；向嗯趣禽:=蛹所以顾 硼底工符合条件（2）当*门 时，您鼬部注意到燃顾=：!融如磔|=蹩-礴 v励，所 以 存 在/佯 避 峨，使 得 敝 蒙=场于 是 对 任 意 需 犍 哙 削敏琼:知,督琰:“:瞰则减磁在侬R 内单调递减，又,弱既=娜，所以当在侬侬建时，题 播 A帆 不 合 要 求，综合 可得螂,:：微 匕 口.考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值.