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1、2020-2021学年上海市静安区育才初级中学八年级上学期期中数学试卷一、选 择 题（本大题共6小题，共18.0分）1.下列二次根式化简后，与旧被开方数相同的二次根式是（）A.V 24 B.V 18 C.R D.V 032.下列方程中，是一元二次方程的是（）A.x2=-2 B.%3 2x+1=0C.x2+3xy +1=0 D.或+：-5=03.如图所示，力BC中，A B =A C,4 B=36,D、E是 3 c上两点，且N 4DE =Z.A ED =2/.B A D,则图中等腰三角形共有（）A.3个 B.4个 C.5个 D.6个4.设a =2夜3,b=：,则a、6大小关系是（）A.a=b B.
2、a h C.a b5,若关于x的一元二次方程a M +b x+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（）方程M：+2=（）是倍根方程；若（x-2）（m x-n）=0是倍根方程，则n=4m或n=m-,若点（p,q）在双曲线 丫 =:的图象上，则关于x的方程p/+3x+q=0是倍根方程.6.A.B,C.D.如图所示，在 A B C h O E F中，A B =D E,AA=A D,若证 A B C m D EF还要从下列条件中补选一个，错误的选法是（）A./.A B C =乙 D EFB.乙 A C B =乙 D FEC.A
3、C=DFD.BC=EF二、填 空 题（本大题共14小题，共 28.0分）7.要使式子弟有意义，则”的取值范围为_ _ _ _ .1。-2|8化筒：底=9 .计算：石+b x 强=.10.写出2国一 3夜 的一个有理化因式：.11.一元二次方程M-8 =0的解是.12.已知x=a 是方程23%一5=0的根，代数式a?-3 a+4的值为.13.如果多项式y 2 ky +4是一个完全平方式，那么k=.14.已知三角形两边的长为3 和 4,若第三边长是方程-6x+5=0的一根，则这个三角形的形状为，面积为15.已知关于x 的方程/+（2 1+1以+上2=0的两个实数根的平方和是11,则=16.如 图，
4、已知NC=45。，写出X,y,z 的关系式17.如图，在出 A B C 中，BAC=9 0,A O是 5 c 边上的中线，E C 1 BC于。，交 B A 的延长于E,若N E =40。，则4 B Z M 的度数为18 .“有一个角是60。的三角形是等边三角形”是 命题（填“真”或“假”）19 .下面四个命题：任意三角形存在唯一的内切圆，也存在唯一的外接圆;任意圆内接四边形都存在内切圆；存在内切圆的矩形必是正方形；存在内切圆的菱形有无数个.所有正确的序号是2 0.已知=竟 7，则/-2%-3=.三、解 答 题（本大题共9 小题，共 54.0分）21化 简:将2）所2 2.观察以下等式：第 1
5、个等式：（VI+i）（2-V i）=VT+1.第 2 个等式：（/+1）（3-应）=2 夜+1，第 3 个等式：（b+1）（4-百）=3通+1，第 4 个等式：（四+1）（5-次）=4 +1，按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5 个等式：；（2）写出你猜想的第个等式：（用含的等式表示），并证明其正确性.2 3.计算:病(赤-原)；(2)12+V18-(-V48);“、V27-2V12;(4)(2+V 5)(2-V 5)-(V 3-)2.24.解方程：x（2x+3）=7x+6.25.（10分）解方程：（1）2/-3x-1=0（2）8y2 3=4y（配方法）26.已知关于x 的方程一 一 2
6、（k-3）x+/c2-4/c-l =0的两实数根之和不小于一 6（1）求 4 的取值范围;(2)若以方程/一 2(k-3)x+炉 _软 _ 1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y=的图象上，求满足条件的根的取值范围.2 7.已知：如图,在办8 8 中,D E平分4W B,交A8于E,BF平分4cBe,交 CD于尸.求 证：&A D E 任 C B F；(2)当A。与8。满足什么关系时，四边形OEB尸是矩形？请说明理由.28.如图，4BC中，/.A C B=90,AO平分4B4C,D E 1 A B E.(1)若N0EC=25。,求48的度数;(2)求证：直线AQ是线段CE的垂直平分
7、线.29.【模型介绍】古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A,B.他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营.如 图 ，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题.如图，作点B关于直线/的对称点玄，连结月夕与直线/交于点P,连接P B,则4P+BP的和最小.请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答.理由：如图，在直线/上另取任一点P,连结AP,B P ,B P ,直线/是点B,B的对称轴，点P,P在/上，P B =,P B =,：.A P +P B =A P +P B =.
8、在AA/B中，A B A P +P B ,A P +P B A P +P B ,即4P+8P最/J、.【归纳总结】在解决上述问题的过程中,我们利用轴对称变换，把点4,8在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决(其 中 点 尸 为 与/的 交 点，即A,P,B三点共线).由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型.【模型应用】(1)如图，正方形ABCC的边长为4,E 为 4 B 的中点，尸是AC上一动点.求EF+FB的最小值.解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知
9、，点 B 与。关于直线4 c 对称，连结。E 交 AC于点凡 则EF+FB的 最 小 值 就 是 线 段 的 长 度，则EF+FB的 最 小 值 是.(2)如图，圆柱形玻璃杯，高 为14CM,底面周长为16 cm,在杯内离杯底3 cm的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为_cm.如图,在边长为2 的菱形ABCQ中,A A B C=60,将4 4BD沿射线BD的方向平移，得到 A B D ,分别连接AC,AfDf BC 则A C+BC的最小值B 11_ JBr图 图B -蚂蚁/A F /C /C建蜜LJD图 图为_ _ _ _
10、_ _.B b.故选：B.本题考查二次根式，先求出6的值，再与。比较得出结果.本题考查二次根式的分母有理化，利用倒数求出再比较大小，比较简单.5.答案：D解析：本题考查一元二次方程的解法，根的判别式，反比例函数的性质等知识，切实理解新定义“倍根方程”的意义，是解决问题的关键.逐个结论进行判断，通过解X 2-3 刀+2 =0 的根，可以判断的正确性；解出方程的根，根据倍根方程满足一个根是另一个根的2 倍，得出，小 之间的关系，可以判断的正确性；根据反比例函数图象上点的坐标特点，得出p q =2,再解出关于x的方程pM+3 x +q =0 的两个根，进而验证结论，可以判断的正确性.解：(1)/一
11、3 x +2 =0 的根为：xx=1,x2=2,所以是正确的；(2)若(x -2)(mx -n)=0 是倍根方程，贝 U(x -2)(n x -n)=0 的根为：与=2,x2=若X =2g，则亚=1，此时葭=m；若2 刀 1 =%2，则=4,此 时=4 zn；所以也是正确的；(3)点(p,q)在双曲线丫=:的图象上，pq=2,关于X的方程p%2 +3 X +q =0 的根：X =-3 pq；1 2%i=-,%2=-；V Z P有：2%1 =x2,关于x的方程p/+3 x +q =0是倍根方程，因此是正确的.故选D6.答案：D解析：解：4 B =D E,Z 7 1 =N D,Z-ABC=Z-DE
12、F,ABC=L DEF ASA),故A选项不符合题意;v AB=DE,Z.A=Z-D,ACB=乙DFE,ABCL DEF(AAS),故B选项不符合题意;v AB=DE,Z-A Z-D,AC=DF,ABC DEF(SAS),故C选项不符合题意;v AB DE 9 Z-A 乙D,BC=EF,无法证明 4 8。与仆DEF全等,故。选项符合题意；故选：D.利用全等三角形的判定依次判断即可求解.本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键.7.答案：a 2解析：解：由题意得：a 2 2 0,且|a-2|H 0,解得：a 2,故答案为：a 2.根据二次根式有意义的条件可得a-2 2
13、0,根据分式有意义的条件可得|a-2|0,再解不等式即可.此题主要考查了二次根式有意义和分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零.二次根式中的被开方数是非负数.8.答案:立10解 析:解:舟磊吟故答案为：立.10依据商的算术平方根进行化简，即可得到结果.本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题时注意：J j =(a 0,h 0).9.答案：更3解析：解：原式=走3.故答案为:更.3直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案.此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.1 0.答案：2 6+3企解析：解：2百 一 3夜的一个有理化因式2我+3夜，故答案为：
14、2g+3企，写出原式的有理化因式即可.此题考查了分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键.1 1.答案：+2/2解析：解：移项得/=8,x=2鱼.故答案是：x=+2 V2.式子/-8 =0先移项，变成/=8,从而把问题转化为求8的平方根.本题主要考查了解一元二次方程一直接开平方法.解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成/=a 2 0)的形式，利用数的开方直接求解.(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a(a 0)；。/=1/同号且。工0)；0+a)2=b(b 0)；以 +6)2 =。缶,。同号且(1力0),法则：要把方程化为“左平方，右常
15、数，先把系数化 为1，再开平方取正负，分开求得方程解”.(2)用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点.1 2.答案：9解析：解：X=a是方程M-3 x -5 =0的根，a2 3 a -5 =0,a2 3 a =5,a2 3 a +4 =5 +4 =9.故答案为9.利用x =a是方程/-3 x -5 =0的根得到a?一 3 a =5,然后利用整体代入的方法计算代数式的值.本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.1 3.答案：4解析：解：根据题意可得 ky=4 y,即k =4；k y =-4 y,即k 4.故答案是k =4.这里首末两项
16、是y 2和4这两个数的平方，那么中间一项-/c y为加上或减去y和2积的2倍.本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号，避免漏解.1 4.答案：直角三角形6解析：解：第三边的长是方程-6 x +5 =0的根，二 解得：x=1或x =5,3 +1 =4,1 x=1 舍去，*x=5,:3 2 +4 2 =5 2,该三角形是直角三角形；三角形的面积=：X 3 X 4 =6.故答案为：直角三角形，6.根据第三边的长是方程/-6 x +5 =0的根确定三角形的第三边，利用勾股定理的逆定理判断出其形状，根据直角三角形的面积等于两直角边乘积
17、的一半求出其面积.本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a,b,c满足a 2 +b 2 =c 2,那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键.15.答案:1+yj6解析：解：设方程/+(2 k+1)%+/=o的两个实数根分别为“、必则有：m 4-n=-2k 1,m n =fc2,v m2 4-n2=(m+n)2 2mn=11,:.(2k 1)2 2k2 1 1,即Ze?+2k 5=0,解得：k=-1 述或k=-1+V6.方程有实数根，(2k+I)2-4 k2=4/c+1 0,A4二 k=-1+V6.故答案为：l+伤.设方程/+(2卜+1次+卜2=()的两个实数根分别为根、，根据
18、根与系数的关系可得出m+n=-2 k-1.m n =k2,结合62+/=i i 即可得出关于上的一元二次方程，解方程可得出的值，再根据方程有解结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式可得出k的取值范围，由此即可确定k 的值.本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系找出关于k 的一元二次方程以及根据根的判别式找出关于k的一元一次不等式是解题的关键.16.答案：x+y+z=225 解析：解：如图，过点C、。分别作CM、ON平行于A B、EF,A-rV8则x=N5,44=43,Z1+Zz=180,.又+4 3=y,N4+N5=45,.x+Z4=45,_尸 E.z3+z
19、.x=45,.-.x+y+z=180+45=225.故答案为：x+y+z=225 .可过点C、。作 CM、ON平行A B、CD,进而利用内错角相等得出结论.本题主要考查平行线的性质，即两直线平行，内错角相等；能够通过作简单的辅助线求解一些计算问题.17.答案：80解析：解：七。，8。于 ,乙 B D E=9 .在A BDE中，4 B D E =9。,/.E=4 0 ,乙 B=1 8 0 0 -Z.B D E 一4 E=5 0 .在R t z 4 B C中，B A C =9 0 ,A。是 BC边上的中线，,AD=B D/BC,/.B A D=N B =5 0 .在AA BD中，4 B A D =
20、4 B =5 0。,：.乙 B D A=1 8 0 -4 B A D -乙B =8 0 .故答案为：8 0 .在A BDE中，利用三角形内角和定理可求出4 B的度数，由N B 4 C =9 0。，A。是3c边上的中线可得出A D =BD,进而可得出N B A D =4 8 =5 0。，再在 4 B D中，利用三角形内角和定理可求出N B D A的度数.本题考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，牢 记“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键.1 8.答案：假解析：解：“有一个角是6 0。的三角形是等边三角形”是假命题，故答案为：假.分析是否为真命题
21、，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案.主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.1 9.答案：解析：解：任意三角形存在唯一的内切圆，也存在唯一的外接圆，是真命题；任意圆内接四边形不一定都存在内切圆，原命题是假命题；存在内切圆的矩形必是正方形，是真命题；存在内切圆的菱形有无数个，是真命题；故答案为：.根据四边形的内切圆的定义进行判断即可.本题考查命题与定理，关键是根据三角形的内切圆与内心，正方形的性质解题，属于中考常考题型.20.答案：一 2解析：解：x=V2+1,%2 2x 3=(x-3)(%+1)=(V
22、2+1-3)(72+1+1)=(V2-2)(72+2)=2-4=2.先将X 的值分母有理化，然后代入原式计算.本题考查了二次根式，熟练进行分母有理化是解题的关键.21.答案：解：原 式=|*蜉=遮.原 式=暮=亲=冬解析：根据二次根式的运算法则即可求出答案.本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型.22.答案：55+1(Vn+l)(n+1 Vn)=nVn+1解 析:(1)解:(V5+1)(6-75)=575+1,故答案为：5v5+1;(2)(Vn+1)(九 +1 Vn)=ny/n+1,证明：v(Vn+l)(n+1 Vn)=nVn-Fn+Vn+l n Vn=nV
23、n+1(Vn+1)(九 4-1 Vn)=nVn+1，故答案为：(+l)(n+1-Vn)=nVn+1.(1)根据所给等式可得答案；(2)首先写出第n个等式，然后再利用二次根式的乘法进行计算即可.此题主要考查了二次根式的乘法，关键是认真观察等式，找出所给规律.23.答案：解：(1)原式=2四(石 4立)=2V2 x 6 8x2=475 T6;(2)原式=2V3+3V2-y +4V3 原 式=后 一2后=3-2 x 2=3-4=-1;(4)原式=4-5 -(3-2 +1)=-1 -37=-3,解析：(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘法运算；(2)先把二次根式化为最简二次根式，然
24、后合并即可；(3)根据二次根式的除法法则运算；(4)利用平方差公式和完全平方公式计算.本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的乘法与除法法则和乘法公式是解决问题的关键.2 4.答案：解：方程整理得：2/一4%一6 =0,即/一2%-3 =0,分解因式得：(%3)(x +1)=0,可得 x 3 =0 或x +1 =0,解得：X =3,x2=-1.解析：方程整理为一般形式，左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.2 5.答案：解：(l)a =2,b -3,c=1,i2-4 a c =(-3)2-4 x 2 x(-l)=9 +8
25、=1 7 0.-(-3)7 3 旧，x=-=-2 x 2 4即 再=3 +而3-、仔44(2)8v2-4 y =3.1 3,1 77=彳+丁 J21 77=-4 4解析：(1)先写出。、6、C的值，再求出根的判别式的值，最后代入求根公式计算即可；(2)先把一次项移到方程左边，常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1,然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行配方，再两边开方得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可.26.答案：解：(1)由题意得4=2(k-3)2-4x(/c2-4/c -l)20化简得-2k+10 2 0,解得kW5,;关于x的方程/2(/c 3)x+k2 4 k 1
26、=0的两实数根之和不小于6,2(f c -3)6,解得：k 0,即 k的取值范围是0 Wk W 5；(2)设方程、2(k 3)x+f c2 4 f c 1=0的两个根为%i，x2根据题意得巾=X62，又 由一元二次方程根与系数的关系得X1不=k2-4 k-l,那么m =/4k 1=(k 2)2 5,所以，当k=2时机取得最小值-5,:由(1)知：0 f c 5,当k=0时，m =(0 2)2 5=-1,当/c =5时，m =(5-2)2-5=4,m 的取值范围是-5 m 0 0方程有两个不相等的实数根；（2）=0=方程有两个相等的实数根；（3）AV0=方程没有实数根.27.答案：证明：（1）-
27、ABCD,:.AD=BC,LA=乙C,AD/BC,.Z,ADB=乙CBD,v D EZ-AD B,BF平分乙CBD,:.Z.ADE=乙CBF,在4DE与CBF中Z-ADE=乙 CBFAD=BC,Z-A Z.C 4DE 三CBFQ4S4）,（2）当4。=BD 时，DE平分乙4DB,DE 1 BE,乙DEB=90,ADE=h.CBF,DE=BF,v Z-EDB=乙DBF,DE“BF,，四边形DEB厂是平行四边形，v 乙DEB=90,二平行四边形OEBF是矩形.解析：根据平行四边形的性质得出力。=B C,乙4=,A D/B C,进而得出NADE=利用全等三角形的判定证明即可；(2)利用矩形的判定解答
28、即可.本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定的应用，主要考查学生的推理能力，注意：平行四边形的对边平行，对角相等.28.答案：解：(1)44CB=90。，4。平分 4BAC,DE LAB,DE DC,:.A DEC=乙 DCE=25,乙 BDE=50,又:DE LAB,Rt BDE中，4B=90-乙BDE=90-50=40；(2)DE A.AB,AAED=90=ACB,/又；DE=DC,AD=AD,MAEDm4ACD(HL),B D ED=DC,.点。在 CE的垂直平分线上，点 A 在 CE的垂直平分线上，直线AD是线段CE的垂直平分线.解析：(1)依据角平分线的的性质，即可得出C
29、E=D C,进而得出NBDE的度数，再根据即可得出48的度数；(2)依据全等三角形的对应边相等，即可得到2E=4C,ED=D C,进而得到点。在 CE的垂直平分线上，点 A 在 CE的垂直平分线上.本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质的运用，解题的关键是掌握：在直角三角形中，两个锐角互余.29.答案：PB PB AB 2遥 17 28解析：【模型介绍】解：理由：如图，在直线/上另取任一点P,连结4P,BP,BP,B图 直线/是点3,夕的对称轴，点 尸，P在/上,PB=PB,PB=PB,AP+PB=AP+PB=AB.SA AP B,AB AP+PB,AP+PB
30、CE=2EG=2V3.故答案为：2V5.【模型介绍】由轴对称的性质和三角形的三边关系即可得出答案；【模型应用】(1)连接OE交 AC于 F,则EF+FB有最小值，由正方形的性质得出4B=4D=4,484。=90。，BF=D F,则EF+BF=EF+DF=D E,由勾股定理求出 OE 即可；(2)由侧面展开图和轴对称的性质以及勾股定理即可得出答案；(3)由菱形的性质得到4B=2,AABD=3 0 ,由平移的性质得到AB=2,A B/A B,证四边形ABCD是平行四边形，得A D=B C,得AC+BC的最小值=A C+A D的最小值，由平移的性质得到点A在过点A且平行于8。的定直线/上，作点。关于定直线/的对称点E,连接CE交定直线/于4,则 CE的长度即为4C+BC的最小值，求得DE=C D,得到NE=NDCE=30。，于是得到结论.本题是四边形综合题目，考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，含30。角的直角三角形的性质，圆柱的侧面展开图,等腰三角形的判定与性质，平移的性质等知识；本题综合性强，正确作出图形是解题的关键.