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1、2020-2021学年江苏省镇江市扬中第二高级中学高一(下)期初数学试卷一、单选题(本大题共8小题，共24.0分)1.设全集u=R,集合力=yy=X2,B=(xy=lg(x-3),则/n ZyB=()A.(2,4-oo)B.(3,+8)C.0,3 D.(-8,-3 U 32.中 文“函数”(加nction)一词，最早由近代数学家李善兰翻译，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函数彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中，两个函数是同一个函数的是()A.y=x-1(%e R)与y=x 1(%G N)B.y=与y=yx-y/xC.y=%与y=VxD.y
2、=x与y=Y3.若a=log35,b=2-2,。=1082/则，by c 的大小关系为（）A.a b c B.a c b C.b a c D.b c a4.已知。1*0,。+匕=2,则六+点的最小值为（）A.|+V2 B.-+-C.3+2V2 D.三 +在2 4 2 2 36.已知圆。与直线/相切于点A,点P,。同时从4点出发，P沿着直线/向右、。沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ,0P(如图)，则阴影部分面积Si，S2的大小关系是()A.S=S2B.S i s2D.先S i S27.下列函数中同时具有性质：最小正周期是兀，图象关于的(-居,0)对称，
3、在-也引上为减函数的是()A.y =s i n G +g)B.y =s i n(2 x -g)Z O OC.y=c o s(2 x +7)D.y =c o s(2 x -)3 68 .已知函数/(x)=/-2 ax+a2-1,若关于x 的不等式/(/(x)0 的解集为空集，则实数。的取值范围是()A.(-o o,-2 B.(-0 0,-1)C.-2,-1 D.(-l,+o o 二、多选题(本大题共4小题，共 1 2.0 分)9 .下列命题正确的是()A.S a,b&R,|t i -2|+(Z?+l)2 2C.a b 丰0 是a?+b2 0 的充要条件D.若a?b-l,则七2之1+a 1+b1
4、0 .高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享 有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设X 6 R,用国表示不超过x的最大整数，则y =因称为高斯函数,例如:-3.5 =-4,2.1 =2.己知函数/(%)=三 一 点 则关于函数g(x)=/(x)的叙述中正确的是()A.g(x)是偶函数 B.“X)是奇函数C./(x)在 R 上是增函数 D.g(x)的值域是-1,0,1 1 1 .已知函数/=若关于x的方程/(/)=0 有 8 个不同的实根,则。的值可能为()A.-6 B.8 C.9 D.1 2第 2 页，共 19页1 2.下列命题正
5、确的是()A.若a,夕是第一象限角，且Q ,则ta n a h m/?B.函数y =si n(y -2 x)是偶函数C.y =si n|x|是周期为2 兀的周期函数D.函数丫=8 5。+9的图象关于点,0)成中心对称三、单空题(本大题共4 小题，共 1 2.0 分)1 3.函数/(乃二嬴三+次的 定 义 域 为.1 4.已知f(x)是定义域在R 上的偶函数，且/(%)在 0,+8)上是减函数，如果“小一2)/(2 m -3),那 么 实 数 机 的 取 值 范 围 是.1 5.已知函数/(%)=Z si/x +c o s%3,若/(%)=4,且0 0,a)0,0 cp 0,且a H 1)图象的
6、一部分.根据专家研究，当注意力指数p 大于等于80时听课效果最佳.(1)试求p=f(t)的函数关系式；(2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由.第4页，共19页2 1 .已知函数/(x)=a*+a-x(a 0 且a 4 1).(I)若a =1 0,求/(1 2 国6)的值；(H)用定义证明f 在。+8)单调递增；(HI)若V x C 3,0 ,/(2 x +4)2)是指数函数f(x)=2、图象上的三点.(I)当？7 1 =2 时，求/0 1 +刀 2 +%3)的值；(1 1)设/,=%2+%3-%，求 L 关于?的函数L(m)及其最小值；
7、(川)设4 A B C 的面积为S,求 S 关于初的函数S(m)及其最大值.第 6 页，共 19页答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键.求出集合A,B的等价条件，结合集合的交集补集的定义进行求解即可.【解答】解：A=yy=x2=yy 0 ,B-xy-l g(x -3)-xx-3 0 =xx 3),CuB=(xx 1 2-2 0 l o g2|,则Q Z?C.故选：A.利用对数函数和指数函数的单调性的性质求解.本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用.4 .【答案】A【解析】【
8、分析】本题是应用题，考查的是基本不等式的应用，乘 1 法”与基本不等式的性质使用时要注意“一正，二定，三相等”.属于中档题.利 用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出.【解答】解：已知 a l,b 0,a+b=2,可得：(a-l)+b=l,a 1 0,则W+,=(D +如 六+=1+#等+M 对+2 舟x三=升夜:当 且 仅 当 啜=白，a+b=2,时取等号.2b a-1则7 +去的最小值为：1 +V 2；al 2b 2故选：A.5.【答案】A【解析】解：因为/(一%)=/(%),所以函数/(X)是偶函数，其图象关于y 轴对称，故排除 C,D；/(2=(),且0 x3时，/(x)0,排除B
9、.故选：A.由函数为偶函数，排除C。，由/()=0,且0%?时，/(%)So p =54 P，AQ=4 P，S扇形AOQ=SAOP,即%中为OQ S扇形AOB SfOP S扇形AQB，*,S1 =故选：A.7 .【答案】C【解析】解：选项4 最小正周期7 =竽=4 兀，不符合题意；2选项8,最小正周期丁 =手=兀，令2%-g+2 k 7 r,g+2/C T T,k E Z,则 g+/C T T*+k/r,k E Z,o Z L 6 3当k =0 时，函数y的单调递增区间为-3勺，不符合题意；O O选项C,最小正周期7=手=兀；令2 x +(=S +k 7T,k e z,则x =+M k ez,
10、当k =-l 时，函数y的对称中心为(一工,0)；令2 x +G 2 f c?r,T C+2/C T T,k&Z 则x W 1 +kit,+kTt,k e Z,3 6 3当k =0 时，函数y的单调递减区间为-巳勺，均符合题意，即选项C正确；选项。，最小正周期T =g=7T；令2 x =g +A y r,k e Z,则 =二+竺，f c 6 Z,6 2 3 2所以函数y的对称中心为6+条 0),k e z,显然不包含点(一整,0),不符合题意.故选：C.根据正弦、余弦函数的周期性、对称性和单调性，逐一验证每个选项即可.本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正弦、余弦函数的周期性、对称性和单调性
11、是解题的关键，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.8.【答案】A【解析】解：函数f(%)=x2-2 ax+a2-1=x2-2 ax+(a -1)(Q+1)=(%a 1)(%a +1),由/(%)0,B P x (a -1)x (C L+1)0,解得 a l x a+l,那么不等式/(/(%)0 今 Q-1 V /(%)a 4-1,又f(%)=(x -a)2-1,当 =Q 时，/(%)取得最小值-1,即函数的值域为 一 1,+8),若不等式的解集为空集，则的解集为空集，那么(Q -1,Q +1)与值域的交集为空集，所以Q +1 -1,所以Q 2.故选：A.求得/(%)2成立，所
12、以8 不正确；对于C.a b#0 可得。2+炉 片0,反之不成立，所以C 不正确.对于。.若 a b -1,l+a l +b 0,可得 a(l+b)=a+ab b+ab=6(1+a),则 冬 2 上，所以0 正确；1+a 1+b故选：AD.利用特殊值判断4 的正误；反例判断B 的正误；充要条件判断C 的正误；不等式的性质判断。的正误；本题考查命题的真假的判断与应用，涉及充要条件，命题及不等式的性质，是基本知识的考查.10.【答案】BC【解析】解：g(i)=/(i)=捻=o，5(-1)=之心=六-刍=-1，e g(l)H g(-1),则g(%)不是偶函数，故 A 错误；/(%)=总 一 的定义域
13、为R，1L 1 ex 1 婚/(一%)+/W =1 工 _ 5+1 _ 5=-V +1 QX _ 11 4-e x 2 1+ex 2 1,1 1+e*1+F=l j x +IY _ 1=,/(%)为奇函数故正确；/、ex 1 l+ex-l 1 1 1f M=T 2 =2 =2 又蜻在R 上单调递增，=：一3/在 R 上是增函数，故 C 正确;靖。，则 表错误.故选：BC.由9(1)7 g(T)判断A错误；由奇函数的定义证明B正确；把/的解析式变形，由靖的单调性结合复合函数的单调性判断C正确；求出/(X)的范围，进一步求得g(x)的值域判断D.本题考查命题的真假判断与应用，考查函数性质的判定及函
14、数值域的求法，是中档题.1 1 .【答案】CD【解析】解：由题意可得a S0时，显然不成立；当a 0时，令f(x)=t,则由/(t)=0 得，t i =-2 a,t2=0,3=a 又方程=0 有 8 个不同的实根,a 00 4得a 8,故选：CD.结合题意可先对。进行分类：分a0 两种情况，结合函数的零点性质分别进行求解.本题主要考查了函数零点性质的应用，体现了数形结合思想的应用，属于中档试题.12 .【答案】BD【解析】解：对于4 若a,0 是第一象限角，且1 a/?0,则t a n a t a n A，故A错误；对于B：函数y=/(x)=s i n(y-2%)=cos2 x,满足/(-x)
15、=/(x)故该函数为偶函数，故 B 正确；对于C：y=s i n|x|是周期为偶函数，函数的图像关于y 轴对称，该函数不是周期函数，第 12页，共 19页故 c 错误；对于。：函数设函数/（X）=y =cos（x+9,故fG）=cosG+T）=0,故函数的图象关J o o 5于点G，。）成中心对称，故。正确.O故选：BD.直接利用象限角的定义，函数的性质，周期性和对称性的应用判断A、B、C、的结论.本题考查的知识要点：象限角，函数的性质，周期性和对称性，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.13.【答案】（-l,O）U（0,2【解析】解：由题意得：仔+1 0 x+1 1,解得：-1
16、 尤 0或0 0故函数的定义域是：（-l,0）U（0,2,故答案为：（一 1,0）U（0,2.根据对数函数以及二次根式的性质求出函数的定义域即可.本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质以及二次根式的性质，是一道基础题.14.【答案】（一 8,1）11（：,+8）【解析】解：偶函数/（X）的定义域为R,并 且 在 区 间 0,+8）上是减函数，/（X）在区间（一 8,0）上是增函数X f（m-2）f（2m-3）|m-2|0,（m l）（3m 5）0,m I，故答案为：（8,1）u（|,+8）.利用偶函数的性质以及f （%）的定义域为R 和/。）在区间0,+8）上是减函数，可得出%）在区
17、间（一 8,0）上是增函数；再根据/（血-2）/（2m 3）,可得出豚一2|2m-3|,解出机即可.本题考查了偶函数性质的综合应用，及解绝对值不等式.属于中档题.15 .【答案】J -,-2 N O【解析】解：函数f(%)=2 sin2x+cosx 3 =2 cos2x+cosx 5,若/(%)=-%则2 c o s 2%+cosx 5 =-4,即2 c o s 2%+cosx-1 =0,解得c o s%=:或c o s x =-1,因为0 x,所以c o s x =/(x)=2 s i n2%+2 cosx-3 =2 cos2x+cosx 5,x E R,令t =cosx,则1 t 1,则原
18、函数转化为y=2j+t _ 5 =2(t +i)2-y,由二次函数的性质可得当t =-;时，y 取最小值为一个，当t=l时，y 取得最大值为一 2,所以函数/(x)的值域为 一2,一2.故答案为：；一?，-2.利用同角三角函数的基本关系可得/(x)=2 cos2x+cosx-5,由/(x)=-4,且0“p 解方程即可求得c o s x 的值；利用换元法令t =c o s x,再根据二次函数的性质即可求得值域.本题主要考查三角函数的最值，考查换元法的应用以及二次函数的性质，属于基础题.16 .【答案】1 (1,2)【解析】解：函数生)=蓝(第篝葭o,所以汽-1)=1 喻 1+1=1，则/(/(-
19、1)=/(1)=1-2 +2 =1；作出函数/(%)的图象如图所示，因为互不相等的实数%,X2,犯满足/(/)=/(孙)=/(右)，不 妨 设 X2 0时,/(%)=x*2 2 x +2 =(%I)2+1,图象的对称轴为x =1,所以&+%3 =2,当X =1时，/(X)=1,令 l o g 2(X +2)+1=1,解得 x =-l,tan2a+l(2)s i n +。)=g c o s -6)=s i n g -。)=s i n +6)=|.boo Z 5 o 5【解析】(1)由题意利用同角三角函数的基本关系求得t a n a 的值，再利用诱导公式，求得要求式子的值.(2)由题意利用诱导公式
20、，计算求得要求式子的值.本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题.由图象可知一1 X 0,所以则匕+%2+与 的取值范围是(L2).故答案为：1;(1,2).先求出再求解即可；作出函数/(乃的图象，利用二次函数的对称性得到外+巧=2,由对数的运算以及函数图象可得-1/0，所以3=票=2,所以/(%)=3s出(2%+9),因为点(卷一3)在/(%)的图象上，所以/年)=3s讥(2 x 号+口)=-3,即,+g=.+2/C T T(/C 6 Z),解得0=2/CTT+：(k W Z),因为0 W 7 T,所以0=%故/(x)=3sin(2x+(2)因为x)=3sin(2x+，
21、所以列表如下：X71-871837r 571 77r888n2x+40n2n37rT2T Ty03 0-3 0【解析】(1)由题意可得4=3,可求f(x)的最小正周期，利用周期公式可求3,由于点管,一3)在/(%)的图象上，可得f 偿)=3,结合范围0 p 兀，可求*,可得函数/(x)解析式.(2)由五点作图法，列表，描点，连线即可作图得解.本题主要考查了五点法作函数y=Asin(a)x+3)的图象，由y=Asincox+(p)的部分图第 16页，共 19页象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题.20.【答案】解：(1)当t 6(0,14 时,设p =f(t)=c(t-12)2
22、+82(c 0),将点(14,81)代入得c=一,.当t 6(0,14 时，p =/(t)=-i(t-1 2)2+82；当t e(14,40 时，将点(14,81 l y =k)g a(t 5)+8 3,得a=/(t -12)2+82,t 6(0,14所以p =/(t)=%。式5)+83,t C(14,40:3(2)当t 6(0,14 时，一：(t-12)2+82 2 80,解得 12-2V 2 t 80,解得5 22,所以，教师能够合理安排时间讲完题目.【解析】(1)利用待定系数法求函数第一段的解析式，代入特殊点求函数第二段的解析式即可；(2)分段求出效果最佳的f 的范围，验证即可.本题主要
23、考查了函数的实际运用，是中档题.21.【答案】解:（1）1 2 1g遍=1 IgS=lg2 因为a=1 0,所以f （1-2 1g呵=/四 2）=10，*+1 0-（S2=2+l =|.（n ）设 1,x2 e o,+8）且工 2%i，那么/（%2）-f （%i）=a?+aX2-（a%】+a-X1）=aX2-aX1+（白-）=（谟 2-*）（小+乃一1）ax+x2 当0 V a 1时，aX2 0,0 aX2+X1 1,则QM+必-1 0）从而 f Q 2）f （刈）；当a 1时，aX2 a*】，则a*2 axi o,又 不 2+%1 o,aXz+X1 1,则Q*2+%1-I 0,所以/(X2)
24、f (Xi)=0,从而/。2)/(%1)，综上可知/(x)在 0,+8)单调递增.(H I)由题意可知f(x)的定义域为 R,且/(一%)=a-x+a-(r)=a-x+ax=/(%),所以f(x)为偶函数.所以f(2x+4)f(x+m)等价于/(|2x+4|)f(x+m|),又因为/(x)在 0,+8)单调递增，所以|2x+4|x+m|,即(2x+4)2 (x+m)2,所以有：V x e -3,0,3x2+(16-2m)x+16-m2 0,令 g(x)=3x2+(16 2m)x+16-m2,27 3(16 2 rn)+16-m2 0 ._ p.则 C、，所以m 5,(g(0)=16-m2 0即
25、m的取值范围是(一8,4)U (5,+o o).【解析】(I)由对数运算性质化简l-2，g而，再代入函数即可求值；(I I)利用定义法即可证明单调性；(H I)判断函数的奇偶性，结合函数的单调性将不等式转化为V x G -3,0 ,3/+(1 6 -2 m)x +16-m2 lo g2(4 V 2 +6)第1 8页，共1 9页(I H)过分别过A,B,C作ADL x轴，B E J.X轴，CFl x轴分别交工轴于拉，E,F,则S =S掰 形A OF C -S梯形 B E F C S A D E B1 1=-(m 4-m 4-4)x lo g2(7 n +4)lo g2m -(m 4-m 4-2)
26、x lo g2(m +2)lo g2m 1-(m 4-2 +m 4-4)x lo g2(m +4)lo g2(m 4-2)S=lo g2%是增函数,4二要是S最大，只要函数f(M)=1 +.+力4最大即可，在 2,+8),4 Smax=/(2)=1哂 =2 -1 0 g2 3【解析】(I )根据指数函数的运算性质代值计算即可，(n)先求出L(m)=1 0 g2 92譬+4),再根据基本不等式即可求出最值，(巫)过分别过A，B,C作4。，轴，BEl x轴，C F l x轴分别交x轴于。，E,F,则S =S梯形AD F C 一 S梯形B E F C S梯形4 D E B =lg2黑:?旬=1 g2(l+m2+4 m),再根据复合函数的单调性即可求出.本题考查了指数函数的性质以及函数的解析式的求法和函数的单调性的应用，属于难题.