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1、2020-2021学年江苏省镇江市扬中第二高级中学高一（下）期末数学模拟试卷（2）一、单 选 题（本大题共8小题，共24.0分）复数z满足z =(缥)1 +g3则|z|=()1-v3iB.2 bC.V 52.如图所示的正四面体4 一 B C D中，E,尸分别为棱B C,AC的中点，给出下列说法：E F C C；E F平面A B。；/；E F 1 4 D;E 1尸与4。所成的角为6 0。，其中正确的是（）/F.AX 7B.C.D.3 .已知co s（a-）=：,则s in（2 a+g）+co s?-勺的值为（）6 4 o Z 1ZA.；B.1 C.第 D.14284 .已知x、y是正实数，4 B
2、 C的三边长为C A =3,C B =4,AB=5,点P是边4 B（P与点A、B不重合）上任一点，且B =x 急+y 篙.若不等式2 x +3 y 2:m 尤 y恒成立，则实数机的取值范围是（）A.m|+V 2 B.m 2A/6 C.m|V 2 D.m 35 .学校组织开展劳动实践，高二某班1 5名学生利用假期时间前往敬老院、消防队等场所劳动服务.经统计，该1 5名学生的劳动服务时长平均为2 0小时，标准差为s.后来经核实，发现统计的甲、乙两名同学的劳动服务时长有误.甲同学的劳动服务时长实际为2 0小时，被误统计为1 5小时；乙同学的劳动服务时长实际为1 8小时，被误统计为2 3小时.更正后重
3、新计算，得到标准差为S,则s与s i的大小关系为（）A.s =S B.s S D.无法判断6 .正三棱锥P-A B C的高为2,侧棱与底面所成的角为4 5。，则点A到侧面P8C的距离是（）A.V 5 B.2 V 2 C.V 2 D.誓7 .在力B C中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,角B为锐角，若c=4 bco s A,tanBtanC+高的最小值为（A.逗8.在三棱锥 P-A B C 中，P A L平面 A B C,B AC =y,AP =3,AB =2显,。是边B C上的一动点，且直线P Q与平面A B C所成角的最大值为全则三棱锥P-A B C的外接球的表面积为（）A.4 5
4、7 rB.5 7 7 rC.6 3兀D.84 7 T二、多 选 题（本大题共4小题，共2 0.0分）9.冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热,若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产.某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于3 7.3。&则称没有发生群体性发热，下列连续7天体温高于3 7.3。（：人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（）A.中位数为3,众数为2 B.均值小于1,中位数为1C.均值为3,众数为4 D.均值为2,标准差为V I1 0 .下列命题中是真命题的是（）A.在四边形ABC。中，若 而+而=6,且 前 前=0,则四边形A8
5、C Q是菱形B.若点G为4 4 BC的外心，则a+G B +G C =0C.向量可=（2,-3）,芍=（卷一能作为平面内的一组基底D.若O为 ABC所在平面内任一点，且满足（丽-小）（丽+能-2 m）=0,则 ABC为等腰三角形1 1.正方体4 8 c o -4 1 8 1 c l劣的棱长为1,E,F,G分别为-不B C,C C,BBi的中点.则（）-X FA.直线劣0与直线4 F垂直 Xj）/。上/斗川CB.直线4G与平面AE F平行 史:.磔C.平面AE F截正方体所得的截面面积为D.点C与点G到平面4 E尸的距离相等1 2.已知/（x）=2cos2a）x+V 3 s m 2 a）x（0）
6、的最小正周期为兀，则下列说法正确的有（）第2页，共25页A.函数f（x）在 一 兀,g上值域为 2,3 B.函数/（X）在 0 1 上为增函数C.直线x =黑 函 数/（x）图象一条对称轴D.点 篇,0）是函数f（x）图象的一个对称中心三、单 空 题（本大题共4小题，共 2 0.0 分）1 3 .A 工厂年前加紧手套生产，设该工厂连续5 天生产的手套数依次为%,打，%3,4，内（单位：万只），若这组数据%如 3,%4,5 的方差为1 4 4,且好,%2 X39 X4 9好的平均数为4,则该工厂这5 天平均每天生产手套 万只.1 4 .在 A B C 中，已 知 方=2万 瓦 P 为线段A O
7、上的一点，且 满 足#=涌+m四,若A A B C 的面积为2k，-AC B =p 则|方|的 最 小 值 为.1 5 .如图，已知圆台高为5,上底面。0 半径为3,下底面O%半径为4,A B C 为。0 1 的内接三角形,且4 B 1 AC,P 为。上一点，则P42+PB2 +PC2的最小值为_/.一 公握女1 6 .在 4 BC中，角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且 迎 筌 少=B a.若c =2,sinC则 4 BC面 积 的 最 大 值 为；若2 s i n 4 -s i n B=立，贝 U c o s A=.3四、解 答 题（本大题共6小题，共 7 2.0 分）1 7 .已
8、知：复数Zi 与Z2 在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且Zi（l-i）=Z2（l +i）。为虚数单位），区|=V 2.（1）求为的值；（H）若Z i 的虚部大于零，且9+Z i =九+2（血,九6 R）,求?，的值.1 8.2 0 2 0 年 1 月我国出现了新冠肺炎疫情，为了阻断传播途径，有效控制疫情的蔓延，全国各地都实行了居家隔离.某城市为了保障居家隔离期间对居民的供水，随机抽取了 2 0 1 9 年 1 2 月份2 0 0 户居民的用水量与2 0 2 0 年 1 月份的用水量进行对比，以便更好地确定下一步供水工作的工作计划.经过整理得到抽取的2 0 1 9 年 1 2 月份2 0 0
9、户居民用水量(单位：立方米)的频率分布直方图如图.(1)(1 2)求抽取的2 0 0 户居民用水量在 4,6)范围内的居民户数；(回)根据频率分布直方图的数据估计全市1 1 8.2 万户居民中有多少万户用水量在 4,6)范围内；(2)为了进一步了解用水量在 6,8),8,1 0),1 0,1 2 1 范围内的居民用水实际情况，决定用分层抽样的方法抽取6 户进行电话采访.(团)各个范围各应抽取多少户？(团)若从抽取的6 户中随机抽取3 户进行入户调查，求 3 户分别来自3 个不同范围的概率.频率标0.1000.0750.0500.0250 28 10 12 H t 方米）1 9.在 鬻=肃；4
10、S =V 3(a2+b2-c2);c si n/l=a c o s(C -皂这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答在A a B C 中，a,b,c 分别是角4,B,C的对边，已知,a-b =6,且力B C 的面积S =些，求 A B C 的周长.4第4页，共25页20.如图，四棱锥P-4B C D 的底面ABC。是平行四边形，BA=BD=y2,AD=2,PA=PD=V5,E,F 分别是棱AO,PC 的中点.D E A(I)证明：EF平面PAB；(U)若二面角 P-A D-B 为 60。,(i)证明：平面PBC _L 平面ABC。；(ii)求直线EF与平面P8C所成角的正弦值.21.如
11、图，己知四棱锥P-4 8 C D 的底面A8CD是平行四 i边形，PA 1平面ABCD.M是 4。的中点，N 是 PC 的/；中点./以(1)求证：MN平面PAB；(2)若平面PMC _L 平面P A D,求证：CM 1 4 0；(3)若平面48CO是矩形，P A=A B,求证：平面PMC J _平面PBC.2 2.如图，E,F 分别是矩形ABC。的边CD和 2C 上的动点，且AB=2,AD=1.(1)若 E,尸都是中点，求 阮.前；(2)若 E,尸都是中点，N是线段E,F 上的任意一点，求 丽 丽 的最大值；(3)若LEAF=4 5 ,求 荏 存的最小值.第6页，共25页答案和解析1.【答案
12、】D【解析】解：v z=(，:)】。+V 3 i =i1 0 0+V 3 i =1 +V 3 i.1 V 3 l|z|=J l2+(V 3)2=2故选：D.根据已知条件，结合复数模的概念和复数代数形式的乘法运算，即可求解.本题考查了复数模概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题.2 .【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析4个结论：对于，E F 与 CO异面，错误；EF/C D；对于E,F分别为棱8 C,A C的中点，则E/7/4 B,而EF C 面 A B Q 且 A B 在平面4 8。内，则EF 平面4 B。，正确；对于EF AB,则 用 与 A O所成的角即N
13、 B 4 D,又由四面体力一 B C D是正四面体，则乙B AD=6 0,则错误;对于由结论，正确：故其中正确的是；故选：C.根据题意，依次分析4 个结论，综合可得答案.本题考查四面体的几何结构，涉及线线、线面平行和垂直的判断，属于基础题.3 .【答案】D【解析】解：由c o s(a )=：,得si n(2 a +g =si n 2(a-、+mO 4 O D Lcos2a 2 c o s2(a -看)-l =2 x 看-1=1,再由c o s(a _g =曰 得2cos 2(U _ 1=%可得c o s2-勺=g,si n(2 a +$+c o s2(=+1=1.故选：D.由已知结合诱导公式及
14、倍角公式分别求得si n（2 a +与c o s?-卷），作和得答案.本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及诱导公式的应用，是基础题.4 .【答案】A【解析】解：建立如图所示的直角坐标系，因为禽，鲁 分 别 为 包，而方向上的单位向|c 川 C B 量，则 为 曷=（。,1），箫=（1，。），则 方=Sf+y.篙=（，”）+（%）=g），故 P（y,x）,因为A 8 所在的直线方程为3 +9 =1,即x =-y +3,(0%3,0 y m-x-y 恒成立,所以m 2x+3y _ 2(y+4)xy 4y-y2，令用）=舒，则f （y）=5 ，易得，当0 yW 4近 一 4 时，函数单调递减，
15、当4 或 4 m 4时，函数单调递增,故当y =4 V2-4 时f（y）取得最小值:+V2,故m s|+鱼.故选：A.由已知建立直角坐标系，结合向量数量积的坐标表示可得x,y的关系，然后由已知不等式分离参数，转化为求解函数的最值，结合导数可求.本题主要考查了由不等式恒成立求解参数范围，分离法的应用是求解问题的关键，属于中档题.5 .【答案】C第8页，共25页【解析】解：由已知可得，两次统计的总人数没有变，故两次统计的平均数的相同的,设为3设劳动时间长为(1 i (20-x)2+(18 -x)2,故S s故选：C.先判断两次统计的平均数情况，然后再利用标准差的计算公式进行比较即可.本题考查了特征
16、数的理解和应用，主要考查了平均数与标准差的计算公式的应用，考查了化简运算能力与逻辑推理能力，属于基础题.6.【答案】D【解析】解：作P O 1底面A 8 C,交面ABC于点O,连线路A。并延长并A C于点。，正三棱锥P -4 BC的高为2,侧棱与底面所成的角为4 5。，P O=2,AP B 0 =4 5 ,AP OB =9 0,B O=2,B D=3,P B=V 4 T 4 =2企，设CD =%,则BC=2x,由勾股定理得4 x 2-=9,解得 =同B C=2V 3)SHABC=I X 2A/3 X 3=3V 3.v P D=V 1+4 =V 5 SAC=x 2/3 X V 5 =V 15.V
17、P_AB C=匕_P BC，设点A到面P B C的距离为h,1 x 3V3 x 2=|x V15 x/i,解得九=点人到面MC的距离为经故选：D.由已知条件推导出S8C=3B，5 =底,由此利用力-神。=1 0；又 tcmC一 tan(4+B)=tanA+tanB1-tanAtanB4tanB3tan2B-ltanA,6 3tanB,6,-1-=-1-tanBtanC tanA tanBtanC 3tanB3 2-t-a-n-C7 7 -t-a-n-Bn3(3 tan2 B -1)24 tanB tanB网 即 3+篇）2 打 2遥=手当且仅当e料 取所 以 皿17 tanBtanC+品的最小
18、值为苧.故选：B.由正弦定理和三角恒等变换求出tQ九 4=3tanB9再用tanB表示tan C,从而求得tanAtanBtanC+高 的 直本题考查了三角函数求值问题，也考查了三角恒等变换和正弦定理的应用问题，是中档题.8.【答案】B【解析】第10页，共25页【分析】本题考查了几何体外接球的应用问题，解题的关键求外接球的半径，属于中档题.根据题意画出图形,结合图形找出A 4BC的外接圆圆心与三棱锥P-48c外接球的球心,求出外接球的半径，再计算它的表面积.【解答】解：三棱锥P-A 8C中，PA _ L平面ABC,直线PQ与平面ABC所成的角为0,三棱锥P ABC的外接球的球心为。，贝 心讥。
19、=霁=9?且sMO的最大值是乌PQ PQ 2:，(PQ)min=2V3，.4Q的最小值是遮，即A到8C的距离为旧，AQ 1 BC,v AB=2A/3,在Rt 4BQ中可得=也 即可得BC=6；取48C的外接圆圆心为。，作。24，设力8c的外接圆的半径为r,.6=2 r一.2?r，解得r=2A/3;sin 3 OA=23，取”为尸A的中点，连接。”，则0_LP43OH=OA=2遮，PH=由勾股定理得OP=R=JPH2+OH2=2 三棱锥P-ABC的外接球的表面积是s=4TTR2=4X7TX()2=577r.故选员9.【答案】BD【解析】解：由题意，设连续7 天，每天的体温高于37.3。(：的人数
20、分别为m b,c,d,e,f,g,则0 4 a W b W c W d W e W f W g,对于A,取 2,2,2,2,3,4,6,则满足中位数为3,众数为2,但是第7 天的人数为6 5,故选项A 错误；对于8,若g 2 6,由中位数为1,可知均值为，(。+8+6(+6+/+9)2 1,与均值小于1矛盾，故选项8 正确；对 于 C,取 0,1,2,4,4,4,6,则满足均值为3,众数为4,但是第7天的人数为6 5,故选项C 错误；对于 D,当均值为 2,标准差为 时，a+b+c+d+e+f +g=14,(a 2)2+(9-2)2 =1 4,若g N 6,贝 U(a 2/+(g-2/1 4,
21、且如 1,1,1,1,2,3,5,符合题意，故选项。正确.故选：B D.根据题意，设连续7 天，每天的体温高于37.3久的人数分别为a,b,c,d,e,f,g,则0a b c d e f 是菱形，故A 正确；对于8：当点G 为AABC的重心时，如图所示：第12页，共25页即：根据向量的线性运算，则褊+而+就=6，由于该题为外心，故 B 错误；对 于 C：向量宙=（2,3）,区=或 一 令，则瓦=4雨 故不能作为平面内的一组基底，故 C错误；对于。：。为A 4 B C 所在平面内任一点，设。为 B C的中点，且满足（赤 一 元）.（而+灵 一2成）=0，W O C B（AB+AC）=0.所以2
22、而 近=0，即A。垂直平分8 C,所以A A B C 为等腰三角形，故。正确.故选：AD.直接利用向量的线性运算和向量的数量积，向量的基底，向量的垂直的充要条件的应用判断A、B、C、。的结论.本题考查的知识要点：向量的线性运算和向量的数量积，向量的基底，向量的垂直的充要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.11.【答案】BC【解析】解：取中点M,则 AM为 A F 在平面4 4 1。以上的射影，A M 与D O 1 不垂直，.4 F 与 不 垂 直，故 A错；取B i G 中点N,连接&N,GN,可得平面4GN平面AEF,故 3正确；把截面A E F 补形为四边形A E F
23、D i，由等腰梯形计算其面积S =3,故 C正确：假 设 C与 G到平面A E 尸的距离相等，即平面A E F 将 CG平分，则平面4 E F 必过CG的中点，连接CG交 E F 于“，而“不是CG中点，则假设不成立，故。错.故选：BC.取DQ中点历，则 4M为 A/在平面4 4 山1。上的射影，由AM与。为 不垂直，可得A 尸与D D i 不垂直；取8 1 G 中点M连接4 1 M G N,得平面4GN平面A E F,再由面面平行的性质判断B；把截面A E F 补 形 为 四 边 形 由 等 腰 梯 形 计 算 其 面 积 判 断 C；利用反证法证明O错误.本题考查空间中直线与直线、直线与平
24、面以及平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题.12.【答案】BC【解析】解：/(%)=2cos2a)x+V3sin2a)x=cos2a)x 4-yf3sin2a)x+1=2sin(2a)x+-)4-1,因为/(x)的最小正周期为兀，则 答=兀,解 得 3=1,2a)则久)=2sin(2x+-)+1,6对于A,因为“兀,勺,则2 r+g e 警,勺,o O O Z故 sin(2x+6 1,1,所以/(x)e-1,3,则函数f(x)在 一,勺上值域为-1,3,故选项A错误；对于 8,令一g+2kn 2%+4-2kn,k Z,2 6 2解得一F+krc x 1 一 3
25、 1 一*OP=CA+1 x CD2 2 31 一 1 一=-C A+-C D1 一 1 2 一=-C?l 4-X-C B2 2 3=-CA+-CB,2 3又=26，且乙4cB=全二 CBsin乙ACB=2后 即CA CB=8.CP=+1C B)21 2 1 2 1 =-CA+-C B+-CA-CB14 9 31 1 o 1 7 1 A=4 匕 2+Q?+ccbcos-(令 C4=b,CB=a)1 0 1 0 1=-a2 4-b2+-ab个9 4 61112 2 乂；。乂 大/?+:cib、3 2 6=加=2.故答案为：2.利用A,P,。三点共线可求出rn=,并得 到 而=：襦+9万.再利用平
26、面向量的基本性质和基本不等式即可求出I汴 I的最小值.本题考查平面向量共线定理，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量线性运算的运用.15.【答案】126【解析】解：如图，设尸在底面的投影为M,如图建立平面直角坐标系，则点M 在圆/+y2=9上，可设M(x,y)设(a,b),可得/+y 2 =9,第16页，共25页Q2+庐=1 6,则 P/2 +P B2+P C2=(%-4)2+y 2 +(%+4)2 +/+(%Q)2 +(y -b)2 +3 xP M2=3(x2 4-y2)+a2 4-b2-2(a x +by)+3 2 +7 5=1 5 0 2(a x 4-by)由柯西不等式可得(/+y2
27、)(a2+b2)(a x +by)2,即1 6 x 9 (a x 4-b y)2,/-2 4 2(a x +b y)2 4,(当?=，时取等号).:.1 2 6 +PB2+pC2 0,所以s 讥C =W c o s C,即t c m C =A/3,由 C为三角形内角，可得C =g.由余弦定理得c?=a2+b2-a b,当且仅当a =b 时取等号，故a b 4,可得SBC=|ccbsinC x 4 x =百，故 AB C 面积的最大值百.因为C =g,又4 +B +C =7T,所以8=与一4又2 s i z h 4 sinB =，可2sinA s i n(A)=2sinA cosA-sinA=-
28、sinA 3 k 3 J 2 2 2当 cos A=V3sin(i4-2)=争所以sin(4-？)=I，o o由0 l-)+-=cos(4-)cos-sin(4 -)sin-=x =6 6 6 6 6 6 3 2 3 22乃-16 故答案为：V 3.组.6由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求lanC,进而可求C,由余弦定理及基本不等式可求 质 的 范围，然后结合三角形的面积公式即可求得 力BC面积的最大值，由A+B +C =n,将2sinA-sinB中B角用A替换，化简即可得到co sA,由已知利用三角函数恒等变换的应用可求s in(A-g)=：,可求范围一?0,所以 cost=I，因为
29、。为三角形内角，C =p 4 s =V 3(a2+炉 c2)；4 x absinC=V 3 x 2abcosCf所以s i n C =V3cosC 即t c m C =V 3,因为C为三角形内角，C =p c s i r i A=acos(C -6)；由正弦定理得 s i n C s i n A=sinAcosC -)；因为s i?i 4 0,所以 s i?i C =c o s(C -cosC +-sinC t所以 C c m C =V 3,因为。为三角形内角，C =p而 S-BC=absinC=f a b =竽，所以a b =9,由余弦定理得c?=a2 4-h2 a Z?=(a +b)2 3
30、ab=3 6 4-a Z?=4 5,所以 c =3y/5f所以c?=a2 4-b2-a b =(a +b)2-3ab=4 5,所以Q+b =6 a,故 A BC的周长a +b +c =6&+3 V 5.【解析】笔=卷，结合正弦定理及和差角公式进行化简可求c o s C,进而可求C；4 S =V 3(a2+h2-c2),结合余弦定理及面积公式进行化简可求t a nC,进而可求C；csinA=acos(C-),结合正弦定理及和差角公式进行化简可求t a nC,进而可求C；然后结合三角形的面积公式可求然后结合余弦定理可求a+b,进而可求本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面积公式在
31、求解三角形中的应用，属于中档题.第20页，共25页2 0.【答案】（I）证明：连接AC,ACHBD=H,底面ABCQ是平行四边形，为BD中点,是棱AZ）的中点.在 A 48。中，EH/AB,又：AB u 平面 PAB,EH C平面 PAB,EH平面 PAB.同理可证，FH平面PAB.又：EH C FH=H,EH,FH cffi EFH,平面EFH平面PA8,EF u 平面 EFH,EF平面 PAB；（II）证明：（i）如图，连接PE,BE.BA=BD=V2,AD=2,PA=PD=花,BE=1,PE=2.又:E为 AO的中点，BE 1 AD,PE 1 AD,NPEB即为二面角P-A D-B 的平
32、面角，即NPEB=60,PB=遮.PBD中，BD2+PB2=PD2,：.PB 1 B D,同理P B 1 B 4而力B n BD=B,且 AB,BO u 平面 ABC。，P B，平面 ABCD,PB u 平面 PBC,平面PBC 1 平面 ABCD-.(it)解：由(i)知，PB 1 BD,PB 1 BA,:BA=BD=V2,AD=2,BD 1 BA,：.BD,BA,B P两两垂直，以B为坐标原点，分别以8。，BA,B P为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系B-DAP,则有4(0,夜,0)，5(0,0,0),C(V2,-V2,0).)(V2,0,0),P(0,0,y/3),ec=(V2
33、,-V2,0),丽=(0,0，V3),设平面P8C的法向量为元=(x,y,z),.(n-BC=0(n-BP=OCV2x y/2y=0 lV3z=0令x=l,则y=l,z=0,故元=(1,1,0),E,F分别是棱AO,P C的中点，E弓 后0)，F喙*冷，.FF=(0,-V 2，Y)，设直线E F与平面PBC所成角为0,第22页，共25页t .In FFl sin6=cos =-|n|E F|-V2|_ 2V11 6 亨一 i i，即直线EF与平面PBC所成角的正弦值为旭.11【解析】本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理以及线面角大小的求法，要求熟练掌握相关的判定定理，属于拔高题.(I)要证
34、明EF平面P A B,可以先证明平面EFH平面P A B,而要证明面面平行则可用面面平行的判定定理来证；(U)(i)要证明平面PBC 平面ABC,可用面面垂直的判定定理，即只需证PB J L 平面A8C。即可；(ii)由(i)知，B D,B A,8 P 两两垂直，建立空间直角坐标系B-ZM P,得到直线E F的方向向量与平面PBC法向量，其夹角的余弦值的绝对值即为所成角的正弦值.21.【答案】证明：(1)取 PB的中点E,连接EM AE.E,N 分别是PB,PC 的中点，EN幺BC,2是 AO的中点，四边形ABC。是平行四边形，AM-B C,2.ENAM，；四边形AMNE是平行四边形，MN/A
35、E,又M N,平 面P AB,AE u 平面P AB,MN平面 P AB.(2)假设CM与 AO不垂直，在平面A8CO内过M 作 AO的垂线，交 BC于Q,连接P。,MQ,v P A 1 平面 A B C D,M Q u 平面 AB C D,：.P A LM Q,又AD J.MQ,P A C l AD=A,.M Q _L 平面 P A D,又M Q u 平面 P MQ,平面PMQ J 平面P AD,显然这与平面PMC 1平面PAO矛盾.故假设不成立，.CM14D.(3).四边形 A8CD是矩形，AD 1 AB,V P A 1 平面 AB C D,AD u 平面 AB C D,P A 1 A D
36、,又P4 n AB=A,AD _L平面 P AB,.AD 1 AE,由(1)可知四边形AMNE是平行四边形，二 四边形AMNE是矩形，M N 1 EN,又4M=M0,P A=AB =C D,Z.P AM=M D C =90,PMXsA C MD,：.P M =CM,又 N 是 P C 的中点，M N 1 P C,又 P C C E N =N,P C u 平面 P B C,EN u 平面 P B C,M N _L平面 P B C,又MN u 平面 P MC,二 平面PMC 1平面P B C.【解析】(1)取 PB的中点E,连接EM 4E.通过证明四边形AMNE是平行四边形得出M N/A E,从而
37、得出MN平面PAB；(2)假 设 CM 与 A O 不垂直，构造与平面PAO垂直的平面P M Q,得出矛盾结论即可；(3)证明四边形AMNE是矩形得出MN 1 E N,再证明PM=CM得出MN 1 P C,故而MN 1平面P B C,于是平面PBC _L平面P MC.本题考查了线面平行，面面垂直的判定与性质，属于中档题.22.【答案】解：(1)以A 为原点，AB,AO所在直线分别为x,y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则4(0,0),S(2,0),C(2,l),E Q I),F(2,|),AC=(2,1)，EF=(1,1)，：.EF-AC =2-=-.2 2第24页，共25页(2)设 前=
38、4前=(尢 一/),则N(l+a,l -2 G 0,1 ,4/V =(1+A,1 -j A),W B =(1 -A,-l 4-2),A W-J V B=(1 +4)(1 -A)+(1-1 A)(-1 +=1 -A2-1 +A -=-|A2+4 =2(4一 夕+工，4、5y 5当;1 =1时，而.近 取得最大值，为最(3)设4 B/F=0,则4 Z L 4 E =4 5。一仇.AU A D _ 1 A L AB 2CQSLDAE c o s(4 5 -0)cosZ-B AF cos6.-.AE-AF=AE-AF-cosEAF=-工 c o s 4 5。=-马-c o s(4 5 -6)c o s
39、 0 c o s(4 5 -0)c o s 0_ _ _ _ _ _ _ _ V 2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2 _ _ _ _ _一 cose+sine)cose-cos20+sin0 cos0-i+c o s 2 6+1n2 0 -V 2 s i n(2 0+4 5)+l V 2+1 一 曲 加-D,2 2当2。+4 5。=9 0。，即0 =2 2,5。时，等号成立，故 荏 布的最小值为4(e-1).【解析】(1)以4为原点建立平面直角坐标系，根据平面向量数量积的坐标运算，即可得解；(2)设 丽=4前，A e 0,1 ,用含;I的式子表示点N的坐标，推 出 丽 丽=-%2+a,再由配方法，得解；(3)设Z B A F =。，贝叱Z M E =4 5。-。，利用三角函数表示出AE和AF的长，再结合平面向量的数量积、三角恒等变换公式，正弦函数的图象与性质，得解.本题主要考查平面向量在几何中的应用，还涉及三角函数，遇到规则图形，一般采用建立坐标系，转化为平面向量的坐标运算可简化试题，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.