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1、2021-2022学年广东省深圳市光明高级中学高一（下）期中数学试卷一、单 选 题（本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.（5 分）i 是虚数单位，复 数 生 等 于（）1-iA.-2-2/B.2-2/C.-2+2/D.2+2i2.（5 分）己知4（1,1）,B（-2,2）,O 是坐标原点，则 赢+标=（）A.（-1,3）B.（3,-1）C.（1,1）D.（-2,2）3.（5 分）在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3,乙地下雨的概率为0.4,假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为（）A
2、.0.1 2 B.0.8 8 C.0.2 8 D.0.424.（5 分）在 4BC中，角 A,B,C 所对的边分别是a,b,c,已知a=2,b=-Ji,8=工,3贝 I A=（）A.B.C.三或了冗一 D.三或一5冗 _6 4 4 4 6 65.（5 分）已知|司=5,|b l=4,且 a，b=72,则向量a 在向量b 上的投影向量为（）A.B.31 C.-b D.-5-b5 5 4 46.（5 分）先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上的面的点数，则第一次点数大于第二次点数的概率为（）A.A B.-L c.A D.A3 1 2 9 27.（5 分）设。为 ABC所在平面内的一点，且
3、满足皮=2 而，则（）c-AD=-|_AB+yAC D-AD 得AB 蒋AC8.（5 分）如图，在平面四边形ABC。中，ABLBC,A DLBD,BC。为边长为2、行的等边三角形，点 P 为边8。上一动点，则却,赤的取值范围为（）A.-6,0 B.号，0 C.号，0 D.-7,0二、多选题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.）（多选）9.（5 分）已知；，3 为非零平面向量，则下列说法正确的有（）A，a _ L b 0 a b=0 B,a/bt t2 R b=XaC.若 a c=b c
4、，则 a=b D.（a，b）c=a （b c）（多选）10.（5 分）口袋里装有1 红、2 白、3 黄共6 个形状相同的小球，从中任取2 球，事件A=”取出的两球同色，B=”取出的2 球中至少有一个黄球，C=”取出的2 球中至少有一个白球”，。=取出的两球不同色，E=取出的2 球中至多有一个白球”,下列判断中正确的是（）A.事件A 与。为对立事件 B.事件B 与 C 是互斥事件C.事件C 与 E 为对立事件 D.事件尸（CUE）=1（多选）11.（5 分）ABC中，角 A、B、C 的 对 边 分 别 为b、c.下列四个论断正确的是（）A.若 A 8,则 sinAsin2B.cos（B+C）=c
5、osAC.若一 一,贝 叮 工sinA cosB 4D.8=60,c=4,b=2,此三角形无解（多选）12.（5 分）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为且支出在20,60）元的样本，其频率分布直方图如图所示，则下列说法错误的是（）0.036w720 30 4（）50 MA.估计众数为45B.估计平均数为43C.支出在 50,60）的频率为0.2 5D.估 计 中 位 数 是 幽9三、填 空 题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）1 3.（5 分）设 x W R,若复数z=（x+1）+（3 x-2）i在复平面上对应的点位于第四象限，则x的 取 值 范 围 是.1 4
6、.（5分）某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一 1 5 0 0人、高 二 1 2 0 0人、高 三 1 8 0 0 人中抽取5 0 人进行问卷调查，则高三抽取的人数是.1 5.（5分）一组数据按从小到大的顺序排列为1,2,2,x,5,1 0,其 中 已 知 该 组数据的中位数是众数的3倍，则 该 组 数 据 的 标 准 差 为.21 6.（5 分）在 A 8 C 中，角 A,B,C所对的边分别是 a,b,c,若 2 c s in 8=（2 a+c）t a n C,b s in A s in C=V 3 s in B,则“c 的最小值为.四、解 答 题（本大题共6小题，共70分.解
7、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）1 7.（1 0 分）设复数 z i=l -出（a W R）,复数 z 2=3+4 i.（1 ）若 Z 1+Z 2 E R,求实数的值；（2）若三是纯虚数，求|z i|.z21 8.（1 2 分）甲有大小相同的两张卡片，标有数字2、4；乙有大小相同的卡片四张，分别标有 1、2、3、4.（1）求乙随机抽取的两张卡片的数字之和为偶数的概率；（2）甲、乙分别取出一张卡，比较数字，数字小者获胜，求乙获胜的概率.1 9.(1 2 分)已知；=(-2,1),b=(l,m),c=(2,n)-(1)若之_1限 且(Z+E)/日，求实数相，的值；(2)若=1,且与E的夹角
8、为6 0。，求实数，”的值.2 0.(1 2 分)设 A BC 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c ，且c s B=，c=纣6 3(1)若 A BC 的 面 积 为 求 ；3(2)若 AC边上的中线B D=V ,求 s in A 的值.2 1.(1 2 分)在 A BC 中，a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边，且 2 a s i“=(2 b+c)s in B+(2c+b)s in C.(I )求 4的大小；(I I )若 s in B+s in C=1,试判断 A BC 的形状.2 2.(1 2 分)某滨海城市沙滩风景秀丽，夏日美丽的海景和清凉的海水吸引了不少前来游玩的旅客.某饮品
9、店通过公开竞标的方式获得卖现制饮品的业务.为此先根据前一年沙滩开 放 的 1 6 0 天的进入沙滩的人数做前期的市场调查，来模拟饮品店开卖之后的利润情况.考虑沙滩承受能力有限，超 过 1.4 万人即停止预约，以下表格是16 0 天内进入沙滩的每日人数的频数分布表.人 数(万)0,0.2)0.2,0.4)0.4,0.6)0.6,0.8)0.8,1.0)1.0,1.2)1.2,1.4 频 数(天)8 8 16 24 24 a 3 2(1)绘 制 16 0 天内进入沙滩的每日人数的频率分布直方图，并求和这组数据的6 5%分位 数；八坦组 盛2.001.751.501.251.000.750.500.
10、250 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4人数(万)(2)据统计，每 10 个进入沙滩的游客当中平均有1 人会购买饮品，X (单位：个)为该沙滩的人数（X 为 10的倍数，如有8006人，则 X 取 8000）.每杯饮品的售价为15元，成本为5 元，当日未出售饮品当垃圾处理.若该店每日准备1000杯饮品，记 y 为该店每日的利润（单位：元），求 y 和 X 的函数关系式.以频率估计概率，求该店在160天的沙滩开放日中利润不低于7000元的概率.2021-2022学年广东省深圳市光明高级中学高一(下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、单 选 题(本 大 题 共8小题，每小题5
11、分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.(5分)i是虚数单位，复 数 旦 等 于()1-1A.-2-2/B.2-2i C.-2+2i D.2+2z【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】解:4i=4i(l+i).4i(l+i)一1-i 2 T+21故选：C.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题.2.(5分)已 知A (1,1),8(-2,2),O是坐标原点，则 示+族=()A.(-I,3)B.(3,-1)C.(1,1)D.(-2,2)【分析】根据点3的坐标，以及。是坐标原点以及0 A+A B=0 B即可求出0 A+A B的坐标
12、.【解答】解：(-2 2)。是坐标原点；A0A+AB=0B=(-2,2)-故选：D.【点评】考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，以及向量加法的几何意义.3.(5分)在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3,乙地下雨的概率为0.4,假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为()A.0.12 B.0.8 8 C.0.28 D.0.4 2【分析】设4表 示 事 件“甲地下雨”，B表 示 事 件“乙地下雨”，由题意可得甲、乙两地都不下雨的概率P=P(A B)=p C)P(卫)=(1-P (A)(1-P (B),即可得出.【解答】解：设A表 示 事 件“甲地下雨”，8
13、表 示 事 件“乙地下雨”，由题意可得甲、乙两地都不下雨的概率P=P(A B)=p(A)P(B)=(1-P (A)(1-P(B)=(1-0.3)X (1-0.4)=0.4 2,故选：D.【点评】本题考查了相互独立与对立事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力,属于基础题.4.（5分）在A B C中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,己知a=2,b=娓,3则 A=（）A.B.c.2L或岂L D.三 或 且L6 4 4 4 6 6【分析】由已知利用正弦定理即可计算得解s i 的值，结合A的范围即可求解A的值.【解答】解：a=2,b=A 8=工，3；.由正弦定理sinA sinB ,可得：s
14、 i n A =asii=V6 2V A G（0,7 i）,a B C=6 0 ,Z A B =3 0 ,在 R CA B O 中，A D=B D X t a n 3 0 =2 巧 X 孚=2,A B=2 A D=4；如图以B为原点，3 c所在直线为x轴，3 A所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则有A(0,4),C(2 V 3.0)，由于NO B C=6 0。，故可设尸点坐标为(X,V 3 X),且o V，所以薪=(x,V 3 X-4),CP=(x-2 V 3-V 3 x),所以 A P、CP=x (X-2 V 3)+(V 3X_4)V 3X=4X2-6 V 3X=4(X-)2因为0 x f，
15、当x国 时，4(x-2返 产 且 取 得 最 小 值 且，x 4 .x 4 4所 以 号 百 正4故选：C.【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于中档题.二、多选题(本大题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.）（多选）9.（5分）己知7 T 为非零平面向量，则下列说法正确的有（）a.9 D，GA-a _ L b 0 a b=0 B-b=X.aC.若 a，c=b c，则 a=b D.（a b）c=a （b,c）【分析】根 据“之，3为非零平面向量”看 判 断ABC；根据平面向量
16、数量积意义可判断D【解答】解：E,3为非零平面向量，对；3为非零平面向量，a，b=b cb a-C）=0，a-c=0或 b，（a-3），C不对；V（a-b）3是与向量3共线的向量，a（b c）是与向量Z共线的向量，。错.故选：AB.【点评】本题考查平面向量数量积性质及运算，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题.（多选）10.（5分）口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中任取2球，事件A=”取出的两球同色，B=”取出的2球中至少有一个黄球，C=取出的2球中至少有一个白球，D=取出的两球不同色，E=取出的2球中至多有一个白球”,下列判断中正确的是（）A.事件A与。为对立事件 B.事
17、件B与C是互斥事件C.事件C与E为对立事件 D.事件P（CUE）=1【分析】由对立事件与互斥事件的定义及事件的运算依次求解判断即可.【解答】解：事件A=”取出的两球同色“，D=”取出的两球不同色”，.件A与。为对立事件，故A对，事件5C=取出的2球为一个黄球，一个白球”，故事件2与C不是互斥事件，故2错，事 件CE=取出的2球有且只有一个白球”，故事件C与E不是对立事件，故C错，事 件CUE为必然事件，故P（CUE）=1,故。对，故选：AD.【点评】本题考查了事件的运算及对立事件与互斥事件的定义，属于基础题.（多选）11.（5 分）ABC中，角 A、B、C 的对边分别为、b、c.下列四个论断正
18、确的是（）A.若 A 5,则 sinAsin3B.cos（B+C）=cosAC.若 =b,贝sinA cosB 4D.B=60,c=4,b=2,此三角形无解【分析】由三角形的性质，逐项计算即可.【解答】解：对于A,由正弦定理结合大角对大边得ABaZ?sinAsinB,故 A 选项正确；对于 5：cos（B+C）=cosn-A）=-cosA,故 B 错误；对 于 C：由正弦定理有F=1 且 所 以 造 _=_ L _,.tan8=l,故 csinA sinB sinB cosB 4正确；C 项：csin8=4X零=2 b,故这样的三角形不存在，故。正确.故选：ACD.【点评】本题考查三角形的性质
19、，考查正弦定理，属基础题.（多选）12.（5 分）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为且支出在 20,60）元的样本，其频率分布直方图如图所示，则下列说法错误的是（）A.估计众数为45B.估计平均数为43C.支出在 50,60）的频率为0.25D.估计中位数是穹也9【分析】根据频率分布直方图中各个小矩形面积之和为1 求出第4组的频率，再根据众数、平均数、中位数的定义求解.【解答】解：对于A,因为 4 0,5 0)区间的频率最大，所以众数的估计值为处地=4 5,2故 A正确，对于 8,V I -(0.0 1+0.0 2 4+0.0 3 6)X 10=0.3,，平均数的估计值
20、为 2 5 X0.1+3 5 X 0.2 4+4 5 X 0.3 6+5 5 X 0.3=4 3.6,故 8 错误，对 于 C,支出在 5 0,6 0)的频率为0.3,故 C错误，对于 O,V 0.1+0.2 4 0.5,.中位数落在区间 4 0,5 0)内，设中位数为x,则 0.1+0.2 4+(x-4 0)X0.0 3 6=0.5,解得x=皿，故。正确，9故选：BC.【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了众数、平均数、中位数的估计，属于基础题.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共 2()分.)13.(5 分)设 x C R,若复数z=(x+1)+(3 x-2)i 在复平面
21、上对应的点位于第四象限，则x的取值范围是(-1,2).3【分析】化复数z 为 a+b i 的形式，由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解.【解答】解：；复数复数2=(x+1)+(3 x-2)i 在复平面上对应的点位于第四象限，A,x+1 0,解 得-3x-2 b _ 4 _ 1I c-a|X|b|W l+m?2解得m=,所以，”的值为正或【点评】本题主要考查平面向量的运算、向量平行的坐标表示、向量夹角的计算等知识,意在考查转化与化归思想，考查学生的逻辑推理，数学运算等核心素养，属于基础题.2 0.(12分)设A A B C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且*S 8=逅，6 3(1)若
22、A B C的面积为改，求a；3(2)若4 c边上的中线B D=V ,求s in A的值.【分析】(1)由同角基本关系式求出s in B,再结合面积公式、解出a的值；(2)先在 Q B E中利用余弦定理求出BE,B C,然后在 A B C中利用正弦定理求出结果.【解答】解：(1)因为COSB=Y E,BE(0,n),故s in B=返，6 6又 S gB c u/a c s in B N 。=故 a=(2)取3 C的中点E连接在O 8 E 中，B D B E +D铲 2BEDECGS/B E D,即 B E=1,BC=2,在A B C中，因为CQSB二工殳 所以s in B二，？工0 0结合解得
23、i必=也.s in A s in B 14【点评】本题考查三角形的面积公式、正余弦定理等知识，同时考查方程思想的应用,属于中档题.2 1.(12 分)在A B C 中，a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边，且 2 a s i“=(2/+c)s in B+(2c+h)sinC.(I)求 A 的大小；(II)若 sin8+sinC=1,试判断ABC的形状.【分析】(I)利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，求得“，和c 关系式,代入余弦定理中求得cosA的值，进而求得A.(0)把(I)中“，匕和c 关系式利用正弦定理转化成角的正弦，与 sinB+sinC=l联立求 得 sinB和 si
24、nC的值，进而根据C,B的范围推断出B=C,可知ABC是等腰的钝角三角形.【解答】解：(I)由已知，根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c即 a2=b2+c1+bc由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA故 cosA=-v e (0,n).,.A=120(II)由(I)得 sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC.变形得士=(sinB+sinC)2-sinBsinC4又 sinB+sinC=1 得 sinBsinC=4上述两式联立得s in g u s in c 因为 0 B60,0 C 10000)所以丫=，ll.5 X-5 0 0 0(0 X 10000)设销售的利润不少于7000元的事件记为A.实际上得到X28000,此:时 P(A)=(24+48+32)+160=0.65.【点评】本题以实际生活为背景，考查新增内容百分位数、频率分布直方图、概率，结合分段函数考查学生对实际情境的理解，简化数学运算，考查基础知识和基础能力.