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1、2021-2022学年初中数学精品讲义-全等三角形方法课之手拉手模型（解析版）学校:姓名：班 级：考号：一、单选题1.如 图,正 方 形ABCD的边长为4,点E,F分 别 在AB,4力上，若CE=26，且ZECF=45,则CF的 长 为（）【答 案】AC.2/wD.7V103【分 析】把绕点C逆 时 针 旋 转90。得ARCB,此 时E,B,F三点共线，证明ACEF冬ACEF得EF=EF,设DF=x,在R JE A E中，由勾股定理列出x的 方 程 求 得x,再 在RFCD中，由勾股定理得结果.【详 解】解：正 方 形ABC，:.CD=CB,ZCDF=NCBE=90,把AFCD绕 点C逆 时
2、针 旋 转90。得H C B,NCBE+NCBF=180。,此 时E,B,尸 三 点 共 线，则ACB/丝AC。/，连 接EF.：.C F=CF,BF=DF,/ZFC F=90,Z ECF=45,，NECF=NECF=45,VCE=CE,：ACEF知CEF(SAS),EF=EF.在 Rt AEBC 中，BE=y/CE2-B C2=4 2石)-4?=2,；.AE=AB-BE=2.设 D F=x,贝!AF=4-x.V BF=DF,EF=EF=B E+BF=2+x,在 中，EF2=A E2+A F2,.(2+X)2=22+(4-X)2,4解得：x=-.4在 RQCW7 中，DF=-,C D =4,C
3、尸/r f+甲 J 6 t j 6 x 9=3U J 9 9解得：C F哼.本题主要考查了全等三角形的判定及性质，正方形的性质，勾股定理等，构建全等三角形，利用方程思想是解答此题的关键.2.如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，ABC是等边三角形，ZADC=30,AD=2,B D=3,则 CD 的 长 为（）lr3A.75 B.4 C.V3 D.-【答案】A【分析】在 CO外侧作等边CZ）E,连接A E,易证NACE=NBC。，进而可以证明 ACE学/X B C D,可得4：=8。，在RtZvlDE中根据勾股定理可以求得O E的长，即可解题.【详解】解：在。外侧作等边 1 ,连接 A E
4、,则 ZA=90。，DE=DC,ZC=60,.ZACB=ZDCE=60,ZACE=ZBCD,在 ACE和ABCD中，CD=CE,在 RtZXADf 中，DE-=AE2-AD2=BD1-AD2=5,DE=-/5，CD=A/5,故选：A.【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证/XACE出4B C D 是解题的关键.3.如图，在AOAB 和AOCO 中，OA=OB,OC=OD,OAOC,ZAOB=ZCOD=40Q,连接AC,5。交于点M,连 接 O M,下列结论：A 0 g 2 B 0 D；AC=BDi NAM5=40。；MO 平分N8MC.其中正确的个数为
5、()A.4B.3【答案】AC.2D.1【分析】由题意易得/A O C=/B O D,然后根据三角形全等的性质及角平分线的判定定理可进行求解.【详解】解：VZAOB=ZCOD=40,/A O D 是公共角，ZCOD+ZAOD=ZBOA+Z A O D,即 ZAOC=ZBOD,VOA=OB,OC=OD,/.AOCABOD(SAS),；.AC=BD,ZOAC=ZOBD,ZO D B=ZO CA,故正确；过点O 作 OELAC于点E,OFLBD于点F,BD与 OA相交于点H,如图所示：VZAHM=ZOHB,ZAMB=180-ZAHM-ZOAC,ZBOA=180-ZOHB-ZOBD,ZAMB=ZBOA=
6、40,/OEC=NOFD=90。，VOC=OD,ZOCA=ZODB,.OEC丝OFD(AAS),，OE=OF,，OM 平分N B M C,故正确；所以正确的个数有4 个；故选A.【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的判定定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的判定定理是解题的关键.4.如图，在AABC中，=点。、厂是射线8 c 上两点，且若AE=A。，Z B A D =Z C A F =1 5；则下列结论中正确的有()BD CE_LBE；4ABD名AACE；5少作=S四 边 形 和小；BC-EF=2AD-CFA.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【答案】D【分析】
7、由 AD_LAF,ZB A D=ZC A F,得出NBAC=90。，由等腰直角三角形的性质得出NB=NACB=45。,由 SAS 证得 ABD四ZACE(SAS),得出 BD=CE,NB=NACE=45。，SA ABC=S 四 边 的 ADCE,贝|JNECB=9O。，即 EC J_B F,易证NADF=60。，Z F=3 0,由含 30。直角三角形的性质得出EF=2CE=2BD,DF=2AD,则 B D=3E F,由 BC-BD二 DF-CF,得出 BC-EF=2AD-CF,即可得出结果.【详解】VAD1AF,ZBAD=ZCAF,ZBAC=90,VAB=AC,.*.ZB=ZACB=45,在
8、ABD和 ACE中，AB=AC,/A H=/A 8G=60。；再根据等边三角形、角平分线的性质分析，即可得到答案.【详解】连接G F,过点B 作于M,BN 1C D于 N：/ABD,BCE都是等边三角形，.NA8O=NEBC=60。，BA=BE,BE=BC,：.NABE=ZDBC,在48：和4 0 8 c 中，BA=BDOC,ZAOB=ZCOD=4 0 ,连接AC,BD交于点M,连接O M.下列结论：AC=BD；NAMB=40。；OM平分NBOC；MO平分N B M C.其中正确的个数为()C.D.【答案】D【分析】由 SAS 证明 A4OCMABOD 得出 NOC4=NOD8,A C =B
9、D,正确；由全等三角形的性质得出NQ4C=N O B D,由三角形的外角性质得：Z A M B+Z O A C =Z A O B+Z O B D,得出 ZAM3=ZAO3=40。，正确；作 OGJ_MC于G,O H L M B 于H ,如图所示：则 NOGC=90。，由A4S证明DOCGDODH(AAS),得出OG=O H,由角平分线的判定方法得出何。平分N8WC,正确；由4 4 0 8 =/CO。，得出当N)OM=NAOM时，0W 才平分N B O C,假设N D O M =Z A O M ,由 AAOCMM O D 得出？COM 2 BOM,由 MO 平分 N8WC 得出Z C M O=A
10、 B M O,推出 DGOMDB。“，得 OB=O C,而 04=0 8,所以 Q4=0 C,而O A O C,故错误；即可得出结论.【详解】解：vZAOB=ZCOZ)=40o,Z A O B+Z A O D =Z C O D+Z A O D ,即 Z A O C =ZBOD,在 A4OC和ABO力中，IOA=OB!AOC?BOD,0C=ODA AAOC=ABOD(SAS),:.NOCA=/ODB,AC=B D,正确；;.NOAC=NOBD,由三角形的外角性质得：ZAMB+ZOAC=ZAOB+ZOBD,ZAMB=ZAOB=400 9 正确；作O G L M C于G,OH上MB于H,如图2所示：
11、则 ZOGC=ZOHD=90,在AOCG和AODH中,X?OCA?ODBi?O G C 1OHD,OC=ODAOCG=/ODH(AAS),:.OG=OH,二.M O平分N 3 M C,正确；：ZAOB=/COD,当 NOOM=Z4O M 时，OM 才平分 N 8O C,假设 NDOM=ZAOM/M O C =ABOZ),?COM?BOM,M O平分N 8M C,?CMO?BMO,在 ACOA/和 ABOM 中，i?COM?BOMOM=OM,I?CM。?BMO DCOM DBOM(ASA),/.OB=OC,O A=OB:.OA=OC与。4 0 C矛 盾，错 误；综上所述，正确的是；故 选：D.【
12、点 睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的判定等知识，熟悉相关性质是解题的关键.9.如 图，点C是 线 段A E上 一 动 点(不 与A,E重合)，在A E同侧分别作等边三角形ABC和 等 边 三 角 形CDE,AD与B E交 于 点O,AD与B C交 于 点P,B E与CD交于点Q,连 接P Q,有 以 下5个 结 论：AD=BE；PQAE；AP=BQ；DE=DP；NAOB=60。.其 中 一 定 成 立 的 结 论 有()个A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【分 析】由于 ABC和4C D E是等边三角形，可 知AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=
13、60,从 而 证 出 A C D A B C E,可 推 知AD=BE；由 ACD丝4BCE 得/C B E=N D A C,力口之/ACB=NDCE=60。，A C=BC,得到 ACPABCQ(A S A),所以 AP=BQ；故正确；根据CQ B名ACPA(A S A),再根据/PCQ=60。推出 PCQ为等边三角形，又由ZPQ C=ZD C E,根 据 内错角相等，两直线平行，可知正确；根 据NDQE=NECQ+NCEQ=60o+NCEQ,ZCDE=60,可 知N D Q ErN C D E,可知 错 误；利用等边三角形的性质，BCD E,再根据平行线的性质得到NCBE=NDEO,于是Z
14、AOB=Z DAC+ZBEC=Z BEC+Z DEO=Z DEC=60,可知正确.【详 解】,等边 ABC和等边 DCE,ABC=AC,DE=DC=CE,ZDEC=ZBCA=ZDCE=60o,AZACD=ZBCE,在 ACD和 BCE中，AC=BC,ZACD=ZBCE,DC=CE,.,.ACDABCE(SAS),AD=BE；故正确；ACDg/BCE(已证)，ZCAD=ZCBE,NACB=NECD=60。(已证)，ZBCQ=180o-60 x2=60,ZACB=ZBCQ=60,在 A CPA BCQ 中，ZCAD=ZCBE,AC=BC,ZACB=ZBCQ=60,J AACPABCQ(ASA),.
15、AP=BQ；故正确；VAACPABCQ,PC=QC,AAPCQ是等边三角形，NCPQ=60。,ZACB=ZCPQ,.PQAE；故正确；VAD=BE,AP=BQ,/.AD-AP=BE-BQ,即 DP=QE,Z DQE=ZECQ+ZCEQ=60+ZCEQ,ZCDE=60,.,.ZDQEZCDE,ADEQE,则 D P#D E,故错误；ZACB=ZDCE=60,.NBCD=60。，.,等边 DCE,ZEDC=60=ZBCD,；.BCDE,NCBE=NDEO,N AOB=/DAC+Z B EC=Z B EC+ZDEO=ZDEC=60.故正确：综上所述，正确的结论有：，错误的结论只有，故选D.【点睛】本
16、题考查全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的判定和性质，此图形是典型的“手拉手”模型，熟练掌握此模型的特点是解题的关键.10.如图，在R/AABC和 MAADE中，A B A C =AD AE=90,AB =A C =5,A D =AE2,点 P,Q,R分别是BC,D C,O E的中点.把“IDE绕点A在平面自由旋转，则APQR的面积不可能是（）AREB P CA.8 B.6 C.4 D.2【答案】A【分析】由于已知两个三角形是等腰直角三角形并且构成手拉手模型，所以连接80,CE,BD的延长线交CE的延长线于0,AC交B0于H.根据中位线定理以及角的关系证明APQR是等腰直角三角形，再利用三
17、角形的三边关系求出PQ的范围即可解决问题.【详解】连接80,CE,8。的延长线交CE的延长线于0,AC交8。于苧出耳，APQR的 面 积 不 可 能 是8,故 选：A.【点 睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三 角形的中位线定理等知 识，添加常用辅助线，构造全等三角形是解题的关键.二、填空题1 1.如 图，四 边 形ABCD为 正 方 形.过 正 方 形 的 顶 点A和 对 角 线 的 交 点P,且与4 8、4。分 别 交 于 点 凡E.(1)若 DE=5,则 AF=.5 AF(2)若4)=7,的半径为彳，则 等=_ _ _ _ _ _ _.2 DE【答 案】5，4
18、或;3【分 析】(1)连 接EF、EP、F P,由四 边 形ABCD为正方形，则NBAD=90。，ZBPA=90,得至lJ/FPE=90。，所 以NBPF=NAPE,易证 BPFA A PE,贝BF=AE,即可得到 DE=AF；(2)连E F,由 ZBAD=90,得到 EF为。0 的直径,即 EF=5,所以 A尸+AE2=EF2=25,而 DE=A F,所以 DE2+AE2=EF2=2 5,再由 AD=AE+ED=7,这样得到关于 DE,AE的方程组，解 方 程 组 求 出DE,A E,即可得 到 黑 的值.DE【详 解】(1)连 接EP、F P,如图，四边 形ABCD为正方形，/.ZBAD=
19、90,ZBPA=90ZFPE=90,.ZBPF=ZAPE,又：NFBP=/PAE=45,.BPFAAPE,ABF=AE,而 AB=AD,AAF=DE=5；故答案为：5,(2)连 EF,*/ZBAD=90,EF为(DO的直径，而。O 的半径为g,，.EF=-x2=5,2:.A F2+A E2=E F2=25.而 DE=AF,二。炉+AE?=E尸=25；又：AD=AE+ED=AB,；.AE+ED=7，由联立起来组成方程组，解之得：AE=3,ED=4或 AE=4,ED=3,【点睛】本题考查了正方形的性质，圆的内接四边形的性质，“手拉手”模型构造全等三角形，解一元二次方程等知识点，熟练掌握基本的辅助线
20、构造，灵活推理证明是解题关键.1 2.如图回 和是AABC外两个等腰直角三角形，B A D =C A E =9 0,下列说法正确的是：.C D=B E,且。C_LBE；D E2+BC2=2BD2+E C2;E4平分ZDFE;取8 c 的中点/，连 M 4,则 M4_L)E.DEA/1/B【答案】【分析】由A3。与ACE是等腰直角三角形，ADAB,AC=AE,NZMB=/E 4C可证ADCAABE(SAS),CD=BE,ZAEB=ZACD K ZARE=ZFRC,NE4/?=90ZAER+Z ARE=ZFCR+ZFRC,即可退出；由D C_L8E,由勾股定理)尸+后尸=。1，BF2+CF2=BC
21、2,DE2+8C?=(DF2+BF2)+(CF2+EF2)=BD2+EC2,即可；过点A作AS_LDC,A G r B E,可证AADS且AABG(AAS),由性质得AS=A G,结合AS_LZ)C,A G 1 B E,即可；取BC中点M,使得4W=A W,易证ABMN经ACMA(SAS),推出3N=A C,再证D4EG AABN(SAS),推出 N84N=NAr/7,由 ND4+N8AN=90。，推出NZM/+NAH=90。即可.【详解】.A M与4C是等腰直角三角形，:.AD=AB,AC=AE,ZDAB=ZEAC,:.ZDAC=ZEAB,在 AAOC 与 AASE 中，AD=AB-ADAC
22、=NEAB,:.ADCABE(SAS),AC=AECD=BE 9设8E交AC于点R,由可知 ZAEB=ZACD 且 NARE=NFRC,ZAER+ZARE=NFCR+NFRC,:.ZEFC =E A R =9Q,即。C_LBE,故符合题意.；D C BE,：.DF2+EF2=DE2，BF2+CF2=BC2,DF+EF+BF2+CF2=DE2+BC2,S.DF2+BF2=BD2 CF2+EF2=CE2,：.DE2+BC2=BD2+CE2.故不符合题意.证明，过点A作 AS，)c,A G B E,由可 知/4DS=/W G,且 AD=4 5,ZASD，在 相$与 A4?G 中，NADS=ZABG
23、ZASD=NAGB,:.AA D SA B G(A A S),AD=ABAS=A G,且 AS_LDC,A G B E,.E4平分N D E E,故符合题意.作8 c 中点，倍长AM，使得=BM=MC在 ABMN 与 CMA 中，ZBMN=Z CMA,MN=AM:.BM NCM A(SAS),则 BN=AC,ZAG B,AC=AE,BN=AE,NBAC+/D A E =180,ZBAC+NABN=180,:.NDAE=NABN,.在与 AABN 中，AD=AB_L8C 于点。，8_14。于点尸.A E=,连接D E,将曲)沿直线AE翻 折 至 所 在 的 平 面，得AA E F,连接 P.过点
24、。作 ZX7J.AE交 8E于点G,则四边形。尸 EG 的周长为.【答案】3夜+2【分析】先证ABDG三A D E,得出4E=BG =1,再证ADGE与AEDF是等腰直角三角形，在直角AAE3中利用勾股定理求出BE的长，进一步求出G E的长，可通过解直角三角形分别求出GO,DE,E F,。尸的长，即可求出四边形。FEG的周长.【详解】V ZABC=4 5 A D,8 c 于点。，/ABAD=9 0-ZABC=45,是等腰直角三角形，AD=BD,：BE LAC,NGBQ+NC=90,ZEAD+ZC=90:.NGBD=NEAD,；ZADB=NEDG=9d,:.ZADB-ZADG=ZEDG-ZADG
25、,即 N8OG=NADE,J BDG=/SADE(ASA),A BG=AE=f DG=DE,NEDG=9(f,AEDG为等腰直角三角形，ZAED=ZAEB+ZDEG=90+45=135,MED沿直线AE翻折得M EF,A AAED=AAEF,A Z4ED=Z4EF=135 ED=EF9J /DEF=360-ZAED-ZAEF=90,ADM为等腰直角三角形，J EF=DE=DG,在 RIAAE5 中，BE=y/AB2-A E2=A/32-12=2叵，：GE=BE-BG=2 e-l，在 RtADGE 中，DG=-G E =2-,2 2 EF=DE=2-，2在RtAAE户中，DF=6DE=2 Q-1
26、,；四边形QFEG的周长为：GD+EF+GE+DF(厂=2 2-+2(20-1)2=3五 +2，故答案为：3夜+2.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够灵活运用等腰直角三角形的判定与性质.14.已知等边AABC,=连接AO,CE交于点F,连接8/，BF=M,CF=5,若 A E 2时，贝!|AC=.【答案】7【分析】延长4 5 至 G 点，使得FG=FC,连接BG,C G,作于，点，通过条件证明 A B D/C A E,得到 FGC为等边三角形，再分别在Rm BHG,Rm BFH,和 Rt4 ABH中运用勾股定理求解即可
27、.【详解】如图所示，延长AO至 G 点，使得FG=FC,连接BG,C G,作于“点，ABC是等边三角形，：.AB=CA,/ABO=NC4E=60。，:AE=BD,：./A B D/C A E,：.ZBAD=ZACE,：.Z DFC=ZCAF+ZACE=ZCAF+ZBAD=Z BAC=60,.FGC为等边三角形，ZFCG=60,FC=GC,：ZACB=60,AC=BC,：./XACFBCG,：.AF=BG,/AFC=NBGC=120,NBGH=60。,在.RtA BHG 中,设 G H=x,贝 ijBG=2x,B H=&,：.FH=FG-GH=5-x,则在放BFH 中，19=3 f+（5-x）2
28、,3解 得：无2=1（不符合题意，舍 去）3 7 3：.GH=,BG=AF=2GH=3,F H=-,BH=6,2 2 2：.AC=AB=1,故 答 案 为:7.【点 睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理解三角形等，灵活结合等边三角形的性质以及常见证明全等的模型构造出辅助线是解题关键.15.如图，。是 正AABC内一点，0 A =3,0 8=4,0（7 =5,将 线 段8 0以 点B为旋转中心逆 时 针 旋 转6 0。得 到 线 段3（7,下列结论：点。与O 的 距 离 为4；4 4 0 8 =15 0。；S W S.M=3 g +6 ；+SNOB=6 +乎其中正确
29、的结论是（只填 序 号）【分 析】由题意可得 B O O 是等边三角形，可 得A（7=C O=5,0 0 =4,可判断 A。是 直 角 三 角 形.可 判 断，E）3 5 w a f f i A O B O =S i AOO+SA OO,B=S Boc-Sh AOC）可判定.【详 解】解；连接。，如 图1,.ABOO是等边三角形，:.OO=BO=4,故正确；NOB。=ZABC=60,ZABCf=ZABCS.OB=OB,AB=AC,.AAB。m ABOC(SAS),:.A(y =CO=5,.0 4=2 5,ACP+OO2=25,:.OAc AOr+OO-,:.ZAOO=90,ZAOB=1 5 0
30、,故正确；OOB是等边三角形，AO=3,0(7=4,-1-SSB O d=4 g SM O O=6,ABC AOC=SA48C+ABO=S四 边 形AOBO=6+4 g,故如图2,AAOC绕A点顺时针旋转60。到AABO位置,同理可得与+$.加=6+不，故正确；故答案为：.【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形、直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键16.如图，在R柩A 8 C中，ZA B C=90,A B=B C,点 D 为三角形右侧外一点.且N5OC9.=4 5.连接A O,若 AC。的面积为看，则线段。的长度为8、3【答案】I【分析】过点8作交。C的延长线于点E,连接A E
31、,由题意易得 EB。是等腰直角三角形，然后可证ABC。丝8EA,则有NBOC=NBEA=45。，AE=CD,进而根据三角形面积公式可进行求解.【详解】解：过点8作交OC的延长线于点E,连接A E,如图所示：ZABE+NEBC=NEBC+NCBD=90,ZABE=NCBD,V ZBDC=45,NEBD=90。,.EBZ)是等腰直角三角形，A ZBDC=ZBED=45,BE=BD,：AB=BC,：.BCD/BAE(SAS),；.NBDC=NBEA=45,AE=CD,：.ZAED=ZAEB+ABED=90,1 9,S4CD=-C D A =-,故答案为1【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质及等
32、腰直角三角形的性质与判定，解题的关键是构造旋转型全等，抓住等腰直角三角形的特征.1 7.在AMNG中，M N =6,ZM=7 5,MG=4 0,点。是AMNG内一点，则点。到AMNG三 个 顶 点 的 距 离 和 的 最 小 值 是.【答案】2回【分析】如图，以MG为边作等边三角形AMGO,以QM为边作等边AOME,通过全等即可将O M、OG进行转换，再分析当 、E、0、M四点共线时，NO+GO+MO值最小,利用勾股定理求出即可.【详解】如图：以G为边作等边三角形AMG。，以OM为边作等边A0ME,连接N,作NO,作。尸_LNM,交NM的延长线于F.：.Z G M O =Z D M E,在A
33、G M 0和A D M E中,OM=ME、E、。、“四点共线时，NO+GO+MO值最小,.NMMZ)=135。，：.DMF=45,MG=4y/2=MD.:.MF=DF=4,.NF=MZV+用/=6+4=10,/.ND=4NF2+DF2=/102+42=2729 MO+NO+GO最小值为2晒.故答案为：2晒.【点睛】本题考查了构造等边三角形，利用手拉手模型求解线段和最小值问题，能够熟练利用等边三角形的性质是解决本题的关键.1 8.如图，在正方形ABCD中，E是对角线BO上一点(8E BE,故错误；连接A C 与 8。交于点0,如图,四边形A 8 C Q 是正方形，./E O C=9 0。，且AB
34、OC是等腰直角三角形，:BC=9夜C O=B C x 也=9&x 也=9,2 2,/C =1 0,C O 9.sinZDEC=,故正确.C 1()故答案为：.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形等知识，解本题的关键是学会添加常用的辅助线，构造直角三角形解决问题.1 9.如图，C 为线段A E 上一动点(不与点A,E 重合)，在 A E 同侧分别作等边三角形A B C和等边三角形CDE,A D与B E交于点O,A D与B C交于点P,B E与C D交于点Q,连结尸。.以下结论：P Q/A E；N A O E=1 2 0。；C O 平分N B C。；CP
35、Q是等边三角形，。C+8 0=A 0 恒 成 立 的 是.【答案】【分析】由“SAS”可证AACDMABCE,可得N C B E =N D 4 C,由“ASA”可得O=C Q ,利用全等三角形的性质依次判断可求解.【详解】解：.等边A A B C 和等边ACDE,:.A C =B Cf CD=C E,Z A C B =Z D C E =60,.Z A C B+/B C D =N D C E+/B C D,即 ZA C D =/B C E,在AACD与ABCE中，A C =BC A C D =ZB C E fCD=CE.*.AACD=ABCE(SAS),:.ZCBE=ZDAC,又 NAC8=NQ
36、CE=60。,.8 =60。，BP ZA C P =ZBC Q ,又 .AC=3C,:.SCQB=ACPA(ASA),:,C P =C Q,又.NPCQ=60。，CQ为 等 边 三 角 形，故 正 确；:.ZPQC=ZDCE=a r ,:P Q H A E,故 正 确；miC+/4B=ZmC+NAZ)C=NDCE=60o,.NAOE=120。，故 正 确；如 图，在AP上 截 取M为，连 接a v,CQB=CPA,:,C P =C Q,ZCPN=4CQQ,BQ=AN,:.ACPN 合 ACQO(SAS),:.CN=COf ABCN=NOCQ,:.ZACN=ZBCO,ZCO=60,又.A C =
37、B C,AACN=ABCO(SAS),:.BO=AN f.Z/VCO=60,C O=C N,是等边三角形，:.NO=CO,:.AO=AN+NO=HO+CO,故正确；V O C不一定垂直AE ,：.ZACO不一定等于N E C O,ZBCO不一定等于NDCO,.CO不一定平分Z B C D,故错误；故答案为：.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，能熟练应用相关性质是解题的关键.2 0.在 AABC 中，ZACB=90,ZB=60,A B =4,点。是直线 上一动点，连接A D,在直线AO的右恻作等边AA D E,连
38、接 C E,当线段CE的长度最小时，则线段C。的长度为.【答案】3【分析】以 AC为边向左作等边三角形A C F,连接D F,先根据直角三角形中30。所对的直角边是斜边的一半求出BC的长，再由勾股定理求出AC的长，根据作的辅助线证明 A C E=A F D（SAS）,则CE=，当时，DF的长是最小的，即 CE的长最小，求出此时C D 的长即可.【详解】解：如图，以AC为边向左作等边三角形A C F,连接DF,V ZACB=90,ZB=60,.ABAC=30,AB=4,：.BC=-AB=2,2*-AC=yl AB2-BC2=273，；AACF是等边三角形，A CF=AC=AF=2y3,NE4c=
39、60,是等边三角形，A AD=AE,ZZM=60,ZFAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,：.NCAE=NFAD,在ACE和VAED中，AC=AF-ZCAE=ZFAD,AE=AD：.ACE=AFD（SAS）,：.CE=DF,当。F_LBC时，DF的长是最小的，即CE的长最小，；ZFCD=900-60=30,Rt Q 7 7 ,:DF=*CF=6 CD 7CF2-DF?=3,A当线段CE的长度最小时;则线段CD的长度为3.故答案是：3.【点睛】本题考查线段最值问题，解题的关键是作辅助线构造全等三角形,特殊直角三角形的性质和等边三角形的性质.以及掌握有30。角的三、解答题2 1.在学习全等三角形知
40、识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成在相对位置变化的同时始终存在一对全等三角形通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”兴趣小组进行了如下探究：(1)如图 1,两个等腰三角形 和 中，AB =AC,A E A D,Z B A C =ZDAE,连接B/)、C E,如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和 AD3全 等 的 三 角 形 是,此线8。和 C E 的 数 量 关 系 是.(2)如图2,两个等腰直角三角形AA3 c 和中，AB =AC,
41、A E A D,A B A C =Z D A E =90,连接8 0、C E,两线交于点P,请判断线段8。和 C E 的关系，并说明理由.【答案】(1)4AEC,BD=CE；(2)B D=C E且B D上C E,理由见解析【分析】(1)先判断出/D 4 8=N E 4 C,进而判断出 D 4 B 丝 EAC,即可得出结论；(2)先判断出4 D 4 8 部EAC,得出 BD=CE,进而判断出/D3C+NECB,即可得出结论.【详解】解：V ZDAE=ZBAC,：.NDAE+N BAE=N BAC+N BAE.：.NDAB=NEAC,在小DAB A E 4 c 中，AD=AE DAB=EAC,AB
42、=AC：./DAB/EAC(SAS),：.BD=CE,故答案为：4AEC,BD=CE；(2)BD=CE BD.LCE；理由如下：V ZDAE=ZBAC=90,/.ZDAE+ZBAE=ZBAC+ZBAE.：.ZDAB=ZEAC.在 DAB和4 E4C 中，AD=AE 乙DAB=ZEAC,AB=AC：.D A B/E A C (SAS),:BD=CE,/D BA=/ECA,ZECA+ZECB+ZABC=90,ZDBA+Z ECB+ZABC=90,BPZDBC+ZECB=90,：.ZBPC=SO-QNDBC+/ECB)=90,:.BDLCE,综上所述：BD=CE且BD_LCE.【点睛】本题考查的是等
43、腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.2 2.边长为4 的正方形ABC。与边长为2夜 的 正 方 形 CE/G 如 图 1摆放，将正方形CEFG绕 点 C 顺时针旋转，旋转角为a,连接BG,DE.(1)如图2,求证：BCG义4D C E；(2)如图2,连接OG,B E,判断O 0+8E2否为定值.若是，求这个定值若不是，说明理由；(3)如图3,当点G 恰好落在。E 上时，求 a 的值.【答案】见解析；(2)48；(3)15【分析】(1)通过边角边判定三角形全等；(2)连接设BG,D E交于点0,DE,CG交于点、M,先证明D E _ L 8 G
44、,由勾股定理可得 DG2+BE2=DB-+GE-;(3)作 CKLG石于点 K,则 CK=gGE=2,且 NGCK=g/G C E =45。，由含 30 度角的直角三角形的性质求解.【详解】(1)四边形 43CE 与 CEFG 为正方形，CG=CE,NBCG=NDCE=90。，.NBCG=900+a,ZDCE=90+a,:/BCG=NDCE,在 BCG和 3 1中，BC=DCDG2+BE2=(4/2)2+42=48,(3)作 C K L G E于点K,如图，D E L B G.CEG为等腰直角三角形，CK=-G E =2,且/G C K N G C E =45。，2 2CK 1在 Ri&CDK
45、 中,CD=2 ZCDK=30 f/.ZZ)C=90-30=60,ZDCG=Z.DCK-NGCK=60-45=15.a =150.【点睛】本题考查四边形与三角形的综合问题，解题关键是熟练掌握正方形与直角三角形的性质,通过添加辅助线求解.23.问题发现(1)如图,已知 A5C,以为边向 4 5 c 外分别作等边 4 8。和等边 ACE,连接C,B E.试探究C 与 B E 的数量关系，并说明理由.问题探究(2)如图，四边形 A8C 中，N A 5c=45。，ZCAD=90,AC=AD,AB=2BC=6 0.求 BD 的长.问题解决(3)如图，ABC中，AC=2,BC=3,N4C B是一个变化的角
46、，以AB为边向A ABC外作等边A A B O,连 接 C O,试探究，随着N 4 C 5 的变化，C。的长是否存在最大值，若存在求出CD长的最大值及此时N 4C 3的大小；若不存在，请说明理由.【答案】(1)CD=B E,理由见解析；(2)90；(3)存在，C长的最大值为5,ZACB的大小为120。【分析】(1)通过证明4为 丝A3E即可得到CD与BE的数量关系；(2)以AB为腰向上作等腰直角AA B G,连接G C,通过证明ZXAGC段 即 可 得 到BD=G C,再根据R S48G、RsBCG运用勾股定理求出GC的长即可得到8。的长；(3)以8 c为边向外作等边AC B”，连接A H,通
47、过证明 口?丝 即 可 得 到CD=H A,再由AH4C4+C”可知当A,C,a三点共线时，A 有最大值，进而求出ZACB的值即可.【详解】(1)CD=BE证明：；A8O和 ACE是等边三角形A AD=AB,AC=AE,ZDAB=ZCAE,：ZDAB+ABAC=ZCAE+ABACZDAC=ZBAE在“DC与/ABE中AD=AB ZDAC=ZBAEAC=AE：./ADCABE(SAS):.CD=BE；(2)如下图，以A8为腰向上作等腰直角 4 8 G,连接GC ABG与 是 等 腰 宜 角 三 角 形A AD=ACt AG=ABf ZGAB=ZCAD/GAB+ABAC=Z.CAD+ZBAC：.Z
48、GAC=ZBAD在 AGC与ARD中AG=AB/2*.*ZABC=45：.NGBC=90。:.BG2+BC2=GC2：.GC2=(60X/2)2+302=8100:.8D=GC=90；G(3)如下图，以BC为边向外作等边 C B H,连接A,/AABD与ABCH是等边三角形:.BA=BD,BC=BH,ZABD=ZHBC,:ZABD+ZABC=ZHBC+ZABC:.ZCBD=ZHBA在K BD与AHBA中BA=BD NCBD=/HBABH=BC：.ZXCBDm AHBA(SAS):.CD=HA；又,8CH是等边三角形，8c=3:BC=CH=3,ZHCB=609：AHCA+CH,CA=2 AH 5
49、 当A,C,三点共线时，AHmax=5*/ZHCB=60 ZACS=120。则当 ZACB=120。时，Amax=5.A图【点 睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等相关内容，熟练掌握相关三角形的解题方法是解决本题的关键.2 4.已知：等腰 RMABC和 等 腰 心 A D E中，A B =A C ,A E=A D,A B A C =Z E A D =9Q.(1)如 图1,延 长D E交3 c于 点 八 若N8 A E =6 8。，则N 3 F C的度数为；(2)如 图2,连 接E C、B D,延 长 4交8。于 点M,若NA C =9 0。，
50、求 证：点M为B D中点;(3)如 图3,连 接E C、B D,点G是C E的中点，连 接AG,交8。于点A G =9,H G =5,直 接 写 出 八4。的面积.【答 案】(1)6 8；(2)见解析；(3)3 6【分 析】(1)由已知条件可得Z D=NC=4 5。，对 顶 角4QO=NC Q尸，则NZ M C =Z D F C,根 Z D A E =Z C A B 即可的 A D F C =N B A E ；(2)过 点B作ME的 垂 线 交EM的延长线于N,证 明4 E C丝助W 1,得进而可得A D =N B,再证明即可得证点M为8。中点；(3)延 长A G至K,使 得G K =A G