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1、2020-2021学年江苏省镇江市扬中第二高级中学高一（下）周练数学试卷（16）一、单 选 题（本大题共8小题，共40.（）分）1.已知复数Z 满足：z 2 =q+6 i（i为虚数单位），且Z 在复平面内对应的点位于第三象限,则复数5 的虚部为（）A.2 iB.3C1D.|i2.在长方体力B CD-48传1。1 中，A B =B C =1,4 =依，则异面直线工么与D B】所成角的余弦值为（）A-1BTC-TDT3.如图，已知在长方体4 8 C 0-4&口久中，A B =B C =4,C Cr=2,则直线B C1 和平面D B a D i 所成角的正弦值为（）4.5.6.A-TD呼已知菱形4
2、8 C。中，/.A B C=1 2 0 ,A C=2 7 3,B M +C B=0,DC=入 而,若 祠 A N=2 9，则4=()AA i8B-7一个底面半径为2 的圆锥，其内部有一个底面半径为1 的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为百兀，则该圆锥的体积为（）A.2y/3n口).-2-6-713厂 4/3C.TC3如图所示,某圆锥的高为百,底面半径为1,。为底面圆心,OA,O B 为底面半径，且乙 4。8=等，M 是母线P A的中点,则在此圆锥侧面上，从M 到B 的路径中，最短路径的长度为（）A.V 3n 8一L).TCB.V2-1C.V5D.V2+17.三棱锥P-ABC中，P4 1 平面ABC
3、,AC 1 BC,AC=BC=1,PA=遮，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.57r B.V2T T C.207r D.47r8.在 ABC中，角4,B,C所对的边分别是a,b,c,若ccosA+acosC=2,4 c 边上的高为百，则乙4BC的最大值为（）二、多 选 题（本大题共4 小题，共 20.0分）9.如图，ABCD-&BiCiDi是正方体，则以下结论正确的是（）A.8D平面CB15B.AC11 BDC.ACr，平面CB1QD.BD与&C所成的角为?10.如图，4C为圆锥S。底面圆0 的直径，点B是圆0 上异于A,C的动点，SO=OC=2,则下列结论正确的（）A.圆锥SO的侧面积为4位
4、兀B.三棱锥S 4BC的体积的最大值为|兀C.ZS4B的取值范围是D.若4B=BC,E为4B上的动点，贝|SE+CE的最小值为2（遮+1）1 1.已知正四棱台的上底面边长为近，下底面边长为2夜，侧棱长为2,则（）A.棱台的侧面积为6位B.棱台的体积为1475第2页，共23页C.棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为!D.棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为亚71 2.如图，在边长为4 的正方形4 B C D 中，点E、尸分别在边A B、B C上（不含端点）且B E=B F,将AED,DCF分别沿DE,O F 折起，使4、C两 点 重 合 于 点 则 下 列 结 论正确的有（）A.ArD 1 EFB
5、.当B E=B F=，B C 时，三棱锥4-O E F 的外接球体积为遥兀C.当B E=BF=（B C 时，三棱锥&-D E F 的体积为空D.当B E=B F=；B C时，点&到平面D E F 的距离为警三、单 空 题（本大题共4小题，共 2 0.0 分）1 3 .用一张长1 2 c m,宽8 c m 的矩形围成圆柱形的侧面，求这个圆柱的体积是1 4 .如图，三棱柱A BC-&B1G的所有棱长均等于1,且M B=乙=6 0,则该三棱柱的体积是1 5 .已知向量五，窗菌足|行+1|=3,方 方=0.若e=A 五+（1;1）5，且下五=3另，则|小的最大值为1 6 .在A A B C 中，设角A
6、,B,C对应的边分别为a,b,c,记A A B C 的面积为S,且4 a 2 =b2+2c2,则三的最大值为四、解 答 题（本大题共6小题，共 7 0.0 分）1 7 .在 AB C中，角4 B,C 的对边分别是a,b,c,已知c =遍，sinB =2sinCf且cos2A =-2（I）求 AB C的面积;（n）若角4 为钝角，点。为B C 中点，求线段4。的长度.1 8 .已知四棱锥S-力 B C D 的底面4 B C 0 是直角梯形,A B/C D,B C LAB,侧面S 4 B 为正三角形，A B =B C =4,C D =S D =2.如图所示.(1)证明：S D 1 平面S AB：(
7、2)求三棱锥B -S 4 D的体积/_ S 4 .1 9 .(1)在复数范围内解方程|2|2 +(2 +)，=|为虚数单位)(1 1)设2 是虚数，3 =Z +1 是实数，且一1 3 2.(1)求忆|的值及Z 的实部的取值范围；(2)设“=3，求证：为纯虚数；(3)在(2)的条件下求3 -4 2 的最小值.第4页，共23页2 0.如图，在凸五面体48C0EF中，底面48CD为矩形，EF/C。，。1 EA,CD=2EF=2,ED=如，”为棱FC上一点，平面4OM与棱FB交于点N.(1)求证：AD/MN-,(2)若4 D 1 E D,平面B C F14D M N,求证：M是FC的中点.2 1.如图
8、，在三棱柱A8C 一 4 1/6 中，BBi 1 平面ABC,ABAC=90,AC=AB=AAl tE是BC的中点.-i CB(1)求证：AE 1 BXC-,(2)求异面直线AE与&C所成的角的大小;(3)若G为CiC中点，求二面角C 4 G-E的正切值.2 2.如图，直三棱柱ABC-4&G 中，D、E 分别是棱B C、4 B 的中点，点F 在棱C C 1 上,已知A B =4C,/M i =3,B C =C F=2.(1)求证：QE 平面4 0 F；(2)若点M在棱B B i 上，当BM为何值时，平面C A M _ L 平面Z D F?第6页，共23页答案和解析1.【答案】C【解析】解：设2
9、=。+6，(a,b e/?),因为j_匕2+2abi=-+6 i,4所以12一2 W,由题意得，a 0,b 1 sinB,3B P3cosB +遍 sinB 3 所以 2 b s i n(B+$2 3,所以s i n(B+$2 争因为8 e (0,7 r),所以号)，所以8+频。阳,所以B G(0,则乙4BC的最大值为g.故选：B.由已知结合余弦定理化简可求b,然后结合三角形的面积可求a c,由余弦定理及辅助角公式化简可求B的范围，进而可求.本题主要考查了余弦定理,三角形的面积公式,辅助角公式,还考查了正弦函数的性质，属于中档题.9.【答案】A B C【解析】解：由正方体的性质得，所以结合线面
10、平行的判定定理可得：BD平面CBiDi；所以A 正确；由正方体的性质得AC 1 B D,因为4 c是4cl在底面4BCD内的射影，所以由三垂线定理可得：AC11 BD,所以8 正确：由 正 方 体 的 性 质 得 由 B可得4 G L 8 D,所以 4cl 1 D i，同理可得A C ilC B ,进而结合线面垂直的判定定理得到：A G，平面C&D1，所以C 正确；由正方体的性质得BD/B1D1,所以N D/iC 为BD与BiC所成的角，由正方体的性质可知 ZBiC为等边三角形，所以N D/iC=60。，故。错误.故选：A B C.由正方体的性质得，B D B D,所以结合线面平行的判定定理可
11、得：BD平面C B iA；所以A 正确；由正方体的性质得4c 1 B D,因为力C是4 G 在底面Z8CD内的射影，所以由三垂线定理可得：4cl 1 BD,所以8 正确；由正方体的性质得8。当。1，由B可得A/J.B O,所以 4cl 1 Bi%第12页，共23页同理可得4 G J.C a,进而结合线面垂直的判定定理得到：4G，平面C&D i，所以C正确；由正方体的性质得80当。1，所以Z2为。为B D与&C所成的角，由正方体的性质可知 Z B i C为等边三角形，所以N D i B i C =6 0。，故。错误.解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征与有关的判定定理，本题考查学生的空间
12、想象能力与逻辑推理能力，属于基础题.10.【答案】A C D【解析】解：在R t A S O C中，S C =y/S O2+OC2=2A/2,则圆锥的母线长1 =2或，半径r =O C =2,对于选项A：圆锥S O的侧面积为：nrl-4V2TT故选项A正确；对于选项B：0 B 1 4 C时，的面积最大，此时 SAABC=X 4X2=4,则三棱锥S-4 B C体积的最大值为：|x ShA B C x S O =|x 4 x 2=|,故选项B正确；对于选项C：当点B与点4重合时，Z 4S B=0为最小角，当点B与点C重合时，NASB=p达到最大值，又因为B与4,C不重合，则NASB(0(),又2
13、4S AB+Z.A S B=兀，可得/S 4B 6 (7,7)，4 2故选项C不正确；对于选项 D：由48 =B C,/.A B C=9 0 ,A C=4,得A B =B C =2近，又S A=S B =2 V 2,则 S AB为等边三角形，则N S B4=6 0。，将4 S 4B以为轴旋转至|与4 ABC共面，得至1必S MB,则 S MB为等边三角形，L SrB A =6 0 ,如图：E因为I B =BC=2近,+BC=AS1BA+乙ABC=150，SrC2=SXB2+BC2-2 x SXB x BC x cos 1500=8+8+8V3=(2/3+2)2,(SE+CE)mm=2(V 5+
14、l)，故选项O 正确；故选：ACD.由题意结合圆锥的性质逐一考查所给的说法是否正确即可.本题主要考查圆锥的体积，圆锥的侧面积，立体几何中的范围问题等知识，属于中等题.11.【答案】ACD【解析】解：作正四棱台如图所示，对于4,过4作4 1 AB于H,AH=5(AB-=亚，所以4 担=后=唾，21 2 2所以棱台的侧面积为4-i-(V2+2V2)-卷=6/7,所以4 对;对于B,连接4C、A G，过4 作为4 1AC于M,过Ci作C】C 1.AC于N,=夜 我=2,4C=2&=4,4M=*4 C -&Ci)=1,41M=V22-l2=百，上底面面积S=(V2)2=2,下底面面积S=(2V2)2=
15、8.棱台的体积为V=i-h-(S+y/S-S+S)=g b 14=萼牛14百，所以B错;对于C,因为AM为44在底面的投影，所以乙414M为侧棱与底面所成角，AM 1cosZ-AyAM=-=所以(；对；对于“，乙41HM为侧面与底面所成锐二面角的平面角，cos乙41HM H-M-=7=-V-7-ArH X i 7e所以。对.故选：ACD.第14页，共23页力计算棱台侧面积判断；B计算棱台体积判断：C求侧棱与底面成角余弦值判断；D求侧面与底面成角余弦值判断.本题以命题真假判断为载体，考查了棱台的结构特征，考查了棱台的侧面积和体积计算问题，考查了二面角的计算问题，属于中档题.12.【答案】ACD【
16、解析】【分析】本题考查线线、线面的位置关系和棱锥的体积、棱锥的外接球的体积和点到平面的距离,考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题.取EF的中点0,连接。0D,由线面垂直的判定和性质，可判断A；推得三棱锥&-EDF的三条侧棱两两垂直，可将三棱锥&-EDF放到以4D,4 E,&F为相邻棱的长方体中，求得体对角线长，可得外接球的半径和体积，可判断B；由等积法和棱锥的体积公式，计算可判断C；设&到 面。E尸的距离为/I,求得AOEF的面积，结合等积法，计算可判断D.【解答】解：取EF的中点。，连接0&,0D,由题意可得DE=DF,ArE=ArF,所以0D1EF,Ar0 1 EF,DO CtAy
17、O=0,所以EF 1平面4。，所以 EFJ.&D,故A正确；当BE=BF=：BC=2时，A1E=A1F=2,EF=2遮，可得A iE l&F,又占E 1&。，ArF 1 ArD,可把三棱锥&-EZ)F放到以为D,AXE,4 F为相邻棱的长方体中，可得长方体的对角线长为422+22+42=2V6，故外接球的半径为 遥，体积为射X(遥尸=8V67T,故B错误；当8=8尸=；8。=1时，EF=岳 cos4E公尸=41 2X3X3 9所以s i n 4 F=1 一 丝=，1 8 1 9s AE 占 F=-A.F-s i n/EAi F=1X3x3x=,1 C 4 r x 1 V 17 .2 V 17唳
18、 1-DEF=D-A F=5 s 必*,为。=X-X 4=二一，故 C正确:当BE=BF=1时，设&到面D E F 的距离为九,则匕 1-FED=SDEF 九=|x(4x 4 2x|x4 x3 x l x l)h =|x|/i =解 得 心 蜉,故。正确.故选：A C D.13 .【答案】箜 或 詈【解析 1 解：.侧面展开图是长1 2 c m,宽8 c m 的矩形,若圆柱的底面周长为1 2 c m,则底面半径R=c m,h=8cm,n此时圆柱的体积V =n R?h,=cm3n若圆柱的底面周长为8 c m,则底面半径R =&c z n,h=12 c m,7T此时圆柱的体积V =n-R2-h=c
19、 m3.n故答案为：出或理.7T 7T求出分别以1 2 c m,8 c m 为圆柱的底面圆周的底面圆的半径，然后求出圆柱的体积即可.本题考查的知识点是圆柱的体积，其中根据已知条件分别确定圆柱的底面周长和高是解答本题的关键.1 4 .【答案】q【解析】解：由于三棱柱A BC-A/iCi的所有棱长均等于1,且N&A B =乙4 1 4 c =6 0 ,所以点儿在底面内的投影点。必定在底部正三角形4 B C 的4 B/C 的角平分线上，有公式c o s&A B=cosZ-A O x cosZ-OA B =cos60 0 =COS/LA O X COS30=C Q sZ-ArA O=cos6o=,si
20、n 乙4 遇。=X，在直角三角形/遇。中：Ar0 =,所以该柱cos30 33 3第16页，共23页体的体积为：-2 x 1 x 31 x si4n60 x =.故答案为：立.4由于三棱柱Z 8 C-48传1的所有棱长均等于1,且乙4 1 a B=乙4 C=6 0,所以点4在底面内的投影点。必定在底部正三角形A BC的NB4 C的角平分线上，有公式，进而可以求得线面角44。，再在直角三角形4遇。中解出该棱柱的高即可求其体积.此题考查了线面角的定理，柱体的体积公式，公式c o s4 1 A B=c o sN&4。X COSNOAB,同角三角函数的基本关系式.1 5.【答案】|(解析 解:令d=A
21、M，b=M B 则为+石=祠+丽=四，向量五,方满足|苍+石|=3，故|荏|=3，又五方=0，所 以 宿1碗.以4 B为直径作直角三角形A B M的外接圆0,进 而 得 出 当 丽_ L四 时，而 即|了|取得最大值.令 而=说，连接用乂设？=而，因为 =；1五+(1-;1).石，所以点C在直线M N上，X c-a =c-fa.所以己0 另)=0，即 就 丽=0，所 以 就J.两.结合图形可知，当 丽，荏 时，而即|现取得最大值，且|4=|而|=|.故答案为：|.令五=彳而，石=而，则 五+方=祠+而=超，以 力8为直径作直角三角形4 B M的外接圆0,进 而 得 出 当 丽J.荏 时，而 即
22、|下|取得最大值.利用数形结合转化求解即可.本题考查向量的数量积的求法与应用，考查数形结合以及转化思想的应用，是中档题.1 6.【答案】叵6【解析】解：4a2=h2+2c2,a?=1(/+2c?),.b2+C2-a2 M+c 2 T b 2+2C2)的 2+*2 3b2 +2c2cosA=-=-=-=-,2bc 2bc 2bc 8bcS2 2C2(1-COS24)_ b2c2 l-_ i 52b2c2-9b4-4c4 今0 _三a4 a4(d2+2c2)2 16 b4+4c4+4d2c2 b则1=工.萼a_i,a4 16 L4t2+4 t+l 令 g(t)7 t-l4t2+4t+l，g 生，所
23、以g(t)在(0 2)递增，目,+8)递减,所以g(t)max=g(9 =3所以指的最大值为工 限 _ 1 =垣,a2 4 7 72 6当且仅当1182=14c2时，取等号，故答案为：叵6利用余弦定理，求出co sA,结合函数的单调性求出5 的最大值.Q/考查正余弦定理的应用，构造函数法求最值，中档题.17.【答案】解：(1%4 8。中，：郎 24=-右 二 2力=等 或 24=拳 4=?，或4=v*,sinA=.3 3 2v sinB=2sinCf由正弦定理得b=2c.又已知c=y/3f A b=2c=28，故4 4BC 的面积为工.be-sin A=-2V3 V3-sin A=2 2 2(
24、口)若角4 为钝角，则4=等 AD=巫 盛，22 匕2+。2+2bc-cosAA AD=-412+3+2x2-73x3x(-)9=-=J4 4AD=-.2【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，两个向量的数量积的定义，属于中档题.第18页，共23页(I)先求得4 的值，再利用正弦定理求得b=2 c,进而求得氏 c的值，从而求得 ABC的面积为g-be-sin4的值.(11)根 据 而=严，平方可得而2=吆 注 史 竺 的 值，进而求得AD的值.18.【答案】证明：直角梯形ABCD,AB/CD,BC L A B,侧面$4B为正三角形，AB=BC=4,CD=SD=2,BD=2V5.AD=2/
25、5.在 ADSA和ADSB中，S A2+SD2=42+22=AD2,SB2+SD2=42+22=BD2.：.SD 1 SA,SD 1 SB SA n SB=S.SD 1 平面SAB；(2)解：.1平面SAB,ZiSaB是正三角形，SSAB=SA x SB x sin60=4 6.结合几何体，可知/-SAD=D-SAB-于是，VB-SAD=D-SAB=MSASAB X SD=-y-【解析】(1)证明线面垂直，利用线面垂直的判定定理，证明S0 1 S 4 SO_LSB即可;(2)利用等体积4-SAD=VD.S A B,即可得到结论.本题考查线面垂直，考查体积的计算，解题的关键是利用线面垂直的判定定
26、理，正确运用体积公式.19.【答案】解：(I)原方程等价为|z|2+(z+W)i=|=l i,设z=%+yi,x,y R,代入方程整理得/+y 2 +2直=1 一八 得二/J 1得fl%，即Z=W 土 小(y 一 r(II)(l)z=a 4-hi,a,b W R且b H 0,则3 =2+：=0+6+看=(。+占)+的 一 品 儿 3 =z+工是实数，二b 一忘7=0，得1 一 2 7=0，即小+匕2=1,即忆|=1,则co=z+=2a G (-1,2),A a 6(p 1).(2)证明：n1-z _ 1-a-bi _ (l-a-fti)(l+a-bi)_ l-a2-b2-2bi1+z 1+a+
27、bi(l+a+bi)(l+a-bi)(l+a)2+b2由(1)知彦 4-ft2=1,则 =,.是纯虚数.、(3)c o-r/=2a+b=2Q+J。=2Q =2Q-Id=2(Q+1)-1-(a+l)2(a+l)2 a+1 a+1 LV J a+lJ3,a 6(-1)a+1 0(a+1)2 l(a+l)-=2,当且仅当a+1=左，即a=0时取等号,即 3 /=2(a+1)+-3 2 2 x 2 3=1,即42的最小值为1【解析】(I)利用待定系数法，结合复数相等进行求解即可(11)设2=。+儿，结合3是实数求出a,b的取值范围，结合复数的有关概念进行证明求解即可.本题考查复数代数形式的乘除运算，考
28、查复数的基本概念，利用待定系数法结合复数相等的条件进行转化是解决本题的关键.运算量较大，综合性较强.20.【答案】(1)证明：ABCC为矩形，.-.AD/BC,二 AD平面FBC.又 平面ADMN n平面FBC=MN,.-.AD/MN；(2)证明：连接DF.AD 1 ED,AD 1 CD.ED A CD=D,AD _L平面C D E F,则AD 1 DM.AD/MN,.-.DMA.MN.平面4DMN 1平面B C F,且平面ADMN n平面FBC=MN,DM J平面B C F,则DM 1 FC.在梯形CDEF中，EFCD,DE 1 CD,CD=2EF=2,ED=V3.可得DF=DC=2,则M为
29、尸C的中点.第20页，共23页【解析】(1)由 已 知 证 明 平 面 F B C,再由线面平行的性质可得ADMN；(2)连接D F,由已知证明4D J平面C D E F,则AD _ L DM.进一步得到DM 1 MN.再由面面垂直的性质可得DM 1平面B C F,则。M 1FC.求解三角形得到。尸=0 C,可得M为FC的中点.本题考查线面平行的判定与性质，考查线面垂直、面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.21.【答案】（1）证明：BBi 1平面ABC,A E u平面ABC,AE 1 BBlf由AB=AC,E为BC的中点得至ijAE 1 BC,v BC n BB=B,BC、BB
30、u 平面BBiGC,.-AE，平面 BBiQC,7?tC c 平面 B B iG C，AE 1 B C（2）解:取 B iG 的中点场,连&E i，E C容易证明A4i=EE、，AAHEE,二 四边形A&EEi是平行四边形，则 4E&E .4E1&C（或其补角）是异面直线4E与41c所成的角,设 AC=4B=4 4 =2,则由 NBAC=90,可得4 E =AE=&，ArC=2V2,Fi 在 A EMiC中，cos/Ei&C=2税蒜=P二异面直线4E与4 c 所成的角为全(3)解：设P是4 c 的中点，过点P作P Q 14G 于Q,连EP,EQ,是BC中点，EPI I AB,又BA _L4C,
31、则EP-L AC,又 丫 1 EP,AAX(AC=A,AAr,AC u 平面力 CCii EP 1 平面 4CC1人,又AG u 平面4CCi4 AG 1 EP,又P Q 1 4 G,EP,P Q u 平面EPQ,EP CPQ=P,AG _L平面EPQ,EQ u 平面EPQ,EQ 1 AG.Q E 是二面角C-4G-E的平面角,由(2)假设知：EP=1,AP=1,易知Rt ZkACG，Rt 4AQ P,故 tanzPQE=|=V5,二面角C 一 AG-E的平面角正切值是【解析】本题考查求异面直线的夹角，二面角，以及线线垂直的判定，属于较难题.(1)由SB11平面A8C及线面垂直的性质可得AE1
32、BB1，由 力C=4B,E是BC的中点，及等腰三角形三线合一，可得4E 1 B C,结合线面垂直的判定定理可证得4E _L平面BBiCiC,进而由线面垂直的性质得到AE 1 B(2)取a C i的中点E i，连&E i，E i C,推出力E&E i，根据异面直线夹角定义可得，“i&C(或其补角)是异面直线AE与41c所成的角，设AC=AB=AA.=2,解三角形E14C可得答案.(3)连接A G,设P是AC的中点，过点P作P Q 1 4 G 于Q,连EP,E Q,则E P J.4 C,由直三棱锥的侧面与底面垂直，结合面面垂直的性质定理，可得E P L 平面4 C C 1 4,进而由二面角的定义可
33、得NPQE是二面角C-AG-E的平面角.22.【答案】解：(1)连接CE交AD于。，连接OF.因为C E,力。为 ABC中线，第22页，共23页所以0 为A ABC的重心，=77=1.从而。尸的.（3分）OF u 面40F,GE C平面40F,所以QE平面4 0 F.（6分）（2）当BM=1时，平面&4M 1平面/WF.在直三棱柱ABC-aB1 G 中，由于J_平面力BC,BBi u 平面BiBCG，所以平面81BCQ 1平面48c.由于AB=4 C,。是BC中点，所以AD1.BC.又平面BiBCCi n平面力BC=BC,所以4。1平面BiBCCi.而CM u 平面BiBCG,于是4。1 CM
34、.（9分）因为BM=CD=1,BC=CF=2,所以Rt A CBM三Rt FCD,所以CM 1 DF.（11 分）DF与4 0 相交，所以CM 1平面4DF.CM u 平面C A M,所以平面C4M _L 平面4 0 凡.（13分）当BM=1时，平面CAM _L 平面4。凡（14分）【解析】连接CE交4D于。，连接。F.因为CE,4。为中线，所以。为 ABC的重心，捍=冬=|.由此能够证明GE平面4DF.C G j C C 5（2）当BM=1时，平面C 4M l平面4DF.在直三棱柱4B C-&B 1G 中，先证出4。1平面B/C G.再证明当BM=1时，平面CAM 1平面40F.本小题主要考查空间线面关系、儿何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.