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1、2021-2022学年吉林省吉林田家炳高级中学高二(上)期中数学试卷一、选择题本题共10小题，每小题5 分，共 50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.圆：f+y _ 4x+6y=0的圆心坐标和半径分别为()A.(-2,3),13 B.(-2,3),行 C.(2,-3),任 D.(2,-3),132.直 线 力-2-1=0 的一个方向向量为()A.(2,-3)B.(2,3)C.(-3,2)D.(3,2)2 2 2 23.已知椭圆工_+2 _=1 的右焦点是双曲线3 一-=1 的右顶点，则双曲线的渐近线为25 9 a2 9()4?4A.y=x B.y=x C.y=x D.y
2、=x5 5 4 34.已知点4(-2,3)在抛物线C产=2外的准线上，记。的焦点为尸，则直线Ab 的斜率 为()4 3 1A.-B.-1 C.-D.3 4 25.己知直线/：质-y+l=0 与 8玄+(4-Z)+1=0 平行，则&的 值 是()A.5 B 0 或 5 C.0 D 0 或 16.抛物线尸以2(心 0)上点M(机，1)到其准线/的距离为1,则。的 值 为()A.B.C.2 D.44 22 27.已知椭圆巳 亍=1(a b 0)的左、右焦点分别为Fi(-c,0),F2(c,0),点尸在椭圆上，且N P FIF2=30,/P&Q=6 0 ,则椭圆的离心率等于()A.V 2-1 B.V
3、3-1 C.返箸 D.娓-M8.已知圆C：/+炉=1,点 4(-2,0)及点B(2,a),从 A 点观察B 点，要使视线不被圆 C 挡住，则。的取值范围是()C.(-8,-1)I J (1,+8)D.(-8,-4)U (4,+8)9.设厂是双曲线直-d=l的左焦点，A （1,4）,P是双曲线右支上的动点，则|P Q+|P A|4 12的最小值为（）A.5 B.5+4 1 0.过 圆G：工2+2=1上的点P作 圆。2：切线段I P Q I长为整数的切线条数为（A.2 B.4C.7 D.9(x-3)*2+(y-4)2=4的切线，切点为Q,则)1 5.在数列中，设0=。2=1,。3=2.若数歹1 上
4、，是等差数列，则%=.an2 21 6.过双曲线C：彳-%=1（0,人 0）的右焦点作直线/,使/垂直于x轴且交C于a bzM、N两点，双曲线C虚轴的一个端点为A,若 4 MN是锐角三角形，则双曲线。的离C.6 D.8二、选择题：本题共2 小题，每小题5 分，共 10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.1 1.下 列 式 子 可 以 作 为 数 列0,近,0,J,0,的通项公式的是（）A，小=喙B.(_)n,n=2k-l(k N*)n=2k(k N*)D.a”=Y 1+(-1)n2 21 2.设e是 椭 圆 上=1的离心率,4
5、kA.1 B.3且（A,1）,则实数k可 以 是（）C.5 D.7三、填 空 题（本大题共4 小题，共 20.0分）1 3 .已 知 圆 锥 曲 线C过 点（2 ,1）且 离 心 率 是&,则 曲 线C的 标 准 方 程是.1 4 .直 线y =f c v+l与 圆/+（y+3）2=4相 交 于M,N两点，若 明 川=2,则k心率的取值范围是.四、解答题(本大题共6 小题，共 7 0.0 分)1 7 .已知 A B C 的三个顶点都在第一象限内，A (1,1),B(5,1),Z A=4 5 ,N B=4 5 .求：(1)直线4c和 BC的方程；(2)求以线段AC为直径的圆的标准方程.1 8.已
6、知等差数列 斯 中，G I=20,4 2 2=86.(1)求数列 斯 的公差d和；(2)满 足 1 0 b 0)的左焦点为F,离心率为返，过点尸且与x轴垂a b 3直的直线被椭圆截得的线段长为士坐.3(1)求椭圆E的方程；(2)设 A,B 分别为椭圆E 的左、右顶点，过点且斜率为/的直线与椭圆E 交于点C,。两点，且 菽 瓦+标 混=2*，求 k的值2 2 .已知动点M 到定点F(0,的距离比到x轴距离大士.4 4(1)求动点例的轨迹方程G(2)过产作互相垂直的直线/与相交轨迹C(y 2 0)于 尸、Q两点及S、T 两 点,A,B分别是弦P Q、S T 的中点，当的引=1 时，求直线/与 1
7、的方程.参考答案一、选择题本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 .圆：V+V -4 x+6 y=0的圆心坐标和半径分别为()A.(-2,3),1 3 B.(-2,3),万 C.(2,-3),7 1 3 D.(2,-3),1 3【分析】把所给的圆的一般方程化为标准方程，可得圆心坐标和半径.解：圆：/+)?-4 x+6 y=0,即圆：(x-2)2+(y+3)占1 3,故圆心坐标和半径分别为(2,-3),故选：C.2.直 线3 x-2 y-1=0的一个方向向量为()A.(2,-3)B.(2,3)C.(-3,2)D.(3,2)【分析】由直线的方程，
8、结合直线的方向向量的定义，即可得到答案.解：因为3 x -2 y -1=0的斜率=/,结合选项可知直线3 x-2 y-1=0的一个方向向量为(2,3).故 选:B.2 2 2 23 .已知椭圆三_+，=1的右焦点是双曲线%-二=1的右顶点，则双曲线的渐近线为2 5 9 a2 9()4 3 3 4A.y=-x B.y=-x C.y=-x D.y=x5 5 4 3【分析】由椭圆方程求出椭圆右焦点，得到双曲线右顶点，再求出双曲线的虚半轴长，则答案可求.2 2解：由椭圆2+之 _=1,得 层=2 5,b2=9,c2a2-t 216,2 5 92 2 2 2椭圆3 _+2 _=1的右焦点即双曲线与-2
9、=1的右顶点为(4,0),2 5 9 a2 92=1 6,a=4.又 b=3,.双曲线的渐近线为丫=士圣.故选：C.4.已知点A(-2,3)在抛物线C：产=2 的准线上，记 C 的焦点为凡 则直线A F的斜率 为()4 2 1A.-B.-1 C.-D.3 4 2【分析】利用点A(-2,3)在抛物线C：产=2 班的准线上，确定焦点厂的坐标，即可求出直线4 户的斜率.解：.点A(-2,3)在抛物线C：2=2*的准线上，：.F(2,0),直线A F的斜率为1义了=-4.-2-2 4故选：C.5 .已知直线/K履-1=0 与 京kx+(4-k)，+1=0 平行，则的值是()A.5 B.0或 5 C.0
10、 D.0或 1【分析】由(4-幻-(-=0,解得k,经过验证两条直线是否重合，进而得出结论.解：由上(4-A)-(-k)=0,解得火=0或 5.经过验证可得：=5时两条直线重合，舍去.故选：C.6 .抛 物 线 尸 加(a 0)上点M (7,/)到其准线/的距离为1,则 a 的 值 为()A.B.C.2 D.44 2【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，转化求解。即可.解：抛物线 =加(a 0),可得准线方程y=-4a抛物线 =加(0)上点M Cm,y)到其准线/的距离为1,故选：B.2 27.已 知 椭 圆 巳 女=1 (a b 0)的左、右焦点分别为Fi(-c,0),尸 2(c,
11、0),点尸在椭圆上，且NPFi尸 2=30,ZPF2FI=60,则椭圆的离心率等于()A.近T B.百-1 C,返箸 D.娓-加【分析】根据已知条件，结合椭圆的定义，以及离心率公式，即可求解.解：V Z PFIF2=30,NPF2尸 i=60,|FIF2|=2C,:APF1F2 是直角三角形，PF2=C,|P B|=J C,.由椭圆的定义可得，|PQ|+|PF2|=2A,Jc+c=2a,；扁知故选：B.8.已知圆C：9+=1,点 A(-2,0)及点B(2,a),从 A 点观察B 点，要使视线不被圆 C 挡住，则 a 的取值范围是()A.(-co,-l)u Q)B.(-8,-2)U(2,+8)C
12、.(-0 0,-1)u (1,+8)D.(-8,-4)u(4,+0 0)【分析】由题意可得N7XC=30,B”=A”tan300,从而求得。的取值范围.解：由题意可得NL4C=30,M=A，tan30=之 巨.所 以，a 的取值范围是(-8,3-U +8),3 3故选：A.9.设F是 双 曲 线 直-X l=l的左焦点，A(l,4),尸是双曲线右支上的动点，则|Pfl+|PA|4 1 2的最小值为()A.5 B.5+4 C.7 D.9【分析】根据A点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得，IPQ-IP尸|=2a=4,进而根据PAI+IPF I依 尸1=5,两式相加求得答案.解：:A点在双曲线
13、的两支之间，且双曲线右焦点为F (4,0),二由双曲线定义可得，PF-PF|=2a=4,而IPAI+IPF|=5,两式相加得IPQ+川9,当且仅当A、P、F 三点共线时等号成立.则|Pfl+|PA|的最小值为9.故选：D.10.过 圆Ci：x2+y2=上的点尸作圆C2：(x-3)2+(厂4)2=4的切线，切点为Q,则切线段IPQI长为整数的切线条数为()A.2 B.4 C.6 D.8【分析】根据勾股定理将IPQI转化为求解IPC3,然后求出切线段IPQI的取值范围，得到IPQI可以取到的整数个数，即可得到切线条数.解：圆 G：/+y2=l 和圆。2：(%-3)2+(y-4)2=4,因为 I P
14、 Q I=|P C2|2-|C2Q|2=yj|P C2|2-4-又IGC2I-IWIPC2IWIGC2I+I,且|C1C2|=732+42=5.所以 4W|PCdW6,贝 日|PQ|以B则切线段|尸。|长可以为整数4,5,由圆的对称性可知，当|PQ|=4时，切线有两条，当|PQ=5时，切线有两条，所以则切线段IPQI长为整数的切线条数为4条.故 选:B.二、选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.1 1.下列式子可以作为数列、历，0,加,0,如,0,的通项公式的是（）A斯=李1-（-1）”B._ 卜
15、 历，n=2k-l（k N+）a 0,n=2k（k N*）D.aVl+（_l）n【分析】分析每一个公式的特点，结合已知数列中各项特点，对每一个公式进行验证,即可得出正确的结论.解：对于A：当为奇数时，斯=&,当 为 偶 数 时，”=0,故A可以；对于B：当为奇数时，a,产 近,当 为偶数时，如=0,故B可以；对 于C：当为奇数时，如=如，当为偶数时，“0=0,故C可以；对于。：当 为奇数时，斯=0,当“为偶数时，a产 显,故。不可以.故选：ABC.2 2 11 2.设e是椭圆-=1的离心率，且 比（3，1）,则实数火可以是（）4 k 2A.1 B.3 C.5 D.7【分析】结合离心率公式，将4
16、个选项分别代入验证，即可求解.解：对于A,当人=1时，离心率6=巨工，满足e e（，1），故4正确,2 2 2对于B,当上=3时，离心率e=YS国 ，不满足尤（5，1）,故B错误，2 2 2对于C,当人=5时，离心率e=隼叁老，不 满 足 吒（，1）,故c错误，V5 5 2 2对于,当=7时，离心率e=Y辱国2,满足吒（5，1）,故。正确.V7 7 2故选：AD.三、填 空 题（本大题共4 小题，共 20.0分）1 3.已知圆锥曲线C过点（2,1）且离心率是证,则曲线C的 标 准 方 程 是 _ 式 _d=1 _.3 3【分析】根据曲线C的离心率是证,设曲线C的方程为了2-/=入，代 入 点（
17、2,1）,可得入，即可求出曲线C的标准方程.解：.曲线C的离心率是我,.双曲线是等轴双曲线，即:a=b,.设曲线C的方程为y 2-1=入，代 入 点（2,1）,可得入=-3,曲线C的标准方程为y2 3-炉=-3,2 2故答案为：_ v _=1.3 31 4.直线y=+l与圆9+（y+3）2=4相交于M,N两点，若明川=2,则k=_ A/15_.【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，写出圆心到直线的距离，再由垂径定理列式求解左值.解：圆（3）2=4的圆心坐标为（0,-3）,半径为2,化直线y=f c x+l为一般式f c r -y+1 =0.|3+1|4圆心到该直线的距离d=（卜2 认2 又网M
18、=2 ,由垂径定理可得：（畲 产+匕-1。2=4,M k+l解得：女=7 1 5.故答案为：土 小元.曲线C的标准方程是或_ d=i.3 31 5.在数列 a”(WN*)中，设。】=改=1,6=2.若数歹U q 是等差数列，则6=1 2 0an【分析】由数歹U:四 是等差数列，结合已知求得恐且-n，然后利用累积法求得期.anan解：.数列 0生 是等差数列,an.八 至？a 3 a 2 2 1 ,.公差 d=1.a 2 a 1 1则a上.+lL1+1X(n-l)=n.an则 氏=1,=2,=3al a2 a3-=5.a5累积得：=1 X 2 X 3 X 4 x 5.al.:“6=1 2 0.故
19、答案为：1 2 0.2 21 6.过双曲线C：2 万-工5=1 (0,fe 0)的右焦点作直线/，使/垂直于x轴且交C于M、N两点，双曲线C虚轴的一个端点为A,若 A M N 是锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值范围是_ L&，、/2 丑&.【分析】根据锐角三角形的性质，知 篇 祈。，且人史，由不等式组，解得离心率.a,2 ,2解：由题意知，M(c,二)，N(c,-且 _),a a不妨设A (0,b),y因为 A M N 是锐角三角形，TT.,2 ,2 卜 4 2所以N M 4 N 0,且2 a a a(4 n 2 2 4.42 c2_a2_c-2a,Q所以22a-1e，-4e 2+2 2解
20、得 ee(&,7 2+7 2)，故答案为：(&,，2地).四、解答题(本大题共6 小题，共 7 0.0分)1 7.已知 A B C 的三个顶点都在第一象限内，A (1,1),B (5,1),N A=4 5,N B=4 5 .求：(1)直线AC和 8C的方程；(2)求以线段AC为直径的圆的标准方程.【分析】(1)由题意可得C的坐标，进而求出直线A C,BC的方程；(2)由(1)可得AC的中点的坐标，线段|A C|的值，进而求出|A C|的一半的值，代入圆的标准方程中即可.解：(1)由 A B C 的三个顶点都在第一象限内，A (1,1),B (5,1),N 4=4 5,N B=4 5,所以C的横
21、坐标为A8的中点的横坐标，设 A B 的中点。，则|7|=寺/1 8|=/X 4=2,可得 C (3,3),所以直线AC的斜率为&AC=3 M=1,直线8c的斜率-1,3-1 3-5所以直线AC的方程：y-l=x-l,即，=，直线 3 C 的方程为：y-1 =-(x -5),即 x+y-6=0；(2 油(1)可得|A C|=y(3-l )2+(3 7 )2=2&,所以以C A 为直径的圆的半径=当1=正AC的中点坐标为(2,2),所以以线段4c为直径的圆的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=2.1 8.已知等差数列 中,。1 1 =2 0,侬=8 6.(1)求数列 的公差d和。i；(2)满
22、足1 0V%V1 50的共有几项.【分析】(1)直接利用。22=011+1 1 4,4 1 1=4 1 +1 0”即可求解出数列 的公差d和。1；(2)令1 0Va V1 50,可 得1 0V6-4 6 V1 50,从而结合托N+即可求解出的项数.解:(1)由 斯 是等差数列，得。2 2=。1 i+l I d,即8 6=2 0+1 I d,解得d=6,又 i i=a i+1 0d,得 2 0=。+6 0,解得 i=-4 0,所以数列 斯 的公差d和 分别为6,-4 0；(2)由(1)可知 an=-4 0+6 (/?-1)=6/?-4 6,令 1 0 6 zn 1 50,得 1 0 6-4 6
23、1 50,解 得 殁 毁，又 eN+,所以 1 0WW3 2,3 3因此满足1 0 a,1 50的共有2 3项.1 9.已知圆 C：(x-1)2+(y-2)2=4,直线/：rnx-y+1 -2 m=0(w G R).(1)判断直线/与圆C的位置关系；(2)过点P (3,5)作圆C的切线，求切线的方程.【分析】(D首先确定直线所过的定点，然后考查点与圆的位置关系即可确定直线与圆的位置关系；(2)分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况即可求得切线方程.解：(1)直线方程即：，*(x-2)-(y-1)=0,则直线恒过定点(2,1),注 意 到(2-1)2+(1 -2)2 即：5 x -1 2 y
24、+4 5=0.综上可得，直线方程为5 x-1 2/4 5=0或x-3=0.2 0.已知椭圆的短轴长为2,焦点坐标分别是(-1,0)和(1,0).(1)求椭圆的标准方程；(2)直线/与椭圆交于尸、。两点，且P Q中 点 为(1,1),求直线/的方程.【分析】（1）利用焦点坐标求出C 的值，由短轴长求出8的值，再根据a,b,c的关系求出。的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）设直线/的方程，与椭圆的方程联立方程组，利用韦达定理以及中点坐标公式，列式求解即可.解：（1）由题意，椭圆的焦点坐标分别是（-1,0）和（1,0）,所以c=L又椭圆的短轴长为2,即2 b=2北,所以b=M，故 2 =匕2+。2
25、=4,2 2所 以 椭 圆 的 标 准 方 程 为1;4 3（2）由题意可知，直线/的斜率存在，则设直线/的方程为y-l=k（x-1）,即y=f c r+l-k,（2 2工上=1联立方程组4 4 点，可 得（4 F+3）f+8 A（1 -%）x+4 （1 -A）2 -1=0,y=kx+l-k设 P(x”y i),Q(X 2,以)，则 X +X 2 =8k(k-1)4k 2+3又尸。中 点 为（1，1）,则4k(k-1)4k 2+3=L解得k=g所以直线/的方程为丫=-乂q，即 3 x+4 y-7=0.2 1.设椭圆E：三=1 （a t 0）的左焦点为F,离心率为返，过点尸且与x轴垂a 3直的直
26、线被椭圆截得的线段长为士坐.3（1）求椭圆E的方程；（2）设 人 B 分别为椭圆E的左、右顶点，过点且斜率为我的直线与椭圆E交于点C,。两点，且 菽 而+标 而=肓，求的值.【分析】（1）利用椭圆的离心率定义以及通径的长，列式求出“，匕的值，即可得到答案;(2)设直线8 的方程，与椭圆方程联立，得到韦达定理，然后利用平面向量数量积的坐标表示结合韦达定理进行化简，列出等式，求解女 的值即可.解：(1)设 厂(-c,0),因为离心率为返，_3所 以 工 区，a 3_又过点尸且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为越，_3则 2 D=Mi区,结合“2 =IJ2+C2 ,a 3解得a f/l，c=l,b
27、=V22 2所以椭圆E的方程为“上=1；3 2(2)设 C(M,y i),D(%2 /)，由F (-1,0)可得直线C Q的方程为y=k (x+1),y=k(x+l)联立方程组1 v2 v2 ,可 得(3&2+2)x2+6后计3 3-6=0,因为0),B，,0),则 菽 瓦+标 百(x1+y/3,(7 3-X2-y2)+(x2+V3 y2)r(V 3-xl,-y1)=6 -2XIX2-2 y ly 2=6-2 X X2-2k2(Xj+1)(X2+l)=6-(2+2k2)x|X2-2k(x +2)-2k2k2+12=6+-7-2+3/由 题 意,AC-DB+AD-CB=所以6+怨+琴=挈 解得k
28、=2.2+3 kz 72 2.已知动点”到 定 点/（0,1）的距离比到x轴距离大士.4 4（1）求动点M的轨迹方程C；（2）过F作互相垂直的直线/与切交轨迹C（y 2 0）于尸、。两点及S、7两点，A,B分别是弦尸Q、ST的中点，当|AB|=1时，求直线/与，的方程.【分析】（1）设出M的坐标，然后根据已知建立方程化简即可求解;（2）由题意分别设出直线/,?的方程，联立直线/与抛物线的方程，求出点A的坐标,同理求出B的坐标，然后求出H B|,令其为1,化简即可求解.解：（1）设M （x,y）,则由题意可得：Jx2+（y-）2=+y,化简可得：所以轨迹C方程为：/=%（2）设直线/的方程为：丫=履+,20,则直线心的方程为：-XA4 k 42=y联立方程组 1,消去y可得：x2-k x-4-=0-y=k x 号 4设 P（X”y i）,Q（X2,”），所以制+及=左，X i X c u j，1 4 A所 以 乙=1 +、2 上,代 入 直 线/得：y.=4 k2-4-A 2 2 A 2 4所以A哈，2c）,2 2 4同理可得8 （-g,2 k 2 k 2 4所 以 之 啮 噎 代（号嗑）2 i2 1令我+一=t0,所以产+f-6=0,则，=2或-3 （舍去），所 以 产2 17=2,解得尼=1,所以=1,所以直线/的方程为：y=x+-，帆的方程为：y=x+-4 4