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1、2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破专题31概率与统计创新题型备考策略与方法皑屈命题随 着 普通高中数学课程标准（2 01 7 年版）（以下简称 课 标（2 01 7 年版）地逐步实施，高考数学内容及形式的改革也同步启动，尤其是高考内容的改革，在近两年已经显露头角，如考查的内容与最新的科技成果、文学、艺术、美学，以及中华优秀传统文化相结合等.其中，对概率与统计内容的考查被提升到较高的位置，如概率与统计的解答题，原来被设置在主观题第二题的位置，2 01 9 年被设置为高考数学全国卷/理科的压轴题.另外，在 课 标（2 01 7 年版）中，概率与统计属于加强内容，已被单独列为高中数学四
2、大主题之一.随着概率与统计内容在 课 标（2 01 7 年版）中要求的提高，在高考考查中难度增大、分值增加，同时概率与统计又与社会、经济、科技发展密切联系，概率与统计内容在高考考查中逐步呈现出综合性、应用性和创新性等特点，成为当下高考备考的热点问题和难点问题.下面就以近年高考概率与统计创新性题型的复习为例，展示上述复习方式的核心理念及关键做法.隐因同隐因宓!1 按照同类为伍、近类为邻的原则，设计或构建相近问题题组，凸显共性和规律.众所周知，对于重要的知识、重要的思想方法的理解掌握及灵活运用，不是通过一两个问题的解决能够实现的，往往需要经过一类问题的变式研究及反复比较，提炼核心问题，总结规律方法
3、，才能认清其问题的本质及思想方法的实质，达到对知识和思想方法的理解掌握、灵活运用.例 1（2019年高考数学全国卷I 理科第21题）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1 分，乙药得-1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈
4、则乙药得1 分，甲药得7 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为a和 B，一轮试验中甲药的得分记为X.（1）求 X 的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分，pi(z=0,1,，8)表 示“甲药的累计得分为，时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 po=O,p8=l,pi=api-i+bpi+cpi+(z=1,2,7),其中 a=P (X=-1),b=P(X=0),c=P(X=l).假设 a=0.5,0=0.8.(i)证明：必+i-p,(i=0,1,2,7)为等比数列；(n)求 p 4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.【解答】(D 解：X 的
5、所有可能取值为-1,0,1.P(X=-1)=(1-a)p,P(X=0)=ap+(1-a)(1-p),P(X=l)=a (1-p),；.X 的分布列为：X-101P(1-a)0邓+(1-a)(1 -p)a(1-P)(2)(z)证明：a=0.5,p=0.8,.,.由(1)得，a=0A,b0.5,c=0.1.因此=0.4p,j+0.5pi+0 pi+i(z=l,2,7),故 0.1(/?；+1-pi)=0.4(pi-p i.),即(pi+l-pi)=4(.pi-pi-I),又1 p i-p o=p iK O,二0+i-pi(i=0,1,2.,7)为公比为4,首项为p i的等比数列；(/)解：由 可
6、得，(1 4)4-108=(p8-P7)+(pi-p6)+,+(pi-po)+po=.L_ 4_-=_ 23/?8=1 ,P1 =-g-4 1.?4=(/?4-P3)+(P3-P2)+3-p i)+(pi-po)+po=p=P4表示最终认为甲药更有效的概率.由 计 算 结 果 可 以 看 出，在 甲 药 治 愈 率 为 0.5,乙 药 治 愈 率 为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为2=缶=0.0 0 3 9,此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.该题以科学实验的设计方案为背景，将概率知识与数列的相关内容联系起来，构造了一个考查概率分布列、概率的意义以及递推数列求通项的创新性综
7、合应用题.围绕该题涉及的内容、情境、知识架构、设问方式以及问题解决的关键，我们设计了以下变式问题，力求通过这一组问题的解决，探究得出该类问题的本质并掌握解决此类问题的思想方法.变 式1某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是 从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下次出现红灯的概率是士出现绿灯的概率是三；若前次出2 3 3现绿灯，则下次出现红灯的概率是会出现绿灯的概率是京记开关第次闭合后出现红灯的概率为P.(I )求 P2；(H)开关闭合1 0次时，出现绿灯的概率是多少？解答：(1 )如果第一次出现红灯，则接着乂出现红灯的概率是士 x 士，2 3
8、如果第一次出现绿灯，则接着出现红灯的概率为：X i2 5.第二次出现红灯的概率为三X 三+三x =二，2 3 2 5 1 5(II)设第n 次闭合时，出现红灯的概率是Pn,则Pn=7 Pn-i+；(1 -pn.!)=-WPn-1 +；-3 5 1 5 5设Pn+k =-已句 +幻,即Pn=一号邛一 等 一 答=:求得卜=故数列 Pn-巳)为等比数列，且公比为-2再 根 据 首 项 为 内 一 巳 二 弟 二 外 一 巳 看 +故第n 次闭合时，出现绿灯的概率是1 -pn=/一/(一三)“二故开关闭合1 0次时,出现绿灯的概率是三+上(了.变 式 2 A,8两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若
9、掷出的点数之和为3的倍数时，则由原掷骰子的人继续掷：若掷出的点数不是3的倍数时，由对方接着掷.第一次由4开始掷.设第次由A掷的概率为P,.(I )求 Pn；(I I )求前4次抛掷中A恰好掷3次的概率P.解：第(n+1)次由A掷这一事件，包括第n 次由A掷、第(n+1)次继续由A掷这一事件以及第n 次由B掷、第(n+1)次由A掷这一事件。这两个事件发生的概率分别是蓑匕,(一部1-。由于这两个事件是互斥的，则4+1 =匕+(l-)(l-Pn)=-ipn+J易知P=1.由递推关系可得：+工一=一;所以数列 4 -m 是以巴一;=:为首项，一;为公比的等比数列.所以4 =:+:*(一;)1(H )结
10、合(1 )的结论可知P=81变 式 1、变式2 的题目情境不同，但知识的架构、问题的本质和解决问题的思想方法是一致的.只不过变式1、变式2 需要答题者自己先构建数列的递推关系式，然后再求其通项，难度更大.现实问题是多样的，情境是不同的，但是很多问题的内部又具有高度的统一性.从高考数学备考的质量要求看，追求的就是这种“博观约取”，提炼共性和规律，达到举一反三、触类旁通的效果.下面的题组是以2018年高考数学全国卷/理科第20题为框架结构构造的.供读者进一步体会上述复习方法.例2(2018年高考数学全国卷理科第20题)某工厂的某种产品成箱包装，每 箱 200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检
11、验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0 p o,当pe(o.i,i)时，f (p)p(x =1)=x i x 2 =-P(X=2)=*x +三 x x 2 =210 10 10C z 10 5 25 5 5 5 10 25P(X=3)=x x 2+|x 1 x 2 =P(X=4)=1 x j +xix2=P(X=5)=会 2P(X=6)=x=的分布列为X0123456P110025251150256259100(I I)选择延保一，所需费用八元的分布列为:八70009000
12、110001300015000P1710050256259100Eh=另 x 7000+蔑 x 9000+士 x 11000+2 x 13000+高 x 1500C=1 0 7 2 0选择延保二，所需费用匕元的分布列为:Yz100001100012000P671006259100（元）.EK-=x 10000+-x 11000+x 12000=10420*1 nn”1 nnVFK E h，.该医院选择延保方案二较合算.变式4 某大型工厂有5台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为【已知1名工人每
13、月只有维修1台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修，就能使该厂获得io 万元的利润，否则将亏损3万元.该工厂每月需支付给每名维修工人1.5万元的工资.(1)若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行.若该厂只有2名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；(2)已知该厂现有4名维修工人.(i)记该厂每月获利为*万元，求 的分布列与数学期望;(i i)以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人?【答案】(1)；(2)(i )；(i i)不应该.1-3952 32【解析】(1)因为该工厂只有2名维修工人，故要使工厂正常运行，最多只
14、有2台大型机器出现故障.，该工厂正常运行的概率为：(2)(i)*的可能取值有3 i，4 4,P(X=3 1)=(i)5=-P(X=4 4)=1 一2=去的分布列为：X3 14 4P322 -32f X=3 1 X+4 4 x =32 32 32(i i)若工厂再招聘一名维修工人，则工厂一定能正常运行,工厂所获利润为5 x 1 0 -1.5 x 5 =4 2.5万元，因为%4 2.5该厂不应该再招聘1名维修工人.2 类比迁移，实现思维创新、问题创新我们知道，可以将数列看成一类特殊的函数，那么函数中的很多解题方法就可以直接应用于数列问题.同样的，如果把概率看成是随机变量的函数，那么离散型随机变量的
15、概率分布列就是一类特殊的数列，如 例1、变 式1、变式2.数列有对称数列，概率分布能否设计成对称分布？另外，如果把随机变量看成函数，又将如何？例3春节期间某商店出售某种海鲜礼盒，假设每天该礼盒的需求量在 11,12,，3 0 范围内等可能取值,该礼盒的进货量也在 11,12,3 0 范围内取值（每天进1次货）.商店每销售1盒礼盒可获利5 0元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1盒礼盒亏损10元；若供不应求，可从其他商店调拨，销 售1盒礼盒可获利3 0元.设该礼盒每天的需求量为x盒，进货量为a盒，商店的日利润为y元.（/）求商店的日利润y关于需求量x的函数表达式；（I I）试计算进货量。为多少
16、时，商店日利润的期望值最大？并求出日利润期望值的最大值.解：（/）由于礼盒的需求量为x,进货量为。，商店的日利润y关于需求量x的函数表达式为:(5 0 a +3 0(x-a),a x 3 0,x e Z(5 0 x -10(a -x),ll x a,x e Z化简得y =3 O x +2 0 a,a x 3 0,x e Z60 x-10 a,11 x 5.024)=0.025,P(/r2 6.635)=0.010,P(K?2 7.879)=0.005,10.828)=0.001.【答案】(1)见 解 析(2)见解析【解析】(1)题 中 1 0 0 名游客，有 6 0 个特别满意，所以有4 0
17、个基本满意，在 6 0 个特别满意中，儿童有4 0 个，所以非儿童2 0 个；在 4 0 个基本满意中，有 3 0 个非儿童，所以有1 0 个儿童，再计算出合计，填表如下：握认为调查对象是否“特别满意”与是否是儿童有关;特别满意基本满意合计儿童4 01()5 0非儿童2 03 05 0合计6 04 01 0 0陪凿渭 广 吗 黑 耳 。即所把握把(2)由题意可知：J的可能取值为0,2.C1P 4 =0)=3P=2)=,8 n/匕八 C,1 C：z 1 2 2=一,P C =l)=Txlx +VxC：x-x -=一,15 C；3 C；2 3 3 5所以4的分布列为:A012P81 5211 5Q
18、 2 1 2因止 匕 石(J)=0 x+l x +2X 一 =2.1 5 5 1 5 1 54.为迎接2 0 2 2 年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王 冬奥知识竞赛活动.现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了 1 0 0 名学生，将他们的比赛成绩（满分为1 0 0 分）分为6 组 4 0,50）,50,60）,60,70）,70,80）,80,90）,90,1 0 0,得到如图所示的频率分布直方图.v 40 50 60 70 80 90 100 分数（1）求。的值；（2）估计这1 0 0 名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）在抽取的1 0
19、 0 名学生中，规定：比赛成绩不低于80 分为“优秀；比赛成绩低于80 分为“非优秀？请将下面的2 x 2 列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？【答案】（1）a =0.0 2 5（2）74 （3）见解析，没有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关优秀非优秀合计男生4 0女生50合计1 0 0参考公式及数据：K=（i）（c+d）（a +c）（H d），+c+dP(K2KO)0.1 00.0 50.0 2 50.0 1 00.0 0 50.0 0 1K。2.70 63.84 15.0 2 46.6357.8791 0.82 8【解析】(1)由题
20、可得(0.0 0 5+0.0 1 0 +0.0 2 0 +0.0 30 +4+0.0 1 0)x 1 0 =1解得 a =0.0 2 5.(2)平均成绩为：4 5 x 0.0 5+55 x 0.1 +65 x 0.2 +75 x 0.3+85 x 0.2 5+95 x 0.1=74(3)由(2)知，在抽取的1 0 0名学生中，比赛成绩优秀的有1 0 0*0.35=35人，由此可得完整的2 x 2列联表:优秀非优秀合计男生1 04 050女生2 52 550合计35651 0 0K2 的观测值 k=25x00)-=%。9.890 10.828,所以有99.9%的把握认为优质树苗与地区有关.25x
21、75x55x45(2)容量为100的样本中有25颗优质树苗，故可以认为从总体中随机抽1颗树苗为优质树苗的概率为上,4所以 X 8(4,；),P (X=k),k=0,1,2,3,4,所以X 的分布列为:X0123481272731P25664128642561EX=np=4x-=1.8.2019年电商“双十一”大战即将开始.某电商为了尽快占领市场，抢占今年“双H，的先机，对成都地区年龄 在 15到 75岁的人群”是否网上购物”的情况进行了调查，随机抽取了 100人，其年龄频率分布表和使用网上购物的人数如下所示：(年龄单位：岁)年龄段 15,2 5)2 5,3 5)3 5,4 5)4 5,5 5)
22、5 5,6 5)6 5,7 5 频率0.10.3 20.2 80.2 20.050.03购物人数82 82 41221（1）若 以4 5岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2 x 2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关？年 龄 低 于4 5岁年 龄 不 低 于4 5岁总计使用网上购物不使用网上购物总计（2）若 从 年 龄 在 5 5,6 5）,6 5,7 5 的 样 本 中各 随 机 选 取2人进行座谈，记 选 中 的4人中“使用网上购物”的人 数 为X，求 随 机 变 量X的分布列和数学期望.参考数据:P(K2 k0)0.02 50.0100.
23、0050.0013.8 4 16.6 3 57.8 7 910.8 2 8nad-bc参考公式：K-=(a +b)(c +d)(a +c)e +d)【答 案】（1）填 表 见 解 析，可 以 在 犯 错 误 的 概率不超过0.001的前提下认为“使用网上购物”与 年 龄 有 关（2）详见解析【解 析】（1）由统计表可得，低 于4 5岁 人 数 为7 0人，不 低 于4 5岁 人 数 为3 0人，可得列联表如下年龄低于4 5 岁年龄不低于4 5 岁总计使用网上购物6 0157 5不使用网上购物10152 5总计7()3 0100于是有K?的观测值上=3)(6 0 x15-I。)？J(X)14.2
24、 8 6 10.8 2 8 ,7 5 x2 5 x7 0 x3 0 7故可以在犯错的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关:(2)由题意可知，X 的所有可能的取值为0，1，2,3,相应的概率为：C；C；=1C；C厂 10P(X=0)=P(X =1)=生岭暮雪 J,p(x=2)=J G 3C；C；+C；C；C：G 133 0于是X的分布列为:X0123P1To2133011 2 13 1 2 2所有 E(X)=0 x +l x +2 x +3 x =.10 5 3 0 15 159.中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校2 00名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查
25、，如表：(平均每天锻炼的时间单位：分钟)平均每天锻炼的时间/分钟0,10)10,20)20,30)30,40)40,50)50,60)总人数2 03 64 45 04 010将学生日均体育锻炼时间在 40,60)的学生评价为“锻炼达标”.(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面的2 x 2 列联表;锻炼不达标锻炼达标合计男女2 0110合计并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.02 5 的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？(2)在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流，(i)求 这 10人中，男生、女生各有多少人？(ii)从参加体会交流的10人中，随
26、机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X，求 X 的分布列和数学期望.参考公式：火 2 =7-,其中九=a+Z?+c +d.临界值表p g i k。)0.100.050.02 50.010k。2.7 063.8 4 15.02 46.6 3 5【答案】(1)见解析；(2)(i)男生有6人，女生有4人.(ii)见解析【解析】(1)锻炼不达标锻炼达标合计男6 03 09()女9 02 01 10合计15 05 02 00由2 x 2 列联表中数据，计算得到K2的观测值为攵=2 00（6 X2 0-3 X9 0）=迎 标 6.061 5.024.150 x50 x90 x110 33所以在犯错
27、误的概率不超过0.025的前提下能判断“锻炼达标”与性别有关.（2）（i）“锻炼达标”的学生有50人，男、女生人数比为3:2,故用分层抽样方法从中抽出10人，男生有 6 人，女生有4 人.（i i）X 的可能取值为0，1,2；C2 1P（X=）=WTP(X =1)=c c*1C1 0815P（X=2）=工r2，2,1）C,20 15二X 的分布列为X012P23815215iQ 2 4 X 的数学期望 E（X）=0 xQ +l x R +2 x y =N.3 15 15 51 0.为缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量.某地车牌竞价的原则是：“盲拍”，即所有参与竞拍
28、的人都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞价人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2018年 10月份的车牌竞价，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5 个月参与竞拍的人数（见表）：月份2018.042018.052018.062018.072018.08月份编号，12345竞拍人数兴万人）0.50.6m1.41.7（1）由收集数据的散点图发现，可以线性回归模拟竞拍人数M万人）与月份编号r之间的相关关系.现用最小二乘法求得y关于，的回归方程为y=0.3 2 +0.0 8 ,请求出表中的m的值并预测2 0
29、 1 8年9月参与竞拍的人数；（2）某市场调研机构对2 0 0位拟参加2 0 1 8年9月车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如下一个频数表：报价区间（万元）fl.2)2,3)3,4)4,5)5,6)6,7频数206060302010（i）求这2 0 0位竞拍人员报价的平均值亍（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；（i i）假设所有参与竞拍人员的报价X服从正态分布N。?），且 为中所求的样本平均数了的估值，b =1.3.若2 0 1 8年9月实际发放车牌数量为3 1 7 4,请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价.参考公式及数据：若随机变量Z服 从 正 态 分 布 贝i
30、j：尸（一b Z +b）=0.6 8 2 6,P(-c r Z +2 c r)=0.9 5 4 4,P(-3 c r Z y 0.3 2 x3 +0.0 8 =1.0 4 (0.5 +0.6 +/n+1.4 +1.7)=1.0 4 ,解得?=1：(2)(i)根据表中给的数据求得平均值为,2 0 -6 0 6 0 1 3 0 2 0 1 0 ,一、x=-x 1.5 H-x 2.5 H-x3.5 H-x4.5 H-x5.5 H-x 6.5 =3.5 (力兀)，方差为2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 =生 乂(1.5 -3.5+幽 X(2.5-3.5)22
31、0 0 I 7 2 0 0 v+0 +网 x(4.5-3.5)2 +至 X(5.5-3.5)2 +_ L P _X(6.5-3.5)2=1.7；2 0 0 2 0 0 v 7 2 0 0 v 3 1 7 4(i i)竞拍成功的比率为 =0.1 5 8 7,报价服从正态分布N(3.5,1.7),乂2 0 0 0 01 _ z:ozr尸(一TX +C T)=0.6 8 2 6 ,所以p(x2 +c r)=-:-=0.1 5 8 7.所以 2 0 1 9年 1 0月份预测的竞拍的最低成交价 +b=4.8万元.I I.随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一种重要工具.现将某人三年以来每周开车从家到
32、公司的时间之和统计如图所示.（1）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在 6.5,7.5）（时）内的频率；（2）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和的平均数（每组取该组的中间值作代表）；（3）以频率估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时间之和在 4.5,6.5）（时）内的周数为X，求X的分布列以及数学期望.【答案】（1）0.35：（2）7；（3）分布列见解析；数学期望g.【解析】（1）依题意，此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在 65,7.5）（时）内的频率为1-0.0 3-0.1-0.2 -0.1 9 -0.0 9 -0.0 4=0.35；2）所求平均
33、数为 1 =4x0.0 3+5x0.1 +6x0.2+7 x0.35+8 x0.1 9 +9 x0.0 9 +1 0 x0.0 4=7 （时）；依 题 意，X 夏（3o）p（x=o）C）=黑,p（x=l）=C（U小小啕品嗡,M A啕。累，/-、4 3 _ 1 0 2 9_ 2 50 0 尸=4）=-_ 8 1一 1 八 cm故X的分布列为X01234P2 40 11 0 0 0 01 0 2 92 50 01 32 350 0 01 8 92 50 08 11 0 0 0 0故 总）=4*q1 2.某高校为增加应届毕业生就业机会，每年根据应届毕业生的综合素质和学业成绩对学生进行综合评估,已知某
34、年度参与评估的毕业生共有2000名.其评估成绩Z近似的服从正态分布N（，（72）.现随机抽取了100名毕业生的评估成绩作为样本，并把样本数据进行了分组，绘制了如下频率分布直方图:（1）求样本平均数元和样本方差s（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;（2）若学校规定评估成绩超过82.7分的毕业生可参加A、B、C三家公司的面试.（i）用样本平均数万作为的估计值，用样本标准差s作为。的估计值存.请利用估计值判断这2000名毕业生中，能够参加三家公司面试的人数;（）若三家公司每家都提供甲、乙、丙三个岗位，岗位工资表如下:公司甲岗位乙岗位丙岗位A960064005200B980072005400C
35、1000060005000李华同学取得了三个公司的面试机会，经过评估，李华在三个公司甲、乙、丙三个岗位的面试成功的概率均为0.3,0.3,0.4.李华准备依次从4、B、C三家公司进行面试选岗，公司规定：面试成功必须当场选岗,且只有一次机会，李华在某公司选岗时.，若以该岗位与未进行面试公司的工资期望作为抉择依据，问李华可以选择A、B、C公司的哪些岗位？并说明理由.附：J i T a l2.7 若随机变量 Z N(，CT2),则 P(一 b V Z V+b)=0.6826,K/j-2 c r Z 8 2.7)=P(Z&+d)=1 -06=0 1587在这2 0 0 0 名毕业生中，能参加三家公司面
36、试的估计有2 0 0 0 X0.1 58 7 3 1 7 人.(i i)李华可以选择A公司的甲岗位，B公司的甲、乙岗位，C公司的三个岗位.理由如下：设 B、C公司提供的工资为X”X(,则 XB,XI都为随机变量，其分布列为公司甲岗位乙岗位丙岗位XB98 0 07 2 0 054 0 0Xc1 0 0 0 06 0 0 050 0 0p0.30.30.4则 B 公司的工资期望：E (X)=98 0 0 X0.3+7 2 0 0 X0.3 +54 0 0 X0.4 =7 2 6 0 (元)，C 公司的工资期望：E (Xc)=1 0 0 0 0 X0.3+6 0 0 0 X0.3 +50 0 0 X
37、0.4 =6 8 0 0 (元)，因为A公司的甲岗位工资96 0 0 元大于B、C公司的工资期望，乙岗位工资6 4 0 0 元小于B、C公司的工资期望，故李华先去A公司面试，若 A公司给予甲岗位就接受，否则去B公司；B公司甲、乙岗位工资都高于C公司的工资期望，故 B公司提供甲、乙岗位就接受，否则去C公司：在 C公司可以依次接受甲、乙、丙三种岗位中的一种岗位.1 3.在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于6 0 分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，大于等于90 分的选手将直接参加竞赛选拔赛.已知成绩合格的1 0 0 名参赛
38、选手成绩的频率分布直方图如图所示，其中6 0,7 0),8 0,90),90,1 0 0 的频率构成等比数列.(1)求的值；(2)估计这1 0 0名参赛选手的平均成绩；(3)根据已有的经验，参加竞赛选拔赛的选手能够进入正式竞赛比赛的概率为,，假设每名选手能否通过4竞赛选拔赛相互独立，现有4名选手进入竞赛选拔赛，记这4名选手在竞赛选拔赛中通过的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.【答案】,J、c；(2)8 4；(3)分布列见解析，1.b=Q.Q2【解析】(1)由题意，得(0.0 1 +0.0 3 +Z?)x l 0 =l.0.0 1 =/解得。=0.0 4 =0.()2(2)估计这 1 0
39、 0 名选手的平均成绩为 6 5 x 0.1 +7 5 x 0.3+8 5 x 0.2+95 x 0.4 =8 4.(3)由题意知，X 4,j,则X可能取值为QL2,3,4,所以 P(X=i)=C；所以X的分布列为X01234D8 12 72 731r2 566 41 2 86 42 56故 X 的数学期望为E（x）=4 x；=l.1 4.响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程.为了解市民阅读需求,随机抽取市民2 0 0 人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文学的有6 4 人，不喜欢的有56 人；女士喜欢阅读古典文学的有3 6 人，不喜欢的有4 4 人.（1）能
40、否在犯错误的概率不超过0.2 5 的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？（2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这2 0 0 人中筛选出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学.现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会，记 为参加交流会的5 人中喜欢古典文学的人数，求 J的分布列及数学期望附：K2=-；，其中=a +c +d.（a+b）c+d）（a+c）（b+d）参考数据:尸（片攵）0.5 00.4 00.2 50.1 50.1 00.0 50.4 5 50.7 0 81.3 2 32.0 7 22.7 0 63.8 4 1【答案】（
41、1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】（1）根据所给条件，制作列联表如下：男女总计喜欢阅读古典文学6 43 61 0 0不喜欢阅读古典文学5 64 41 0 0总计1 2 08 02 0 0，K z 的观测值Zn(ad-bcf 2 0 0 x(6 4 x 4 4-5 6 x 3 6)2 4(a +)(c +d)(a +c)e +d)-1 2 0 x 8 0 x 1 0 0 x 1 0 0-34：A：?的观测值左=彳 L 3 2 3,由所给临界值表可知，在犯错误的概率不超过0.2 5 的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关;（2）设参加的交流会的5 人中喜欢古典文学的男代表加入，女代表“人，
42、则彳=+,根据已知条件可得J =1,2,3,4,5,尸(J =1)=P(m=1,“=0)=等合=：1 z 2 zl 22 oP =2)，=P(m=l,n=l)7 +PV(m=2,n=0，)=2r22+.=；C；C；C；C：10P(J=3)=P(m=2)+P(in=2,几=1)+P(？=3,-c；c；C；C；C；C；15=)P =(4=4)=P(m=2,=2)+P W =3,=l)=_+=,；4 5 y 5 尸”加 詈 昌 磊的分布列是:412345P1203To7156160-1 c 3 c 7“1 0 1 14*E4 lx-1 2 x-k 3 x 1-4 x K 5 x =.20 10 15
43、 6 60 51 5.生男生女都一样，女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5,生二孩的频率为0.525,其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.（1）完成下列2 x 2 列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；生二孩不生二孩合计头胎为女孩60头胎为男孩合计200（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了 7 户，进一步了解情况,在抽取的7 户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数X 的分布列及数学
44、期望.附:P(K2k)0.1 50.0 50.0 10.0 0 1k2.0 7 23.8 4 16.6 3 51 0.8 2 8r.2 n(ad-bc)2#一 ,K=-(其中 =a+/?+c+d ).(a +b)(c+d)(a+c)(b +d)【答案】(1)见解析，有 9 5%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.(2)分布列见解析，EX=7【解析】(1)因为头胎为女孩的频率为0.5,所以头胎为女孩的总户数为2 0 0 x 0.5 =1 0 0.因为生二孩的概率为0.5 2 5,所以生二孩的总户数为2 0 0 x 0.5 2 5 =1 0 5.2 x 2 列联衣如下：生二孩不生二孩合计头胎
45、为女孩6 04 01 0 0头胎为男孩4 55 51 0合计1 0 59 52 0 0“2 0 0(6 0 x 5 5-4 5 x 4 0)2 6 0 0K-=-=3.8 4 11 0 5 x 9 5 x 1 0 0 x 1 0 0 1 3 3故有9 5%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.(2)在抽取的2 0 0 户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了 7 户，则这7户家庭中,头胎生女孩的户数为4,头胎生男孩的户数为3,则 X 的可能取值为1，2,3,4.P(X=1)=C：C=4C；3 5P(X=2)=C C 8C：3 52)=等HC4 1P(X=4)=一.C；35X
46、的分布列为X1234418121r35353535EX=l x +2x 竺+3 x 2 +4x/3535 3535 71 6.某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场有5 名专家评委给每位参赛选手评分,场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照7,8),8,9),9,1 0 分组，绘成频率分布直方图如图:专家ABC1)E评分9.69.59.68.99.7估计某场外观众评分不小于9 的概率;(2)从 5 名专家中随机选取3 人，X表示评分不小于9 分的人数；从场外
47、观众中随机选取3 人，用频率估计概率，Y 表示评分不小于9 分的人数；试求E(X)与 E(Y)的值;(3)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数亍作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数(和观众评分的平均数兀，用 土 也 作 为 该 选 手 最2终得分.请直接写出元与土土强的大小关系.2【答案】(1)0.3,-；(2)见解析；(3)方 土 也.2 2【解析】(1)由图知。=1-0.2-0.5=0.3,某场外观众评分不小于9 的概率是2C2 cl 3 C3 2(2)X 的可能取值为 2,3.P(X=2)=壮=一：P(X=3)=*=-.以5 或
48、5所以X 的分布列为X23P3523 2 12所以 E(X)=2x I-3x=.5 5 5(1A 3由题意可知，丫 8 3,所以(丫)=叩=二.27 2(3)x%l+%2.21 7.中国大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中开设大学先修课程已有两年，两年共招收学生2000人，其中有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人，学习先修课程的优等生有60人.这两年学习先修课程的学生都参加了考试，并且都参加了某高校的自主招生考试，结果如下表所示：分数。9510085 a 9575
49、8560 a 757 6.635 ,300 x 1700 x 200 x 18 00因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系(2)”5.9 +-X0.6+&0.5+迎 x 0.4=0.6300 300 300 300 300设获得某高校自主招生通过的人数为4，则4 8 0 5 0,|P（x =Q=Co?J#=0,1,2,5 15 03所以 E J =15 0 x 1=9 018.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1依 的包裹收费10元；重量超过1版 的包裹，除1依 收费 10元之外，超过M g的部分，每超出1依（不足1必，按 M g计算）需再收5 元.该公
50、司将最近承揽的10（）件包裹的重量统计如表:包裹重量（单位:k g）12345包裹件数43301584公司对近60天，每天揽件数量统计如表:包裹件数范围0-100101-200201-300301400401500包裹件数（近似处理）50150250350450天数6630126以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.（1）计算该公司未来3 天内恰有2 天揽件数在101400之间的概率；（2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员3 人，每人每天揽件不超过150件，工 资 100元.公司正在考虑是