《2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破：专题29解析几何中的定点与定值问题（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破：专题29解析几何中的定点与定值问题（解析版）.pdf（50页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破专题29解析几何中的定点与定值问题居 箴 命 题定点与定值问题是解析几何中的高频考点，在近几年的考题中层出不穷.圆锥曲线的有关定点、定值等综合性问题涉及圆锥曲线的定义、儿何性质、直线与圆锥曲线位置关系等知识，同时又与函数、不等式、方程、平面向量等代数知识紧密联系.求解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和图形识别能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，合理猜想并仔细推理论证，对熟练运用所学知识分析问题、解决问题的能力要求较高，较大部分学生对此类问题望而生畏.定点问题主要是曲线系（直线系）过定点的问题，反映的是数学对象的本质属性，如圆锥曲线的某
2、些特有性质，因此，常见某些具有圆锥曲线的性质背景的题目（如蒙日圆、阿基米德三角形等）.定值问题主要涉及面积、面积比、斜率、长度、角度等几何量的定值，也涉及动点运动轨迹中的某些不变因素.处理这两大类问题时可以直接推理求出定点、定值，也可以从特殊情形、极限状态、图形的对称性等方面入手猜测结论，再证明这个点（值）与变量无关，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果.同时，要设定合理的变量，准确把握各变量的数量关系，要善于捕捉题目信息，合理变形、消元，并注意整体思想的熟练应用.幽园腌目幽颤!1定点问题曲线系（直线系）过定点的问题是一类常考题型，这类问题以直线和圆锥曲线为载体，结合其他条件探究或证
3、明直线、曲线过定点或动点在定直线上等问题.试题条件中一般含有两个参数，解题过程就是利用条件消参的过程，因此，此类问题的求解往往伴随着一定的计算.具体来讲，若是证明直线过定点，可将直线设为斜截式，然后消掉一个参数，即得直线所过的定点；证明圆过定点时，常利用直径所对圆周角为直角转化为向量的数量积恒为零处理：证明其他曲线过定点的问题时，经常将曲线中的参变量集中在一起，令其系数等于零，解得定点.例1椭圆E +=l（a b 0）的左焦点为F ,右 焦 点 为 离 心 率e =；.过F.的直线交椭圆于A,B两点，且 A 8&的周长为8求椭圆E的方程；（II）设动直线l:y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点
4、P,且与直线4 4相交于点。.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点例?若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.思路探求1:本题主要考查椭圆的性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系、平面向量等基础知识，训练学生的运算求解能力、推理论证能力，以及化归与转化、数形结合、函数与方程、特殊与一般等数学思想.由动直线及椭圆的对称性知，若定点M 存在，则必在x轴上，条件“以 P0为直径的圆恒过点A T 即可翻译为“两 西=0”恒成立.因此，本题的重点在于得出P,Q两点的坐标，其中点尸的坐标需要联立直线与椭圆的方程求得.解 法 1:椭圆E的方程是?+?=L,f d +d=1
5、,(11)由，4 3=(4k2+3)x:+8kmx+4/n 12=0,l y =k x +t n设 P(X o J o)，判 别 式 z l =(8 痴 尸-4(44+3)(4771：-1 2)=0，化 简 得 4 4 一 而+3=0,同时有*o =-7=k x0+m =易得Q(4.4k+m).若定点M 存在，则必在x轴上，因此，可设仞。，0),由 丽 西 =0得(4t-4)+t:-4t+3 =0.由门解得片1 .所以存在定点用(1，0),使得以P。为直径的圆恒过点方法点睛1:本题主要考查椭圆与直线的联立、书达定理、平面向量等知识.求解的主要步骤：(1)联立直线方程与椭圆方程，通过判别式=()
6、,寻求%”?的数量关系；(2)求 得 P,。两点的坐标，并 利 用 比“I的数量关系化简；翻译条件“以P Q为直径的圆恒过点 等价 两 Q M=0”恒成立，得到恒等式(4t -4 +产 4/+3=0,即求得定点M的坐标.思路探求2:可 以 先 根 据 关 系=+3 =0 中的A 胆的特殊值猜测结果，再加以证明，遵循从特殊到一般、先猜想再证明的求解思路.解 法 2:同解法1可得P(-争 ),0(4,软+*若定点M存在,则由对称性可知必在x轴上，取k =6 m=得P(0，V5),Q(4，V 5),以P Q为直径的圆的方程为(x -2):+(y-V3)2=4,交 x轴于点M(L 0),M 式3,0)
7、.取k =_：,m =2,得P(L)Q(4.0),以P Q为直径的圆的方程为(x+(y-，=募，交 x轴于点A/3(1.0).A L(4.0)；所以符合条件的点可能是点加(1,0),以下证明它就是满足条件的点.易 知 赤=(-北-1,二),丽=(3,4k+m),从 而 丽 丽=一 空-3+生+3=0,即 赤 1 丽，因此，以PQ为直径的圆恒过点M.方法点睛2:在对几何图形特征分析的基础上，先猜想，缩小定点的范围，然后证明，颇有四两拨千斤之效.但前提还是先要联立方程，得 到%，的关系依2-,m+3=0,然后赋值.事实上，例1的背景是椭圆的一个重要性质:动直线/与椭圆+=l(a b 0)相切于点P
8、,与椭圆右准线相交于点Q，右焦点为F，则 本 题 即 是 以 此 性 质 为 背 景 命 制 的 一 道 定 点 问 题.背 景 不 变，换个命题角度，我们可以得到如下题目，但问题本质仍未改变.结合题目求解过程，通过分析可以看出，尽管定点、定值问题背景多元，形式多样，但求解方法都有共同之处，即建立在对几何图形特征分析的基础上，最终回到解析几何的核心方法(坐标法)上，依托直线与圆锥曲线的方程联立，翻译题目条件，构造等式或不等式.总结起来，应注意如下几点：首先，仔细研究题干，认清问题本质，找准思路，预计求解过程中遇到的各种情况，也就是要想得明白，思路通畅可操作；其次，找准主元，引入参数，建立各个量
9、间的数量关系，运用消元变形、推理运算等手段证明定点、定值问题；再次，要努力突破计算关、心理关，认真仔细计算、准确规范，随时检查，树立信心，只要方向正确就一算到底；最后，必须树立数形结合意识，善于把握问题的特定信息，运用对称性、特殊性猜想定点、定值，然后证明，要仔细分析图中的点、线等关系，挖掘隐含条件，往往能取得出奇制胜的效果.2定值问题定值问题与最值问题属同一类问题，都是在一个运动变化过程中，由某个变量的变化引起另一个量的变化或不变的问题.此类问题的求解的一种思路是找准变化的主元，设为参数，建立参变量与其他量的关系(如函数关系、方程关系、不等式关系等)，探求目标式，通过代数运算将目标式用参变量
10、表示出来，这一步是求解的难点也是关键所在，然后再恒等变形得到定值.另一种思路是通过特殊值或极端情形探索出定值是多少，然后进行一般性计算或证明，探索出的定值也可以作为检验结果正确与否的试金石.例2已知椭圆c：t +W=l(a b 0)的离心率为:过左焦点尸且垂直于长轴的弦长为三.求椭圆C的标准方程;(H)点P(m,0)为 椭 圆 C 长轴上的一个动点，过 点P且斜率为；的 直 线/交 椭 圆 C 于 A,B 两点，求证:闷 卜+|P B|二为定值.思路探求1:(1)直接求出椭圆的基本量a,b,c,得到椭圆的标准方程；(2)动直线/的斜率为定值，横截距应是运动变化的主元，因此只需将田川二+表示成关
11、于，的函数即可，化筒即得定值.应先将直线的方程与椭圆的方程联立，由韦达定理得4 8两点坐标的关系，为表示|P 闺二+I P B H 做准备.解 法 1:椭圆的标准方程是立+仁=L25 16(立+广=1(H )设 A(xL.yJ,B(xz.y2),直 线 /的 方 程 为：y =：(戈 -m),联 立 “1 6 ,(y =J(x-m)=2 x2-2 m x +r n2-2 5 =0,所以xx+x：=m,x1x2=，1.(*)|P 用 2 +|P B 2 =(xt-m)2+光+(x,-m)s+=(/+x2)2 一 等(4 +小)xix2+协 R将(*)式带入得田用2 +PB2=4 1(定值).方法
12、点睛1:本题主要考查圆锥曲线与直线的联立、韦达定理等知识.求解的主要步骤：(I)确定主元m-.(2)联立直线方程与椭圆方程，由韦达定理得A,8两点坐标关系；(3)利用整体思想，由两点间距离公式求得|P 川二+|P B|二的表达式，化简即得定值.思路探求2:本题还可用直线的参数方程求解，用直线参数t的几何意义表示出|P 川二+PBZ.X =7 7 1 +I -5=4t解 法 2:设直线的参数方程为 “尔(t 为参数)，设 A,8分别对应匕上二，将直线的参数方程代椭圆方y=tJ E程得二产+舞t +-i=o,则|P 川 二 +|P B|：=片+兰=(G+t；：)。-2 t 也=4 1.41 5V4
13、1.5方法点睛2:利用直线的参数方程及参数的几何意义求解线段长度等问题非常有效，应根据题目条件合理选择解题方法.例 3已知点P(-L：)是椭圆E(+=l(a b 0)上一点，生,尼分别是椭圆E的左、右焦点，。是坐标原点，P F x轴.求椭圆E的方程；(I I)设 4,B是椭圆上两个动点，P A+P B =AP0(0 A。6 0）上任取一点P（尸不为长轴端点），连结夕 6、PF2,并延长与a b椭圆。分别交于点A、B 两点，已知A 4 P K 的周长为8,A F f%面积的最大值为、/L（1）求椭圆。的方程；（2）设坐标原点为0,当 P 不是椭圆的顶点时，直线。尸和直线A B 的斜率之积是否为定
14、值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由.【答案】（1）V V2 9+2_ =1：（2）是定值，值为一二.4 3 20【解析】（1）因为AAP&的周长为8,所以有2 4 4+尸耳+尸月+71鸟=8=4。=8=。=2设 口*0,%），因为耳尸工面积的最大值为外 所以 耳 巴 间 的最大值为外，由椭圆的范围，当|刃=人时，面积最大，因此彳i/?c=，而Jc?+Z?=a，因为2 b a b 0,所以a=2,b=，所以椭圆标2 2准方程为：土 +匕=1；4 3（2）当P 不是椭圆的顶点时,因此小。0,%。0,6（1,0）,玛（1,0）.直线尸耳的方程为：y=3（x+l）,与椭圆的方程联立，
15、得:%+1化，、（%+1）;%+1(x+i)L=3+3x2+4/=12x2+8，。,x+4)。，-1 2 =0.(%+1)(%+1)-y=“。.4一(1 5 4+2 4%)_ _ 5片+8%.乙=15+6x05%+8 二 -3 埼5+2x2玉)+5 *2x0+50同理直线户工的方程为：旷=；、（无一1），与椭圆的方程联立，得:y=/d)%o T3%2+4/=1 2=3+4V Qh-i)2JX24 4-12=0.丫 r _ 5片-8/_ 5/_ 8 _ 3%B 2 x 0-5 -2%-5%-2与-53/券.姑 8：力-”_ 1 2%_ _4一4 2 0片一8 0 5(年一4)，,AB-k()p
16、3%(片-45 x(一 泰；9而 为 定值.2.已知椭圆 C：3 x?+4 9=1 2.(1)求椭圆C的离心率;(2)设A,B分别为椭圆C的左右顶点，点P在椭圆C上，直线A P,B P分别与直线x =4相交于点M N.当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过x轴上的定点？试证明你的结论.【答案】(1)1 (2)以MN为直径的圆经过轴上的定点(1,0)和(7,0),证明见解析【解析】2 2(1)由3 f+4 y 2 =1 2得上 +匕-4 31,那么。2=4,k=3f i l r W c2=a2-b1=1解得a =2,c =l所以离心率e =，a 2(2)由题可知 A(2,0),8(2,0),设
17、P($,%)，则。：3 x；+=1 2%直线AP的方程：y(x+2)6 y0令x =4,得 加=一“0十乙，从而 点 坐标为(4,筌 工I /+2 j%+2直线 族 的 方程：y=-(x-2)入0一2令x =4,得 =2%-2/，从而N点 坐 标 为4,2 y oX。一 2,设 以 为 直 径 的 圆 经 过x轴上的定点。（40），则M Q N Q由M0NQ-而鼠百=0 由式得1 2火=3 6 9片=9（4一片）,代入得（4 =9解得菁=1或 网=7所以M N为直径的圆经过x轴上的定点（1,0）和（7,0）.2 23.已知椭圆C:一 +齐=i g0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2百.（1）求
18、椭圆。的标准方程;（2）设A,8是四条直线x =a,y=b所围成的两个顶点,P是椭圆C上的任意一点，若O P-mO A +n O B-求证：动点。（牡）在定圆上运动.2【答案】（1）工+2=1；（2）见解析.4 -【解析】2 a =2 x 2 b（1）由 已 知 得 2 =2外 经过点P（4,4）,过点Q（0,2）作直线/交E于A，8两点，2 4、PB分别4交直线x=-于M,N两点.（1）求E的方程和焦点坐标；（4、设。一？0,求证：为定值.【答案】（1）抛物线曰 V=4 x,焦点尸。,0）（2）证明见解析【解析】（1）.抛物线尸=2px经过点P（4,4）,/.42=8/2,；.=2,抛物线E
19、：V=4 x,焦点尸。,0）证明：（2）/过点。（0,2）且与抛物线交于两点，：.1的斜率存在且不为0.设/：x=m（y-2）,v x=m（、y i/n y9-4my+8m=0,y=4x由/0得-2m 0 即加 v 0或z 2,设A（，x），8（号 必），贝1%+必=4加，yy2=8m,U：-4=合卜4)红尸 4),4令工=_ _ 得 =312 玉一 16y+163（%一4）：.M4 12%-16%+163 a-4）,同理得N4 12%-16%+16、弓3（马 4）,1 1 1 3（x,-4）3（X2-4）169%+12&+X2）+16yy2 T 6（y+必）-12（3%+%2%）+169中2
20、 -4（%+z）+16其中玉Z=:犬X；必=4m2,4 4 1oX+W+%4）=47?2（m 1）,西必+赴乂=；乂%（乂+%）=8M,将以上3式代入上式得1636，+48”2（加一1）+128，一642 96/+1694”5-16根（m-1）+1616x（-12 r+16m+16）169（-12m2+16m+16）9 为定(m 2时，一12+16 2 +16工0)5.已知抛物线C:y2=2Px(0)上一点P(面,T)到焦点F的距离归用=2x0.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线/与抛物C交于A,B两 点(A,B 异于点P),且须0+&/1=-2,试判断直线/是否过定点？若过定点，求出该定点
21、的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】(1)y2=8 x；(2)过定点(-2,0)【解析】(1)由题可得:16=2px（）附=%+勺2%解得%（）=2,p 4,抛物线的方程为y2=8x.（2）设直线/的方程为x=y+，A（x1,x）,3（孙%）y2 _弘联立0,x =m y +、,%+%=8帆，yy2=-8n,k 二+4二%+4二 8&x=2 2L_2 m一4，同 理 82又 3P+凝2=2,y%16=。，.=2,直线/的方程为：x =my-21过定点(一2,0).6.已知椭圆C：0 +专 =l(a 80)的左右顶点分别为4，4 2,左右焦点为分别为耳，K，焦距为2,离心率为2(I)求椭圆。
22、的标准方程；(I I)若P为椭圆上一动点，直线4过点4且与X轴垂直，M为直线A2P与4的交点，N为直线4 P与直线加入的交点，求证：点N在一个定圆上.%2 V2【答案】(I)+-=1;(I I)证明见解析.4 3【解析】(1)2c=2,e=；a =2,b =V32 2.c的方程 为 工+二=14 3（2）设点N（x,y）,P（X,yJ（2 玉 2）4 即 答r-34：x =-2,直线4P的方程:丁 =式（*一2）X j-Z/A:.M-2,-0）,由题意可得，Ca2滔a212-+也21?a2=4得解22-因此，椭圆。的标准方程为+上=1;4 2（2）当直线/的斜率不存在时，直 线 的 方 程 为
23、x =l或x =l.x=卜=1若直线/的方程为x =l,联立，/2,可得1 r,1 4 2 I 2此时，|M N|=6，四边形OMDN的面积 为:x nx 2 =指，同理，当直线/的方程为x =-1时，可求得四边形OMDN的面积也为J J；当直线/的斜率存在时，设直线/方程是丫 =丘+?，2 2代人 到 土+匕=1,4 2得(l+2 Z2)x 2+4 k nr +2 *4 =0,%+x2清叱筌9小（2一 叫 。,=%(芯+)+2机=|7I MN=J l+卜-|x,-X2|=J l+4 2 .J(X +)2 -4%无2 =J l+卜 X2应 小 H +2-m11 +2/m点O 到直线M N 的距
24、离d=/yjl+k2由 O M+O C =。，得。=玉+工2=4km2公+12m1 +2公(-Akm)(Im Y点O在椭圆。上，所以有J tl+2 F J4 +2-整理得1 +2左2 =2？，由题意知，四边形O M ZW为平行四边形,平行四边形O M D N 的面积为%山=2%2 x g|MN|x八x迈塔4x号也 叫8心+4-2叫,2（2 女 2+1）弘2+4一（2 +1）V 6.（2 P+1）正-1 +2氏2 -2公+1 2公+1 -6故四边形O WDN的面积是定值，其定值为 .8.2 2已知椭圆。:5+5a2 b21的右焦点为（1,0）,且经过点A（0,l）.（I ）求椭圆C的方程；（I
25、I）设。为原点，直线/：丁 =履+。1）与椭圆c交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线A Q与x轴交于点N,若1 0 M 7 O M=2,求证：直线/经过定点.2【答案】（I ）y +/=l ；（I I ）见解析.【解析】1 2（I）因为椭圆的右焦点为（1,0）,所以一；2 5因为椭圆经过点A（0,l）,所以人=1,所以=+。2=2,故椭圆的方程为与+丁=1.（1 1）设 P（X|，M）,Q（X 2，2）X2 2联立（2+y 得（1 +2/）尤2+45；+2产一2 =0,y =去 +/。1）八 4 kt 2/2 (2/0,%+%2 =T 7 T，2=7-T 7 T ,y +%=%(
26、%+%)+2/=T 7 T 1 /K 1十N K A 乙Kyty2=k2xtx2+kt(x+x2)+z2t2-2 k2+2k2*,V l 1 -X,直线 A P:y-l=2 x,令 丁 =0得了=、苞 J i-1,即|OM|=Y _1同理可得|。叫一 y 2 T因为QM|ON|=2,所以中2x-i y 2 T 乂%一(到+%)+1=2 ；t2-r-2 t+9.椭圆C：=1.解之得，=0,所以直线方程为丫=丘，所以直线/恒过定点（0,0）.1+V=1 （a h 0）的左、右焦点分别为耳,工，M在椭圆上，A M 4鸟的周长为2石+4,面积的最大值为2.（1）求椭圆。的方程;（2）直线y =H（左
27、0）与椭圆。交于A,8,连接A%,并延长交椭圆。于连接O E,探索A 8与O E的斜率之比是否为定值并说明理由.【解析】(I)FlF2+MFi+MF2=2a+2c=245+4,S.2 c z =b c =2得a=V F,c=2,b=I,r2所以椭圆c的方程为：+y2=i.5-（）设A则8（-%一%）.x0 2直线 AD：.=y+2,%2r代入 C：二+丁=1 得（x0-2）2+5y02 y2+4（x0-2）y0y-y02=0,5 L 因为百-+稣2 =1,代入化简得（9一4%）丁+4伍-2）%y%2=。,设。（X，X），（&，）,则 先 弘:丁3-，9 一4%yn xn 2所以一/+2,9一4
28、%直线+yyn xn+2.同理可得%=马，y+22.9+4%k=%一%=一=弘一%=I所以 D E%|-x2-2.%+2 乃 。（y%）2%+%而 2 y +%为 2%J 2 yo 丫。%1一%=-z：=9?%=k%2 4x0%，%y0 9所以即：k=9.1 0.已知直线/:x=2,点R（2,0）,M是直线/上的动点，过点M作直线线段ME的垂直平分线交/于点P，记点P运动的轨迹为E.（1）求后的方程;（2）已知AeE,且点。满足A E =2 E D，经过。的直线交后于民C两点，且。为的中点，证明:|A F|+|M|+|CF|为定值.【答案】（1）/=8x；（2）定 值1 2,见解析【解析】（1
29、）设P（x,y）,则M（2,y）,因为点P在线段M R的垂直平分线上，则|P M|=|P F|.则 J（x +2 y+（y-4=7（x-2）2+（y-O）2，化简得/=8 x.所以E的方程为V=8 x.（2）设4（%,乂），8（工2，%），。（工3，%），。（为,），则 4尸=（2-%,一）,尸。=（%一2,%）,因为A E =2 F，所以（2一看,一,）=（2占 _4,2%）,可得与 二 与 ,乂。为3c的中点，所以尤0 =/；/，则玉+毛+七=6.因为 A,B,C 在抛物线 E上，以刁=玉+2,|BF =X2+2,|C F|=x3+2 .所以|A F|+1B F|+1 CF =x+X2+X
30、3+6=12.1 1.已知抛物线C；y 2=2 px过点A（l,l）.（1）求抛物线C的方程；（2）过点P（3,1）的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点（均与点A不重合），设直线AM,A N的斜率分别为勺，k2,求 证:占 内为定值.【答案】（1）V=x.（2）见解析.【解析】(1)由题意得2=1,所以抛物线方程为V=x.(2)设N(x2,y2),直线M N 的方程为x=f(y+l)+3 ,代入抛物线方程得y2-t y-t-3=0.所以A=a+2 y+8 0,凹+%=/，)1%=一 一3.所以匕心，=A z l.A z l=Az l.S=_!_=_!_=_1-=_!Xj-1 x2-1 y(2
31、-1 y；T (y+l)()2 +l)必+%+必+1 -t-3+t+l 2所以公，&是 定值.2 212.设椭圆C:+芯=l(abO)的左、右焦点分别为耳，鸟，左项点为A上顶点为8.已知网=昌尸闻.(1)求椭圆的离心率；(2)设P为椭圆C上在第一象限内一点，射线尸。与椭圆C的另一个公共点为。，满足QP=mA8,直线8。交x轴于点，AABO的面积为2 J L求椭圆。的方程.5)过 点(-g,0)作不与 轴垂直的直线/交椭圆。于M,N (异于点A)两点，试判断NM4N的大小是否为定值，并说明理由.【答案】(1)；(2)(/)+/=1 5)NM4N=90是定值，证明见解析.2 4【解析】(1)A(-
32、a,0),8(0,8)，则同 叫=&2+6因 为|明=半|6月，所以/，+万=叵2o 4 ,解得/=-c2,3所以e =旦a2 2（2）由（1）/=g c?得=（。2 一 匕2）,即。=2,设椭圆的标准方程为由题意设 P（X o，%）（X o ，乂）0），所以。（一/，一%），A B =（2 b,b）,QP=（2 x 0,2 y0）由Q P =mA B,易知加 0,仅/=2皿 =/所以。,得 m b .2%=9 先=亏m2 b 2 m 2 b 2代入椭圆方程得华-+半-=b4b2 4b2所以m=J5（历八,V 2 Z?所以0-圆一-直线座二B x +人I）O b令y =0得项,=_ 2（&-1
33、）8所以|AD|=（4 -20,所以5%加=：（4 20）人 力=2 -VL解得=1,2所以椭圆。的方程为土-+丁=14 -（/）显然点（一 号,0 ）在椭圆。内部，直线/的斜率存在口不为0 .设直线/的方程为：彳=。-1联立方程一 62X 2 1+V=114 化简得卜 2+4)y 2 _ q)_|=o,-64（/+i）2 5 1+4）设”(3,%),%(%,%)，64则=乔可加-双E又 4(2,0),则 A M=(玉+2,y),AN=(x2+2,y2AM-AN=(%+2)(X2+2)+yty2=(r+i)x%+(y+%)+|4 8 r 1 6 八 7-r +-=02 5(户+4)2 5所以N
34、 M 4 N =9 0 是定值.41 3.在平面直角坐标系xOy中，曲线C上的点S(x,y)到点M(G,0)的距离与它到直线x =耳的距离之比 为 且，圆。的方程为/+y 2=4,曲线C与X轴的正半轴的交点为A,过原点。且异于坐标轴的直线2与曲线C交于B,C两点，直线AB与圆。的另一交点为P,直线P D与圆O的另一交点为Q,其中。l-l，。)，设直线A8,4 c的斜率分别为匕，上2；(1)求曲线C的方程，并证明5(乂回到点的距离(/2-6,2 +6；(2)求女他的值;(3)记直线P Q,B C的斜率分别为即、kBC,是否存在常数4,使得P Q=：8 c?若存在，求4的值,若不存在，说明理由.r
35、2 1 5【答案】(1)+y2=l.证明见解析；(2)k】h=；(3)存在；2=；4 4 2【解析】(1)曲线C上的点S(x,y)到点M(73,0)的距离与它到直线 =丧的距离之比为 日，(%一百+(y_o)-73所以可得-=T -2整理得曲线C的方程为：+y2=l,4而M(6,0)是椭 圆!+2=i的右焦点，s是椭圆上的点，所以S(x,y)到点M的距离d w 2-G,2+6 .(2)设8(x(),%),则。(-x。,-%),所 以 宜+为2 =1,4 2所以他=;-7=/2 X。+2 XQ-4iW _ iV-4 =4(3)联立y=K（x-2）J +y 2 =4,得到（1 +42b2 442+
36、4（4 2 _1）=0,4k 2-4所以为/=；2 其中乙=2,I I A v 所 以 外=7 7 ，“=仁(七一2)=1 I v 一4匕1 +V 联立Z0)的左、右焦点分别为F”F z,离心率为一，A为椭圆C上一点，且ABa2 b2 2 FIF2,且|AF2|=3.2(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆C的左、右顶点为4,4,过A i,4分别作x轴的垂线/i,1 1,椭圆C的一条切线/:产+,(厚0)与 小/2交于M,N两点，试探究N4是否为定值，并说明理由.2 2【答案】(1)L +匕=1(2)是，理由见解析4 3【解析】c 1 1(1)设椭圆的焦距为2 c,根据题意一=一,。=一4,a 2
37、 2A为椭圆C上 一 点,且4 F 2 _ L FIF2,点A的横坐标为c，将x=c代入椭圆可得了 =贮,aq a2 a 3 且依乃|=_ =,b?=a,所以Q-=夕+/=_ Hc r2 a 2 2 4解得4=2,b=6 椭圆的方程为：土 +匕=1；4 3(2)由题设知h:x=-2,h:x=2,直线/:产履+/n,kx-y+m =O联立|冗2 y 2 ,消去y,R+T=1得(4储+3卜？+8如a+4(-3)=0 ,二 6 4女2 M 2 1 6(加2 _ 3)(4左2 +3)=1 6(1 2 6-3 m2+9)=0故 m2=4左2 +3,/与 h,&联立得 M(-2,-2&+M，M 2,2 k
38、+m)f 又尸2(1,0),所以 M居 N K=(3,2 k-/)(-1,-2 k-m)=-3 -(2 k-m)(2 k+m)=-3 -4k2+m2=0,故MF?.NF 2为定值.1 5.已知点M(0,0),P是圆N:(x +b)2 +y 2=1 6上的一个动点，N为圆心，线段PM的垂直平分线与直线PN的交点为Q.(1)求点。的轨迹。的方程；(2)设C与V轴的正半轴交于点。，直线/：丁 =米+机 与。交于AB两点(/不经过。点)，且证明：直线/经过定点，并写出该定点的坐标.V.23【答案】(1)二+2=1；(2)直线/经过定点(0,一 一).4 5【解析】(1)圆N的圆心N卜 石,0),半径r
39、=4，由垂直平分线性质知：|朗=|QN|,QM+QN=QM+QF =r=4 MN,由椭圆定义知，点Q的轨迹。是以M、N为焦点的椭圆,设c：0 +与=l(abO)，焦距为2 c,a b则 2。=4，a =2 c =/3 b =y/a2 c2=1 1所以。的方程为工+y 2=i.4 -y=kx +m(2)由已知得。(0,1),由()时，设A(x，y J,8口（9,%），+Z=-+8 k4m7 =Am+-4-左 24 yi+y2=k(xi+x2)+2 m=j工，必%=(依i+?)(如 +加)=:1十 1十由 AD,50得。A-0 8 =百W+(X -1)(%一=，即 5；左-3=0，3所以5 n 2
40、 2 -2 m-3 =0，解得根=1或2 =,当根=1时，直线/经过点。，不符合题意，舍去.当机=|时，显然有 (),直线/经过定点(0,一1 6.已知动点P到定直线/：x =T的距离比到定点尸(2,0)的距离大2.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)在x轴正半轴上，是否存在某个确定的点”，过该点的动直线/与曲线。交于A，8两点，使得11-7万+E 万 为定值如果存在，求出点M坐标；如果不存在，请说明理由|A M|B M 【答案】(1)y2=8 x (2)/(4,0)【解析】(1)设点P的坐标为(x,y),因为动点尸到定直线/：x =T的距离比到定点尸(2,0)的距离大2,所以x -4且4%2
41、）+/=|龙+4卜2，化简得y 2=8 x,所以轨迹。的方程为V=8x.（2）假设存在满足条件的点M（z,O）（加0）,直线/：xty+m,x=ty+m,i有2 c y-8(y-8m=0,y=8x,设 B(X2,2),有 x+%=8r,yty2=-8m,I AM=(苞一相+短=,2+)y2,|B M|2=一2 +y2=(/+。,1 1 =1 1 _ 1 +j22 _ 1 4t2+mB M C (r2+l)y,2=F T?上十=F T?11据题意即卡丽为定值则于是m+4f2 =4Am2+4力n2f,则有1 4厂+机.-=A，厂+1 4mm=42m2,解得加=4,Am2=1,故当m=4时,1AM|
42、2+品为 定 值 看 所以（何2 2fT1 7.已知椭圆毛+4 =1 （。00）的焦距为2,离 心 率 为 卫，右顶点为A.a2 b2 2（I）求该椭圆的方程；（H）过点。（夜，-夜）作直线P。交椭圆于两个不同点P、。，求证：直线AP,AQ的斜率之和为定值.【答案】（1）y +y2=l.（II）见解析.【解析】（I）由题意可知2c=2,故c=l,c又6=一，a a ，Z?=1,2；.椭圆方程为5+丁=1.（11）由题意得，当直线P。的斜率不存在时，不符合题意;当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为丁 +应=1-0),y =k x-4 2 k-4 2.y=k x-0k -/2由“2 2 消去
43、y整理得(1+2左2卜2-4夜(2 +女 卜+4公+8左+2=0,.直线与椭圆交于两点，A=4(84+1)0,解得人 0),直线y=kx +2与E交 于A,8两点，且OAOB=2，其中0为原点.(1)求抛物线E的方程；(2)点 C坐 标 为(0,-2),记 直 线C A,的 斜 率 分 别 为k、,k2,证明：勺2+右 2 2%2为定值.【答案】(1)x2=y；(2)证明过程详见解析.【解析】(I)将丁=区 +2代入x1=2p y,得%2-2p kx-4/2=0.2 分其中 A=4p2+i6p0设 A(XI,y),B(x2,y2),则x+x2=2 p k,x1x2=-47?.4 分O A*O
44、B =xtx2+y y,=-4 p +4 .2 p 2 p由己知，一4 +4 =2,p =g.所以抛物线E的方程f=y.6分(I I)由(I )知，x+x2=k ,xtx2=-2.,y,+2 x2+2 x2+x x,Z：1=-.=!-=%)-X2,同理4 2=*2-%1，0 分X,X,玉所以 k+k，2 2 k”2(%|12(X|+)一 =8/%2 =1 6.1 2 分1 9.已知(G,o)为椭圆C：0 +=1(方0)的一个焦点，且点(6,g)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)若点尸(?，0)为椭圆C的长轴上一动点，过P且斜率为L的直线/交椭圆C于A,B两点，求证|P2A F+|P即 为
45、 定值.【答案】(1)土-+)2 =1；(2)证明见解析.4【解析】3 1(1)由题意：c=5/3 -y =1 /=/?2+0 2,解得：a =2,b =,a-4h2故椭圆C的方程为：三+y 2=1：4 -1,(2)证明：设直线/的方程：y-(x-m),与椭圆联 立 二+y 2=1，消士x整理得：2 48/+4 m j+m2-4 =0,yA+yB=-,yAyB=-2 o如图：过A作A 4 _ L x轴交x轴于点4,过8作轴交x轴于点用,I PA 1=河=V =&M，|P B 1=罩=肉 VB|s i n N A P 4 1 s i n Z B P B,1 h s|1垂）旧所以：|P A|2+|
46、P B=5（y；+只）=5 （力+兀 2力 =5 =5,所以|P A F+|P 8|2为定值.丫2 22 0.已知椭圆：不+%*=1（。人0）的左、右顶点分别为C、D,且过点（加,1）,P是椭圆上异于C、。的任意一点，直线P C,尸。的斜率之积为-！.2（1）求椭圆的方程;（2）0为坐标原点，设直线C P交定直线=?于点M,当机为何值时,UUU UUUOP OM为定值.%2 V2【答案】（1）+-=1（2）m=24 2【解析】2 1（1）椭圆r 1过点（、反,1）,+记=1,又因为直线PC,PD的斜率之积为-1，故-2 x-ayx-a1=92 x2-a212又=+5 =1 =X2 6 Z2=一
47、 b2 2 2yb x=-b-.BnPn -h=-1,a a 2联立得a=2,b=6 .；.所求的椭圆方程为三+匕=1 .4 2(2)方 法1：由(1)知，C为(-2,0).由题意可设C N:y=Z(x+2),令 x=，,得 知。”,左(相 +2).乂设 P(无i，y)1 1 1-2?工+工=14 2y=%(3+2)整理得：(1+2公)/+8&2%+8%2-4=0.8产一4.2-4 k21 +2二，/八、4攵,y i=+2)=-所以P(2-4公+2k2二 那 般 2-4公 4k 2?+8公 衅+2。0P-0M =m-+k(m+2)-=-=-1 +2-1 +2廿 1 +2-1 +2公UUU UU
48、U m UUU UUL1要使0 P 0 M与k无关,只需5 =1,此时O p.Q M恒等于4.:m=2方法2：设a/，为)，则C M-y=%(x+2),令E得小笔2),%+2二 O黑P-O那M=/(x、/%(利+2)、y02(m+2)0,y0)-(m,)=mx+-zVzi I人I由午+4=i有%2=2(i予)=Q y,所 以 漂 朗=呻+(2)(2 7。)-2凡+22 2UUU UUU m要使O P-OM与X。无关，只须万=1,此时OP.QW=4；2=22 1.已知抛物线C：f =2py(0)经过点P(2,l),过点。(1,0)的直线/与抛物线。有两个不同的交点A,B,且直线Q4交x轴于点用，
49、直线P 3交x轴于点N.(1)求直线/的斜率的取值范围；U U U U U U L L U.1 U I U U IU 1 1(2)设。为原点，QM=AQO,QN=/.iQO.求证：丁+一 为定值./I L I【答案】（1）（2）求证见解析【解析】（1）由已知2 2=2”，=2,.抛物线的方程为丁=4，设宜线/的方程为丁 =乙一女，代入抛物线方程得尤2=4（日 Q,即 4 +4%=0.由于有两个交点，则 =（一4 2）2 4 x 4左0，即4 1或k 0）的离心率6 =卫，且椭圆过点（0,1）.a-b-2（1）求楠圆。的标准方程；（2）设直线/与。交于M,N两点，点。在。上，。是坐标原点，若0+
50、6 =0。，判断四边形。何 加的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【答案】工+上=1见解析4 2【解析】（1）因为椭圆C的离心率6 =受,2所以“J 一人二 也,即=3 2.。上，所以-7 +y=L/=2 b2由 2 1 ,a2=4所以椭圆C的标准方程为工+匕=1.4 2(2)当直线/的斜率不存在时，直线M N的方程为x =1或x =1,此时四边形O M DN的面积为戈.当直线I的斜率存在时，设宜线I的方程是y=k x+m,y=kx-m联立方程组“2 y 2 _|1 十 万一消去 V,得（1 +22）%2+4/7 n x+2 7/-4 =0 ,=8（4 k 2+2根