《2024高考数学专项练习运用辅助元法巧解数学题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024高考数学专项练习运用辅助元法巧解数学题含答案.pdf（8页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2024高考数学专项练习运用辅助元法巧解数学题2024高考数学专项练习运用辅助元法巧解数学题在解题过程中，通过引人一个或几个新变量来代替原式中某些量或式以实现变量替换，从而使问题得以解决，这种解题方法叫作换元法，又称辅助元法，辅助元法的理论根据是等量代换.辅助元法可以把分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变换为熟悉的形式，把繁难的计算和推理论证简化，从而达到化难为易、化繁为简、化未知为已知的目的，有利于问题的解决.换元中一定要注意新元的约束条件和整体置换策略的运用，适时补充条件以符合原未知数取值范围的要求.辅助元法的基本步骤如下：(1)把原问题中某个式子
2、或某几个式子分别看成一个整体；(2)引人新元代替这些式子，使以新元为基础的问题较为简洁易解；(3)对以新元为基础的问题进行解答，得出结果；(4)再代回原来的式子中求出原变量的结果.合理运用辅助元法【分析】，可以使解题能力更上一个台阶.典型例题典型例题1 1(1)解方程：x-5x-5-5x=x；(2)解方程：5x2-6x+1+5x2+9x-2=5x-1；(3)解方程：3(8-x)2+3(27+x)2=3(8-x)(27+x)+7.12 2(1)解方程：249x2-914x2+74x2=0；(2)已知函数 f(x)=x2+ax+1x2+ax+b(x0,xR)，若实数a,b使得 f(x)=0有实根，
3、求a2+b2的最小值；(3)方程ax2-4ax+1=0(a0)的两个正数解m,n满足 lgm-lgn1，求a的取值范围.3 3(1)解不等式：2x+5 x+1；(2)解不等式：x2-x+x2-x-1 b0，为锐角，求证：acos-btana2+b2.24 4(1)求函数y=x2+9+x2-8x+17 的最小值；(2)设a0，求 f(x)=2a(sinx+cosx)-sinxcosx-2a2的最大值和最小值；(3)已知0，证明：2sin2cot2，并讨论为何值时等号成立.3运用辅助元法巧解数学题运用辅助元法巧解数学题在解题过程中，通过引人一个或几个新变量来代替原式中某些量或式以实现变量替换，从而
4、使问题得以解决，这种解题方法叫作换元法，又称辅助元法，辅助元法的理论根据是等量代换.辅助元法可以把分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变换为熟悉的形式，把繁难的计算和推理论证简化，从而达到化难为易、化繁为简、化未知为已知的目的，有利于问题的解决.换元中一定要注意新元的约束条件和整体置换策略的运用，适时补充条件以符合原未知数取值范围的要求.辅助元法的基本步骤如下：(1)把原问题中某个式子或某几个式子分别看成一个整体；(2)引人新元代替这些式子，使以新元为基础的问题较为简洁易解；(3)对以新元为基础的问题进行解答，得出结果；(4)再代回原来的式子中求出原变量
5、的结果.合理运用辅助元法【分析】，可以使解题能力更上一个台阶.典型例题典型例题1 1(1)解方程：x-5x-5-5x=x；(2)解方程：5x2-6x+1+5x2+9x-2=5x-1；(3)解方程：3(8-x)2+3(27+x)2=3(8-x)(27+x)+7.【分析】通过换元化无理为有理，思考的方法是对的，但上述方程中无理式不止一个，关键要认清这些无理式之间的关系，即通过运算或变形有可能得到什么结果，第(1)问可采用平均代换，第(2)(3)问可引进两个新元，寻求两个新元之间的联系.【解析】(1)令x-5x=12+t，则-5-5x=12-t.由上述两式平方之差，有x-5=2xt，即t=121-5
6、x.于是x-5x=x2+121-5x，即x-5x-12=0.从而x-5x=1，即x2-x-5=0，解得x=1212经检验，x=1-212是原方程的解.(2)设5x2-6x+1=u,5x2+9x-2=v，于是有方程组；1u+v=5x-1u2-v2=-3(5x-1)当5x-10，得：u-v=-3 由和解得：u=12(5x-4)，5x2-6x+1=12(5x-4).解这个方程得：x1=2,x2=65.当5x-1=0时，x=15适合原方程.所以原方程的解是x1=2,x2=65,x3=15.(3)注意到三次根式38-x 与327+x 的立方和为常数.故可设u=38-x,v=327+x，则u3+v3=35
7、.又由原方程得u2+v2=uv+7，即u2-uv+v2=7.从而u+v=u3+v3u2-uv+v2=357=5，uv=13(u+v)2-u2-uv+v2=13 52-7=6.于是u,v是方程y2-5y+6=0的两个根，解得y1=2,y2=3.当u=2,v=3时，x1=0；当u=3,v=2时，x2=-19.经检验，x1=0,x2=-19都适合原方程，所以原方程的解是x1=0,x2=-19.2 2(1)解方程：249x2-914x2+74x2=0；(2)已知函数 f(x)=x2+ax+1x2+ax+b(x0,xR)，若实数a,b使得 f(x)=0有实根，求a2+b2的最小值；(3)方程ax2-4a
8、x+1=0(a0)的两个正数解m,n满足 lgm-lgn1，求a的取值范围.【分析】第(1)问是解指数方程，由于底数不相同，无法化为同底，故需设两个新元，再通过分解因式得两个新元之间的关系再解之.第(2)问，函数解析式中含有x+1x和x2+1x2，令x+1x=t.通过局部换元、整体处理使原问题转化为关于t的二次函数.又由于t有范围限制，可采用变更主元，即以a,b为主元，得到直线方程，转化为点到直线的距离问题，解题中出现t2+1的形式，又一次局部换元(中途换元在变换过程中才能发现)，在多次换元过程中，新元的范围确定非常重要.第(3)问，方程ax2-4ax+1=0(a0)有正根m,n，用韦达定理使
9、m+n,mn用a表示，将超越式 lgm-lgn1变更为关于m+n,mn的代数不等式，并把m+n,mn用a表示的式子代入，即可得关于a的不等式，即可求出a的取值范围，整体代换在解题过程中发挥重要要作用.【解析】(1)原方程变形为2(7x2)2-97x22x2+7(2x2)2=0.设 y=7x2,z=2x2，则有2y2-9yz+7z2=0，分解方程左边，则有(y-z)(2y-7z)=0.所以y=z或2y=7z，即7x2=2x2或27x2=72x2.由7x2=2x2，可得72x2=1，解得x=0.2由27x2=72x2，可得72x2=72，解得x=1.经检验，x=0,x=1均为原方程的解.(2)由
10、f(x)=x2+ax+1x2+ax+b可得f(x)=x2+1x2+a x+1x+b=x+1x2+a x+1x+b-2.令x+1x=t，则原问题转化为方程t2+at+b-2=0根的讨论.若将a,b如视作主元，t为参数，则方程变为ta+b+t2-2=0.P(a,b)为直线l:ta+b+t2-2=0上一点，则 OP2=a2+b2.设原点到直线l的距离为d.则a2+b2d2=(t2-2)2t2+1=(t2+1)+9t2+1-6.再令u=t2+1，则u=x+1x2+15(当且仅当x=1x时取等号).由于y=u+9u-6在5,+)上单调递增，故当u=5时，函数y=u+9u-6取最小值5+95-6=45，即
11、a2+b2的最小值为45.(3)因为xR,a0，所以=16a2-4a0，故a0，从而可得a14 又由已知|lgm-lgn|1，得-1lgm-lgn1，即lgn-1lgm1+lgn从而有lgn10lgmlg(10n)n10m10n，故m-n100,m-10n0，所以m-n10(m-10n)0，即m2+n2-10+110mn0由此可得(m+n)2-12110mn0.又因为m+n=4,mn=1a0，所以16-121101ax+1；(2)解不等式：x2-x+x2-x-1 b0，为锐角，求证：acos-btana2+b2.【分析】本例第(1)(2)两问是解无理不等式，一般将其转化为有理不等式组.若运用换
12、元法，即抓住无理式结构，用一个变量进行代换，则立即转化为有理不等式，解之就不难了，当然在解答时，对于新元的取值范围应予以重视.第(3)问是三角不等式证明.可采用整体换提元，即令 k=acos-btan，通过寻找3问题中隐含的几何意义转化为解析几何知识证明是个“好念头.”【解析】(1)令2x+5=t(t0)，则x=12t2-5，于是，原不等式可化为t12t2-5+1.即t2-2t-30，解得-1t3，且 t0，即 02x+5 3.由此解得原不等式解集为-52,2.(2)令x2-x-1=t，则x2-x=t2+1(t0).于是原不等式可化为 t2+t-20.解得-2t1，且t0，即0 x2-x-1
13、1，变形为x2-x-11,x2-x-10.解得1+52x2或-1x1-52.由此得原不等式的解集为1+52,2 -1,1-52.(3)证明：令 k=acos-btan=a-bsincos=a-bsin0-(-cos)，则k可看成是过A(0,a),B(-cos,bsin)两点的直线的斜率，而动点B的轨迹方程为x2+y2b2=1(x0).当直线AB与曲线 x2+y2b2=1(x0)相切时，k有最小值，设过定点A且与椭圆x2+y2b2=1相切的直线方程为y=kx+a，代人椭圆方程，得k2+b2x2+2kax+a2-b2=0.令=0，得k2=a2-b2,ab0且k0,a2-b20，于是 k=a2-b2
14、,kk=a2-b2,acos-btana2-b2.4 4(1)求函数y=x2+9+x2-8x+17 的最小值；(2)设a0，求 f(x)=2a(sinx+cosx)-sinxcosx-2a2的最大值和最小值；(3)已知00)时取等号，此时k=3，即x=3(4-x),x=3.故y=x2+9+x2-8x+17 的最小值是4 2.(2)设sinx+cosx=t，则t=2sin x+4-2,2,sinxcosx=t2-12，从而 f(x)=g(t)=-12(t-2a)2+12(a0),t-2,2.t=-2 时取最小值：-2a2-2 2a-12;当2a2 时，t=2 时取最大值：-2a2+2 2a-12；当02a2 时，t=2a 时取最大值：12.f(x)的最小值为-2a2-2 2a-12;最大值为120a22,-2a2+2 2a-12a22.(3)证明：令tan2=t，则由020，由万能公式，原不等式可化为42t1+t21-t21+t21t.用t 1+t22乘上面不等式两端，问题变为证明8t21-t2 1+t22，展开化简，得-9t4+6t2-10，即-3t2-120.由于以上每步可逆，故原不等式成立.等号当且仅当t2=13即tan2=33，即=3时成立.故当=3时，原不等式中等号成立.5