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1、初中精品资料 欢迎下载 直角三角形 01 各个击破 命题点 1 直角三角形的性质【例 1】如图，在ABC中，BF，CE分别是 AC，AB两边上的高，D为 BC中点，试说明DEF是等腰三角形【思路点拨】D为 BC中点，又BEC和BFC是直角三角形，故可利用直角三角形斜边中线的性质得 DE DF 12BC.【解答】【方法归纳】由直角三角形斜边中线的性质可得到边之间的关系 1(北京中考)如图，公路 AC，BC互相垂直，公路 AB的中点 M与点 C被湖隔开若测得 AM的长为 1.2 km，则 M，C两点间的距离为（）A0.5 km B0.6 km C0.9 km D1.2 km 2在ABC中，AB A
2、C，A120，AB的垂直平分线交 BC于点 D，交 AB于点 E.如果 DE 1，求 BC的长 命题点 2 直角三角形的判定【例 2】如图，已知 ABCD，PA，PC分别平分BAC和ACD.试判断APC 的形状，并说明理由【思路点拨】由 ABCD 可得BACACD180.又由 PA，PC两条平分线，可证明1290，从而得到APC的形状【解答】初中精品资料 欢迎下载 【方法归纳】由角来判断一个三角形是直角三角形，只要说明这个三角形中有一个直角或有两个角互余即可 3一个三角形的三个角的角度之比是 336，则这个三角形是_ 4已知：如图，在ABC中，AD BC，1B.求证：ABC是直角三角形 命题点
3、 3 勾股定理及逆定理【例 3】如图，四边形 ABCD，AB AD 2，BC 3，CD 1，A90，求ADC的度数【思路点拨】首先在 RtBAD中，利用勾股定理求出 BD的长，而由题意可知，ABD为等腰直角三角形，则ADB45，再根据勾股定理逆定理，证明BCD是直角三角形，即可求出答案【解答】【方法归纳】当不能直接求一个角的度数时，可通过作辅助线，求几个角的和或差 5已知三组数据：2，3，4；3，4，5；1，3，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（）A B C D 6如图，已知ABC，ACB 90，AB 5 cm.BC3 cm，CD AB于点 D，求 CD的长 命
4、题点 4 直角三角形全等的判定【例 4】如图，已知 ABBD，CD BD，AD CB，求证：ADBC.【思路点拨】要证 ADBC，可证ADBCBD，这由RtADB RtCBD(HL)可以得到【解答】是等腰三角形思路点拨为中点又和是直角三角形故可利用直角三角形斜边中线的性质得解答方法归纳由直角三角形斜边中线的性质可得到边之间的关系北京中考如图公路互相垂直公路的中点与点被湖隔开若测得的长为则两点间的距说明理由思路点拨由可得又由两条平分线可证明从而得到的形状解答初中精品资料欢迎下载方法归纳由角来判断一个三角形是直角三角形只要说明这个三角形中有一个直角或有两个角互余即可一个三角形的三个角的角度之比是则
5、这用勾股定理求出的长而由题意可知为等腰直角三角形则再根据勾股定理逆定理证明是直角三角形即可求出答案解答方法归纳当不能直接求一个角的度数时可通过作辅助线求几个角的和或差已知三组数据分别以每组数据中的三个数为初中精品资料 欢迎下载【方法归纳】用 HL证明三角形全等时，需指明直角三角形 7如图，在四边形 ABCD 中，CB CD，ABC ADC 90，BAC 35，则BCD的度数为（）A145 B130 C110 D70 8如图：AB AD，ABC ADC 90，EF过点 C，BE EF于 E，DF EF于 F，BE DF.求证：RtBCE RtDCF.命题点 5 角平分线的性质与判定【例 5】如图
6、，在ABC中，B的平分线与C的外角的平分线交于 P点，PD AC于 D，PH BA于 H，求证：AP平分HAD.【思路点拨】过P 作 PFBE于 F，根据角平分线的性质可得 PH PF，PFPD，有 PD PH，再根据角平分线的判定可得结论【解答】【方法归纳】此题主要考查角平分线定理及逆定理；准确作出辅助线是解答本题的关键，解决与角平分线有关的问题常常用到作垂线之类的辅助线 9如图，OC是AOB的平分线，P是 OC上一点，PD OA于点 D，PEOB于点 E，若点 Q是 OC上与点 O，P不重合的另一点，则以下结论中，不一定成立的是（）APD PE BOC DE且 OC平分 DE CQO平分D
7、QE DDEQ是等边三角形 10如图，ABC 60，点 D在 AC上，BD 16，DE BC，DF AB，且 DE DF，求：(1)CBD 的度数；是等腰三角形思路点拨为中点又和是直角三角形故可利用直角三角形斜边中线的性质得解答方法归纳由直角三角形斜边中线的性质可得到边之间的关系北京中考如图公路互相垂直公路的中点与点被湖隔开若测得的长为则两点间的距说明理由思路点拨由可得又由两条平分线可证明从而得到的形状解答初中精品资料欢迎下载方法归纳由角来判断一个三角形是直角三角形只要说明这个三角形中有一个直角或有两个角互余即可一个三角形的三个角的角度之比是则这用勾股定理求出的长而由题意可知为等腰直角三角形则
8、再根据勾股定理逆定理证明是直角三角形即可求出答案解答方法归纳当不能直接求一个角的度数时可通过作辅助线求几个角的和或差已知三组数据分别以每组数据中的三个数为初中精品资料 欢迎下载 (2)DF 的长度 02 整合集训 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)1如图，l1l2，l3l4，142，那么2 的度数为（）A48 B42 C38 D21 2在 RtABC中，C90，一个锐角为 30，最短边长为 5 cm，则最长边上的中线是（）A5 cm B15 cm C10 cm D2.5 cm 3下列说法中：如果ABC，那么ABC 是直角三角形；如果ABC123，那么三角形是直角三角形；如果三角形的三边
9、长分别为 4、4、6，那么这个三角形不是直角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形正确的有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 4(毕节中考)下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A.3，4，5 B1，2，3 C6，7，8 D2，3，4 5如图，为了测得湖两岸 A点和 B点之间的距离，一个观测者在 C点设桩，使ABC 90，并测得 AC长 20 米，BC长 16 米，则 A点和 B点之间的距离为（）A25 米 B12 米 C13 米 D4 3米 6如图，在ABC中，C90，AP是角平分线，AP 10，CP5，则B的度数是（）A45 B30 C60 D15
10、 7如图所示，BE AC，CFAB，垂足分别是 E、F，若 BE CF，则图中全等三角形有（）A1 对 B2 对 是等腰三角形思路点拨为中点又和是直角三角形故可利用直角三角形斜边中线的性质得解答方法归纳由直角三角形斜边中线的性质可得到边之间的关系北京中考如图公路互相垂直公路的中点与点被湖隔开若测得的长为则两点间的距说明理由思路点拨由可得又由两条平分线可证明从而得到的形状解答初中精品资料欢迎下载方法归纳由角来判断一个三角形是直角三角形只要说明这个三角形中有一个直角或有两个角互余即可一个三角形的三个角的角度之比是则这用勾股定理求出的长而由题意可知为等腰直角三角形则再根据勾股定理逆定理证明是直角三角
11、形即可求出答案解答方法归纳当不能直接求一个角的度数时可通过作辅助线求几个角的和或差已知三组数据分别以每组数据中的三个数为初中精品资料 欢迎下载 C3 对 D4 对 8如图，ABC中B的外角平分线 BD与C的外角平分线 CE相交于点 P，若点 P到 AC的距离为 2，则点 P到 AB的距离为（）A1 B2 C3 D4 9如图，ABC中，ACB 90，AE AC 8，BFBC 15，则 EF长为（）A3 B4 C5 D6 10如图，由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形图案是某届国际数学大会的会标，如果大正方形的面积为 16，小正方形的面积为 3，直角三角形的两直角边分别为 a 和
12、b，那么(a b)2的值为（）A256 B169 C29 D48 二、填空题(每小题 3 分，共 18 分)11如图，在 RtABC中，ACB 90，AC 3，AB 6，点 D是 AB的中点，则ACD _.12如图，在 RtABC中，C90，一条线段 PQ AB，点 P，Q两点分别在 AC和 AC的垂线 AX上移动，当 AP _时，才能使ABCQPA.13在 RtABC中，C90，A30，AB上的中线 CD的长 2 cm，那么 BC _cm.14如图，在 RtABC中，A90，BD平分ABC交 AC于点 D，SBDC4，BC 8，则 AD _.15 利用图 1 或图 2 两个图形中的有关面积的
13、等量关系能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为_，该定理的结论其数学表达式是_ 是等腰三角形思路点拨为中点又和是直角三角形故可利用直角三角形斜边中线的性质得解答方法归纳由直角三角形斜边中线的性质可得到边之间的关系北京中考如图公路互相垂直公路的中点与点被湖隔开若测得的长为则两点间的距说明理由思路点拨由可得又由两条平分线可证明从而得到的形状解答初中精品资料欢迎下载方法归纳由角来判断一个三角形是直角三角形只要说明这个三角形中有一个直角或有两个角互余即可一个三角形的三个角的角度之比是则这用勾股定理求出的长而由题意可知为等腰直角三角形则再根据勾股定理逆定理证明是直角三角形即可求出答案解答方法归纳当
14、不能直接求一个角的度数时可通过作辅助线求几个角的和或差已知三组数据分别以每组数据中的三个数为初中精品资料 欢迎下载 16(南昌中考)如图，在ABC中，AB BC 4，AO BO，P是射线 CO上的一个动点，AOC 60，则当PAB为直角三角形时，AP的长为_ 三、解答题(共 52 分)17(8 分)已知：如图，RtABC和 RtADC，ABC ADC 90，点 E是 AC的中点求证：EBDEDB.18(8 分)已知：如图，BC、AD分别垂直 OA、OB，BC和 AD相交于点 E，且 OE平分AOB，已知CE 3 cm，A30，试求 EB的长 19(10 分)小明拿着一根长竹竿进一个宽为 3 米
15、的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高 1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？20(12 分)如图，在ABC中，AB AC，DE是过点 A的直线，BD DE于点 D，CE DE于点 E.(1)若点 B，C在 DE的同侧(如图 1 所示)，且 AD CE.求证：ABAC；图 1 (2)若点 B，C在 DE的两侧(如图 2 所示)，其他条件不变，AB与 AC仍垂直吗？若是，请给出证明；若不是，请说明是等腰三角形思路点拨为中点又和是直角三角形故可利用直角三角形斜边中线的性质得解答方法归纳由直角三角形斜边中线的性质可得到边之间的关系北京中考如图公路互相垂直公路
16、的中点与点被湖隔开若测得的长为则两点间的距说明理由思路点拨由可得又由两条平分线可证明从而得到的形状解答初中精品资料欢迎下载方法归纳由角来判断一个三角形是直角三角形只要说明这个三角形中有一个直角或有两个角互余即可一个三角形的三个角的角度之比是则这用勾股定理求出的长而由题意可知为等腰直角三角形则再根据勾股定理逆定理证明是直角三角形即可求出答案解答方法归纳当不能直接求一个角的度数时可通过作辅助线求几个角的和或差已知三组数据分别以每组数据中的三个数为初中精品资料 欢迎下载 理由 图 2 21(14 分)如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACB ECD 90，D为 AB边上一点，求证：(1)ACE
17、BCD；(2)AD2DB2DE2.参考答案 例 1 BF，CE分别是 AC，AB两边上的高，BEC BFC 90.又 D为 BC中点，DE 12BC，DF 12BC.DE DF.DEF是等腰三角形 例 2 APC是直角三角形 PA，PC分别平分BAC和ACD，BAC 21，ACD 22.ABCD，BAC ACD 180.2122180.1290.APC 90.APC是直角三角形 例 3 连接 BD.在 RtBAD中，AB AD 2，ADB 45，BD AD2AB22 2.在BCD中，DB2CD2(22)2129CB2，BCD是直角三角形 BDC 90.ADC ADBBDC4590135.是等腰
18、三角形思路点拨为中点又和是直角三角形故可利用直角三角形斜边中线的性质得解答方法归纳由直角三角形斜边中线的性质可得到边之间的关系北京中考如图公路互相垂直公路的中点与点被湖隔开若测得的长为则两点间的距说明理由思路点拨由可得又由两条平分线可证明从而得到的形状解答初中精品资料欢迎下载方法归纳由角来判断一个三角形是直角三角形只要说明这个三角形中有一个直角或有两个角互余即可一个三角形的三个角的角度之比是则这用勾股定理求出的长而由题意可知为等腰直角三角形则再根据勾股定理逆定理证明是直角三角形即可求出答案解答方法归纳当不能直接求一个角的度数时可通过作辅助线求几个角的和或差已知三组数据分别以每组数据中的三个数为
19、初中精品资料 欢迎下载 例 4 ABBD，CD BD，ABD CDB 90.在 RtADB和 RtCBD中，AD CB，BD DB，RtADB RtCBD(HL)ADBCBD.ADBC.例 5 过 P作 PFBE于 F.BP平分ABC，PH BA，PFBE，PH PF.又 CP平分ACE，PD AC，PFBE，PFPD.PD PH.又 PHBA，PD AC，AP平分HAD.题组训练 1D 2.连接 AD.DE垂直平分 AB，ADBD，DEB 90.AB AC，BAC 120，BC30.在 RtBDE中，B30，DE 12BD.BD 2.AD BD，BAD B.DACBACBAD1203090.
20、又C30，AD 12CD.CD 2AD 2BD 4.BC CD BD 426.3.等腰直角三角形 4.证明：ADBC，BAD B90.1B，1BADBAC90.ABC是直角三角形 5.D 6.ABC是直角三角形，是等腰三角形思路点拨为中点又和是直角三角形故可利用直角三角形斜边中线的性质得解答方法归纳由直角三角形斜边中线的性质可得到边之间的关系北京中考如图公路互相垂直公路的中点与点被湖隔开若测得的长为则两点间的距说明理由思路点拨由可得又由两条平分线可证明从而得到的形状解答初中精品资料欢迎下载方法归纳由角来判断一个三角形是直角三角形只要说明这个三角形中有一个直角或有两个角互余即可一个三角形的三个角
21、的角度之比是则这用勾股定理求出的长而由题意可知为等腰直角三角形则再根据勾股定理逆定理证明是直角三角形即可求出答案解答方法归纳当不能直接求一个角的度数时可通过作辅助线求几个角的和或差已知三组数据分别以每组数据中的三个数为初中精品资料 欢迎下载 AC2BC2AB2，即 AC25232.AC 4 cm.又 SABC12BC AC 12AB CD，CD BCACAB3452.4(cm)7.C 8.证明：连接 BD，AB AD，ABD ADB.ABCADC90，CBD CDB.BC DC.BEEF，DF EF，EF90.在 RtBCE和 RtDCF中，BC DC，BE DF.RtBCE RtDCF(HL
22、)9.D 10.(1)DEBC，DF AB，且 DE DF，BD平分ABC.ABC 60，DBC 30.(2)BD平分ABC，ABD DBC 30.BD 16，DF 12BD 12168.整合集训 1A 2.A 3.D 4.B 5.B 6.B 7.C 8.B 9.D 10.C 11.60 12.CB 13.2 14.1 15.勾股定理 a2b2c2 16.23或 2 7或 2 17.证明：ABC 90，且点 E是 AC的中点，EB 12AC.同理：ED 12AC.EB ED.EBDEDB.18.BC、AD分别垂直 OA、OB，OE平分AOB，CE DE.在ACE和BDE中，AECBED，CE
23、DE，ACE BDE 90，ACE BDE(ASA)AE BE.CE 3 cm，A30，是等腰三角形思路点拨为中点又和是直角三角形故可利用直角三角形斜边中线的性质得解答方法归纳由直角三角形斜边中线的性质可得到边之间的关系北京中考如图公路互相垂直公路的中点与点被湖隔开若测得的长为则两点间的距说明理由思路点拨由可得又由两条平分线可证明从而得到的形状解答初中精品资料欢迎下载方法归纳由角来判断一个三角形是直角三角形只要说明这个三角形中有一个直角或有两个角互余即可一个三角形的三个角的角度之比是则这用勾股定理求出的长而由题意可知为等腰直角三角形则再根据勾股定理逆定理证明是直角三角形即可求出答案解答方法归纳
24、当不能直接求一个角的度数时可通过作辅助线求几个角的和或差已知三组数据分别以每组数据中的三个数为初中精品资料 欢迎下载 AE 2CE 236(cm)EB 6 cm.19.设竹竿长 x 米，则城门高(x 1)米，根据题意得 x2(x 1)232.解得 x5.答：竹竿长 5 米 20.(1)证明：BDDE，CE DE，ADB AEC 90.又AB AC，AD CE，RtABD RtCAE(HL)DABECA，DBA EAC.DABDBA90，BAD CAE 90.BAC 180(BADCAE)90.AB AC.(2)ABAC.理由如下：同(1)一样可证得 RtABD RtCAE.DAB ECA，DB
25、A EAC.CAEECA 90，CAE BAD 90，即BAC 90.AB AC.21.证明：(1)ACBECD，ACD BCDACDACE.BCDACE.BC AC，DC EC，BCD ACE(SAS)(2)ACB是等腰直角三角形，BBAC 45.ACE BCD，BCAE 45.DAE CAEBAC 454590.AD2AE2DE2.由(1)知 AE DB，AD2DB2DE2.是等腰三角形思路点拨为中点又和是直角三角形故可利用直角三角形斜边中线的性质得解答方法归纳由直角三角形斜边中线的性质可得到边之间的关系北京中考如图公路互相垂直公路的中点与点被湖隔开若测得的长为则两点间的距说明理由思路点拨由可得又由两条平分线可证明从而得到的形状解答初中精品资料欢迎下载方法归纳由角来判断一个三角形是直角三角形只要说明这个三角形中有一个直角或有两个角互余即可一个三角形的三个角的角度之比是则这用勾股定理求出的长而由题意可知为等腰直角三角形则再根据勾股定理逆定理证明是直角三角形即可求出答案解答方法归纳当不能直接求一个角的度数时可通过作辅助线求几个角的和或差已知三组数据分别以每组数据中的三个数为