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1、基本不等式教学设计 教材：人教版高中数学必修 5 第三章 一、教学目标 1通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；2进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；3结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；4借助例 1 尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例 2 及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略 以上教学目标结合了教学实际，
2、将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节 二、教学重点和难点 重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式 三、教学过程：1动手操作，几何引入 如图是 20XX 年在北京召开的第 24 届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的 探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？在 正 方 形中 有4个 全 等 的 直 角 三 角 形 设 直 角 三
3、 角 形 两 条 直角边长为，那么正方形的边长为于是，4 个直角三角形的面积之和，正方形的面积 由图可知，即 探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）假设两个正方形的面积分别为和（），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？通过学生动手操作，探索发现：2代数证明，得出结论 根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：若，则 若，则 学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：（1）若，则；（2
4、）若，则 个基本不等式了解基本不等式的几何背景体会数形结合的思想进一步提炼完善基本不等式并从代数角度给出不等式的证明组织学生分析证明方法加深对基本不等式的认识提高逻辑推理论证能力结合课本的探究图形引导学生进一步探学生领会运用基本不等式的三个限制条件一正二定三相等在解决最值中的作用提升解决问题的能力体会方法与策略以上教学目标结合了教学实际知识与能力过程与方法情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节二教学重点和难点式并理解基本不等式三教学过程动手操作几何引入如图是年在北京召开的第届国际数学家大会会标会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的该图给出了迄今为止对勾股定理最早最简洁的证明体现了以形证数形
5、数统一代数和几何请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明 证法一（作差法）：，当时取等号（在该过程中，可发现的取值可以是全体实数）证法二（分析法）：由于，于是 要证明 ，只要证明 ，即证 ，即 ，该式显然成立，所以，当时取等号 得出结论，展示课题内容 基本不等式:若，则（当且仅当时，等号成立）若，则（当且仅当时，等号成立）深化认识：称为的几何平均数；称为的算术平均数 基本不等式又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 3几何证明，相见益彰 个基本不等式了解基本不等式的几何背景体会数形结合的思想进一步提炼完善基本不等式并从代数角度给出不等式的证明组织学生分析证明方法加深对基本不等式
6、的认识提高逻辑推理论证能力结合课本的探究图形引导学生进一步探学生领会运用基本不等式的三个限制条件一正二定三相等在解决最值中的作用提升解决问题的能力体会方法与策略以上教学目标结合了教学实际知识与能力过程与方法情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节二教学重点和难点式并理解基本不等式三教学过程动手操作几何引入如图是年在北京召开的第届国际数学家大会会标会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的该图给出了迄今为止对勾股定理最早最简洁的证明体现了以形证数形数统一代数和几何探究三：如图，是圆的直径，点是上一点，过点作垂直于的弦，连接 根据射影定理可得：由于 Rt中直角边斜边，于是有 当且仅当点与圆心重合时，
7、即时等号成立 故而再次证明：当时，（当且仅当时，等号成立）（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）4应用举例，巩固提高 例 1.（1）用篱笆围一个面积为 100 平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为 36 米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（通过例 1 的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）对于，（1）若（定值），则当且仅当时，有最小值；（2）若（定值），则当且仅当时，有最大值（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维
8、，培养了勇于探索的精神）例 2.求的值域 变式 1.若，求的最小值 在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示的函数图象，使学生再次感受数形结合的数学思想 个基本不等式了解基本不等式的几何背景体会数形结合的思想进一步提炼完善基本不等式并从代数角度给出不等式的证明组织学生分析证明方法加深对基本不等式的认识提高逻辑推理论证能力结合课本的探究图形引导学生进一步探学生领会运用基本不等式的三个限制条件一正二定三相等在解决最值中的作用提升解决问题的能力体会方法与策略以上教学目标结合了教学实际知识与能力过程与方法情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节二教学重点和难点式并理解基本不等式三教学过程动手操作
9、几何引入如图是年在北京召开的第届国际数学家大会会标会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的该图给出了迄今为止对勾股定理最早最简洁的证明体现了以形证数形数统一代数和几何并通过例 2 及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略 练一练（自主练习）：1.已知，且，求的最小值 2.设，且，求的最小值 5归纳小结，反思提高 基本不等式：若，则（当且仅当时，等号成立）若，则（当且仅当时，等号成立）（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法 媒体展示，渗透思想：若将算术平均数记为
10、，几何平均数记为 利用电脑 3D 技术，在空间坐标系中向学生展示基本不等式的几何背景：平面在曲面的上方 6布置作业，课后延拓（1）基本作业：课本 P100 习题组 1、2 题（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流 （3）探究作业：个基本不等式了解基本不等式的几何背景体会数形结合的思想进一步提炼完善基本不等式并从代数角度给出不等式的证明组织学生分析证明方法加深对基本不等式的认识提高逻辑推理论证能力结合课本的探究图形引导学生进一步探学生领会运用基本不等式的三个限制条件一正二定三相等在解决最值中的作用提升解决问题的能力体会方法与策略以上教学目标结合了教
11、学实际知识与能力过程与方法情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节二教学重点和难点式并理解基本不等式三教学过程动手操作几何引入如图是年在北京召开的第届国际数学家大会会标会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的该图给出了迄今为止对勾股定理最早最简洁的证明体现了以形证数形数统一代数和几何现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量这种说法对吗？并说明你的结论 基本不等式教学设计说明 一、内容和内容解析 本节课是人教版高中数学必修 5 中第三章第 4 节的内容。主要是二元均值不等式。它是在系统地学习了不等
12、关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续的学习奠定基础。要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的优良素材，所以基本不等式应重点研究。教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。就知识的应用价值上来看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽
13、象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；另外，在解决函数最值问题中，基本不等式也起着重要的作用。就内容的人文价值上来看，基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳，有助于培养学生创新思维和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体。二、教学目标和目标解析 教学目标：了解基本不等式的几何背景，能在教师的引导下探究基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何解释，并能解决简单的最值问题；借助于信息技术强化数形结合的思想方法。在教师的逐步引导下，能从较为熟悉的几何图形中抽象出基本不等式，实现对
14、基本不等式几何背景的初步了解。学生已经学习了不等式的基本性质，可以运用作差法给出基本不等式的证明，同时，介绍并渗透分析法证明的思想方法，从而完成基本不等式的代数证明。进一步通过探究几何图形，给出基本不等式的几何解释，加强学生数形结合的意识。通过应用问题的解决，明确解决应用题的一般过程。这是一个过程性目标。借助例 1，引导学生尝试用基本不等式解决简单的最值问题，体会和与积的相互转化，进一步通过例 2，引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，并用几何画板展示函数图形，进一步深化数形结合的思想。结合变式训练完善对基本不等式结构的理解，提升解决问题的能力，体会
15、方法与策略。三、教学问题诊断 在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基本知识。但是，倘若教师不加以引导，学生并不能自觉地通过已有的知识、记忆去发展和构建几何图形中的相等或不等关系，这就需要教师逐步地引导，并选用合理的手段去激活学生的思维，增强数形结合的思想意识。另外，尽可能引领学生充分理解两个基本不等式等号成立的条件，为利用基本不等式解决简单的最值问题做好铺垫。在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件，同时又要注意区别基本不等式的使用条件为。因此，在教学过程中，个基本不等式了解基本不等式的几何背景
16、体会数形结合的思想进一步提炼完善基本不等式并从代数角度给出不等式的证明组织学生分析证明方法加深对基本不等式的认识提高逻辑推理论证能力结合课本的探究图形引导学生进一步探学生领会运用基本不等式的三个限制条件一正二定三相等在解决最值中的作用提升解决问题的能力体会方法与策略以上教学目标结合了教学实际知识与能力过程与方法情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节二教学重点和难点式并理解基本不等式三教学过程动手操作几何引入如图是年在北京召开的第届国际数学家大会会标会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的该图给出了迄今为止对勾股定理最早最简洁的证明体现了以形证数形数统一代数和几何借助例题落实学生领会基本不等式
17、成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用。而对于“一正二定三相等”的进一步强化和应用，将放于下一个课时的内容。四、教学支持条件分析 为了能很好地展示几何图形,体会基本不等式的几何背景,教学中需要有具体的图形来帮助学生理解基本不等式的生成，感受数形结合的数学思想，所以，借助于几何画板软件来加强几何直观十分必要，同时演示动画帮助学生验证基本不等式等号取到的情况，并用电脑 3D 技术展示基本不等式的又一几何背景，加深对基本不等式的理解，增强教学效果。五、教学设计流程图 教学过程的设计从实际的问题情境出发，以基本不等式的几何背景为着手点，以探究活动为主线，探求基本不等式的结构形式，并
18、进一步给出几何解释，深化对基本不等式的理解。通过典型例题的讲解，明确利用基本不等式解决简单最值问题的应用价值。数形结合的思想贯穿于整个教学过程，并时刻体现在教学活动之中。六、教法和预期效果分析 本节课通过 6 个教学环节，强调过程教学，在教师的引导下，启动观察、分析、感知、归纳、探究等思维活动，从各个层面认识基本不等式，并理解其几何背景。课堂教学以学生为主体，基本不等式为主线，在学生原有的认知基本上，充分展示基本不等式这一知识的发生、发展及再创造的过程。同时，以多媒体课件、几何画板、电脑 3D 技术作为教学辅助手段，赋予学生直观感受，便于观察，从而把一个生疏的、内在的知识，变成一个可认知的、可
19、交流的对象，提高了课堂效率。通过这节课的学习，引领学生多角度、多方位地认识基本不等式，并了解它的几何意义充分渗透数形结合的思想；能在教师的引导下，主动探索并了解基本不等式的证明过程，强化证明的各类方法；会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题并注意等号取到的条件。在教学过程中始终围绕教学目标进行评价，师生互动，在教学过程的不同环节中及时获取教学反馈信息，以学生为主体，及时调节教学措施，完成教学目标，从而达到较为理想的教学效果。个基本不等式了解基本不等式的几何背景体会数形结合的思想进一步提炼完善基本不等式并从代数角度给出不等式的证明组织学生分析证明方法加深对基本不等式的认识提高逻辑推理论证能力结合课本的探究图形引导学生进一步探学生领会运用基本不等式的三个限制条件一正二定三相等在解决最值中的作用提升解决问题的能力体会方法与策略以上教学目标结合了教学实际知识与能力过程与方法情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节二教学重点和难点式并理解基本不等式三教学过程动手操作几何引入如图是年在北京召开的第届国际数学家大会会标会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的该图给出了迄今为止对勾股定理最早最简洁的证明体现了以形证数形数统一代数和几何