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1、第十七章 坐标系与参数方程 高考导航 考试要求 重难点击 命题展望 一、坐标系 1.了解在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，理解坐标系的作用.2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.3.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义.5.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比
2、较，体会它们的区别.二、参数方程 1.了解参数方程，了解参数的意义.2.分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程.3.了解平摆线和渐开线的生成过程，并能写出它们的参数方程.4.了解其他摆线的生成过程；了解摆线在实际中应用的实例；了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用.本章重点：1.根据问题的几何特征选择坐标系；坐标法思想；平面直角坐标系中的伸缩变换；极坐标系；直线和圆的极坐标方程.2.根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义；分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程.本章难点：1.对伸缩变换中点的对应关系的理解；极坐标的不唯一性
3、；曲线的极坐标方程.2.根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程.坐标系是解析几何的基础，为便于用代数的方法研究几何图形，常需建立不同的坐标系，以便使建立的方程更加简单，参数方程是曲线在同一坐标系下不同于普通方程的又一种表现形式.某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更加方便.本专题要求通过坐标系与参数方程知识的学习，使学生更全面地理解坐标法思想；能根据曲线的特点，选取适当的曲线方程表示形式，体会解决问题中数学方法的灵活性.高考中，参数方程和极坐标是本专题的重点考查内容.对于柱坐标系、球坐标系，只要求了解即可.知识网络 17.1 坐标系 典例精析 题型一 极坐标的有关概念 【例 1】已知
4、ABC 的三个顶点的极坐标分别为 A(5，6)，B(5，2)，C(4 3，3)，试判断ABC 的形状，并求出它的面积.【解析】在极坐标系中，设极点为 O，由已知得 AOB3，BOC56，AOC56.又|OA|OB|5，|OC|4 3，由余弦定理得|AC|2|OA|2|OC|22|OA|OC|cos AOC52(4 3)22 5 4 3cos56133，所以|AC|133.同理，|BC|133.所以|AC|BC|，所以 ABC 为等腰三角形.又|AB|OA|OB|5，所以 AB边上的高 h|AC|2(12|AB|)213 32，所以 S ABC1213 32 565 34.【点拨】判断 ABC
5、的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，所以先计算边长.【变式训练 1】(1)点 A(5，3)在条件：0，(2，0)下极坐标为 ，0，(2，4)平面直角坐标系中刻画点的位置根问题的几何特征础为便于用代数的方法研的方法理解坐标系的作用选择坐标系坐标法思想究几何图形常需建立不同了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面直角坐标系中的伸缩的坐标系以便使建的极坐标方程线在同一坐标系下不同于普置体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画根问题的条件引进通方程的又一种表现形式点的位置的区别能进行极坐标和直角坐标的适当的参数写出参数方某些曲线用参数方程表示比互化程体要求通过坐标系点的直线过极点或
6、圆心在极点的圆的方程性质选择适当的参数写出与参数方程知识的学习使通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标它们的参数方程学生更全面地理解坐标法思系中的方程体会在用方程刻画平面下极坐标为 ；(2)点 P(12，43)与曲线 C：cos 2的位置关系是 .【解析】(1)(5，53)；(5，103).(2)点 P 在曲线 C 上.题型二 直角坐标与极坐标的互化 【例 2】O1和O2的极坐标方程分别为 4cos ，4sin .(1)把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过O1和O2交点的直线的直角坐标方程.【解析】(1)以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴，建立直角坐标系，且两坐标系取相同单
7、位长.因为 x cos ，y sin ，由 4cos ，得 24 cos ，所以 x2y24x，即 x2y24x0 为 O1的直角坐标方程.同理，x2y24y0 为 O2的直角坐标方程.(2)由,04,042222yyxxyx解得0,011yx或.2,222yx 即 O1，O2的交点为(0,0)和(2，2)两点，故过交点的直线的直角坐标方程为 xy0.【点拨】互化的前提条件：原点对应着极点，x 轴正向对应着极轴.将互化公式代入，整理可以得到.【变式训练 2】在极坐标系中，设圆 3 上的点到直线 (cos 3sin )2 的距离为 d，求 d 的最大值.【解析】将极坐标方程 3 化为普通方程 x
8、2y29，(cos 3sin )2 可化为 x 3y2.在 x2y29 上任取一点 A(3cos ，3sin )，则点 A到直线的距离为 d|3cos 3 3sin 2|2|6sin(30)2|2，它的最大值为 4.题型三 极坐标的应用【例 3】过原点的一动直线交圆 x2(y1)21 于点 Q，在直线 OQ 上取一点 P，使 P 到直线 y2 的距离等于|PQ|，用极坐标法求动直线绕原点一周时点 P 的轨迹方程.【解析】以 O 为极点，Ox 为极轴，建立极坐标系，如右图所示，过 P 作 PR垂直于直线 y2，则有|PQ|PR|.设 P(，)，Q(0，)，则有 02sin .因为|PR|PQ|，
9、所以|2 sin|2sin|，所以 平面直角坐标系中刻画点的位置根问题的几何特征础为便于用代数的方法研的方法理解坐标系的作用选择坐标系坐标法思想究几何图形常需建立不同了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面直角坐标系中的伸缩的坐标系以便使建的极坐标方程线在同一坐标系下不同于普置体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画根问题的条件引进通方程的又一种表现形式点的位置的区别能进行极坐标和直角坐标的适当的参数写出参数方某些曲线用参数方程表示比互化程体要求通过坐标系点的直线过极点或圆心在极点的圆的方程性质选择适当的参数写出与参数方程知识的学习使通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标它们的参数方程学生更全面地
10、理解坐标法思系中的方程体会在用方程刻画平面 2 或 sin 1，即为点 P 的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程为 x2y24 或 x0.【点拨】用极坐标法可使几何中的一些问题得到很直接、简单的解法，但在解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些.【变式训练 3】如图，点 A在直线 x5 上移动，等腰OPA的顶角OPA为 120(O，P，A按顺时针方向排列)，求点 P 的轨迹方程.【解析】取 O 为极点，x 正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线 x5 的极坐标方程为 cos 5.设 A(0，0)，P(，)，因为点 A在直线 cos 5 上，所以 0cos 05
11、.因为 OPA为等腰三角形，且 OPA120，而|OP|，|OA|0以及 POA30，所以 0 3，且 0 30.把代入，得点 P 的轨迹的极坐标方程为 3 cos(30)5.题型四 平面直角坐标系中坐标的伸缩变换【例 4】定义变换 T：,cos sin,sin cosyyxxyx可把平面直角坐标系上的点 P(x，y)变换成点 P(x，y).特别地，若曲线 M 上一点 P 经变换公式 T 变换后得到的点 P 与点 P 重合，则称点 P 是曲线 M 在变换 T 下的不动点.(1)若椭圆 C 的中心为坐标原点，焦点在 x 轴上，且焦距为 2 2，长轴顶点和短轴顶点间的距离为 2.求椭圆 C 的标准
12、方程，并求出当 tan 34时，其两个焦点 F1、F2经变换公式 T 变换后得到的点 F1 和 F2的坐标；(2)当 tan 34时，求(1)中的椭圆 C在变换 T 下的所有不动点的坐标.【解析】(1)设椭圆 C 的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，由椭圆定义知焦距 2c2 2c 2，即 a2b22.又由已知得 a2b24，故由、可解得 a23，b21.即椭圆 C 的标准方程为x23y21，且椭圆 C 两个焦点的坐标分别为 F1(2，0)和 F2(2，0).平面直角坐标系中刻画点的位置根问题的几何特征础为便于用代数的方法研的方法理解坐标系的作用选择坐标系坐标法思想究几何图形常需建立不同了
13、解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面直角坐标系中的伸缩的坐标系以便使建的极坐标方程线在同一坐标系下不同于普置体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画根问题的条件引进通方程的又一种表现形式点的位置的区别能进行极坐标和直角坐标的适当的参数写出参数方某些曲线用参数方程表示比互化程体要求通过坐标系点的直线过极点或圆心在极点的圆的方程性质选择适当的参数写出与参数方程知识的学习使通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标它们的参数方程学生更全面地理解坐标法思系中的方程体会在用方程刻画平面对于变换 T：,cos sin,sin cosyyxxyx当 tan=43时，可得.5453,5354yyxxyx 设 F1(
14、x1，y1)和 F2(x2，y2)分别是由 F1(2，0)和 F2(2，0)的坐标经变换公式 T 变换得到.于是,523054)2(53,524053)2(5411yx 即 F1 的坐标为(4 25，3 25)；又,523054253,52405325422yx 即 F2 的坐标为(4 25，3 25).(2)设 P(x，y)是椭圆 C 在变换 T 下的不动点，则当 tan 34时，有yyxxyx5453,5354x3y，由点 P(x，y)C，即 P(3y，y)C，得(3y)23y21,23,21xy因而椭圆 C 的不动点共有两个，分别为(32，12)和(32，12).【变式训练 4】在直角坐
15、标系中，直线 x2y2 经过伸缩变换 后变成直线 2x y4.【解析】.4,yyxx 总结提高 1.平面内一个点的极坐标有无数种表示方法.如果规定 0,0 2，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(，)表示；反之也成立.2.熟练掌握几种常用的极坐标方程，特别是直线和圆的极坐标方程.17.2 参数方程 典例精析 题型一 参数方程与普通方程互化 平面直角坐标系中刻画点的位置根问题的几何特征础为便于用代数的方法研的方法理解坐标系的作用选择坐标系坐标法思想究几何图形常需建立不同了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面直角坐标系中的伸缩的坐标系以便使建的极坐标方程线在同一坐标系下不同于普置体会在极坐标
16、系和平面直角坐标系中刻画根问题的条件引进通方程的又一种表现形式点的位置的区别能进行极坐标和直角坐标的适当的参数写出参数方某些曲线用参数方程表示比互化程体要求通过坐标系点的直线过极点或圆心在极点的圆的方程性质选择适当的参数写出与参数方程知识的学习使通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标它们的参数方程学生更全面地理解坐标法思系中的方程体会在用方程刻画平面【例 1】把下列参数方程化成普通方程：(1)sin cos2,sin4 cosyx(为参数)；(2)2)ee(,2)ee(ttttbyax(t 为参数，a，b0).【解析】(1),1)94()92(94 cos,92 sin sin cos2,s
17、in4 cos22yxxyyxxyyx 所以 5x24xy17y2810.(2)由题意可得.ee2，ee2ttttbyax 所以22得4x2a24y2b24，所以x2a2y2b21，其中 x0.【变式训练 1】把下列参数方程化为普通方程，并指出曲线所表示的图形.(1);cossin,cos sinyx (2);1,1ttyx (3);13,13222ttyttx (4)3.tan5,sec46yx 【解析】(1)x22(y12)，2x 2，图形为一段抛物线弧.(2)x1，y2 或 y2，图形为两条射线.(3)x2y23y0(y3)，图形是一个圆，但是除去点(0,3).(4)(x6)216(y3
18、)2251，图形是双曲线.题型二 根据直线的参数方程求弦长 【例 2】已知直线 l 的参数方程为tytx3,2(t 为参数)，曲线 C 的极坐标方程为 2cos 2 1.(1)求曲线 C 的普通方程；(2)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长.【解析】(1)由曲线 C：2cos 2 2(cos2 sin2)1，化成普通方程为 x2y21.平面直角坐标系中刻画点的位置根问题的几何特征础为便于用代数的方法研的方法理解坐标系的作用选择坐标系坐标法思想究几何图形常需建立不同了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面直角坐标系中的伸缩的坐标系以便使建的极坐标方程线在同一坐标系下不同于普置体会在极坐标系和平面直
19、角坐标系中刻画根问题的条件引进通方程的又一种表现形式点的位置的区别能进行极坐标和直角坐标的适当的参数写出参数方某些曲线用参数方程表示比互化程体要求通过坐标系点的直线过极点或圆心在极点的圆的方程性质选择适当的参数写出与参数方程知识的学习使通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标它们的参数方程学生更全面地理解坐标法思系中的方程体会在用方程刻画平面(2)方法一：把直线参数方程化为标准参数方程tytx23,212(t 为参数).把代入得(2t2)2(32t)21，整理得 t24t60.设其两根为 t1，t2，则 t1t24，t1t26.从而弦长为|t1t2|(t1t2)24t1t2424(6)402
20、10.方法二：把直线的参数方程化为普通方程为 y 3(x2)，代入 x2y21，得 2x212x130.设 l 与 C 交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x26，x1x2132，所以|AB|13(x1x2)24x1x2262262 10.【变式训练 2】在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为tytx531,541(t 为参数)，若以 O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为 2cos(4)，求直线 l 被曲线 C 所截的弦长.【解析】将方程tytx531,541(t 为参数)化为普通方程为 3x4y10.将方程 2cos(4)化为普通方程为
21、 x2y2xy0.表示圆心为(12，12)，半径为 r22的圆，则圆心到直线的距离 d110，弦长2r2d2212110075.题型三 参数方程综合运用【例 3】(2009 海南、宁夏)已知曲线 C1：tytx sin3,cos4(t 为参数)，C2：sin3,cos8yx(为参数).(1)化 C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若 C1上的点 P 对应的参数为 t2，Q 为 C2上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 C3：tytx2,23(t 为参数)距离的最小值.【解析】(1)C1：(x4)2(y3)21，C2：x264y291.平面直角坐标系中刻画点的位置根问题
22、的几何特征础为便于用代数的方法研的方法理解坐标系的作用选择坐标系坐标法思想究几何图形常需建立不同了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面直角坐标系中的伸缩的坐标系以便使建的极坐标方程线在同一坐标系下不同于普置体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画根问题的条件引进通方程的又一种表现形式点的位置的区别能进行极坐标和直角坐标的适当的参数写出参数方某些曲线用参数方程表示比互化程体要求通过坐标系点的直线过极点或圆心在极点的圆的方程性质选择适当的参数写出与参数方程知识的学习使通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标它们的参数方程学生更全面地理解坐标法思系中的方程体会在用方程刻画平面C1是以(4,3)为圆心，1
23、 为半径的圆；C2是以坐标原点为中心，焦点在 x 轴，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆.(2)当 t2时，P(4,4)，Q(8cos ，3sin )，故 M(24cos ，232sin ).C3为直线 x2y70，M 到 C3的距离 d55|4cos 3sin 13|，从而 cos 45，sin 35时，d 取最小值8 55.【变式训练 3】在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 sin2,cos4yx(为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线 C2的极坐标方程为 2cos 4sin (0).(1)化曲线 C1、C2的方程为普通方程，并说明它
24、们分别表示什么曲线；(2)设曲线 C1与 x 轴的一个交点的坐标为 P(m,0)(m0)，经过点 P 作曲线 C2的切线 l，求切线 l 的方程.【解析】(1)曲线 C1：x216y241；曲线 C2：(x1)2(y2)25.曲线 C1为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长是 4，短半轴长是 2 的椭圆；曲线 C2为圆心为(1，2)，半径为 5的圆.(2)曲线 C1：x216y241 与 x 轴的交点坐标为(4,0)和(4,0)，因为 m0，所以点 P 的坐标为(4,0).显然切线 l 的斜率存在，设为 k，则切线 l 的方程为 yk(x4).由曲线 C2为圆心为(1，2)，半径为 5的
25、圆得|k24k|k21 5，解得 k3 102，所以切线 l 的方程为 y3 102(x4).总结提高 1.在参数方程与普通方程互化的过程中，要保持化简过程的同解变形，避免改变变量 x，y 的取值范围而造成错误.2.消除参数的常用方法有：代入消参法；三角消参法；根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段.3.参数的方法在求曲线的方程等方面有着广泛的应用，要注意合理选参、巧妙消参.平面直角坐标系中刻画点的位置根问题的几何特征础为便于用代数的方法研的方法理解坐标系的作用选择坐标系坐标法思想究几何图形常需建立不同了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面直角坐标系中的伸缩的坐标系以便使建的极坐标方程线在同一坐标系下不同于普置体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画根问题的条件引进通方程的又一种表现形式点的位置的区别能进行极坐标和直角坐标的适当的参数写出参数方某些曲线用参数方程表示比互化程体要求通过坐标系点的直线过极点或圆心在极点的圆的方程性质选择适当的参数写出与参数方程知识的学习使通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标它们的参数方程学生更全面地理解坐标法思系中的方程体会在用方程刻画平面