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1、、绪论 1.思考题 1.何为约束优化设计问题什么是无约束优化设计问题试各举一例说明。机械优化设计问题多属哪 一类 2.一般优化问题的数学模型包括哪些部分写出一般形式的数学模型。3.机械优化设计的过程是怎样的它与常规的机械设计有什么不同 4.怎样判断所求得的最优解是不是全局最优解 5.试简述优化算法的迭代过程。6.何为可行域为什么说当存在等式约束则可行域将大为缩小当优化问题中有个等式约束时可 行域是什么当优化问题中有两个等式约束时可行域是什么当 n 维优化问题中有 n 个等式约束时可行域 是什么 7.什么是内点、什么是外点在优化设计中内点和外点都可以作为设计方案吗为什么 8.试写出第一节中第三个
2、问题的数学模型。9.目标函数及其等值线（等值面）的意义和特性是什么 2.习题 1.设计一容积为 V 的平底、无盖圆柱形容器，要求消耗原材料最少，试建立其优化设计的数学模 型，并指出属于哪一类优化问题。2.当一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为 S 时，怎样设计可使油箱的容量最大试列出这个优化 问题的数学模型，并回答：属于几维的优化问题 是线性规划还是非线性规划 3.欲造容积为 V 的长方形无盖水箱，问应如何选定其长、宽、高尺寸，才能使用料消耗最少试写 出其数学模型。4.试求直径为 D 的圆内所有内接三角形面积中的最大值。5 在曲面 fl（Xl,X2,X3）=0 上找一点 Pl,在曲面 f2（Xl
3、,X2,X3）=0 上找一点卩2,使得 Pl与卩2的距离为最短，试建立优化问题的数学模型。6 有一薄铁皮，宽 b=14cm，长 L=24cm，制成如图 2-9所示的梯形槽，求边长 X 和倾斜角a为多 大时,槽的容积最大试写出此问题的优化设计模型并指出该问题属于哪一类的优化设计问题。7 欲制一批如图 2-12所示的包装纸箱，其顶和底由四边延伸的折纸板组成。要求纸箱的容积为 2m3,问如何确定 a、b 和 c 的尺寸，使所用的纸板最省。试写出该优化问题的数学模型。8 根长 I的铅丝截成两段，一段弯成圆圈，另一段弯折成方形。问应以怎样的比例截断铅丝，才能使圆和方形的面积之和为最大,试写出这一优化问题
4、的数学模型。9 某厂生产 A、B 两种产品：A 每桶需用煤 90kN、电 4 度、劳动日 3 个，获利润 700 元；B 每桶 需用煤40kN、电 5 度、劳动日 10 个，获利润 1200 元。但计划规定可用煤 3600kN、电 200 度、劳动 日 300 个,试问 A、B 各生产多少桶时利润最大列出其教学模型,并说明属于何种数学规划问题 10.某厂生产两种机器，两种产品生产每台所需钢材分别为 2 吨和 3 吨，所需工时数分别为 4 千 小时和 8 千小时,而产值分别为 4 万元和 6 万元。如果每月工厂能获得的原材料为 100 吨,总工时数 为 120 千小时。现应如何安排两种机器的月产
5、台数,才能使月产值最高。试写出这一优化问题的数学 模型。11 要将 10 米长的钢管截成 3 米和 4 米长的各 100 根，要求设计出用料最省的下料方法。试写出 其数学模型。12 设计一个二级展开式渐开线标准直齿圆柱齿轮减速器，已知总传动比 i=20,高速级齿轮模数 m1,2=，低速级齿轮模数 m3,4=3mm,要求减速器高速轴与低速轴间中心距 a 最小，试建立其优化设计 的数学模型，并指出属于哪一类优化问题。13 设计一个展开式二级圆柱齿轮减速器，要求其高、低速轴间的中心距最小。已知总传动比 i=i1 X i2=4,齿轮齿数 Z1=Z3，模数均为，试建立其数学模型，并说明属于何种数学规划问
6、题。14.自行提出一个数学规划问题，并建立其数学模型。15 如图 2-13所示，已知跨距为 I、截面为矩形的简支架，其材料密度为 p许用弯曲应力为创,允许挠度为f，在梁的中点作用一集中载荷 P,梁的截面宽度 b 不得小于 bmin，现要求设计此梁，使 其质量最轻试写出其优化设计数学模型。16.矩形截面简支梁，在跨距 I的全部长度内受到均布载荷 q,其材料密度为p许用弯曲应力为切。要求梁的宽度不小于 bmin，最大挠度不大于S。试写出此梁重量最轻优化设计的数学模型。17.有一圆形等截面的销轴，一端固定在机架上，另一端作用着集中载荷 P 和扭矩 M，其简化模 型如图 2-14所示。由于结构的需要，
7、轴的长度 I不得小于 Imin。已知销轴材料的许用弯曲应力 aw和 许用扭剪应力T，允许挠度为f；设计材料的密度为 p和弹性模量为 E。现要求设计这根销轴，在满 足使用要求下使其质量为最轻，试写出其优化设计数学模型。18 试按质量最轻的原则选择平均半径 R 和壁厚 t，设计图 2-25所示的薄壁圆柱形容器，要求容积 不小于，容器内压力 p 为，切向应力 ae不超过 210Mpa，应变量不超过。要求：(1)建立优化设计的数学模型；(2)用图解法求出最优解。19.三杆悬挂结构(图 1-5)的材料已经选定，其比重为 p，弹性模量为E，许用拉应力为a。此结 构的设计载荷为 2p。试写出其重量最轻优化设
8、计的数学模型。20.平面桁架(图 l-6)由钢管组成，承受载荷 2p。钢管的壁厚为 t，桁架的跨度为 2B。钢管的直径 d 和桁架高度 H 可以选择。桁架应满足强度和刚度的要求。试写出其重量最轻优化设计的数学模型。21.当某试验参数 a 为 1，2，3,4，5 时，其对应结果 f(a)为 3，5，4，2，1。试用一个二项式 p(a)=a2X1+ax2+X3，去逼近 f(a)，求 X1，X2，X3为多大时，使得当 a=2，3，4，5 时各点误差平方和为最 小，且要求 a=1 时，p(a)=f(a)。试写出该问题的优化设计数学模型。22.己知两个物理量 x 和 y 之间的依赖关系为 其中a1a5为
9、待定参数。为了确定这些参数的值，对 x 和 y 测得 m 个实验点：(x1，y1)，(X2,y2)，(Xm,ym)。试将确定参数的问题表示成最优化问题。23.有一个初始的设计电路，内有 m 个可调整的电阻。如图 1-4所示。要求的响应是电路内 m 个 节点电压为给定的一组数，即 V1=VD1,V2=VD2，.，Vn=VDn，而实际的响应里每一个节点的电压都依赖 于这 m 个可调的电阻，示为 Vi=Ui(R1,R2,.,Rm)，i=1n 试建立优化的数学模型。24.某现象的理论公式为：F(t)捲X2ex3t。透过实验已测得 m 个 F(t)对应于 t 的值。要求确定 X1、X2和 X3三个参数，
10、其中 X3 0,使理论公式与实验数据的偏差平方和为最小。试写出这个问题的 数学模型。25.热敏电阻 R=X1 exp X2，今测得温度 t 与 R 的 15 组实验数据。要求确定参数 X1、X2和 X3 优化问题的数学模型包括哪些部分写出一般形式的数学模型机械优化设计的过程是怎样的它与常规的机械设计有什么不同怎样判断所求得的最优解是不是全局最优解试简述优化算法的迭代过程何为可行域为什么说当存在等式约束则优化问题中有个等式约束时可行域是什么什么是内点什么是外点在优化设计中内点和外点都可以作为设计方案吗为什么试写出第一节中第三个问题的数学模型目标函数及其等值线等值面的意义和特性是什么习题时怎样设计
11、可使油箱并指出属于哪一类优化问题当一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为问题的数学模型并回答属于几维的优化问题是线性规划还是非线性规划欲造容积为的长方形无盖水箱问应如何选定其长宽高尺寸才能使用料消耗最少试写出其数学t X3 使电阻 R 的计算值与实测值的均方差最小。试建立其数学模型。26.已知一圆形截面悬臂梁，在其悬臂端作用一集中载荷 P 和一扭矩 M，要求悬伸长度 L=ab，优化问题的数学模型包括哪些部分写出一般形式的数学模型机械优化设计的过程是怎样的它与常规的机械设计有什么不同怎样判断所求得的最优解是不是全局最优解试简述优化算法的迭代过程何为可行域为什么说当存在等式约束则优化问题中有个等式约束
12、时可行域是什么什么是内点什么是外点在优化设计中内点和外点都可以作为设计方案吗为什么试写出第一节中第三个问题的数学模型目标函数及其等值线等值面的意义和特性是什么习题时怎样设计可使油箱并指出属于哪一类优化问题当一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为问题的数学模型并回答属于几维的优化问题是线性规划还是非线性规划欲造容积为的长方形无盖水箱问应如何选定其长宽高尺寸才能使用料消耗最少试写出其数学截面直径 d=dodi。问在满足强度和刚度要求的条件下使所需材料最少，应如何建立该优化设计问题 的数学模型并示出。27 试画出下列约束条件下，x=xi X2T的可行域：(1)gi(x)=xi2+(x2-1)2-1 0
13、g2(x)=(x 卜 1)2+X22-1 0 g3(x)=xi+x2-1 0(2)gi(x)=2xI+X2-6 0 g2(x)=-xiW 0 g3(x)=-X2W 0 g4(x)=xi2+X22-16 0 g2(x)=xi-x2+3 0 g3(x)=-xi-x2+8 0 22(2)gi(x)=xi+x2/2-3 0 g2(x)=xi 0 g3(x)=x20 h(x)=-xi-X2+16 0 29.已知约束条件为 22 gi(x)=-xi+x2-3 0 g2(x)=-xi-X2+9 0 试问 Xi=2,-2T,X2=3,3T,X3=-3,0T,X4=-i,iT等四点中有几个可行点并写出可行点。3
14、0.画出满足下列约束的可行域。gi(x)=48-3 XI-2X2 0 g2(x)=i8-xi-x20 g3(x)=xi 0 g4(x)=x20 31.试将优化问题 的目标函数等值线和约束边界曲线勾画出来，并回答下列问题：(a)X=i,iT是不是可行点(b)X=5/2,i/2 T是不是可行点(c)可行域 D 是否为凸集，用阴影线描绘出可行域的范围。32.已知某约束优化问题的数学模型为(1)该问题是线性规划问题还是非线性规划问题 按一定比例画出目标函数 F(X)的值分别等于 1,2,3 时的三条等值钱，并在图上划出可行域。(3)在图上确定无约束最优解和约束最优解。若在该问题中又加入等式约束 h(X
15、)=xi-x2=0,其约束最优解 X*、F(X*)又为多少 33.画出下列目标函数的等值线，并指出函数值为正和负的区域；它有没有极小值点 i)F(xi,x2)=xix2；2)F(xi,x2)=xi2-x22；3)F(xi,x2)=xi2+3xix2+4x22+6 34.用图解法求解下列优化问题的最优点。35.如图所示，设有一箱形盖板，已知长度 l=600cm,宽度 b=60cm，侧板厚度 ts=，翼板厚度为 tf(cm),高度为 h(cm)，承受最大的单位载荷 q=10000N/cm，盖板的许用弯曲应力d=70MPa，许用剪切应力 T=45MPa，单位长度允许挠度f=，弹性模量 E=7X 10
16、4MPa，泊松比u.要求在满足强度、刚度和 稳定性等条件下，设计一个质量最小的结构方案。5-i7 搪瓷厂要生产一种容积为 785cm3 的圆柱形茶杯，试用拉格朗日乘子法设计茶杯的尺寸使 所用的原材料最省。1.设计一曲柄摇杆机构(见图 7-16)，已知：杆 1 的长度 l1=1，杆 4 的长度 14=5(均为相对长度)。要求曲柄由 4。转到 4。十 90。时，摇杆的输出角实现如下给定的函数关免 V y,十方(440),式中 4。和贝。分别为对应于摇杆在右极限位置时曲柄和摇杆的位置角.运动过程中的最小传动角不 小于 45。，艮卩 7m,7=45。min F(x)(xi 3)2(x2 3)2 s.t
17、.2xi x2;xi,x2 0 min F(x)(xi 2)2(x2 2)2 s.t.xi 2x2 4;xi,x2 0 min F(x)(xi 3)2(x2 3)2 s.t.xi/2 x2 4;3xi x2 i5 xi x2 i xi,x2 0 2)3)i)优化问题的数学模型包括哪些部分写出一般形式的数学模型机械优化设计的过程是怎样的它与常规的机械设计有什么不同怎样判断所求得的最优解是不是全局最优解试简述优化算法的迭代过程何为可行域为什么说当存在等式约束则优化问题中有个等式约束时可行域是什么什么是内点什么是外点在优化设计中内点和外点都可以作为设计方案吗为什么试写出第一节中第三个问题的数学模型目
18、标函数及其等值线等值面的意义和特性是什么习题时怎样设计可使油箱并指出属于哪一类优化问题当一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为问题的数学模型并回答属于几维的优化问题是线性规划还是非线性规划欲造容积为的长方形无盖水箱问应如何选定其长宽高尺寸才能使用料消耗最少试写出其数学试建立上述问题的数学模利，并选择优化方法，有条件的同学可 2:=4.1286,z：=2.3325）。2 如图为一批量生产的压力容器，其结构方案和有关尺寸已定。内部气压为 p=，容器内径 A=120m m，安装螺栓的中心圆直径 D=200m m，壁厚 E=H=20mm，用衬垫密圭寸，为保证拆装时具有足 够的扳手空间,螺栓间的周向间隔不应
19、小于 5d（d 为螺栓直径）,同时为保证螺栓间的密封压力均匀,不致有局部漏气，螺栓间的周向间距不应大于 10d。螺栓树料选用 35 号钢，长度为 50mm，型式为六 角头半精制螺栓，其单价见下表：要求合理地选择紧固螺栓的直径 d 和螺栓的数量 n,使压力容器的螺栓总成本最低。试建立上述 优化设计问题的数学模型，并选择优化方法，有条件的同学可上机计算。（答案为 d=25，n=3）。3.设有一重量 P=10000N 的物体悬挂在两根钢丝绳上，如图 7-18 所示。已知钢丝绳长 l1=，l2=，许用应力d=100Mpa,弹性模量 E=2X 105MPa。为保证此装置正常工作，除钢丝绳的工作应力不应大
20、 于许用应力外，还规定悬挂点的铅垂位移不应越过 f4=5mm,现在要求得出钢丝绳的横截而积 Ai和 A2,使承受该载荷的结构重量为最轻。试建立上述优化问题的数学模型，并选择优化方法，有条件的同学 可上机计算。（答案为 A l=，A2=。15.如图所示的二级斜齿圆柱齿轮减速器，高速轴输入功率 Ni=，高速轴转速 ni=1450r/min，总传 动比 i=，齿轮的齿宽系数 忙；大齿轮材料为 45 钢正火 HBS=187207,小齿轮 45 钢调质 HBS=228255;总工作时间不少于 10 年。要求设计一个最小体积二级圆柱齿轮减速器。（32）设计一如图所示的曲柄摇杆机构，要求曲柄 11从转到 枷
21、=如+90 摇杆 13的转角最佳再现 已知的运动规律：。且已知 11=1,14=5,如为极位角，其传动角允许在 45 Y 135 范围内变化。5-9设邮包的长、宽、高分别为 X1、X2、X3（单位均为 cm）。要求邮包的长度小于 42cm，且邮包的 长度加上垂直于长度方向横截面的周长之和小于 72cm，试求邮包在可能最大体积时的长宽高尺寸。优化问题的数学模型包括哪些部分写出一般形式的数学模型机械优化设计的过程是怎样的它与常规的机械设计有什么不同怎样判断所求得的最优解是不是全局最优解试简述优化算法的迭代过程何为可行域为什么说当存在等式约束则优化问题中有个等式约束时可行域是什么什么是内点什么是外点在优化设计中内点和外点都可以作为设计方案吗为什么试写出第一节中第三个问题的数学模型目标函数及其等值线等值面的意义和特性是什么习题时怎样设计可使油箱并指出属于哪一类优化问题当一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为问题的数学模型并回答属于几维的优化问题是线性规划还是非线性规划欲造容积为的长方形无盖水箱问应如何选定其长宽高尺寸才能使用料消耗最少试写出其数学