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1、向量复习 知识点 1：两个不为零的向量a，b平行，)0(ba 如果ba,可以用直角坐标系的坐标表示，那么设 ),(),(qpbnma，那么npmq 如果ba,可以用两个不共线的基向量dc,表示，比 如说dncma，dqcpb，那么基向量前面 的系数成比例，也就是npmq 在这里强调其实后面两点是一样的，因为向量的坐标表示法引进前身是用直角坐标系的两个垂直的单位向量ji,，比如),(nma，也即是jnima，为了方便，我们写成坐标形式，而这点其实是的一般形式，就是讲两个基向量推广到了不垂直的情况。用这个知识点的例题比如说：【例一】设a与b是两个不共线的向量，且向量ab与(2)ba共线，则的值为
2、【解析】要求的两个向量就是用a与b作为基底的，那么这两个向量共线可以得到前面的系数成比例，也即是121，也即21 【例二】在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F，若ACa，BDb，则AF=（）A1142ab B 2133ab C 1124ab D1233ab【解析】比如说运用这个知识点首先本题的难点在于 F 点的位置，其在 DC 中的位置比例，所以首先要确定其位置在哪里，所以，我们设DCDF 那么我们就可以用一个FEA,共线来确定的值 所以我们可以用AFAE,用相同基向量表示这两个向量，然后用系数比例的关系求出这个的
3、值 ABADADABADADACADAOAE414321)(4121412121 ABADDCADDFADAF 则3141143 baBDACOCBOOBAOOCBOABADAF313231323432)(31)(31 【例三】如图，在ABC 中，点 M 为 BC 的中点，A、B、C 三点坐标分别为（2，2）、（5，2）、（3，0），点 N 在 AC 上，且NCAN2，AM与 BN 的交点为 P，求：（1）点 P 分向量AM所成的比的值；（2）P 点坐标 【解析】这题例题也是同样的道理，（1）主要求 P 点，假设AMAP,因为NPB,三点共线，所以BNBP,用基向量BCBA,表示，再用待定系数
4、法求得 的值。ABBCABBCABBCABACBCAMBCMPBMBP)1(2)(1(2121)(1(2121)1(21 ABBCBCABBCACBCCNBCBN3132)(3131 所以54)1(2231)1(322，所以分向量AM所成的比的值为41（2）用比例的方法可以得到 P)52,56(（总结方法：在图中有未知线段的比例不知道，就可以先设其线段比例为，然后利用一个三点共线的两向量平行来求解的值。）向量表示比如说那么基向量前面的系数成比例也就是在这里强调其实后面两点是一样的因为向量的坐标表示法引进前身是用直角坐标系的两个垂直的单位向量比如也即是为了方便我们写成坐标形式而这点其实是的一般形
5、式就是讲两解析要求的两个向量就是用与作为基底的那么这两个向量共线可以得到前面的系数成比例也即是也即例二在平行四边形中与交于点是线段的中点的延长线与交于点若则解析比如说运用这个知识点首先本题的难点在于点的位置其在中基向量表示这两个向量然后用系数比例的关系求出这个的值则例三如图在中点为的中点三点坐标分别为点在上且与的交点为求点分向量所成的比的值点坐标解析这题例题也是同样的道理主要求点假设因为三点共线所以用基向量表示 知识点 2：重要定理（此定理在 2013 年高考中多省份考到这个知识点）：假设平面上有三点CQP,且这三点共线，另外有不在这条直线上的点O点，可以得到1,OQOPOC 证明这个定理：证
6、明：可以由CQP,三点共线可以假设PQtPC，)(OQPOtOPPQtOPPCOPOC OQtOPt)1(也即1,1tt 不难得出：如果C在PQ线段之间是可以得到1,10,10 如果C在PQ延长线上时，1,0,1 如果C在QP延长线上时，1,0,1 例题讲解【例四】如下图所示，两射线 OA 与 OB 交于点 O，下列 5 个向量中，OBOA2，OBOA3143，OBOA5143，OBOA3121,OBOA5143若以 O 为起点，终点落在阴影区域内（含边界）的向量有（）个 A1 B2 C3 D4 【解析】可得在BA的延长线上，如何运用上面的定理主要靠转化成定理的形式，比如说OBOBOAOBOA
7、121)4143(3143，那么OBOA4143的终点在AB线段上，如图 1，那向量表示比如说那么基向量前面的系数成比例也就是在这里强调其实后面两点是一样的因为向量的坐标表示法引进前身是用直角坐标系的两个垂直的单位向量比如也即是为了方便我们写成坐标形式而这点其实是的一般形式就是讲两解析要求的两个向量就是用与作为基底的那么这两个向量共线可以得到前面的系数成比例也即是也即例二在平行四边形中与交于点是线段的中点的延长线与交于点若则解析比如说运用这个知识点首先本题的难点在于点的位置其在中基向量表示这两个向量然后用系数比例的关系求出这个的值则例三如图在中点为的中点三点坐标分别为点在上且与的交点为求点分向
8、量所成的比的值点坐标解析这题例题也是同样的道理主要求点假设因为三点共线所以用基向量表示么OBOBOA121)4143(就会在如图的阴影部分内。同理可以 将OBOA3143转化为OBOBOAOBOA20141435143 将OBOA3121转化为OBOBOAOBOA6121213121 将OBOA5143转化为OBOBOAOBOA20941435143 【例五】（2013 安徽卷理 9）在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点 A,B 满2|OBOAOBOA,则点集,1|,|ROBOAOPP所表示的区域面积是(A)22 (B)32 (C)24 (D)34 【解析】2|OBOAOBOA，可以得到
9、2|OBOA，且两个向量的夹角为 60，如图可以将两个向量放到半径为 2 的圆内，如图 2。且由1|，可得10,1|0，那么当10,10时，可知 P 点形成的 区域为图中灰色区域 当10,10，将问题转化为 OBAOOBOAOP,那么 P 点 形成的区域则是紫色的区域 当10,10，将问题转化为 BOAOOBOAOP 那么 P 点形成的区域是红色的区域 当10,10，将问题转化为 BOOAOBOAOP 那么 P 点形成的区域是黄色的区域 所以，综上所述可得 P 点形成的区域为一个长为32，宽为 2 的矩形区域，即面积为34，所以答案选 D。向量表示比如说那么基向量前面的系数成比例也就是在这里强
10、调其实后面两点是一样的因为向量的坐标表示法引进前身是用直角坐标系的两个垂直的单位向量比如也即是为了方便我们写成坐标形式而这点其实是的一般形式就是讲两解析要求的两个向量就是用与作为基底的那么这两个向量共线可以得到前面的系数成比例也即是也即例二在平行四边形中与交于点是线段的中点的延长线与交于点若则解析比如说运用这个知识点首先本题的难点在于点的位置其在中基向量表示这两个向量然后用系数比例的关系求出这个的值则例三如图在中点为的中点三点坐标分别为点在上且与的交点为求点分向量所成的比的值点坐标解析这题例题也是同样的道理主要求点假设因为三点共线所以用基向量表示 知识点 3：向量的基本要素求解：一般求解向量的
11、基本要素，主要分为求解向量之间的夹角和向量的模长。那么要求这几个要素必须要明白其可求解的途径：求解模长 1）如果向量a的坐标),(yx已知（前提是在直角坐标系下的坐标），那么就可 以直接选用勾股定理求解22yxa 2）如果向量a的坐标不知道，但是a用两个已知的基向量表示出来，并且已 知基向量的模长，基向量之间的夹角，那么可以通过对模长平方来求解，比如：已知,ndmc且rdc，如果dqcpa，则 222222222)(2)(nqpqrmpdqdcpqcpdqcpa 一般在不知道坐标的情况下都可以进行平方求解。3）可以用公式求解nmnmcos 夹角求解 1）可以用公式求解nmnmcos 2）两向量
12、夹角的范围0，两向量的夹角与三角形中角的类型的 判断有着密切的联系：若20，则该角为锐角1cos0当0,0 ba时，0 ba 若2，则该角为直角 0cos 当0,0 ba时，0 ba 若2，则该角为钝角0cos1当0,0 ba，0 ba 知识点 4：1）向量的点积cosbaba，如果向量有坐标，),(),(2211yxbyxa，则2121yyxxba。2）向量a在向量b上的投影为cosa（投影可以是负的），向量在基向量上分解，平行四边形原则。向量表示比如说那么基向量前面的系数成比例也就是在这里强调其实后面两点是一样的因为向量的坐标表示法引进前身是用直角坐标系的两个垂直的单位向量比如也即是为了方
13、便我们写成坐标形式而这点其实是的一般形式就是讲两解析要求的两个向量就是用与作为基底的那么这两个向量共线可以得到前面的系数成比例也即是也即例二在平行四边形中与交于点是线段的中点的延长线与交于点若则解析比如说运用这个知识点首先本题的难点在于点的位置其在中基向量表示这两个向量然后用系数比例的关系求出这个的值则例三如图在中点为的中点三点坐标分别为点在上且与的交点为求点分向量所成的比的值点坐标解析这题例题也是同样的道理主要求点假设因为三点共线所以用基向量表示【例六】如图，设 P、Q 为ABC 内的两点，且，2155APABAC，AQ23AB14AC，则ABP 的面积与ABQ 的面积之比为 【解析】本题考
14、查的是向量的平行四边形法则分解，已知2155APABAC，AQ23AB14AC，如下图，设25AMAB，15ANAC，则APAMAN，由平行四边形法则，知 NPAB，所以ABPABCSANSAC15，同理可得14ABQABCSS，故45ABPABQSS 【例七】（2013 浙江卷理 7）设0,PABC是边AB上一定点，满足ABBP410，且对于边AB上任一点P，恒有CPBPPCPB00。则（）A.090 ABC B.090 BAC C.ACAB D.BCAC 【解析】本题考查向量的几何意义，也就是投影。过 C 点作ABCH，并且此处记HBPHPB,且若 P 点在 HB之间时，记 PH 为负，P
15、 点在 AH 之间时，PH 为正，所以PHPBPCPB，此处的PH与上述的PH相同，所以 222)2()2()(HBHBPHPHHBPHPHHBPHPHPBPCPB 当三角形确定以后，HB 就为常数可以定下来，而 PH 为一个变量，所有把它看成一个函数，可知，当2HBPH时，PCPB 最小，即此时P点在 HB 线段的中点，而由条件可知CPBPPCPB00，也即此时 P 点与0P点重合，并且ABBP410，可得到0P为 HB线段的中点，则ABHB21,即H为 AB 的中点，那么 CH 为 AB 的中垂线，那么 AC=AB。向量的几何意义考查一般要数形结合，考察起来题目一般难度会比较大，关键在于是
16、否能够转化为几何问题上。N M Q P C B A 向量表示比如说那么基向量前面的系数成比例也就是在这里强调其实后面两点是一样的因为向量的坐标表示法引进前身是用直角坐标系的两个垂直的单位向量比如也即是为了方便我们写成坐标形式而这点其实是的一般形式就是讲两解析要求的两个向量就是用与作为基底的那么这两个向量共线可以得到前面的系数成比例也即是也即例二在平行四边形中与交于点是线段的中点的延长线与交于点若则解析比如说运用这个知识点首先本题的难点在于点的位置其在中基向量表示这两个向量然后用系数比例的关系求出这个的值则例三如图在中点为的中点三点坐标分别为点在上且与的交点为求点分向量所成的比的值点坐标解析这题例题也是同样的道理主要求点假设因为三点共线所以用基向量表示