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1、 不等式知识点及其解题技巧 1、不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减 ：若 a b,c d，则 a c b d（若 a b,c d，则 a c b d），但异向不等式不可以相加；同向不等 式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘 ，但不能相除；异向不等式 可以相除，但不能相乘：若 a b 0,c d 0，则 ac bd（若 a b 0,0 c d，则 a b）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方 ：若 a b 0，则 an bn 或 c d 1 1 1 1 n a 0，a b，则。如（1）对 n b；（4）若 ab 0，a b，则；若 ab a
2、b a b 于实数 a,b,c 中，给出下列命题：若 a b,则 ac 2 bc2；若 ac 2 bc2,则 a b；若 a b 0,则 a 2 ab b2 ；若 a b 0,则 1 1；若 a b 0,则 b a；a b a b 若 a b 0,则 a b；若 c a b 0,则 a a b；若 a b,1 1，则 c c b a b a 0,b 0。其中正确的命题是 _（答：）；（2）已知 1 x y 1，1 x y 3，则 3x y 的取值范围是 （答：1 3x y 7）；（）已知 a b c，_ 3 且 a b c 0,则 c 的取值范围是 _（答：2,1）a 2 2.不等式大小比较的
3、常用方法 ：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差 的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；(8)图象法。其 中比较 法（作 差、作商 ）是最 基本的 方法。如（1）设 a 0 且 a 1,t 0，比较 1 log a t和 log a t 2 1 的大小（答：当 a 1 时，1 log a t log a t 1（t 1 时取等号）；当 2 1 t 1 2 2 1 ，0 a 1 时，2 log a t log a 2（t 1 时取等号）；（2）设 a 2，p a
4、 a 2 q 2 a 2 4 a 2，试比较 p,q 的大小（答：p q）（；3）比较 1+log x 3 与 2 log x 2(x 0 且 x 1)0 x 1或 x 4 时，1+log x 3 2log x 2；当 1 4 时，1+log x 3 的大小（答：当 3 x 4 3 2log x 2；当 x 时，1+log x 3 2log x 2）3 3.利用重要不等式求函数最值 时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小 ”这 17 字方针。如（1）下列命题中正确的是 A、y x 1 2B、的最小值是 x y x2 3 的最小值是 2 C、y 2 3x 4(x 0)的最大值
5、是 2 4 3 D、x2 2 x y 2 3x 4(x 0)的最小值是 2 4 3（答：C）；（2）若 x 2 y 1，则 2x 4y 的最小 x 值是 _（答：2 2）；（3）正数 x,y 满足 x 2 y 1，则 1 1 的最小值为 _（答：x y 3 2 2）；4.常用不等式 有：（1）a2 b2 a b ab 2(根据目标不等式左右的运算 2 2 1 1 a b 结构选用)；（2）a、b、c R，a2 b2 c2 ab bc ca（当且仅当 a b c 时，取等 号）；（3）若 a b 0,m 0，则 b b m（糖水的浓度问题）。如如果正数 a、b 满足 a a m ab a b 3
6、，则 ab 的取值范围是 _（答：9,）5、证明不等式的方法 ：比较法、分析法、综合法和放缩法 (比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与 1 的大小，然后作出结论。).常用的放缩技巧有：1 1 1 1 1 1 1 n n 1 n(n 1)n2 n(n 1)n 1 n k 1 k 1 1 1 k k 1 k 1 k 2 k k 1 k 如（1）已知 a b c，求证：a2 b b2 c c 2a ab 2 bc 2 ca 2；(2)已知 a,b,c R，求证：2 2 2 2 2 2 1 1 a b b c c a abc a b c a,b,x,y R，且,x
7、 y，a b 求 证：x y ；(4)若 a、b、c 是不全相等的正数，求证：x a y b l ga b l gb c l gc a a l gb lc g；（5）l已g知 a,b,c R，求证：a2 b2 b2c2 2 2 2 c2 a2 abc(a b c)；(6)若 n N*，求证：(n 1)2 1(n 1)n2 1 n；(7)已知|a|b|，求证：|a|b|a|b|；（8）求证：1 1 1 1 2。22 32 n2|a b|a b|6.简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的 积，并使每一个因式中最高次项的系数为正 ；（2）将每一个一次因式的根标在数
8、轴上，从 最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意 奇穿过偶弹回 ；（3）根据曲线显现 f(x)的 符号变化规律，写出不等式的解集。如（1）解不等式 (x 1)(x 2)2 0。（答：x|x 1 或 x 2）；（2）不等式(x 2)x2 2x 3 0 的解集是 _（答：x|x 3 或 x 1）；（3）设函数 f(x)、g(x)的定义域都是 R，且 f(x)0 的解集为 x|1 x 2，g(x)0 的解集为，则不等式 f(x)g(x)0 的解集为 _（答：(,1)2,)）；（4）要 使满足关于 x 的不等式 2x2 9x a 0（解集非空）的每一个 x 的值至少满足不等式 x2 4x 3 0
9、和 x2 6x 8 0中的一个，则实数 a 的取值范围是 _.（答：7,81)）8 7.分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分 子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不 等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如（1）解不等式 5 x 1 (1,1)2）关于 x 的不等式 ax b 0 的解集为 (1,)，（答：(2,3)）；（x2 2 x 3 则关于 x 的不等式 ax b 0 的解集为 _（答：(,1)(2,)）.x 2 8.绝对值不等式的解法：（1）分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式
10、|2 3 x|2|x 1|（答：x R）；（2）利用绝对值的定义；（3）数形结合；如解不等 4 2 式|x|x 1|3（答：(,1)(2,)）（4）两边平方：如若不等式|3x 2|2x a|对 x R 恒成立，则实数 a 的取值范围为 _。（答：4）3 向不等式不可以相减左右同正不等式同向的不等式可以相乘但不能相除异向不等式可以相除但不能相乘若则或则若则则若则左右同正不等式两边可以同时乘方或开方若则如对若则若于实数中给出下列命题若则若则若则若则若则若则差后通过分解因式配方等手段判断差的符号得出结果作商常用于分数指数幂的代数式分析法平方法分子或分母有理化利用函数的单调性寻找中间量或放缩法图象法其
11、中比较法作差作商是最基本的方法如设且比较和的大小答当时时取一正二定三相等和定积最大积定和最小这字方针如下列命题中正确的是的最小值是的最小值是的最大值是的最小值是答若则的最小值是答正数满足则的最小值为答常用不等式有根据目标不等式左右的运算结构选用号若当且仅当时取 9、含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论 是关键”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”。注意：按参数讨论，最后 应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集 .如（1）若 2 1，3 log a 则 a 的取值范围是 _（答：a 1或 0 a 2 ax 2 （答：）（；2）解不
12、等式 ax x(a R)3 1 a 0时，x|x 0；a 0 时，x|x 1 或 x 0；a 0 时，x|1 x 0 或 x 0）a a 提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集 的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于 x 的不等式 ax b 0 的解集为 (x 2 0 的解集为 _（答：（1,2）,1)，则不等式 b ax 11.含绝对值不等式的性质 ：a、b 同号或有 0|a b|a|b|a|b|a b|；a、b 异号或有 0|a b|a|b|a|b|a b|.如设 f(x)x2 x 13，实数 a 满足|x a|1，求证
13、：|f(x)f(a)|2(|a|1)12.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).恒成立问题 若不等式 f x A 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f x min A 若不等式 f x B 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f x max B 如（1）设实数 x,y 满足 x2(y 1)2 1，当 x y c 0 时，c 的取值范围是 _（答：2 1,）；（2）不等式 x 4 x 3 a 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取 值范围
14、 _（答：a 1）；（3）若不等式 2 x 1 m x 2 1)对满足 m 2 的所有 m 都成立，(则 x 的取值范围 _（答：（7 1,3 1）；（4）若不等式 (1)n a 2(1)n 1 对于 2 2 n 任意正整数 n 恒成立，则实数 a 的取值范围是 _（答：2,3)）；（5）若不等式 2 1 x2 2 mx 2 m 1 0对 0 x 1 的所有实数 x 都成立，求 m .）的取值范围（答：m 2 2).能成立问题 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f x A成立,则等价于在区间 D 上 f x max A；若 在 区 间 D 上 存 在 实 数 x 使 不 等 式 f x
15、B成立,则等价于在区间 D 上的 f x m i n B.如已知不等式 x 4 x 3 a 在实数集 R 上的解集不是空集，求实数 a 的取值范围 _（答：a 1）3).恰成立问题 若不等式 f x A 在区间 D 上恰成立,则等价于不等式若不等式 f x B 在区间 D 上恰成立,则等价于不等式 f x A 的解集为 D；f x B 的解集为 D.向不等式不可以相减左右同正不等式同向的不等式可以相乘但不能相除异向不等式可以相除但不能相乘若则或则若则则若则左右同正不等式两边可以同时乘方或开方若则如对若则若于实数中给出下列命题若则若则若则若则若则若则差后通过分解因式配方等手段判断差的符号得出结果作商常用于分数指数幂的代数式分析法平方法分子或分母有理化利用函数的单调性寻找中间量或放缩法图象法其中比较法作差作商是最基本的方法如设且比较和的大小答当时时取一正二定三相等和定积最大积定和最小这字方针如下列命题中正确的是的最小值是的最小值是的最大值是的最小值是答若则的最小值是答正数满足则的最小值为答常用不等式有根据目标不等式左右的运算结构选用号若当且仅当时取