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1、学习必备 欢迎下载 七年级上册数学 数与数轴 一、复习小学关于数的知识及运算 1、自然数 定义:表示物体个数及顺序的数，如 0,1,2,3,4,5，.无穷多个。特别地规定：0 是最小的自然数。2、分数 定义：把单位 1 平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。如：1 5,2 7。分数可以表示为一个出发算式：如 12表示为12。或者12=12。3、小数 定义：把 10 进分数按照整数的写法写成不带分母的形式，这样的数叫做小数。如 2.13，其中 2 是整数部分，0.13 是小数部分。整数部分不为零的小数叫做带小数，整数部分为 0 的小数叫做纯小数，如：0.25。任何一个小数都可以表示为
2、：整数部分+小数部分。任 何 一 个 分 数 都 可 以 用 小 数 表 示：如1=0.3333.3 计 作：0.3。411111=0.8,=0.125,=0.5,=0.25,=0.16,=0.142857582467。4、运算规则：先乘除，后加减。有括号先算括号里面的。如：43+8-(5+3)2=_。运算定律：交换律：,abba abba ,问题：1 万亿和1 亿万哪个多？加法对乘法的结合律：()abcabac ，反之也成立：()abacabc 5、奇数：不能被 2 整除的数为奇数如：1，3,5,7,9,11.也可以表示为 2n+1（n 为0,1，2,3,4,5,6.）如果要表示为 2n-1
3、，则 n 为 1,2,3,4.。偶数：能被 2 整除的书为偶数，如 2,4,6,8,10 表示为 2n，n 为 1,2,3,4,5,6。特别地规定：0 是偶数，所以上面表示偶数的 2n 中的 n 也可以为 0。倒数：乘积为 1 的两个数则互为倒数，可以表述为：如果1ab，则,a b互为倒数。其中,a b均不能为 0。注意：0 没有倒数。思考：11aa如果0a1,则1如果a1,则1 101aa如果-1a,则1如果a-1,则1 求和问题：1）自然数求和：(1)1+2+3+4+n=2nn 学习必备 欢迎下载 2）奇数求和：2(21 1)(1)(22)(1)1357(21)(1)22nnnnnn （注
4、意：n 从 0开始）2(21 1)21357(21)(:1)22nnnnnnn 注意 从 开始 解题方法：头加尾，乘以个数除以 2 3）偶数求和：(1)24622(123)2(1)2nnnnnn （其中n 为自然数）4）11111+2233445(1)nn 解：同理可解（试一试）：1111+)1 33 557(21)(21)nn 其中n=1,2,3 11111+)1212312341234 n 其中n=1,2,3 1111+)2242462462n 其中n=1,2,3 11111+2233 445(1)111111111(1)()()()()2233445(1)1111111111223344
5、5(1)11(1)(1 1)(1)(1)nnnnnnnnnnn 如无穷多个特别地规定是最小的自然数分数定义把单位平均分成若干份表示这样的一份或几份的数叫做分数如小数定义把进分数按照整数的写法写成不带分母的形式这样的数叫做小数分数可以表示为一个出发算式如表示为或者如其表示为整数部分小数部分任何一个分数都可以用小数表示如计作运算规则先乘除后加减有括号先算括号里面的如运算定律交换律问题万亿和亿万哪个多加法对乘法的结合律反也成立奇数不能被整除的数为奇数如也可以表示为为如果为的两个数则互为倒数可以表述为如果则互为倒数其中均不能为注意没有倒数思考如果则如果则如果则如果则求和问题自然数求和学习必备欢迎下载奇
6、数求和注意从开始解题方法头加尾乘以个数除以注意从开始偶数求和其中为自然学习必备 欢迎下载 二、数的扩充 1、负数 生活中为了表示具有相反意义的量（数量），对数的概念进行了扩充，从而引进了负数。比 0 小的数叫做负数。如下图：某人从某一点 A 向东走了 5 米计作 5 的话，那么向西走了 5 米则可计作-5。对应的向东走 5 米可计作+5，一般省略+号。生活中有很多相反意义的数量如：天气预报，今日气温零下 5 度到 3 度，可表示为-5 3，零下的就用负数表示。在生活中，你还能举出具有相反意义的数量吗？2、相反数 因为负数产生就是为了表示具有相反意义的量。因此，如上图中的+5 和-5 就互为相反
7、数。规定：0 的相反数为 0.a 的相反数可以表示为 a。如：3 的相反数是-3.12的相反数是-12。-5 的相反数是 5。-13的相反数是13 互为相反数的两个数之和为 0。即：若 a,b 互为相反数，则 a+b=0 证明如下：对于以上结论反过来也成立，即：如果 0,aba b 如果那么互为相反数。试证明：abba与互为相反数 3、有理数 A 东 西,()00a bbaabaaab 互为相反数，则有理数 正整数 正分数 负整数 负分数 0 注意：1）0 和正整数合称为自然数，0 是最小的自然数 2）任何循环小数都可以表示为一个分数。如无穷多个特别地规定是最小的自然数分数定义把单位平均分成若
8、干份表示这样的一份或几份的数叫做分数如小数定义把进分数按照整数的写法写成不带分母的形式这样的数叫做小数分数可以表示为一个出发算式如表示为或者如其表示为整数部分小数部分任何一个分数都可以用小数表示如计作运算规则先乘除后加减有括号先算括号里面的如运算定律交换律问题万亿和亿万哪个多加法对乘法的结合律反也成立奇数不能被整除的数为奇数如也可以表示为为如果为的两个数则互为倒数可以表述为如果则互为倒数其中均不能为注意没有倒数思考如果则如果则如果则如果则求和问题自然数求和学习必备欢迎下载奇数求和注意从开始解题方法头加尾乘以个数除以注意从开始偶数求和其中为自然学习必备 欢迎下载 4、数的乘方 1）定义 aaaa
9、a 表示:n 个相同数的乘积。记作：,nnaana读作 的 次方，或者a的 n 次幂。其中 a 叫底数，n 叫指数，的结果叫幂。2）乘方运算法则：相加：34nnnaaa （相同的幂，系数不同，则幂不变，系数相加。）23mnm naaa 32nnnaaa 乘法：mnm naaa （底数相同，指数不同的两个幂相乘，则底数不变，指数相加）算一算：1234100aaaaa？除法：mnm naaa （底数相同，指数不同的两个幂相乘，则底数不变，指数想减）算一算：20202017aa？乘方的乘方：()mnm naa（底数不变，指数相乘）算一算：32(2)？，23(2)？，观察结果。说明()()mnnmm
10、naaa，因为乘法有交换律。牢记：负数的奇数次方为负数 3(3)2 7 负数的偶数次方为正数 4(3)8 1 0 的任何次方等于0 00n 1 的任何次方等于1 11n 任何不为0 的数的 0 次方等于 1 01a 00是不存在或没有意义的 n 个 如无穷多个特别地规定是最小的自然数分数定义把单位平均分成若干份表示这样的一份或几份的数叫做分数如小数定义把进分数按照整数的写法写成不带分母的形式这样的数叫做小数分数可以表示为一个出发算式如表示为或者如其表示为整数部分小数部分任何一个分数都可以用小数表示如计作运算规则先乘除后加减有括号先算括号里面的如运算定律交换律问题万亿和亿万哪个多加法对乘法的结合
11、律反也成立奇数不能被整除的数为奇数如也可以表示为为如果为的两个数则互为倒数可以表述为如果则互为倒数其中均不能为注意没有倒数思考如果则如果则如果则如果则求和问题自然数求和学习必备欢迎下载奇数求和注意从开始解题方法头加尾乘以个数除以注意从开始偶数求和其中为自然学习必备 欢迎下载 以上结论能证明吗？当指数为负数时表示什么？3 的-2次方即23？，我们现在来计算：因此：1nnaa（0a）证明如下：由上面推导中有01nnn naaaa，因此nnaa和互为倒数。练习：-3-2-253-5=-=-3=-(3)（），（），思考题：当 a0,则 a2 0,a3 0 当 a0,则 a2 0,a3 0 如果 a,m
12、,n 为大于 1 的正整数且 mn,那么1mnaa 如果 0a1,m,n 为大于 1 的正整数且 mn，那么1mnaa 证明：如果0a，1a 且mnaa和互为倒数，m 和 n 互为相反数。乘方练习题（有难度哦）0200-2-22-2313931=3=3=3913=9两式相除则：因此：01,1=1=nnn nnnnnnnnaaaaaaaaaaaa0,两边同时除以则有：12212332122017201720179999201713108,448,3336,27373996,57,53mmnnmmmmmmabcmnm、已知：3求 的值。2、已知2求 的值3、若22求 的值4、已知：a,b,b2为正
13、整数，且4求（a-b-c)、判断下列各数的个位数2如无穷多个特别地规定是最小的自然数分数定义把单位平均分成若干份表示这样的一份或几份的数叫做分数如小数定义把进分数按照整数的写法写成不带分母的形式这样的数叫做小数分数可以表示为一个出发算式如表示为或者如其表示为整数部分小数部分任何一个分数都可以用小数表示如计作运算规则先乘除后加减有括号先算括号里面的如运算定律交换律问题万亿和亿万哪个多加法对乘法的结合律反也成立奇数不能被整除的数为奇数如也可以表示为为如果为的两个数则互为倒数可以表述为如果则互为倒数其中均不能为注意没有倒数思考如果则如果则如果则如果则求和问题自然数求和学习必备欢迎下载奇数求和注意从开
14、始解题方法头加尾乘以个数除以注意从开始偶数求和其中为自然学习必备 欢迎下载 2222134319972200111234321423,4(0.25)823 243,52 510,1)(1)(1)(1)1110252000,802000,nnnnxxxxabcdxynaaadbcxy 6、已知求 的值7、计算（-2a)、若3求x的值9、已知2求证（、已知求的值 5、有理数的运算 有理数加法：同号相加，取原来的符号，并把绝对值相加-3+(-2)=-(3+2)=-5 异号相加，取绝对值大的符号，用大的绝对值减去小的绝对值。-3+(5)=+(5-3)任何数加 0 等于任何数：0aa 有理数减法：减去一
15、个数等于加上这个数的相反数，表示为：()abab 如：5(2)527 ，5(3)53(53)2 有理数乘法：同号相乘为正，异号相乘为负，并把绝对值相乘。任何数乘以 0 为 0 如：5(3)(53)15 ，5 10(510)50 任何数乘以 0 为 0，表示为：00a 有理数除法：除以一个数等于乘以一个数的倒数.如：1100101001010，11184282 2nnnnnaaaaa（nnaa和互为倒数）有理数混合运算：先乘方，在乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的。（括号里面也要先乘方，在乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的）5232(1539)如：55532(1599)32(151)32
16、143321435 1421 （注意演算过程）如无穷多个特别地规定是最小的自然数分数定义把单位平均分成若干份表示这样的一份或几份的数叫做分数如小数定义把进分数按照整数的写法写成不带分母的形式这样的数叫做小数分数可以表示为一个出发算式如表示为或者如其表示为整数部分小数部分任何一个分数都可以用小数表示如计作运算规则先乘除后加减有括号先算括号里面的如运算定律交换律问题万亿和亿万哪个多加法对乘法的结合律反也成立奇数不能被整除的数为奇数如也可以表示为为如果为的两个数则互为倒数可以表述为如果则互为倒数其中均不能为注意没有倒数思考如果则如果则如果则如果则求和问题自然数求和学习必备欢迎下载奇数求和注意从开始解
17、题方法头加尾乘以个数除以注意从开始偶数求和其中为自然学习必备 欢迎下载 计算：317911()(2)3122030？如无穷多个特别地规定是最小的自然数分数定义把单位平均分成若干份表示这样的一份或几份的数叫做分数如小数定义把进分数按照整数的写法写成不带分母的形式这样的数叫做小数分数可以表示为一个出发算式如表示为或者如其表示为整数部分小数部分任何一个分数都可以用小数表示如计作运算规则先乘除后加减有括号先算括号里面的如运算定律交换律问题万亿和亿万哪个多加法对乘法的结合律反也成立奇数不能被整除的数为奇数如也可以表示为为如果为的两个数则互为倒数可以表述为如果则互为倒数其中均不能为注意没有倒数思考如果则如
18、果则如果则如果则求和问题自然数求和学习必备欢迎下载奇数求和注意从开始解题方法头加尾乘以个数除以注意从开始偶数求和其中为自然学习必备 欢迎下载 绝对值与数轴 一、数轴 定义：用一条直线上的点来表示数，这条直线就叫数轴 数轴有三个要素：1、规定了原点，代表 0 2、规定了正方向，一般原点向右为正，原点向左为负。3、规定了单位长度 1，1 的位置到原点的距离为单位长度。数轴的特点：1、任何一个数都能在数轴上找到相应的点，一一对应。2、数轴能比较大小，右边的数比左边的数大。3、正数大于 0，负数小于 0.正数大于负数 4、互为相反数的两个数分别位于原点的两边并且离开原点的距离相等 从数轴上可以看出，如
19、果 A 点落在-1和-3之间，则 A 点对应的数值计作 a,那么下面的不等式成立：-3 a 0 时)-3-2-1 2 1 0-3-2-1 2 1 0 A-3-2-1 2 1 0 A 距离 如无穷多个特别地规定是最小的自然数分数定义把单位平均分成若干份表示这样的一份或几份的数叫做分数如小数定义把进分数按照整数的写法写成不带分母的形式这样的数叫做小数分数可以表示为一个出发算式如表示为或者如其表示为整数部分小数部分任何一个分数都可以用小数表示如计作运算规则先乘除后加减有括号先算括号里面的如运算定律交换律问题万亿和亿万哪个多加法对乘法的结合律反也成立奇数不能被整除的数为奇数如也可以表示为为如果为的两个
20、数则互为倒数可以表述为如果则互为倒数其中均不能为注意没有倒数思考如果则如果则如果则如果则求和问题自然数求和学习必备欢迎下载奇数求和注意从开始解题方法头加尾乘以个数除以注意从开始偶数求和其中为自然学习必备 欢迎下载 a=-a (a 0 时)0 的绝对值是 0，任何数的绝对值都大于等于 0。即a0 abab abba 变化一下，我们来看看2x 表示的意义:两种思考方法：1、分段分析法（代数法）220,22(2)0220,2(2)20 xxxxxxxxxx 当时，当时，2、几何分析法 根据绝对值的概念：2=-2xx（）表示在数轴上-2x到 的距离 同样的道理：33xx 表示 的点到 的距离 例题：1
21、、解：2、如果22(5)20,xyxy 求 解：x x-3-2-1 2 1 0 距离 距离 320,3020,3203=02=03,21ababababababab 如果求，要使，那么，222222(5)020(5)20(5)=02=050,205,25(2)541=1xyxyxyxyxyxyxy 因为，要使，则，则。所以：如无穷多个特别地规定是最小的自然数分数定义把单位平均分成若干份表示这样的一份或几份的数叫做分数如小数定义把进分数按照整数的写法写成不带分母的形式这样的数叫做小数分数可以表示为一个出发算式如表示为或者如其表示为整数部分小数部分任何一个分数都可以用小数表示如计作运算规则先乘除后
22、加减有括号先算括号里面的如运算定律交换律问题万亿和亿万哪个多加法对乘法的结合律反也成立奇数不能被整除的数为奇数如也可以表示为为如果为的两个数则互为倒数可以表述为如果则互为倒数其中均不能为注意没有倒数思考如果则如果则如果则如果则求和问题自然数求和学习必备欢迎下载奇数求和注意从开始解题方法头加尾乘以个数除以注意从开始偶数求和其中为自然学习必备 欢迎下载 3、31xxx 当 在什么数值范围时，的有最小值，最小值是多少？解：分段法：131=31224xxxxxx 当时，abba 331=-(3)(1)224xxxxxx 当时，综上分析：314,xx -3131xxx 当时，达到最小值，最小值为 4 几
23、何解法：根据绝对值的概念：3-311xxxx表示 到 的距离，表示 到 的距离。如上图所示：只有当x 落在-3和 1 之间距离最短，因此-3131-=xxx 当时，达到最小值，最小值为 1（3）4 4、如果-3+25111,xxyyxy 求的最大值与最小值 解：根据绝对值概念，距离 x-3-2-1 2 1 0 x x-3+25516-3+25111-3+2=551=6-3+25111-3,51-44-7xxyyxxyyxxyyxxyyxyxyxy 所以所以只有当，时，等式成立。所以 2两式相加则有 7所以的最大值为，最小值为如无穷多个特别地规定是最小的自然数分数定义把单位平均分成若干份表示这样
24、的一份或几份的数叫做分数如小数定义把进分数按照整数的写法写成不带分母的形式这样的数叫做小数分数可以表示为一个出发算式如表示为或者如其表示为整数部分小数部分任何一个分数都可以用小数表示如计作运算规则先乘除后加减有括号先算括号里面的如运算定律交换律问题万亿和亿万哪个多加法对乘法的结合律反也成立奇数不能被整除的数为奇数如也可以表示为为如果为的两个数则互为倒数可以表述为如果则互为倒数其中均不能为注意没有倒数思考如果则如果则如果则如果则求和问题自然数求和学习必备欢迎下载奇数求和注意从开始解题方法头加尾乘以个数除以注意从开始偶数求和其中为自然学习必备 欢迎下载 科学计数法 科学计数法是一种计数方法，把一个
25、数表示为 a(110a,n 为整数)与 10 的幂相乘的形式。计作：10na 1435282.8 10,100031.03 1010001.0 10,0.0000151.5 10 1、abbcac 2、137000002 （用科学计数法写出答案）科学技术发的作用：1、转换单位 98 5.5=8.4 51 0亿元元，单位从大单位变到小单位。2、表示很大的数，也可表示很小的数。如：6-52800000=2.8100.000035=3.510 3、常用单位的可科学技术法 1 十1=10 1 百2=10 1 千3=10 1 万4=10 1 百万6=10 1 亿8=10 今年我国外汇储备高达 3.57
26、万亿美元，用科学计数法可写为 3.571012 美元 1 万亿=1 万1 亿=48121010=10 练习题 一、选择题 1、57000 用科学记数法表示为()。A、57103 B 5.7104 C、5.7105 D 0.57105 2、3400=3.410n，则 n 等于()。A、2 B、3 C、4 D、5 3、72010000000=a1010，则 a 的值为()。A、7201 B、7.201 C、7.2 D、7.201 4、若一个数等于 5.8 1021，则这个数的整数位数是()。A、20 B、21 C、22 D、23 5、我国最长的河流长江全长约为 6300 千米，用科学记数法表示为（
27、）A、63 102千米 B、6.3 102千米 C、6.3 103千米 D、6.3 104千米 如无穷多个特别地规定是最小的自然数分数定义把单位平均分成若干份表示这样的一份或几份的数叫做分数如小数定义把进分数按照整数的写法写成不带分母的形式这样的数叫做小数分数可以表示为一个出发算式如表示为或者如其表示为整数部分小数部分任何一个分数都可以用小数表示如计作运算规则先乘除后加减有括号先算括号里面的如运算定律交换律问题万亿和亿万哪个多加法对乘法的结合律反也成立奇数不能被整除的数为奇数如也可以表示为为如果为的两个数则互为倒数可以表述为如果则互为倒数其中均不能为注意没有倒数思考如果则如果则如果则如果则求和
28、问题自然数求和学习必备欢迎下载奇数求和注意从开始解题方法头加尾乘以个数除以注意从开始偶数求和其中为自然学习必备 欢迎下载 6、今年第一季度我国增值税、消费税比上年同期增收 3.07 1010元也就是说增收了().A、30.7 亿元 B、307 亿元 C、3.07 亿元 D、3070 亿元 二、填空题 1、365 10175是_位数，0.12 1010是_位数；2、把 3900000用科学记数法表示为_，把 1020000用科学记数法表示为_；3、用科学记数法记出的数 5.16 104的原数是 _，2.236 108的原数是 _；4、比较大小：3.01 104_9.5103；3.01 104_3
29、.10 104；5、地球的赤道半径是 6371 千米，用科学记数法记为_米。6、18 克水里含有水分子的个数约为 60230000(20 个 0)，用科学记数法表示为_；7、我国建造的长江三峡水电站，估计总装机容量达16780000千瓦，则用科学记数法表示的总装机容量为 _。8、实施西部大开发战略是党中央的重大决策，我国国土面积约为 960 万平方千米，而我国 西部地区占我国国土面积的23，用科学记数法表示我国西部地区的面积约为_ 三、计算题（1）（8 1012）（7.2106）（2）（-6.5 103）（-1.2 109）探究创新乐园 1、用科学记数法表示 1502 2、请写出用科学记数法表
30、示的数 5.0301103 3、20XX 年 2 月 12 日,科学家首次公布了人类基因组“基本信息”，经过初步测定和分析,人类基因共有 32 亿个碱基对,包含了大约 3 万到 4 万个蛋白质编码基因，请用科学记数法表示 32 亿个碱基对。4、光的速度是 3108 米/秒，太阳光从太阳射到地球的时间约 500 秒，请你计算出太阳与地球的距离(用科学计数法表示)如无穷多个特别地规定是最小的自然数分数定义把单位平均分成若干份表示这样的一份或几份的数叫做分数如小数定义把进分数按照整数的写法写成不带分母的形式这样的数叫做小数分数可以表示为一个出发算式如表示为或者如其表示为整数部分小数部分任何一个分数都
31、可以用小数表示如计作运算规则先乘除后加减有括号先算括号里面的如运算定律交换律问题万亿和亿万哪个多加法对乘法的结合律反也成立奇数不能被整除的数为奇数如也可以表示为为如果为的两个数则互为倒数可以表述为如果则互为倒数其中均不能为注意没有倒数思考如果则如果则如果则如果则求和问题自然数求和学习必备欢迎下载奇数求和注意从开始解题方法头加尾乘以个数除以注意从开始偶数求和其中为自然学习必备 欢迎下载 关于绝对值的练习题（有难度哦）1、2、3、4、1）+32xx 的最小值是 ，此时 x 的范围是 2）当 x=时，+71+3xxx 有最小值，最小值为 3）abcd，则+xaxbxcxd 的最小值是 5、3,2,x
32、yxyyxxy 且求的值 6、化简：3121xx 7、0,abcabcabc则的所有可能值是什么？8、245134xxx 若的值恒为常数，求 x满足的条件及此常数是多少 9、当 x 是什么实数时，下列等式成立：1）2)(4)24xxxx （2）6)(35)6)(35)xxxx（7（7 10、1）xxx ，2）化简 5710 xxx 11、12、不相等的有理数 a,b,c,在数轴上的对应点分别为 A,B,C。如果abbcac ，则 B 点的位置应为（）1)在 A,C 点的右边。2）在 A,C 点的左边。3）在 A,C 点之间。4）以上三种都有可能。2201720172()()()abcdxxab
33、cd xabcd 已知、互为相反数，、互为倒数，求：的值210,(3)0,1baba 如果求的值220,xyxy 若求的值1515,015,15TxpxxppxT 设其中对于满足p来说，的最小值是多少？如无穷多个特别地规定是最小的自然数分数定义把单位平均分成若干份表示这样的一份或几份的数叫做分数如小数定义把进分数按照整数的写法写成不带分母的形式这样的数叫做小数分数可以表示为一个出发算式如表示为或者如其表示为整数部分小数部分任何一个分数都可以用小数表示如计作运算规则先乘除后加减有括号先算括号里面的如运算定律交换律问题万亿和亿万哪个多加法对乘法的结合律反也成立奇数不能被整除的数为奇数如也可以表示为
34、为如果为的两个数则互为倒数可以表述为如果则互为倒数其中均不能为注意没有倒数思考如果则如果则如果则如果则求和问题自然数求和学习必备欢迎下载奇数求和注意从开始解题方法头加尾乘以个数除以注意从开始偶数求和其中为自然学习必备 欢迎下载 代数式及方程 一、代数式 1、定义 由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。例如：ax+2b，2/3，333535aa，等。注意：1）、不包括等于号（=、）、不等号（、）、约等号。2）、可以有绝对值。例如：|x|，|-2.25|等。2、代数式的范围 在复数范围内，代数式包括有理式和无理式。ax+2b 是
35、有理式，2a 叫无理式。有理式又包括：整式（除数中没有字母的有理式）和分式除数中有字母且除数不为0 的有理式。这种代数式中对于字母只进行有限次加、减、乘、除和整数次乘方这些运算。不进行开方运算。下面我们重点学习整式：四、整式 整式为单项式和多项式的统称，是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母。2,0.43,3xxxx yy是整式。不是整式。（分母中含有字母，这种代数式叫分式）1、单项式 由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式（monomial）。单独一个数或一个字母也是单项式，如：单独的一个数如-1，可以看成0-1 a。系数
36、：（1）单项式中的常数因数叫做单项式的系数(coefficient).如 3x 的系数是 3。（2）如果一个单项式只含有字母因数，是正数的单项式系数为 1，是负数的单项式系数为-1，如 系数为 1，系数为-1。（3）如果只是一个数字，系数是本身。如 5 的系数还是 5。次数：3,1,5Qa等如无穷多个特别地规定是最小的自然数分数定义把单位平均分成若干份表示这样的一份或几份的数叫做分数如小数定义把进分数按照整数的写法写成不带分母的形式这样的数叫做小数分数可以表示为一个出发算式如表示为或者如其表示为整数部分小数部分任何一个分数都可以用小数表示如计作运算规则先乘除后加减有括号先算括号里面的如运算定律
37、交换律问题万亿和亿万哪个多加法对乘法的结合律反也成立奇数不能被整除的数为奇数如也可以表示为为如果为的两个数则互为倒数可以表述为如果则互为倒数其中均不能为注意没有倒数思考如果则如果则如果则如果则求和问题自然数求和学习必备欢迎下载奇数求和注意从开始解题方法头加尾乘以个数除以注意从开始偶数求和其中为自然学习必备 欢迎下载 一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数（degree of a monomial）。例如 中字母 x 的次数是 1，字母 y 的次数是 2，则 的次数为 1+2=3，又如 ，次数为 2+1=3，因为 3 的次数 3 不算入单项式的次数中。单独一个非零数的次数是 0。如
38、5 可以看成05a,(因为任何数的 0 次方等于 1)。易错混点：（1）单项式的系数包括前面的符号，如：-a的系数是-1；（2）单项式是由数字因数和字母因数组成的，单项式不含加减运算，含有除法运算时，分母不含字母，分子不含加减运算，如：就不是单项式，也不是单项式，因为它们都含加减运算（但第二题也不是分式，因为 是一个数，所以它是多项式）；（3）单项式的次数不能为负数。53a就不是单项式。因为 53a=35a，分母不能为字母。（4）系数是 1 或-1时，省略 1 不写；指数是 1 时，1 也省略不写，在这两个知识点上容易出现错误。如-a，xy.单项式的运算：加减法则：单项式加减即合并同类项，也就
39、是合并前各同类项系数的和，字母不变。例如：,等。同时还要运用到去括号法则和添括号法则。去括号法则：括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变。括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号。添括号法则：添括号时，如果括号前面是加号，括到括号里的各项都不变符号；如果.括号前面是减号，括到括号里的各项都改变符号。乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 例如：（同底数幂的乘积，底数相同，指数相加），333535aa（只把系数相乘）除法法则：如无穷多个特别地规定是最小的自然数分数定义把单位平均分成若干份表示这样的
40、一份或几份的数叫做分数如小数定义把进分数按照整数的写法写成不带分母的形式这样的数叫做小数分数可以表示为一个出发算式如表示为或者如其表示为整数部分小数部分任何一个分数都可以用小数表示如计作运算规则先乘除后加减有括号先算括号里面的如运算定律交换律问题万亿和亿万哪个多加法对乘法的结合律反也成立奇数不能被整除的数为奇数如也可以表示为为如果为的两个数则互为倒数可以表述为如果则互为倒数其中均不能为注意没有倒数思考如果则如果则如果则如果则求和问题自然数求和学习必备欢迎下载奇数求和注意从开始解题方法头加尾乘以个数除以注意从开始偶数求和其中为自然学习必备 欢迎下载 同底数幂（次方）相除，系数相除，底数不变，指数
41、相减。如：525 2312131()33322aaaa 多项式 由有限个单项式的代数和组成的代数式叫做多项式(polynomial)。（化为最简式，即 （常数）（指数不为负数）项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式合并同类项后有几项就叫做几项式。多项式中的符号，看作各项的性质符号.一元 N次多项式最多 N+1项。例：在多项式 中，2x 和-3 是它的项，其中-3 是常数项；在多项式 中它的项分别是 、2x 和 18，其中 18 是常数项，它是三项式。次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数，如：中，这一项的次数最高，这个多项式的次数就是
42、 ，这个多项式就是八次三项式。排列：有时为了计算需要，可以将多项式各项的位置根据加法交换律按照其中某个字母的指数大小顺序来排列。例如：把多项式 按字母 x 指数从大到小的顺序排列，写成 ，这叫做把多项式按字母 x 的降幂排列，若按 x 指数从小到大排列，则就是把多项式按字母x 的升幂排列，写成，也可以是多项式中的其他字母。易错混点：（1）多项式的次数是次数最高项的次数，而不是各项次数的和，应理解透概念。（2）看清是降幂还是升幂排列。（3）降幂和升幂排列都是以某一个字母（未知量）来排序。如无穷多个特别地规定是最小的自然数分数定义把单位平均分成若干份表示这样的一份或几份的数叫做分数如小数定义把进分
43、数按照整数的写法写成不带分母的形式这样的数叫做小数分数可以表示为一个出发算式如表示为或者如其表示为整数部分小数部分任何一个分数都可以用小数表示如计作运算规则先乘除后加减有括号先算括号里面的如运算定律交换律问题万亿和亿万哪个多加法对乘法的结合律反也成立奇数不能被整除的数为奇数如也可以表示为为如果为的两个数则互为倒数可以表述为如果则互为倒数其中均不能为注意没有倒数思考如果则如果则如果则如果则求和问题自然数求和学习必备欢迎下载奇数求和注意从开始解题方法头加尾乘以个数除以注意从开始偶数求和其中为自然学习必备 欢迎下载 整式的运算 1、整式的加减 就是单项式和多项式的加减，可利用去括号法则和合并同类项来
44、完成。例如，1）。2）2、整式的乘法 1）.整数指数律(Laws of Indices)同底数幂的乘法 底数是相同的幂即为同底数幂。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即，（m，n 为正整数），如 。幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘。即 （m，n 为正整数），如 。积的乘方 积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。用字母表示为：（n 为正整数），如 22223)39xxx（2）.多项式乘法(Multiplication of Polynomials)单项式与单项式相乘 222222222222225(3)2(7)515214(5-2-14)(=-(a baba baba
45、baba baba ba bababa b ab去括号）（15移项添括号）3合并同类项）()(nnnaba bn为正整数）如无穷多个特别地规定是最小的自然数分数定义把单位平均分成若干份表示这样的一份或几份的数叫做分数如小数定义把进分数按照整数的写法写成不带分母的形式这样的数叫做小数分数可以表示为一个出发算式如表示为或者如其表示为整数部分小数部分任何一个分数都可以用小数表示如计作运算规则先乘除后加减有括号先算括号里面的如运算定律交换律问题万亿和亿万哪个多加法对乘法的结合律反也成立奇数不能被整除的数为奇数如也可以表示为为如果为的两个数则互为倒数可以表述为如果则互为倒数其中均不能为注意没有倒数思考如
46、果则如果则如果则如果则求和问题自然数求和学习必备欢迎下载奇数求和注意从开始解题方法头加尾乘以个数除以注意从开始偶数求和其中为自然学习必备 欢迎下载 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。例如：单项式与多项式相乘 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。例如：。多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。例如：。乘法公式(Identities)：也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。公式中的每一个字母
47、，一般可以表示数字，单项式，多项式，有的还可以推广到分式，根式。常用公式：完全平方公式：三数和平方公式：平方差公式：立方和公式：立方差公式：完全立方公式：欧拉公式：如无穷多个特别地规定是最小的自然数分数定义把单位平均分成若干份表示这样的一份或几份的数叫做分数如小数定义把进分数按照整数的写法写成不带分母的形式这样的数叫做小数分数可以表示为一个出发算式如表示为或者如其表示为整数部分小数部分任何一个分数都可以用小数表示如计作运算规则先乘除后加减有括号先算括号里面的如运算定律交换律问题万亿和亿万哪个多加法对乘法的结合律反也成立奇数不能被整除的数为奇数如也可以表示为为如果为的两个数则互为倒数可以表述为如
48、果则互为倒数其中均不能为注意没有倒数思考如果则如果则如果则如果则求和问题自然数求和学习必备欢迎下载奇数求和注意从开始解题方法头加尾乘以个数除以注意从开始偶数求和其中为自然学习必备 欢迎下载 练习题 整式概念题 一判断题(1)31x是关于 x 的一次两项式()(2)3 不是单项式()(3)单项式 xy 的系数是 0()(4)x3y3是 6 次多项式()(5)多项式是整式()二、选择题 1在下列代数式：21ab，2ba，ab2+b+1，x3+y2，x3+x23 中，多项式有（）A2 个 B3 个 C4 个 D5个 2多项式23m2n2是（）A二次二项式 B三次二项式 C 四次二项式 D五次二项式
49、3下列说法正确的是（）A3 x22x+5 的项是 3x2，2x，5 B3x3y与 2 x22xy5 都是多项式 C多项式2x2+4xy 的次数是 D一个多项式的次数是 6，则这个多项式中只有一项的次数是 6 4下列说法正确的是（）A整式 abc 没有系数 B2x+3y+4z不是整式 C2 不是整式 D整式 2x+1 是一次二项式 5下列代数式中，不是整式的是（）A、23x B、745ba C、xa523 D、2005 6下列多项式中，是二次多项式的是（）A、132x B、23x C、3xy1 D、253 x 7x 减去 y 的平方的差，用代数式表示正确的是（）A、2)(yx B、22yx C、
50、yx 2 D、2yx 8某同学爬一楼梯，从楼下爬到楼顶后立刻返回楼下。已知该楼梯长 S 米，同学上楼速度是 a 米/分,下楼速度是 b 米/分,则他的平均速度是（）米/分。A、2ba B、bas C、bsas D、bsass2 如无穷多个特别地规定是最小的自然数分数定义把单位平均分成若干份表示这样的一份或几份的数叫做分数如小数定义把进分数按照整数的写法写成不带分母的形式这样的数叫做小数分数可以表示为一个出发算式如表示为或者如其表示为整数部分小数部分任何一个分数都可以用小数表示如计作运算规则先乘除后加减有括号先算括号里面的如运算定律交换律问题万亿和亿万哪个多加法对乘法的结合律反也成立奇数不能被整