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1、与两条异面直线成等角的直线条数的判定 一(2)班 杨一帆 过空间一点作与已知异面直线成等角的直线有几条的问题见诸于各种材料。其考查学生的空间想象能力、化归能力、识图能力、分类讨论能力，训练学生逻辑思维的深刻性、完备性。该种题型的常见解题思路是先用异面直线所成的角的定义转化为以下问题：在空间中，过两条相交直线的交点作与已知两直线成等角的直线有几条再讨论，画图求解。本文将该类题型归纳总结出几个结论，供同学们参考。题目 1：已知异面直线a,b 成角，过空间任意一点 o 作直线，使与a,b 成等角，则这样的直线有 条。上述问题，运用异面直线所成角的定义，过 o 作直线aa,bb,转化为 题目 2：已知
2、直线,oba 且,ba成角，（注意角的范围），过 o 作与,ba成等角的直线，则这样的直线有 条。解：本题须分两大类讨论（2,0(）。第一类：)2,0(时，若=,2则只能作一条直线0，满足题设。（此时0是oba的角平分线，如图 1）。1 2 b b a a O 2 0 O 2 0 图 1 图 2 若 02,则这样的直线不存在。若22，则这样的直线有两条21,，（如图 2）（实际上21,是0绕 O 在过0且与,ba确定的平面垂直的平面内旋转而得。）若2，则这样的直线有 3 条21,，01（如图 3）（此时01为oba的补角的角平分线，21,是0绕 O点在过0且与,ba确定的平面垂直的平面内旋转而
3、得。）若,22则这样有直线有 4 条21,43,（如图 4，此时21,是0绕 O点在过0且与,ba确定的平面垂直的平面内旋转而得。43,是01绕 O 点在过01且与,ba确定的平面垂直的平面内旋转而得。）若2，则这样的直线有且只有 1 条，即过 O垂直于,ba确定的平面的直线。（如图5）1 2 1 3 4 2 01 01 a b a b 2 b a 2 O 2 O O 2 图 3 图 4 图 5 第二类：2时，若40，则这样的直线不存在；若4，则这样的直线有两条（即为两个直角的角平分线，如图 6）；若24，则这样的直线有 4 条（上种情形的两条直线旋转而得，如图 7）；若2，则这样的直线有且只
4、有 1 条，（即过 O垂直于,ba确定的平面的直线。如图 8）1 2 1 2 3 4 a a a 诸于各种材料其考查学生的空间想象能力化归能力识图能力分类讨论能力训练学生逻辑思维的深刻性完备性该种题型的常见解题思路是先用异面直线所成的角的定义转化为以下问题在空间中过两条相交直线的交点作与已知两直线成间任意一点作直线使与成等角则这样的直线有条上述问题运用异面直线所成角的定义过作直线转化为题目已知直线成角注意角的范围过作与成等且角的直线则这样的直线有条解本题须分两大类讨论一类时若则只能作一条直线满足题垂直的平面内旋转而得若则这样的直线有条如图此时为的补角的角平分线是绕点在过且与确定的平面垂直的平面
5、内旋转而得若则这样有直线有条如图此时是绕点在过且与确定的平面垂直的平面内旋转而得是绕点在过且与确定的平面 b b b 图 6 图 7 图 8 把以上情形总结成下表：直线的条数 的范围 的范围 20 2 02 0 0=2 1 2 22 2 0 2 3 2（同于表中第二类=2）22 4 4 2 1 1 当然，如果直线与异面直线 a,b 所成的角不相等的情形更为复杂，有兴趣的同学自行研究。以上是我的浅见，如有不正确的地方请批评指正。【点评】该生初学立体几何，能完成上文实难能可贵，有很好的数学天赋。在讨论中她忘了2这一类，经过指导修改形成上文。从该生身上可以看出任何学生都有学习的潜能，都有学好数学的能
6、力。就看同学们是否愿意学，是否平时多思多想多总结。指导老师 李云厅 诸于各种材料其考查学生的空间想象能力化归能力识图能力分类讨论能力训练学生逻辑思维的深刻性完备性该种题型的常见解题思路是先用异面直线所成的角的定义转化为以下问题在空间中过两条相交直线的交点作与已知两直线成间任意一点作直线使与成等角则这样的直线有条上述问题运用异面直线所成角的定义过作直线转化为题目已知直线成角注意角的范围过作与成等且角的直线则这样的直线有条解本题须分两大类讨论一类时若则只能作一条直线满足题垂直的平面内旋转而得若则这样的直线有条如图此时为的补角的角平分线是绕点在过且与确定的平面垂直的平面内旋转而得若则这样有直线有条如图此时是绕点在过且与确定的平面垂直的平面内旋转而得是绕点在过且与确定的平面