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1、二 00六年湖南省高中数学竞赛 B卷试题（含参考答案及评分标准）一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 6 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知函数)(1xfy的图象过点（1,0），则)231(xf的反函数一定过点（）A、（1,6）B、（6,1）C、（0,6）D、（6,0）2、已知在矩形 ABCD 中，AB 2，BC 3，则ACBCAB的模等于 （）A、0 B、5 C、13 D、213 3、已知57cossin，且 tan 1，则 cos （）A、53 B、54 C、53 D、54 4、在等差数列na中，若 a2a4a6a8a1 080，则 a72
2、1a8的值为 （）A、4 B、6 C、8 D、10 5、)120tan3(10cos70tan等于 （）A、1 B、2 C、1 D、2 6、设函数)10()9|aaaxfx且，f（2）9，则 （）A、f（2）f（1）B、f（1）f（2）C、f（1）f（2）D、f（2）f（2）7、已知)1,(kAB，)3,2(AC，则下列 k 值中能使ABC是直角三角形的一个值是（）A、23 B、12 C、13 D、5 8、已知)2,2(,yx，且 xy1，则224422yx的最小值是 （）A、720 B、712 C、72416 D、72416 9、四边形各顶点位于一长为 1 的正方形的各边上，若四条边的平方和
3、为 t，则 t的取值区间是 （）A、1，2 B、2，4 C、1，3 D、3，6 10、朝阳电器厂和红星电器厂 2005 年元月份的产值相等，朝阳电器厂的产值逐月增加且每月增加的产值相同，红星电器厂的产值也逐月增加，且每月增加的百分率相同，已知 2006 年元月份两厂的产值又相同，则 2005 年 7 月份，产值高的工厂是 （）A、朝阳电器厂 B、红星电器厂 C、两厂一样 D、无法确定 二、填空题（本大题共 4个小题，每小题 6分，共 24分，请将正确的答案填在横线上）11、若ABC的三条中线 AD、BE、CF相交于点 M，则MCMBMA 12、对于实数 x，当且仅当 nxn1（nN）时，规定x
4、 n，则不等式 04536 42xx的解集为 13、在数列na中，1a2，)(1*1Nnaann，设nS为数列na的前 n 项和，则 2005200620072SSS的值为 14、在ABC中，AB 30，AC 6，BC15，有一个点 D使得 AD平分 BC并且ADB是直角，比值ABCADBSS能写成nm的形式，这里 m,n 是互质的正整数，则 m n 三、解答题（本大量题共 5小题，共 66分，要求解答有必要的过程）15、（本大题 12 分）在ABC中，怭BACCAsin232cossin2cossin22在，求2sin22cosBCA的值 四个选项中只有一项是符合题目要求的已知函数的图象过点
5、则的反函数一定过点已知在矩形中则的模等于已知且则在等差数列中若则的值为等于设函数且则已知则下列值中能使是直角三角形的一个值是已知且则的最小值是四边形各相等朝阳电器厂的产值逐月增加且每月增加的产值相同红星电器厂的产值也逐月增加且每月增加的百分率相同已知年元月份两厂的产值又相同则年月份产值高的工厂是朝阳电器厂红星电器厂两厂一样无法确定二填空题本大题共个小在数列中则的值为设为数列的前项和在中有一个点使得平分并且是直角比值能写成的形式这里是互质的正整数则三解答题本大量题共小题共分要求解答有必要的过程本大题分在中怭在求的值本大题分已知函数当时求函数的最小值若 16、（本大题 12 分）已知函数xaxxx
6、f42)(2，x(1,（1）当 a2 时，求函数 f（x）的最小值；（2）若对任意 x(1,，f（x）0 恒成立，试求实数 a 的取值范围 17、（本大题 12 分）已知向量)23sin,23(cosxxa，)2sin,2(cosxxb，且23,2x （1）求|ba的取值范围；（2）求函数|)(babaxf的最小值，并求此时x 的值 18、（本大题15 分）设na是正数数列，其前 n 项和 Sn满足)3)(1(41nnnaaS （1）求数列na的通项公式；（2）令nnSb1，试求nb的前 n 项和 Tn 19、（本大题 15 分）2006 年 8 月中旬，湖南省资兴市遇到了百年不遇的洪水灾害。
7、在资兴市的东江湖岸边的O点处（可视湖岸为直线）停放着一只救人的小船，四个选项中只有一项是符合题目要求的已知函数的图象过点则的反函数一定过点已知在矩形中则的模等于已知且则在等差数列中若则的值为等于设函数且则已知则下列值中能使是直角三角形的一个值是已知且则的最小值是四边形各相等朝阳电器厂的产值逐月增加且每月增加的产值相同红星电器厂的产值也逐月增加且每月增加的百分率相同已知年元月份两厂的产值又相同则年月份产值高的工厂是朝阳电器厂红星电器厂两厂一样无法确定二填空题本大题共个小在数列中则的值为设为数列的前项和在中有一个点使得平分并且是直角比值能写成的形式这里是互质的正整数则三解答题本大量题共小题共分要求
8、解答有必要的过程本大题分在中怭在求的值本大题分已知函数当时求函数的最小值若由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成 15，速度为 2.5km/h，同时岸上一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上追的速度为 4 km/h，在水中游的速度为 2 km/h，问此人能否追上小船若小船速度改变，则小船能被此人追上的最大速度是多少 参考答案及评分标准 一、ADCCC ACCBA 解析：1、)(xfy 的图象过（0,1），所以)231(xfy的图象过（6,1），它的反函数图象过（1,6）2、因为ACACBCAB2 又13|22BCABAC 所以ACBCAB213 3、结合1cossin22易得53c
9、os 4、因为a2a4a6a8a105a680 所以 a616 a721a8a6d21（a62d）21a68 5、原式20sin)3020sin(210cos20cos20cos20sin320sin10cos20cos 120sin10sin10cos2 6、将 x2 代入得 a31，则|3)(xxf，进而可以判断出 f（2）f（1）7、若BAC是直角，则032kACAB，得 k23 若ABC是直角，则022)(2kkABACABABCB解得 k31 若ACB是直角，则0102)(kABACABACCB解得 k5 四个选项中只有一项是符合题目要求的已知函数的图象过点则的反函数一定过点已知在矩
10、形中则的模等于已知且则在等差数列中若则的值为等于设函数且则已知则下列值中能使是直角三角形的一个值是已知且则的最小值是四边形各相等朝阳电器厂的产值逐月增加且每月增加的产值相同红星电器厂的产值也逐月增加且每月增加的百分率相同已知年元月份两厂的产值又相同则年月份产值高的工厂是朝阳电器厂红星电器厂两厂一样无法确定二填空题本大题共个小在数列中则的值为设为数列的前项和在中有一个点使得平分并且是直角比值能写成的形式这里是互质的正整数则三解答题本大量题共小题共分要求解答有必要的过程本大题分在中怭在求的值本大题分已知函数当时求函数的最小值若8、由已知得xy1，所以294216414422442224242222
11、xxxxxxyx )24(9712947122242xxxxx 242422xx 当且仅当2224xx，即82x时，取等号 故当82x时，224422yx有最小值72416 9、如图，t 2222dcba 22222222)1()1()1()1(xyymmnnx 因为10 x 所以1)1(21)1(22xxxx 212)12(1)1(222xxx 即1)1(2122xx 同理1)1(2122yy 1)1(2122mm 1)1(2122nn 所以42 t 即 t 的取值范围是 2，4 10、设两个工厂 2005 年元月份的产值为 a，朝阳电器厂每月增加的产值为d，红星电器厂每月增加的百分率为q（
12、q1），则 a12d12aq，两个工厂 2005年7月 份 的 产 值 分 别 为a 6d和6aq，而a 6d 61212)1()(21aqqaaaqa，故产值高的工厂是朝阳电器厂。二、11、0 12、82x 13、3 14、65 解析：11、作图，设 AB的中点为 D，由平行四边形法则得MCMBMA 所以MCMBMA0 x y m n a b c d 1x 1y 1m 1n 四个选项中只有一项是符合题目要求的已知函数的图象过点则的反函数一定过点已知在矩形中则的模等于已知且则在等差数列中若则的值为等于设函数且则已知则下列值中能使是直角三角形的一个值是已知且则的最小值是四边形各相等朝阳电器厂的产
13、值逐月增加且每月增加的产值相同红星电器厂的产值也逐月增加且每月增加的百分率相同已知年元月份两厂的产值又相同则年月份产值高的工厂是朝阳电器厂红星电器厂两厂一样无法确定二填空题本大题共个小在数列中则的值为设为数列的前项和在中有一个点使得平分并且是直角比值能写成的形式这里是互质的正整数则三解答题本大量题共小题共分要求解答有必要的过程本大题分在中怭在求的值本大题分已知函数当时求函数的最小值若12、解04536 42xx得21523x，故72x 所以82x 13、当 n 为偶数时，114321nnaaaaaa，故2nSn 当n奇 数 时，21a，115432nnaaaaaa，故23212nnSn 故31
14、0041003210052200520062007SSS 14、设 BC中点为 E，AD 2x，由中线公式得 AE 257 故2222)2572()215()2()30(xx 572165x nm382722AEADSSAEBADB 所以 m n273865 三、解答题 15、由已知得BACCAsin232cos1sin2cos1sin BCACACAsin3sincoscossinsinsin （4 分）BCACAsin3)sin(sinsin BCAsin2sinsin 2cos2sin42cos2sin2BBCACA （8 分）2sin22cosBCA 02sin22cosBCA （12
15、 分）16、（1）当 a2 时，422)(xxxf f（x）在1，）上是增函数 f（x）在1，）上有最小值 f（1）8 （5 分）（2）在1，）上，042)(2xaxxxf恒成立，等价于 0422axx恒成立，令2)1(242)(22axaxxxg 则 g（x）在1，）上是增函数，当 x1 时，有最小值 6a 由 f（x）0 恒成立，得 6a0，故 a6 （12 分）D B C A E 四个选项中只有一项是符合题目要求的已知函数的图象过点则的反函数一定过点已知在矩形中则的模等于已知且则在等差数列中若则的值为等于设函数且则已知则下列值中能使是直角三角形的一个值是已知且则的最小值是四边形各相等朝阳
16、电器厂的产值逐月增加且每月增加的产值相同红星电器厂的产值也逐月增加且每月增加的百分率相同已知年元月份两厂的产值又相同则年月份产值高的工厂是朝阳电器厂红星电器厂两厂一样无法确定二填空题本大题共个小在数列中则的值为设为数列的前项和在中有一个点使得平分并且是直角比值能写成的形式这里是互质的正整数则三解答题本大量题共小题共分要求解答有必要的过程本大题分在中怭在求的值本大题分已知函数当时求函数的最小值若17、（1）23,2x 12cos1x xba2cos22|0|ba2 （5 分）（2）23,2x 0cos1x xxbabaxf2cos222cos|)(1cos2cos2cos41cos2222xxx
17、x 当21cosx，即32x或34x时，|)(babaxf取最小值23 18、（1）由)3)(1(411111aaSa及0na得，1a3 由)3)(1(41nnnaaS得)3)(1(41111nnnaaS （4 分）故)(2)(411212nnnnnaaaaa )()(2111nnnnnnaaaaaa 01nnaa 21nnaa na是以 3 为首项，2 为公差的等差数列，故na2n1 （8分）（2）na2n1 )2(nnSn )211(211nnSbnn Tn)211()5131()4121()311(2121nnbbbn )2)(1(23243)2111211(21nnnnn （15分）1
18、9、如图，设此人在岸上跑到 A点后下水，在 B处追上小船 设船速为 v，人追上船的时间为 t，人在岸上追船的时间 为 t 的 k 倍（0k1），则人在水中游的时间为（1k）t 故OA 4kt，AB 2（1k）t，OB vt O A B 四个选项中只有一项是符合题目要求的已知函数的图象过点则的反函数一定过点已知在矩形中则的模等于已知且则在等差数列中若则的值为等于设函数且则已知则下列值中能使是直角三角形的一个值是已知且则的最小值是四边形各相等朝阳电器厂的产值逐月增加且每月增加的产值相同红星电器厂的产值也逐月增加且每月增加的百分率相同已知年元月份两厂的产值又相同则年月份产值高的工厂是朝阳电器厂红星电
19、器厂两厂一样无法确定二填空题本大题共个小在数列中则的值为设为数列的前项和在中有一个点使得平分并且是直角比值能写成的形式这里是互质的正整数则三解答题本大量题共小题共分要求解答有必要的过程本大题分在中怭在求的值本大题分已知函数当时求函数的最小值若 由余弦定理得：15cos42)()4()1(42222vtktvtkttk 整理得04)8)26(21222vkvk （7 分）要使方程在 0k1 内有解，则0)4(124 8)26(211240222vvv（10 分）解得 222 v，即222 v时，人可以追上船 故船速为2.5km/h 时，能追上小船，小船能被人追上的最大速度是22km/h（15分）
20、四个选项中只有一项是符合题目要求的已知函数的图象过点则的反函数一定过点已知在矩形中则的模等于已知且则在等差数列中若则的值为等于设函数且则已知则下列值中能使是直角三角形的一个值是已知且则的最小值是四边形各相等朝阳电器厂的产值逐月增加且每月增加的产值相同红星电器厂的产值也逐月增加且每月增加的百分率相同已知年元月份两厂的产值又相同则年月份产值高的工厂是朝阳电器厂红星电器厂两厂一样无法确定二填空题本大题共个小在数列中则的值为设为数列的前项和在中有一个点使得平分并且是直角比值能写成的形式这里是互质的正整数则三解答题本大量题共小题共分要求解答有必要的过程本大题分在中怭在求的值本大题分已知函数当时求函数的最小值若