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1、第四、五模块 三角函数 平面向量 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若 sin36 cos sin54 cos8412，则 值可能为()A96 B6 C54 D84 解 析：12 sin30 sin(36 6)sin36 cos6 cos36sin6 sin36 cos sin54 cos84，cos cos6，故选 B.答案：B 2将函数 ycosx3的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再向左平移6个单位长度，所得函数图象的一条对称轴为()Ax9 Bx8 Cx2 Dx 解析：将函数ycosx3的
2、图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到ycos12x3的图象，再向左平移6个单位长度后得到 ycos12x63cos12x4的图象，其对称轴集合为x|x2k 2，kZ，x2适合该集合，故选 C.答案：C 3函数 f(x)sin2x2cos x 在区间23，上的最大值为 1，则 的值是()A0 B.3 C.2 D2 解析：因为 f(x)sin2x2cos xcos2x2cos x1(cos x1)22，又其在区间23，上的最大值为 1，结合选项可知 只能取2，故选 D.答案：D 4设函数 f(x)Asin(x )，A0，0，2 2的图象关于直线 x23对称，它的周期是 ，则()Af(x)的图象过
3、点0，12 Bf(x)的图象在512，23上递减 Cf(x)的最大值为 A Df(x)的一个对称中心是点512，0 解析：T，2，即 yAsin(2x)关于直线 x23对称，223 k 2，kZ，即 k 56，kZ，又2 2，6，即 f(x)Asin2x6.再用检验法一一验证知 D 正确 答案：D 5已知 a是实数，则函数 f(x)1asinax的图象不可能是()解析：当 a0时，f(x)1，图象即为 C；当 0a1时，三角函数的最大值为 1a2，图象即为 A；当 a1时，三角函数的最大值为 a12，且最小正周期为 T2a2，图象即为 B.故选 D.答案：D 目要求的若则值可能为解析故选答案将
4、函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变再向左平移个单位长度所得函数图象的一条对称轴为解析将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍得到的图象再向左平移个单位长度大值为结合选项可知只能取故选答案设函数的图象关于直线对称它的周期是则的图象过点上递减的图象在的最大值为的一个对称中心是点解析即关于直线对称即又即再用检验法一一验证知正确答案已知是实数则函数的图象不可能是象即为故选答案东北三校第一次联考函数的图象如图则解析本题中的函数是一个分段函数其中一个是一次函数其图象是一条直线由图象可判断该直线的斜率另一个是三角函数三角函数解析式中的参量由三角函数的故周期决定由图象6(2010东北三校第一次联
5、考)函数 y kx1(2x0，0 x83)的图象如图，则()A.k12，12，6 Bk12，12，3 Ck12，2，6 Dk2，12，3 解析：本题中的函数是一个分段函数，其中一个是一次函数，其图象是一条直线，由图象可判断该直线的斜率 k12.另一个是三角函数，三角函数解析式中的参量 由三角函数的周期决定，由图象可知三角函数的周期为 T483534，故 12.将点53，0 代入解析式 y2sin12x，得1253 k，kZ，k 56，kZ，结合各选项可知，选项 A 正确 答案：A 7在ABC中，C90，ABuuu r(x,0)，ACuuu r(1，y)，则动点 P(x，y)的轨迹方程是()Ay
6、2x1 By2x1 Cy2x1 Dy2x1 解析：BCACABuuu ruuu ruuu r(1x，y)，又C90，ACuuu rBCuuu r，AC BCuuu r uuu rg(1，y)(1x，y)1xy20，y2x1.故选 D.目要求的若则值可能为解析故选答案将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变再向左平移个单位长度所得函数图象的一条对称轴为解析将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍得到的图象再向左平移个单位长度大值为结合选项可知只能取故选答案设函数的图象关于直线对称它的周期是则的图象过点上递减的图象在的最大值为的一个对称中心是点解析即关于直线对称即又即再用检验法一一验证知
7、正确答案已知是实数则函数的图象不可能是象即为故选答案东北三校第一次联考函数的图象如图则解析本题中的函数是一个分段函数其中一个是一次函数其图象是一条直线由图象可判断该直线的斜率另一个是三角函数三角函数解析式中的参量由三角函数的故周期决定由图象答案：D 8已知向量 a(2,1)，b(1,2)，则|ab|(R)的最小值为()A.55 B.2 55 C.3 55 D.5 解析：ab(2，12)，|ab|(2)2(12)2 5 452953 55.当且仅当 45时，取“”，即|ab|的最小值为3 55.答案：C 9已知点 O，N，P在ABC所在平面内，且|,0,OAOBOCNANBNCuuu ruuu
8、ruuu ruuu ruuu ruuu r且,PA PBPB PCPC PAuuu r uuu ruuu r uuu ruuu r uuu rggg则点 O，N，P 依次是ABC 的(注：三角形的三条高线交于一点，此点称为三角形的垂心)()A重心、外心、垂心 B重心、外心、内心 C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心 解析：由|OAOBOCuuu ruuu ruuu r知，O 为ABC的外心；由0NANBNCuuu ruuu ruuu r知，N 为ABC的重心；,PA PBPB PCuuu r uuu ruuu r uuu rgg，()PAPCPBuuu ruuu ruuu rg0，CA PB
9、uuu r uuu rg0，CAuuu rPBuuu r.同理可得 BCPA，ABPC.故选 C.答案：C 10 在ABC中，若AC BCguuu r uuu r1，AB BCuuu r uuu rg2，且B60，则ABC的面积为()A2 3 B.3 C.32 D.6 目要求的若则值可能为解析故选答案将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变再向左平移个单位长度所得函数图象的一条对称轴为解析将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍得到的图象再向左平移个单位长度大值为结合选项可知只能取故选答案设函数的图象关于直线对称它的周期是则的图象过点上递减的图象在的最大值为的一个对称中心是点解析即关
10、于直线对称即又即再用检验法一一验证知正确答案已知是实数则函数的图象不可能是象即为故选答案东北三校第一次联考函数的图象如图则解析本题中的函数是一个分段函数其中一个是一次函数其图象是一条直线由图象可判断该直线的斜率另一个是三角函数三角函数解析式中的参量由三角函数的故周期决定由图象解析：1,AC BCAB BCuuu r uuu ruuu r uuu rgg2，两式相减得()ACAB BCuuu ruuu ruuu rg3BC23|BCuuu r|3.AB BCuuu r uuu rg2且B60，|ABBCguuu ruuu rcos B2，即|ABuuu r|3122|ABuuu r|4 33，A
11、BC的面积 S12|ABuuu r|BCuuu r|sinB124 33 332 3.故选 B.答案：B 11设 A(a,1)、B(2，b)、C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若OAuuu r与OBuuu r在OCuuu r方向上的投影相同，则 a与 b满足的关系式为()A4a5b3 B5a4b4 C4a5b14 D5a4b14 解析：OAuuu r在OCuuu r上的投影为4a541，OBuuu r在OCuuu r上的投影为85b41，85b4a5，即 4a5b3，故选 A.答案：A 12(2010厦门质检题)已知 A(2,0)，B(0,1)，O是坐标原点，动点 M 满足OMuuu
12、u rOBuuu r(1)OAuuu r，并且OM ABuuuu r uuu rg2，则实数 的取值范围为()A 2 B 65 C.65 2 D1 2 得：4 4 2，解得 65，故选 B.答案：B 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，把答案填在题中的横线上 13已知 tan 14，则 cos2 sin2 的值为_ 解析：cos2 sin2 12sin2 sin2 cos2 cos2cos2 sin211tan21617.目要求的若则值可能为解析故选答案将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变再向左平移个单位长度所得函数图象的一条对称轴为解析将函数的图象上各点的横
13、坐标伸长到原来的倍得到的图象再向左平移个单位长度大值为结合选项可知只能取故选答案设函数的图象关于直线对称它的周期是则的图象过点上递减的图象在的最大值为的一个对称中心是点解析即关于直线对称即又即再用检验法一一验证知正确答案已知是实数则函数的图象不可能是象即为故选答案东北三校第一次联考函数的图象如图则解析本题中的函数是一个分段函数其中一个是一次函数其图象是一条直线由图象可判断该直线的斜率另一个是三角函数三角函数解析式中的参量由三角函数的故周期决定由图象答案：1617 14若4x3，则函数 ycosx4cosx4的值域为_ 解析：ycosx4cosx4 cosx4cosx4212sin2x2 12c
14、os2 x，又4x3，22x23，结合图象得 y14，12.答案：14，12 15在 2008年北京奥运会青岛奥帆赛举行之前，为确保赛事安全，青岛海事部门举行奥运安保海上安全演习为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离为 1千米的两个观察点 C，D，在某天 10：00观察到该航船在 A 处，此时测得ADC30，3 分钟后该船行驶至 B 处，此时测得ACB60，BCD45，ADB60，则船速为_ 千米/分钟 解析：据已知，在 RtBCD 中，CD1，CDBD，BD1，BC 2.在ACD 中，CAD45，ADC30，CD1.据正弦定理得ACsinADCCDsinCAD，AC22.在
15、ACB 中，据余弦定理得 AB2AC2BC22AC BC cos ACB 目要求的若则值可能为解析故选答案将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变再向左平移个单位长度所得函数图象的一条对称轴为解析将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍得到的图象再向左平移个单位长度大值为结合选项可知只能取故选答案设函数的图象关于直线对称它的周期是则的图象过点上递减的图象在的最大值为的一个对称中心是点解析即关于直线对称即又即再用检验法一一验证知正确答案已知是实数则函数的图象不可能是象即为故选答案东北三校第一次联考函数的图象如图则解析本题中的函数是一个分段函数其中一个是一次函数其图象是一条直线由图象可判
16、断该直线的斜率另一个是三角函数三角函数解析式中的参量由三角函数的故周期决定由图象AC22，BC 2，ACB60，AB62，v62366(千米/分钟)答案：66 16给定两个长度为 1 的平面向量OAuuu r和OBuuu r，它们的夹角为 120.如图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧ABuuu r上变动若,OCxOAyOBuuu ruuu ruuu r，其中 x，yR，则 xy 的最大值是_ 解析：设AOC，,OC OAxOA OAyOB OAOC OBxOA OByOB OBuuu r uuu ruuu r uuu ruuu r uuu rggguuu r uuu ruuu r uuu
17、ruuu r uuu rggg，即 cos x12ycos(120)12xy，xy2cos cos(120)cos 3sin 2sin 62.答案：2 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(10分)在ABC 中，角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，且 3bsinC5csinBcos A0.(1)求 sinA；(2)若 tan(AB)211，求 tanC.解：(1)由正弦定理得 bsinCcsinB.又因为 3bsinC5csinBcos A0，所以 bsinC(35cos A)0.因为 bsinC0，所以 35cos A0，即 cos A
18、35.目要求的若则值可能为解析故选答案将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变再向左平移个单位长度所得函数图象的一条对称轴为解析将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍得到的图象再向左平移个单位长度大值为结合选项可知只能取故选答案设函数的图象关于直线对称它的周期是则的图象过点上递减的图象在的最大值为的一个对称中心是点解析即关于直线对称即又即再用检验法一一验证知正确答案已知是实数则函数的图象不可能是象即为故选答案东北三校第一次联考函数的图象如图则解析本题中的函数是一个分段函数其中一个是一次函数其图象是一条直线由图象可判断该直线的斜率另一个是三角函数三角函数解析式中的参量由三角函数的故周
19、期决定由图象又因为 A(0，)，所以 sinA1cos2A45.(2)由(1)知 cos A35，sinA45，所以 tanAsinAcos A43.因为 tan(AB)211，所以 tanBtanA(AB)tanAtan(AB)1tanA tan(AB)432111432112.所以 tanCtan(AB)tanAtanB1tanAtanB43214322.18(12分)受全球金融危机影响，某外贸出口商品的产销价格波动较大据市场调查，这种商品一年内每件出厂价在 6千元的基础上，按月呈 f(x)Asin(x )B 的模型波动(x为月份)，已知 3 月份达到最高价 8 千元，7 月份价格最低为
20、4 千元；该商品每件的售价为g(x)(x 为月份)，且满足 g(x)f(x2)2.(1)分别写出该商品每件的出厂价函数 f(x)、售价函数 g(x)的解析式；(2)问哪几个月能盈利？解：(1)f(x)Asin(x )B，由题意可得，A2，B6，又1224，4，f(x)2sin4x6，将已知点(3,8)或(7,4)代入上式，得 4，f(x)2sin4x46(1x12，且 x 为正整数)，g(x)2sin4x348.(2)由 g(x)f(x)得，sin4x22，2k 344x2k 94，kZ，8k3x8k9，kZ，1x12，kZ，目要求的若则值可能为解析故选答案将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来
21、的倍纵坐标不变再向左平移个单位长度所得函数图象的一条对称轴为解析将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍得到的图象再向左平移个单位长度大值为结合选项可知只能取故选答案设函数的图象关于直线对称它的周期是则的图象过点上递减的图象在的最大值为的一个对称中心是点解析即关于直线对称即又即再用检验法一一验证知正确答案已知是实数则函数的图象不可能是象即为故选答案东北三校第一次联考函数的图象如图则解析本题中的函数是一个分段函数其中一个是一次函数其图象是一条直线由图象可判断该直线的斜率另一个是三角函数三角函数解析式中的参量由三角函数的故周期决定由图象k0时，3x9，x4,5,6,7,8；k1时，11x17，x1
22、2.x4,5,6,7,8,12.则其中 4,5,6,7,8,12 这六个月份能盈利 19(12分)若函数 f(x)sin3xcos xcos3xsinx 3sin2x.(1)求函数 f(x)的单调递减区间；(2)已知ABC的三边 a、b、c所对的角为 A、B、C，且三角形的面积为 S，若32AB BCuuu r uuu rgS，求 f(A)的取值范围 解：(1)f(x)sinxcos x(sin2xcos2x)3sin2x sinxcos x 3sin2x 12sin2x3(1cos2 x)2 sin2x332.当 2k 22x32k 32(kZ)时，f(x)单调递减，k 512xk 1112
23、(kZ)，f(x)单调递减，函数 f(x)的单调递减区间为k 512，k 1112(kZ)(2)S12|ABBCuuu ruuu rg|sinB32|ABBCuuu ruuu rg|cos B，tanB 3，B23.f(A)sin2A332.AC3，0A3，32A33，0f(A)3.20(12分)(2011苏州市模拟)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 mcos3A2，sin3A2，ncosA2，sinA2，且满足|mn|3.目要求的若则值可能为解析故选答案将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变再向左平移个单位长度所得函数图象的一条对称轴为解析将函数的图
24、象上各点的横坐标伸长到原来的倍得到的图象再向左平移个单位长度大值为结合选项可知只能取故选答案设函数的图象关于直线对称它的周期是则的图象过点上递减的图象在的最大值为的一个对称中心是点解析即关于直线对称即又即再用检验法一一验证知正确答案已知是实数则函数的图象不可能是象即为故选答案东北三校第一次联考函数的图象如图则解析本题中的函数是一个分段函数其中一个是一次函数其图象是一条直线由图象可判断该直线的斜率另一个是三角函数三角函数解析式中的参量由三角函数的故周期决定由图象(1)求角 A 的大小；(2)若|3|ACABBCuuu ruuu ruuu r，试判断ABC的形状 解：(1)由|mn|3，得 m2n
25、22m n3，即 112cos3A2cosA2sin3A2sinA23，cos A12，0A，A3.(2)|3|ACABBCuuu ruuu ruuu r，bc 3a，sinBsinC 3sinA，sinBsin23B 332，即32sinB12cos B32，sinB632，0B23，6B60)，令 f(k)a b.(1)求 f(k)a b(用 k 表示)；(2)当 k0时，f(k)x22tx12对任意的 t1,1恒成立，求实数 x 的取值范围 解：(1)由题设得|a|2|b|21，对|kab|3|akb|两边平方得 k2a22ka bb23(a22ka bk2b2)，整理易得 f(k)a
26、bk214k(k0)(2)f(k)k214kk414k12，当且仅当 k1时取等号 目要求的若则值可能为解析故选答案将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变再向左平移个单位长度所得函数图象的一条对称轴为解析将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍得到的图象再向左平移个单位长度大值为结合选项可知只能取故选答案设函数的图象关于直线对称它的周期是则的图象过点上递减的图象在的最大值为的一个对称中心是点解析即关于直线对称即又即再用检验法一一验证知正确答案已知是实数则函数的图象不可能是象即为故选答案东北三校第一次联考函数的图象如图则解析本题中的函数是一个分段函数其中一个是一次函数其图象是一条直线
27、由图象可判断该直线的斜率另一个是三角函数三角函数解析式中的参量由三角函数的故周期决定由图象欲使 f(k)x22tx12对任意的 t1,1恒成立，等价于12x22tx12，即 g(t)2xtx210在1,1上恒成立，而 g(t)在1,1上为单调函数或常函数，所以 g(1)2xx210g(1)2xx210，解得 1 2x 21.故实数 x 的取值范围为1 2，21 22(12分)(2010洛阳模拟题)已知向量 asinx212，cosx2，bcosx212，cosx2，x2，.函数 f(x)a b.(1)若 cos x35，求函数 f(x)的值；(2)将函数 f(x)的图象先向右平移 m 个单位，
28、再向上平移 n 个单位，使平移后的图象关于原点对称，若 0m0，试求 m，n 的值 解：(1)cos x35，x2，sinx45.f(x)a bsinx212 cosx212cos2x212sinx612(1cos x)1232sinx12cos x1 35720.(2)由(1)知 f(x)1232sinx12cos x1 12 sinx612.f(x)的图象向右平移 m个单位，再向上平移 n 个单位后，变为 y12sinxm612n，由于其图象关于原点对称，故 y12 sinxm612n12sinx，则 6mk，kZ，12n0，mk 6，kZ，n12.0m，k1时，m56.目要求的若则值可能
29、为解析故选答案将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变再向左平移个单位长度所得函数图象的一条对称轴为解析将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍得到的图象再向左平移个单位长度大值为结合选项可知只能取故选答案设函数的图象关于直线对称它的周期是则的图象过点上递减的图象在的最大值为的一个对称中心是点解析即关于直线对称即又即再用检验法一一验证知正确答案已知是实数则函数的图象不可能是象即为故选答案东北三校第一次联考函数的图象如图则解析本题中的函数是一个分段函数其中一个是一次函数其图象是一条直线由图象可判断该直线的斜率另一个是三角函数三角函数解析式中的参量由三角函数的故周期决定由图象即 m，n
30、的值分别为56，12.目要求的若则值可能为解析故选答案将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变再向左平移个单位长度所得函数图象的一条对称轴为解析将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍得到的图象再向左平移个单位长度大值为结合选项可知只能取故选答案设函数的图象关于直线对称它的周期是则的图象过点上递减的图象在的最大值为的一个对称中心是点解析即关于直线对称即又即再用检验法一一验证知正确答案已知是实数则函数的图象不可能是象即为故选答案东北三校第一次联考函数的图象如图则解析本题中的函数是一个分段函数其中一个是一次函数其图象是一条直线由图象可判断该直线的斜率另一个是三角函数三角函数解析式中的参量由三角函数的故周期决定由图象