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1、1 绪论 随着计算机技术和通信技术的飞速发展，控制理论的研究不断深入，自动 控制技术在农业、工业、军队和家庭等社会各领域得到了广泛应用，对于提高 劳动生产率做出了重要贡献。倒立摆是一种理想的控制对象平台，它结构简单、成本较低，可以有效地 检验众多控制方法的有效性。对倒立摆系统这样一个典型的多变量、快速、非 线性和自然不稳定系统的研究，无论在理论上和方法上都具有重要意义。这不 仅因为其级数增加而产生的控制难度是人类对其控制能力的有力挑战，更是因 为在实现其稳定控制的过程中，众多的控制理论和方法被不断应用，新的控制 理论和方法因而层出不穷。各种控制理论和方法都可以在倒立摆这个控制对象 平台上加以实
2、现和检验，并可以促成控制理论和方法相互间的有机结合，进而 使得这些新方法、新理论可以应用到更加广泛的受控对象中。1.1 倒立摆系统的分类 随着倒立摆系统控制方法研究的不断深入，倒立摆系统的种类也逐渐发展 为多种形式。目前研究的倒立摆大多为在二维空间仁即平面)内摆动的摆。考虑倒立摆的不同结构形式，倒立摆系统可以分为以下几种类型 1)小车倒立摆系统仁或称为“直线倒立摆系统”)小车倒立摆系统主要由小车和摆杆两部分构成。其中，摆杆可以是一级、两级、三级、四级甚至多级。摆杆的级数越多，控制难度越大，而摆杆的长度 也可能是变化的。控制目标一般是通过给小车施加一个水平方向的力，使小车 在期望的位置上稳定，而
3、摆杆达到竖直向上的动态平衡状态。2)旋转倒立摆系统仁或称为“环形倒立摆系统”)旋转倒立摆系统是在小车倒立摆系统的基础上发展起来的。与小车倒立摆不 同，旋转倒立摆将摆杆安装在与电机转轴相连的水平旋臂上，通过电机带动 旋臂在水平面的转动来控制摆杆的倒立，摆杆可以在垂直平面内旋转。旋转倒 立摆将小车倒立摆的平动控制改为旋转控制，使得整个系统更为复杂和不稳定，增加了控制的难度。3）平面倒立摆系统 在平面倒立摆系统中，匀质摆杆底端可以在平面内作二维自由运动，摆杆 可沿竖直平面内任一轴线转动。小车倒立摆的摆杆底端运动轨迹是直线，旋转 倒立摆的摆杆底端运动轨迹是圆周，而平面倒立摆的摆杆底端在二维平面内无 固
4、定的运动轨迹，这也是它与前两种倒立摆的主要区别。4）柔性倒立摆系统 在柔性倒立摆系统中，由于将匀质刚体摆杆换成了柔性摆杆，这种倒立摆 的摆杆本身已经变成了非线性分布参数系统。5）直线柔性连接倒立摆系统 所谓直线柔性连接倒立摆系统，就是在直线刚性倒立摆的基础上，加入自 由弹簧系统:电机连接一个主动小车，而主动小车通过一根弹簧作用于从动小 车，对固定在从动小车上的倒立摆实施控制。1.2 设计内容及要求 设计内容：1.构建单级旋转倒立摆模型；2.实现单级旋转倒立摆摆杆的稳定控制；3.基于MATLA完成稳定控制仿真；基本要求：1 摆角稳定控制范围：10o 10o；2 旋臂转角可在 0o:360o 进行
5、控制。各领域得到了广泛应用对于提高劳动生产率做出了重要贡献倒立摆是一种理想的控制对象平台它结构简单成本较低可以有效地检验众多控制方法的有效性对倒立摆系统这样一个典型的多变量快速非线性和自然不稳定系统的研究无论为在实现其稳定控制的过程中众多的控制理论和方法被不断应用新的控制理论和方法因而层出不穷各种控制理论和方法都可以在倒立摆这个控制对象平台上加以实现和检验并可以促成控制理论和方法相互间的有机结合进而使得这些摆系统的种类也逐渐发展为多种形式目前研究的倒立摆大多为在二维空间仁即平面内摆动的摆考虑倒立摆的不同结构形式倒立摆系统可以分为以下几种类型小车倒立摆系统仁或称为直线倒立摆系统小车倒立摆系统主要
6、由小车和摆杆1.3 课题研究的意义 倒立摆系统作为研究控制理论的一种典型的实验装置，具有较为简单的结构、可以有效地检验众多控制方法的有效性、参数和模型易于改变、相对低廉的成本等 优点，研究控制理论的很多科研人员一直将它们视为主要的研究对象，用它们来描 述线性控制领域中不稳定系统的稳定性以及在非线性控制领域中的无源性控制、变 结构控制、非线性观测器、自由行走、非线性模型降阶、摩擦补偿等控制思想，且 从中不断开发出新的控制方法和控制理论，所以倒立摆系统是研究智能控制方法较 为理想的实验装置。不仅如此，倒立摆系统也是进行控制理论教学的理想平台。很 显然，这种实验教学方法难以培养学生综合素质和实践能力
7、。所以必须在实验环节 的内容和形式上进行改革与创新，以培养学生的创新意识和实践动手能力。因此，进行设计性、开放性的综合实验具有极其重要的现实意义。1.4 本人侧重点 本人主要工作是旋转倒立摆系统的 lagrange 方程建模及性能分析。倒立摆系 统是一个异常复杂而又对准确性、快速性要求很高的非线性不稳定控制问题.显然 一个典型的非线性、不稳定系统的研究成果无论在理论上或是在方法论上都有重要 的意义.而倒立摆数学模型的建立对研究其稳定性具有指导作用.实验证明在此建 模基础上采用状态反馈法对倒立摆系统的稳定控制相当成功,并可在此基础上对其 进行分析,为计算机控制提供理论与实践的依据.2 旋转倒立摆
8、系统的 Lagrange 方程建模与可控性分析 在建立倒立摆系统的模型时，传统的方法一般采用牛顿运动定律来求解。但在 用牛顿运动定律来求解质点组的运动问题时，常常要列解大量的微分方程组。在许 多实际问题中，求解微分方程会遇到困难。特别是当质点组存在约束情况时，还需 要确定各质点间的相互作用力、位移、速度、加速度关系，联立求解这些方程则更 为困难。为了简化旋转倒立摆系统的数学建模过程，本章采用了分析力学中的 Lagrange 方程推导旋转倒立摆的系统模型，并对该系统的可控性进行了分析。首 先，在第2.1节中分析了 Lagrange方程的物理意义和特点；接下来，在第2.2节中 讨论了旋转式倒立摆系
9、统的特点，对倒立摆系统进行了动力学分析；然后，在第2.3 节中根据Lagrange方程运用动力学理论对旋转倒立摆系统建立数学模型；随后，在 第2.4节中分析了旋转倒立摆系统模型中的非线性因素以及局部线性化带来的问 题；最后，在第各领域得到了广泛应用对于提高劳动生产率做出了重要贡献倒立摆是一种理想的控制对象平台它结构简单成本较低可以有效地检验众多控制方法的有效性对倒立摆系统这样一个典型的多变量快速非线性和自然不稳定系统的研究无论为在实现其稳定控制的过程中众多的控制理论和方法被不断应用新的控制理论和方法因而层出不穷各种控制理论和方法都可以在倒立摆这个控制对象平台上加以实现和检验并可以促成控制理论和
10、方法相互间的有机结合进而使得这些摆系统的种类也逐渐发展为多种形式目前研究的倒立摆大多为在二维空间仁即平面内摆动的摆考虑倒立摆的不同结构形式倒立摆系统可以分为以下几种类型小车倒立摆系统仁或称为直线倒立摆系统小车倒立摆系统主要由小车和摆杆2.5节中对旋转倒立摆系统的可控性进行了分析。2.1 Lagra nge方程及其特点 Lagra nge方程是分析力学中的一个重要方程，它不仅在理论上揭示了系统的最 小势能原理，在实用上也有很大价值。分析力学是理论力学的重要组成部分，主要 从能量角度来研究力学体系的运动规律，把系统作为一个整体来考察，用动能和势 能的标量函数来描述系统，使很多受理想约束的非自由质点
11、系动力学问题的研究和 求解过程大为简化。当系统的动能和势能的表达式可求的情况下，使用 Lagra nge 方程可以使系统动力学方程的形式和求解变得很简单。设qi,q2,.qn为系统的广义坐标；qi,q2,.qn为系统的广义速度，即广义坐标对时 间的导数;H是用广义坐标和广义速度表示的系统功能；Qi,Q2,.Qn为对应于各个广 义坐标的广义力，则系统的运动满足下列方程组：d H H()Qi()(i=1,2.n)(2-1)dt qi qi 上式为Lagrange方程的一般形式。其物理意义为广义动量对时间的变化率等 于系统广义力和拉格朗日力之和。叫拉格朗日力，表示惯性力的投影。广义力 qi Qi的物
12、理意义主要决定于广义坐标的量纲，例如，当qi表示长度时，则Qi表示作用 力；当qi表示面积时，则Qi表示表面张力；当qi表示体积时，则Qi表示应力；当qi 表示转角时，则Qi表示力矩。当作用于系统的主动力为保守力，即系统为保守系统时，可将方程写为 d H H-()()0(i=1,2.n)(2-2)dt q q 这里H为系统的动能T和势能V之差(H=T-V)。在分析力学中称H为Lagrange 函数 为减少实验的盲目性，简化系统的建模过程，采用 Lagrange 方程推导旋转倒 立摆的系统模型。Lagrange 方程有如下特点:1)它是以广义坐标表达的任意完整系统的运动方程式，方程式的数目和系统
13、自由度 数是一致的。2)理想约束反力不出现在方程组中，因此在建立运动方程式时，只需分析已知的主 动力，而不必各领域得到了广泛应用对于提高劳动生产率做出了重要贡献倒立摆是一种理想的控制对象平台它结构简单成本较低可以有效地检验众多控制方法的有效性对倒立摆系统这样一个典型的多变量快速非线性和自然不稳定系统的研究无论为在实现其稳定控制的过程中众多的控制理论和方法被不断应用新的控制理论和方法因而层出不穷各种控制理论和方法都可以在倒立摆这个控制对象平台上加以实现和检验并可以促成控制理论和方法相互间的有机结合进而使得这些摆系统的种类也逐渐发展为多种形式目前研究的倒立摆大多为在二维空间仁即平面内摆动的摆考虑倒
14、立摆的不同结构形式倒立摆系统可以分为以下几种类型小车倒立摆系统仁或称为直线倒立摆系统小车倒立摆系统主要由小车和摆杆分析未知的约束反力。3)Lagrange 方程是以能量观点建立起来的运动方程式，为了列出系统的运动方 程式，只需要从两个方面去分析，一个是表征系统运动的动力学量-系统的动能，另一个是表征主动力作用的动力学量-广义力。因此用拉格朗日方程来求解系统的 动力学方程可以大大简化建模过程。22 旋转倒立摆的特点及系统动力学分析 221 旋转倒立摆的特点 目前在倒立摆的研究中，以小车式倒立摆为控制对象的文章很多。人们对于小 车驱动式倒立摆的研究进行的比较深入，提出了多种不同的控制算法，为控制理
15、论 的发展做出了重要贡献。但是，小车式倒立摆在机械系统上需要有很长的导轨，这 占用了较大的空间。另外，由于小车式倒立摆有着繁多的传动机构，在实验过程中 经常因为机城系统的误差和故障影响控制效果，从而干扰对控制算法本身性能的有 效判断。旋转式倒立摆与小车式倒立摆不同，出于将小车的平动控制改为旋臂的旋转 控制，在硬件结构上减少了中问传动机构，使其系统结构更加简单牢固，相对 于小车式倒立摆具有更大的非线性、不稳定性和复杂性，对控制算法提出了更高 的要求。在本文中我们研究的是一种新型的旋转倒立摆装置。作为一种新型的倒立摆 装置，旋转倒立摆系统主要有以下四个特点：(1)不确定性：主要是由模型的参数误差以
16、及机械传动过程中的减速齿轮间 隙所导致。但是与小车倒立摆系统相比，由于没有了导轨上用于拖动小 车的皮带，影响程度相对较小。(2)耦合特性：旋转倒立摆系统的摆杆和水平旋臂之闷 j，以及多级倒立摆系 统的上下摆杆之削都有较强的耦合作用。(3)开环不稳定性：丌坏时微小的扰动就会使系统离丌平衡点而倾倒。(4)行程无限制：旋转倒立摆系统的水平旋臂没有行程限制，而小车倒立摆 系统中小车的行程是有物理限制的，因而增加了控制的约束，使得一些 控制算法在小车倒立摆系统上无法实现。2.2.2 旋转倒立摆系统的动力学分析 对旋转倒立摆系统建立数学模型是实现倒立摆控制的基础，下面对课题采用的 各领域得到了广泛应用对于
17、提高劳动生产率做出了重要贡献倒立摆是一种理想的控制对象平台它结构简单成本较低可以有效地检验众多控制方法的有效性对倒立摆系统这样一个典型的多变量快速非线性和自然不稳定系统的研究无论为在实现其稳定控制的过程中众多的控制理论和方法被不断应用新的控制理论和方法因而层出不穷各种控制理论和方法都可以在倒立摆这个控制对象平台上加以实现和检验并可以促成控制理论和方法相互间的有机结合进而使得这些摆系统的种类也逐渐发展为多种形式目前研究的倒立摆大多为在二维空间仁即平面内摆动的摆考虑倒立摆的不同结构形式倒立摆系统可以分为以下几种类型小车倒立摆系统仁或称为直线倒立摆系统小车倒立摆系统主要由小车和摆杆单级旋转倒立摆系统
18、的数学模型进行动力学分析。旋转倒立摆的模型结构如图 2-1 所示，在忽略各种阻力和摩擦的条件下，旋臂和摆杆可以抽象为的两个匀质杆，其 中旋臂长度为r，相对其水平方向零位的角位移为；摆杆质心与铰链距离为L，相 对其竖直方向零位的角位移为 相应地，为旋臂角速度，为摆杆角速度。图 2-1旋转倒立摆系统模型分析 下面根据动力学理论介绍单级旋转倒立摆的动力学方程推导。摆杆质心的速度由水平和竖直两个分量构成：V摆杆质心 Leos()5?Lsin()?(2-3)各领域得到了广泛应用对于提高劳动生产率做出了重要贡献倒立摆是一种理想的控制对象平台它结构简单成本较低可以有效地检验众多控制方法的有效性对倒立摆系统这
19、样一个典型的多变量快速非线性和自然不稳定系统的研究无论为在实现其稳定控制的过程中众多的控制理论和方法被不断应用新的控制理论和方法因而层出不穷各种控制理论和方法都可以在倒立摆这个控制对象平台上加以实现和检验并可以促成控制理论和方法相互间的有机结合进而使得这些摆系统的种类也逐渐发展为多种形式目前研究的倒立摆大多为在二维空间仁即平面内摆动的摆考虑倒立摆的不同结构形式倒立摆系统可以分为以下几种类型小车倒立摆系统仁或称为直线倒立摆系统小车倒立摆系统主要由小车和摆杆的竖直速度分量。旋臂和摆杆一起运动，其沿水平方向 x的线速度为:(2-4)Vx Vy r Leos()Lsin()(2-5)方程组式(2-5)
20、给出了完整的摆杆速度描述，应用 Lagrange方程可推导出系统 其中,Leos()?表示摆杆质心的水平速度分量,Lsin()?表示摆杆质心 V旋臂r 摆杆质心在x方向和y方向的速度分量为：的动态方程。2.3旋转倒立摆系统的Lagrange方程建模 以旋臂所在水平面为零势能面，则系统的势能V即为摆杆的重力势能，因 此系统势能V可以表示为：V mgh mgLcos 系统的动能T由四部分因素构成，它们包括：旋臂在水平面内的转动，摆杆 在竖直平面内的转动，摆杆质心沿x轴方向的速度、沿y轴方向的速度(参见 图2 一 1),对应的动能分量这里分别用 T1、Ta T3、T4表示：T T1 T2 T3 T4
21、 其中：T,T2 T3 2J 2 m(r Leos()2 T4 1 2?m(Lsin()故系统动能T可以表示为：T 寸J 2 如 m(r Lcos()2 1m(Lsin()2(2-6)各领域得到了广泛应用对于提高劳动生产率做出了重要贡献倒立摆是一种理想的控制对象平台它结构简单成本较低可以有效地检验众多控制方法的有效性对倒立摆系统这样一个典型的多变量快速非线性和自然不稳定系统的研究无论为在实现其稳定控制的过程中众多的控制理论和方法被不断应用新的控制理论和方法因而层出不穷各种控制理论和方法都可以在倒立摆这个控制对象平台上加以实现和检验并可以促成控制理论和方法相互间的有机结合进而使得这些摆系统的种类
22、也逐渐发展为多种形式目前研究的倒立摆大多为在二维空间仁即平面内摆动的摆考虑倒立摆的不同结构形式倒立摆系统可以分为以下几种类型小车倒立摆系统仁或称为直线倒立摆系统小车倒立摆系统主要由小车和摆杆6 2 2mL2 2 2 3 mLrcos()()mr 2 mgLcos(2-7)应用 Lgarange 方程 H(q,q)T(q,q)V(q,q)，其中H为拉格朗日算子,q为系统 H qi Qi 设R为摆杆长度,由于L为R的一半,即R=2L因此，摆杆对其质心的转动惯量 为 J2 丄 mR2 丄 m(2L)2 1mL2 12 12 3 将带入方程T,可推导拉格朗日函数H T V，的广义坐标，T为系统的动能，
23、V为系统的势能。Lagrange方程由广义坐标qi和H 表示为：在本系统中，i 1,2;q ,，为旋臂角位移，为摆杆角位移，Qj为系统 沿该广义坐标方向上的外力，于是可得方程组 匚(上)(Ji mr2)mLrsin()cos()H)Toutput Beq H)其中Toutput为直流伺服电机的输出转矩,mgKtKg(Vm Kg Km)Rm 因为已知:H 2Ji 2 2 2 2 mL mLr cos()(3 imr 2 mgLcos(2-8)故可计算(2-8)里各个分量:2(Ji mr)mLrcos()各领域得到了广泛应用对于提高劳动生产率做出了重要贡献倒立摆是一种理想的控制对象平台它结构简单成
24、本较低可以有效地检验众多控制方法的有效性对倒立摆系统这样一个典型的多变量快速非线性和自然不稳定系统的研究无论为在实现其稳定控制的过程中众多的控制理论和方法被不断应用新的控制理论和方法因而层出不穷各种控制理论和方法都可以在倒立摆这个控制对象平台上加以实现和检验并可以促成控制理论和方法相互间的有机结合进而使得这些摆系统的种类也逐渐发展为多种形式目前研究的倒立摆大多为在二维空间仁即平面内摆动的摆考虑倒立摆的不同结构形式倒立摆系统可以分为以下几种类型小车倒立摆系统仁或称为直线倒立摆系统小车倒立摆系统主要由小车和摆杆()(Ji mr2)mLrsin()cos()H)4mL2 3 mLr sin()mLr
25、 cos()mgLsin H H 另外已知 0,mgLsin 系统模型推导过程中各参数的物理意义和数值单位如表 2-1所示 捋号 L 播杆慮社到转袖卑恥 0.165 A/0.105 n 0 2M 10X10 55X10 幫 収力:na曲曲:9 a 雄杆心X丹向迪底恤*Vj 嚣杆担心皿向制即恤 0 鍵皆翊楼秋md 6 嵐艸宙連Mnd a eHMtm/nd 擢捋兔速匾mds 1 电机力 Jfejfift/Nm-A-1 7 767X10 11 反向业孙乐典陀斛同7 7,767X ID 3 比迪驾佻笹也 5_ 1 互範味电杞电 2ft 奁腕电貳电 柿“疋电札故&9*空述1S殊隼出 脚 怙性:肥足累働血
26、心1 40X10-1 表 2-1系统物理参数表 将前面计算得到的各分量代入方程(2-8)左面,经化简得:再代入方程组(2-8)，可得旋转倒立摆系统的非线性方程表示4mL2 mLrsin()mLrcos()各领域得到了广泛应用对于提高劳动生产率做出了重要贡献倒立摆是一种理想的控制对象平台它结构简单成本较低可以有效地检验众多控制方法的有效性对倒立摆系统这样一个典型的多变量快速非线性和自然不稳定系统的研究无论为在实现其稳定控制的过程中众多的控制理论和方法被不断应用新的控制理论和方法因而层出不穷各种控制理论和方法都可以在倒立摆这个控制对象平台上加以实现和检验并可以促成控制理论和方法相互间的有机结合进而
27、使得这些摆系统的种类也逐渐发展为多种形式目前研究的倒立摆大多为在二维空间仁即平面内摆动的摆考虑倒立摆的不同结构形式倒立摆系统可以分为以下几种类型小车倒立摆系统仁或称为直线倒立摆系统小车倒立摆系统主要由小车和摆杆 (Ji mr2)mLrsin()cos 4 2 mL mLrsin()mLr cos 3 将直流伺服电机的输出转矩Toutput (J1 mr2)m gKt Kg Beq Rm mLrcos()mLr sin(Xi,X2,yi Xi X2 yi y2 X2 3 r ry2 cosxi 4L y2 Beq 2 y2 Ji mr g sin Xi)Toutput Beq)mgLs in 0
28、 m十小侶 g)代入化简得:m g Kt K g(2-9)Rm Vm mLrcos()sin()Rm mgLs in y2 ry2 sin Xi m g Kt K g K m yi mLr 2 X2 sin Xi Ji mr 2(Ji mr)Rm m g Kt Kg、/V m mLr 2 X2 cosXi Ji mr(2-10)(Ji mr)Rm 将X2代入y2,再将y2代入X2整理得:Xi X2 3rBeq COSX-I X2 2 厂 y2 L4Ji(4 3cos xi)mr 3mr2 cosxi sin xi 4Ji yi 2 X2(4 3cos Xi)mr y2 y2 4 Beq 2 2
29、 4Ji(4 3cos xjmr 4mLr sin xi 4Ji(4 3cos2 X-I)mr2 2 3r m gKtK；KmCOSXi yi LRm4Ji(4 3cos Xi)mr 3r m g 心 Kg cos Xi 2 2 Vm LRm4Ji(4 3cos xi)mr 4 m gKtKKm Z 2 y 2 厂 yi Rm4Ji(4 3cos xi)mr 4 m g Kt Kg _.Z 2 2 2 Vm Rm4Ji(4 3cos xjmr 4Ji(4 3cos2 Xi)mr2，并将 Xi、x?、yi、y 分别替换成 各领域得到了广泛应用对于提高劳动生产率做出了重要贡献倒立摆是一种理想的控制
30、对象平台它结构简单成本较低可以有效地检验众多控制方法的有效性对倒立摆系统这样一个典型的多变量快速非线性和自然不稳定系统的研究无论为在实现其稳定控制的过程中众多的控制理论和方法被不断应用新的控制理论和方法因而层出不穷各种控制理论和方法都可以在倒立摆这个控制对象平台上加以实现和检验并可以促成控制理论和方法相互间的有机结合进而使得这些摆系统的种类也逐渐发展为多种形式目前研究的倒立摆大多为在二维空间仁即平面内摆动的摆考虑倒立摆的不同结构形式倒立摆系统可以分为以下几种类型小车倒立摆系统仁或称为直线倒立摆系统小车倒立摆系统主要由小车和摆杆 0 4 m g Kt Kg Km RE 0 2 3r m gKt
31、KgKmCos LRE 1 4Beq E 0 3rBeq cos LE 0 4mLrsi n E 1 3mr2 cos sin 0 4 m g Kt Kg 5 Vm 3r m gKKg cos LRmE y 10 10 考虑旋转倒立摆的初始位置在平衡点 0T附近的情 况，假设此时 和 同1rad 相比很小，1,cos 1,sin Q E 2 2 4J1(4 3 cos)mr 4J1 2 mr，将 COS a、sin a、E 代入方程组(2-11)，于是该方程组可局部线性化为 0 2 4 m gKtKgK 2.,“1 m 2 Rm(4J1 mr)0 2 3r m gKtKgK LRm(4 J1“
32、1 m 2 mr)1 4Beq(4J1 mr2)0 3rBeq 2 L(4J1 mr)T 方程组(2-12)0 m g Kt K g 2?Vm/、(2-12)4 Rm(4J1 mr2)0 3r m g Kt K g T777 2 LRm(4J1 mr)即为单级旋转倒立摆系统的线性化状态方程描述。将系统各机械 参数值代入式(2-12)，可得单级旋转倒立摆系统的线性化数学模型如下 0 1 0 0 0 39.32 14.52 0 0 25.54 0 0 0 1 0 81.78 13.98 0 0 24.59 T(2-13)各领域得到了广泛应用对于提高劳动生产率做出了重要贡献倒立摆是一种理想的控制对象
33、平台它结构简单成本较低可以有效地检验众多控制方法的有效性对倒立摆系统这样一个典型的多变量快速非线性和自然不稳定系统的研究无论为在实现其稳定控制的过程中众多的控制理论和方法被不断应用新的控制理论和方法因而层出不穷各种控制理论和方法都可以在倒立摆这个控制对象平台上加以实现和检验并可以促成控制理论和方法相互间的有机结合进而使得这些摆系统的种类也逐渐发展为多种形式目前研究的倒立摆大多为在二维空间仁即平面内摆动的摆考虑倒立摆的不同结构形式倒立摆系统可以分为以下几种类型小车倒立摆系统仁或称为直线倒立摆系统小车倒立摆系统主要由小车和摆杆24 旋转倒立摆系统的可控性分析 根据方程(2-12)，求线性化后系统的
34、阶跃响应，对应的 M程序:MATLA仿真得到的旋转倒立摆线性化模型的阶跃响应曲线如图 2-2所示 图 2-2 系统线性化模型的阶跃响应曲线 可见，系统在平衡点附近的阶跃响应曲线发散。因此，系统是自然不稳定的。另外，由线性化数学模型得系统的特征值为 1=0，2=-171209，3=75407，4=-4 9398。可见，3=75407位于复平面的右半平面，系统在平衡点附近不 稳定。因此，各领域得到了广泛应用对于提高劳动生产率做出了重要贡献倒立摆是一种理想的控制对象平台它结构简单成本较低可以有效地检验众多控制方法的有效性对倒立摆系统这样一个典型的多变量快速非线性和自然不稳定系统的研究无论为在实现其稳
35、定控制的过程中众多的控制理论和方法被不断应用新的控制理论和方法因而层出不穷各种控制理论和方法都可以在倒立摆这个控制对象平台上加以实现和检验并可以促成控制理论和方法相互间的有机结合进而使得这些摆系统的种类也逐渐发展为多种形式目前研究的倒立摆大多为在二维空间仁即平面内摆动的摆考虑倒立摆的不同结构形式倒立摆系统可以分为以下几种类型小车倒立摆系统仁或称为直线倒立摆系统小车倒立摆系统主要由小车和摆杆(4-1)单级旋转倒立摆为开环不稳定系统，需要设计控制器来镇定系统。同样可以计算出系统的能控性矩阵的秩为 4,因而系统能控。因此，单级旋转倒 立摆系统在不稳定平衡点附近可控 3 LQR 控制旋转倒立摆 3.1
36、线性二次型最优控制理论原理 最优控制是现代控制理论的核心，其研究的主要问题是：建立被控对象 的数学模型，选择一个控制规律，使得被控对象按照预定要求运行，并使其 某一性能指标达到极小值或极大值。如果所研究的对象系统为线性的，且性 能指标函数为状态变量和控制变量的二次型函数的积分，则这种动态系统最 优控制问题称为线性二次型性能指标的最优控制问题(li near quadratic regulator)，简称 LQR 与其它控制理论相比，线性二次型性最优控制问题有两个显著的特点:第一，所研究的是多输入多输出动态系统的最优控制问题；第二，所研究的 系统性能指标是综合性的性能指标。因此，线性二次型性能指
37、标的最优控制 问题具有综合性、灵活性和实用性。给定完全可控线性定常系统的状态方程和初始条件 X(t)AX(t)BU(t)X(t。)X。以及性能指标 积分号下第一项反应X过渡的快慢，但仅仅有此项是不行的，因为要使X快速 过渡，U需要的能量消耗就很大。积分号下第二项是限制能量消耗的。Q,R分别是 对状态变量和输入向量的加权矩阵，它们确定了误差和能量损耗的相对重要性。除 此之外，式中的第一项，是对终端偏差即稳态控制精度的限制。因此，可以看出式 子的二次型性能指标的物理意义是，在整个时间区间to,tf 特别是终值时刻tf上 状态变量尽量接近于零而又不消耗过大的控制能量。其中 Q,R 都是正定、对称的常
38、数矩阵。假定 u(t)不受约束，要求确定最优控 制函数 各领域得到了广泛应用对于提高劳动生产率做出了重要贡献倒立摆是一种理想的控制对象平台它结构简单成本较低可以有效地检验众多控制方法的有效性对倒立摆系统这样一个典型的多变量快速非线性和自然不稳定系统的研究无论为在实现其稳定控制的过程中众多的控制理论和方法被不断应用新的控制理论和方法因而层出不穷各种控制理论和方法都可以在倒立摆这个控制对象平台上加以实现和检验并可以促成控制理论和方法相互间的有机结合进而使得这些摆系统的种类也逐渐发展为多种形式目前研究的倒立摆大多为在二维空间仁即平面内摆动的摆考虑倒立摆的不同结构形式倒立摆系统可以分为以下几种类型小车
39、倒立摆系统仁或称为直线倒立摆系统小车倒立摆系统主要由小车和摆杆U*(t)=-KX(t)，使性能指标达到最小值。这是一种状态调节器问题，由于 终端时刻 tf 为无限值，故称为无限时间的状态调节器问题，有时也称为非时变的 状态调节器问题。相应的最优控制 U*(t)称为最优调节作用或最优调节器。线性二次型控制理论是反馈系统设计的一种重要工具，它为多变量反馈系 统的设计提供了一种有效的分析方法，可以适应于时变系统，能够处理扰动信 号和测量噪声问题，并可以处理有限和无限的时间区间。MATLAB合出了求解 线性二次型最 优调节 器的函数Iqr,其凋用语句为 K,P,E Iqr(A,B,Q,R)。可见公式中
40、的输入变量都足系统中的已知矩阵，而返回的 解除了增益矩阵 K和方差阵P之外，还有一个特征根矩阵 E,它是特征方程 XI(A BK)0的根，根据它可以判断控制器的动态相应及稳定性。从控制效果来看，LQR是连续线性二次型最优控制函数，用于计算连续状 态空间控制方程，LQR旨标中引入对控制增量的约束，可以保证控制量的变化 不至于太剧烈，且通过加权系数，可以选择对跟踪误差和控制量的变化的抑制 两方面的侧重过程，LQR指标具有一定的鲁棒性。32 利用线性二次型最有控制仿真 根据现代控制LQR最优调节器原理，利用 MATLAB!供的Iqr(A，B，Q,R)函数可以方便地算出控制矩阵K。选择合适的加权矩阵C
41、和R,先从最简单选取，这 里取Q diag 110 0，R=1。(C和R的选取方法参考附录)矩阵C和R用来平衡系统对输入量和输出量的敏感程度。R=1 Q=1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 0 K,P,r=Iqr(A,B,Q,R)t=0:0.1:10;K=-1.0000-2.1154 82.5408 15.8201 各领域得到了广泛应用对于提高劳动生产率做出了重要贡献倒立摆是一种理想的控制对象平台它结构简单成本较低可以有效地检验众多控制方法的有效性对倒立摆系统这样一个典型的多变量快速非线性和自然不稳定系统的研究无论为在实现其稳定控制的过程中众多的控制理论和方法被不断应用
42、新的控制理论和方法因而层出不穷各种控制理论和方法都可以在倒立摆这个控制对象平台上加以实现和检验并可以促成控制理论和方法相互间的有机结合进而使得这些摆系统的种类也逐渐发展为多种形式目前研究的倒立摆大多为在二维空间仁即平面内摆动的摆考虑倒立摆的不同结构形式倒立摆系统可以分为以下几种类型小车倒立摆系统仁或称为直线倒立摆系统小车倒立摆系统主要由小车和摆杆2.1154 1.7374-15.8201-3.0321 1.7374 3.1506-30.4333-5.8330 15.8201-30.4333 652.9013 125.1375 -3.0321-5.8330 125.1375 23.9843 -5
43、.2175+O.OOOOi-0.8660+0.5000i-0.8660-0.5000i-5.2175+0.0000i 计算得出最优状态反馈增益矩阵为：K ki k2 k3 k4 1.0000-2.1154 82.5480 15.8201。系统的闭环极点为-5.2175+0.0000i;-0.8660+0.5000i;-0.8660-0.5000i;-5.2175+0.0000i 可以看到，系统4个极点均处于复平面的左半平面，因此，系统是镇定的。3-1系统仿真 在图中state-space 设置原系统A,B,C,D以及初始的摆角 各领域得到了广泛应用对于提高劳动生产率做出了重要贡献倒立摆是一种理
44、想的控制对象平台它结构简单成本较低可以有效地检验众多控制方法的有效性对倒立摆系统这样一个典型的多变量快速非线性和自然不稳定系统的研究无论为在实现其稳定控制的过程中众多的控制理论和方法被不断应用新的控制理论和方法因而层出不穷各种控制理论和方法都可以在倒立摆这个控制对象平台上加以实现和检验并可以促成控制理论和方法相互间的有机结合进而使得这些摆系统的种类也逐渐发展为多种形式目前研究的倒立摆大多为在二维空间仁即平面内摆动的摆考虑倒立摆的不同结构形式倒立摆系统可以分为以下几种类型小车倒立摆系统仁或称为直线倒立摆系统小车倒立摆系统主要由小车和摆杆?.!Cancel Help ftpply Furction
45、 Elock Parametrs:State-Space State Space State-space model:dx/dt=Ax Bu y=Cx+Du Paranifiter s A：D 1 U 山吕乳 32-1 实盹 U D：D 0 D 1 7S-13.93 0 0 B:D;2 乩丘 4R：24 59 C:1 0 W 帀 Q O I QW Q Q 1 D:DW：D Initial conditions 0;U;-1口临订 18O;UJ/Lbsolutft tolerancE auto 图 3-2状态空间模块参数设置 接下来，根据LQF控制算法确定的Q,R加权矩阵算出对应的状态转移增益矩
46、阵 K,输入到增益模块中。St ate Name:（日瞻，?f）osition，5 各领域得到了广泛应用对于提高劳动生产率做出了重要贡献倒立摆是一种理想的控制对象平台它结构简单成本较低可以有效地检验众多控制方法的有效性对倒立摆系统这样一个典型的多变量快速非线性和自然不稳定系统的研究无论为在实现其稳定控制的过程中众多的控制理论和方法被不断应用新的控制理论和方法因而层出不穷各种控制理论和方法都可以在倒立摆这个控制对象平台上加以实现和检验并可以促成控制理论和方法相互间的有机结合进而使得这些摆系统的种类也逐渐发展为多种形式目前研究的倒立摆大多为在二维空间仁即平面内摆动的摆考虑倒立摆的不同结构形式倒立摆
47、系统可以分为以下几种类型小车倒立摆系统仁或称为直线倒立摆系统小车倒立摆系统主要由小车和摆杆述|Cancel Help G Function Block Parameters;Gain Gain Elemjeirt-wise gain(y=K.*u)or juatrix gain(y=K*u or y=u.*l)Main Signal Attributes Param&ter Attributes G a in?图 3-3反馈增益参数设置 三个示波器分别观察摆角，转角以及经过状态反馈的输入量。仿真得到下面三幅图 n刈刘=X hi 图 3-4初始化为-10。的摆角响应 可以看出摆角的初始状态为-1
48、0。经过大约6秒的响应，摆角恢复到平衡位置。S aple tune(1&r uilietit.&(l):各领域得到了广泛应用对于提高劳动生产率做出了重要贡献倒立摆是一种理想的控制对象平台它结构简单成本较低可以有效地检验众多控制方法的有效性对倒立摆系统这样一个典型的多变量快速非线性和自然不稳定系统的研究无论为在实现其稳定控制的过程中众多的控制理论和方法被不断应用新的控制理论和方法因而层出不穷各种控制理论和方法都可以在倒立摆这个控制对象平台上加以实现和检验并可以促成控制理论和方法相互间的有机结合进而使得这些摆系统的种类也逐渐发展为多种形式目前研究的倒立摆大多为在二维空间仁即平面内摆动的摆考虑倒立摆
49、的不同结构形式倒立摆系统可以分为以下几种类型小车倒立摆系统仁或称为直线倒立摆系统小车倒立摆系统主要由小车和摆杆Alt 4 实时控制模型 实时控制模型选择固高科技的单极旋转倒立摆。经过数学模型的建立，可以得到 A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 27.222 0 B=0;1;0;0.9028 C=1 0 0 0;0 0 1 0 D=0 同样，对原系统进行稳定性和能控性进行分析，如下图gii 图 3-5经过反馈后的 U 输入 图 3-6状态反馈后的转角响应 各领域得到了广泛应用对于提高劳动生产率做出了重要贡献倒立摆是一种理想的控制对象平台它结构简单成本较低可以有效地检验众多
50、控制方法的有效性对倒立摆系统这样一个典型的多变量快速非线性和自然不稳定系统的研究无论为在实现其稳定控制的过程中众多的控制理论和方法被不断应用新的控制理论和方法因而层出不穷各种控制理论和方法都可以在倒立摆这个控制对象平台上加以实现和检验并可以促成控制理论和方法相互间的有机结合进而使得这些摆系统的种类也逐渐发展为多种形式目前研究的倒立摆大多为在二维空间仁即平面内摆动的摆考虑倒立摆的不同结构形式倒立摆系统可以分为以下几种类型小车倒立摆系统仁或称为直线倒立摆系统小车倒立摆系统主要由小车和摆杆K 代|-状态空间表达式由此可得：A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 27.222 0