《2.4.2 抛物线的简单几何性质 题组训练-2021-2022学年高二上学期数学人教A版选修2-1第二章（Word版含解析）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2.4.2 抛物线的简单几何性质 题组训练-2021-2022学年高二上学期数学人教A版选修2-1第二章（Word版含解析）.docx（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2.4.2抛物线的简单几何性质基础过关练题组一抛物线几何性质的应用1.(2018湖南长沙高三上学期期末)已知点A是抛物线y2=2px(p0)上一点,F为抛物线的焦点,O为坐标原点,当|AF|=4时,OFA=120,则抛物线的准线方程是()A.x=-1B.y=-1C.x=-2D.y=-22.抛物线x2=4y关于直线x+y=0对称的曲线的焦点坐标为()A.(1,0)B.(-1,0)C.116,0D.0,-1163.设A,B是抛物线x2=4y上的两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且AOB的面积为16,则AOB=()A.30B.45C.60D.904.已知抛物线的离心率为e,焦点为(0,e),
2、则抛物线的标准方程为.5.已知抛物线y2=8x.(1)写出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的取值范围;(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是OAB的重心,求OAB的周长.题组二抛物线的中点弦、焦点弦问题6.过抛物线x2=4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,若y1+y2=6,则|P1P2|=()A.5B.6C.8D.107.设抛物线y2=9x与直线2x-3y-8=0交于A,B两点,则线段AB的中点的坐标为()A.1138,-274 B.1138,274C.-1138,-274D.-1138,27
3、48.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()A.x=1 B.x=-1C.x=2 D.x=-29.已知直线l过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线交于A,B两点,若|AB|=8,求直线l的方程.题组三直线与抛物线的位置关系10.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p0),则()A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点11.若直线y=kx+2与抛物线y2=8x只有一个公共点,则实数k的值为()A.1B.1或3C.0D.0或
4、112.若直线l:y=(a+1)x-1与曲线C:y2=ax(a0)恰好有一个公共点,求实数a的取值集合.13.已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点.(1)求证:OAOB;(2)当AOB的面积等于10时,求k的值.能力提升练一、选择题1.(四川成都双流中学高三月考,)过点(-1,0)且倾斜角为45的直线与抛物线y2=4x的位置关系是()A.相交且有两个公共点 B.相交且有一个公共点C.相切且有一个公共点 D.无公共点2.(广东梅州高三质检,)已知过抛物线y2=42x的焦点F的直线与抛物线交于点A,B,AF=3FB,抛物线的准线l与x轴交于点C,AMl于点M,则四边形AMCF
5、的面积为()A.123B.12C.83 D.633.(湖北襄阳高三调研,)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若OFM(O为坐标原点)的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36,则p=()A.2B.4C.6D.84.(吉林长春高三月考,)已知椭圆x24+y23=1的右焦点F是抛物线y2=2px(p0)的焦点,过F作倾斜角为60的直线分别交抛物线于A,B两点(点A在x轴上方),则|AF|BF|的值为()A.3 B.2C.3D.45.(2018广东佛山高二月考,)过抛物线y2=2px(p0)的焦点作一条直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y
6、2x1x2的值为()A.4B.-4C.p2D.-p26.(2018江西宜春高二月考,)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OAOB=2(其中O为坐标原点),则ABO与AFO面积之和的最小值是()A.2B.3C.1728 D.10二、填空题7.(四川成都石室中学高三开学考试,)已知抛物线y2=4x的一条弦AB经过焦点F,O为坐标原点,点M在线段OB上,且|OB|=3|OM|,点N在射线OA上,且|ON|=3|OA|,过M,N分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为C,D,则|CD|的最小值为.8.(安徽宣城高二期末,)已知抛物线E:y2=12x的焦点为F,准线为l,过
7、F的直线m与E交于A,B两点,过A作AMl,垂足为M,AM的中点为N,若AMFN,则|AB|=.9. (北京丰台高三期末,)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,则F的坐标为;过点F的直线交抛物线C于A,B两点,若|AF|=4,则AOB的面积为.10.(2018云南质检,)对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点P(a,0)满足|PQ|a|,则a的取值范围是.三、解答题11.(河北石家庄二中高二月考,)在直角坐标系xOy中,抛物线C:y=x24与直线l:y=kx+4交于M,N两点.(1)当k=0时,求抛物线C在点M和N处的切线方程;(2)在y轴上是否存在一点P,使得当k变动时,总有OPM=OPN?请
8、说明理由.12.(2018湖南六校联考,)如图所示,已知点M(a,3)是抛物线y2=4x上一定点,直线AM,BM的斜率互为相反数,且与抛物线另交于A,B两个不同的点.(1)求点M到其准线的距离;(2)求证:直线AB的斜率为定值.答案全解全析基础过关练1.A如图所示,过A作准线的垂线AC,过F作AC的垂线FB,垂足分别为C,B,由题意得BFA=OFA-90=30,所以|AB|=|AF|sin 30=2,A点到准线的距离d=|AB|+|BC|=p+2=4,解得p=2,则抛物线的准线方程是x=-1,故选A.2.B设抛物线x2=4y关于直线x+y=0对称的曲线为Q,易知Q为抛物线,其焦点与抛物线x2=
9、4y的焦点关于直线x+y=0对称,因为抛物线x2=4y的焦点坐标为(0,1),所以Q的焦点坐标为(-1,0).故选B.3.D由|OA|=|OB|,知抛物线上的点A,B关于y轴对称,设A-a,a24,Ba,a24(a0),则SAOB=122aa24=16,解得a=4,所以|AB|=8,|OA|=|OB|=42,所以AOB=90.4.答案x2=4y解析由e=1,得焦点为(0,1),所以抛物线的标准方程为x2=4y.5.解析(1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的取值范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x轴,x0.(2)不妨令点A位于x轴上方,点B位于x轴下方,如图所示
10、,由|OA|=|OB|,可知ABx轴,设垂足为M,又焦点F是OAB的重心,所以|OF|=23|OM|.因为F(2,0),所以|OM|=32|OF|=3,所以M(3,0),故设A(3,m).代入y2=8x,得m2=24,所以m=26或m=-26,所以A(3,26),B(3,-26),所以|OA|=|OB|=33,|AB|=46,所以OAB的周长为233+46.6.C抛物线x2=4y的准线方程为y=-1,因为P1(x1,y1),P2(x2,y2)是过抛物线焦点的直线l与抛物线的交点,所以P1(x1,y1),P2(x2,y2)到准线的距离分别是y1+1,y2+1,所以|P1P2|=y1+y2+2=8
11、.7.B由2x-3y-8=0,得x=32y+4,代入y2=9x,得y2-272y-36=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点坐标为(x0,y0),则y0=y1+y22=274,x0=x1+x22=1232y1+4+32y2+4=34(y1+y2)+4=32y0+4=1138,故AB的中点的坐标为1138,274.故选B.8.B抛物线的焦点坐标为p2,0,所以过焦点且斜率为1的直线的方程为y=x-p2,即x=y+p2,代入y2=2px得y2=2py+p2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,又由题意得y1+y22=2,
12、所以2p=4,p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.9.解析易知抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),若直线l与x轴垂直,则直线l的方程为x=1,此时|AB|=4,不合题意,所以可设直线l的方程为y=k(x-1)(k0).由y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则由根与系数的关系,得x1+x2=2k2+4k2.又AB过焦点,所以由抛物线的定义可知|AB|=x1+x2+p=2k2+4k2+2=8,所以2k2+4k2=6,解得k=1.所以直线l的方程为x+y-1=0或x-y-1=0.10.C因为直线y=k
13、x-k=k(x-1),所以直线过点(1,0).又点(1,0)在抛物线y2=2px(p0)的内部,所以当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k0时,直线与抛物线有两个公共点.故选C.11.D当k=0时,直线方程为y=2,此时直线与抛物线的对称轴平行,易知直线与抛物线只有一个交点;当k0时,联立方程y=kx+2,y2=8x,消去y,得k2x2+(4k-8)x+4=0,令=(4k-8)2-16k2=0,解得k=1.综上,当直线y=kx+2与抛物线y2=8x只有一个公共点时,k=0或k=1.12.解析联立方程y=(a+1)x-1,y2=ax,消去y并整理,得(a+1)2x2-(3a+2)x+1=0(
14、*).因为直线l与曲线C恰好有一个公共点,所以方程(*)有唯一解或两个相等的实数解.(1)当a+1=0,即a=-1时,方程(*)是关于x的一元一次方程,解得x=-1,方程(*)有唯一解,满足题意.(2)当a+10,即a-1时,方程(*)是关于x的一元二次方程.令=(3a+2)2-4(a+1)2=a(5a+4)=0,解得a=0(舍去)或a=-45.此时, 方程(*)有两个相等的实数解.综上,实数a的取值集合是-1,-45.13.解析(1)证明:易知直线OA,OB的斜率均存在,且k0.联立y2=-x,y=k(x+1),消去x并整理,得ky2+y-k=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与
15、系数的关系得y1+y2=-1k,y1y2=-1.所以kOAkOB=y1x1y2x2=y1-y12y2-y22=1y1y2=-1,所以OAOB.(2)设直线y=k(x+1)与x轴交于点N,如图.易知直线过定点(-1,0),即N(-1,0),所以SOAB=SOAN+SOBN=12|ON|y1|+12|ON|y2|=12|ON|y1-y2|=121(y1+y2)2-4y1y2=12-1k2+4=10,所以k=16.能力提升练一、选择题1.C过点(-1,0)且倾斜角为45的直线方程为y=x+1,将其代入y2=4x,得x2-2x+1=0,=4-4=0,方程有两个相等实数根,该直线与抛物线y2=4x有唯一
16、公共点且相切.2.A如图,过点B作BNl于点N,BKAM于点K.设|BF|=m,则|AF|=|AM|=3m,|BN|=m,|AB|=4m,|AK|=|AM|-|BN|=2m,BAM=60,BFC=60,|CF|=|BN|+12|BF|=32m=22,m=423,|AM|=3m=42,|MC|=|AF|sin 60=3m32=26,S四边形AMCF=12(|CF|+|AM|)|MC|=12(22+42)26=123.3.DOFM的外接圆与抛物线C的准线相切,OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.圆的面积为36,圆的半径为6.又圆心在OF的垂直平分线上,|OF|=p2,p2+p4=6,p=
17、8.故选D.4.C椭圆x24+y23=1的右焦点为(1,0),所以p2=1,解得p=2,则y2=4x,易得直线AB的方程为y=3(x-1).联立方程y2=4x,y=3(x-1),消去y,得3x2-10x+3=0,解得x1=3,x2=13.则点A的横坐标xA=3,点B的横坐标xB=13,所以|AF|BF|=xA+p2xB+p2=3+113+1=3.5.B解法一:(特例法)当直线垂直于x轴时,Ap2,p,Bp2,-p,则y1y2x1x2=-p2p24=-4.故选B.解法二:当直线斜率存在时,设直线方程为y=kx-p2.由y=kx-p2,y2=2px,得y2-2pky-p2=0,可得y1y2=-p2
18、,则y1y2x1x2=y1y2y122py222p=4p2y1y2=4p2-p2=-4.6.B设点A的坐标为(a2,a),点B的坐标为(b2,b),直线AB的方程为x=ty+m(m0),与抛物线方程y2=x联立,消去x,得y2-ty-m=0,故ab=-m,易知m为直线AB与x轴交点的横坐标,且m0.由OAOB=2,得a2b2+ab=2,故ab=-2或ab=1(舍去),所以m=2,所以ABO的面积等于12m|a-b|=|a-b|=a+2a,AFO的面积等于1214|a|=|a|8,所以ABO与AFO的面积之和为a+2a+|a|8=98a+2a298|a|2|a|=3,当且仅当98|a|=2|a|
19、,即|a|=43时,等号成立.故选B.二、填空题7.答案4解析抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),又直线AB过点(1,0),所以设直线AB的方程为y=k(x-1),与抛物线的方程联立,消去x,得y2-4ky-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4k,y1y2=-4,所以|CD|=13y2-3y1=13y2+12y2=13|y2|+12|y2|213|y2|12|y2|=4当且仅当13|y2|=12|y2|,即|y2|=6时取等号,则|CD|的最小值为4.8.答案16解析由题意画出图象,如图所示.|AF|=|AM|,N为AM的中点,|AN|=12|AM|=12|AF|
20、.又FNAM,AFN=30,则直线AB的倾斜角为60,斜率为3.又直线AB过抛物线y2=12x的焦点F(3,0),则直线AB的方程为y=3(x-3).由y=3(x-3),y2=12x得x2-10x+9=0,则xA+xB=10,|AB|=xA+xB+6=16.9.答案(1,0);433解析由抛物线C:y2=4x,可得焦点坐标为(1,0).设A(x0,y0),则|AF|=x0+p2=x0+1=4,故x0=3.根据抛物线的对称性,不妨设A在第一象限,则y0=23,故kAB=233-1=3,故直线AB:y=3(x-1).由y2=4x,y=3(x-1),可得3x2-10x+3=0,解得x=3,y=23或
21、x=13,y=-233,所以SAOB=12123+233=433.10.答案(-,2解析设点Q的坐标为y024,y0,由|PQ|a|,得y02+y024-a2a2,整理,得y02(y02+16-8a)0,因为y020,所以y02+16-8a0,即a2+y028恒成立.而2+y028的最小值为2,所以a2.三、解答题11.解析(1)当k=0时,直线l的方程为y=4,联立y=4,y=x24,解得x=4,y=4或x=-4,y=4.不妨令点M的坐标为(4,4),点N的坐标为(-4,4).设过点M(4,4)的切线方程为y=m(x-4)+4,联立y=m(x-4)+4,y=x24,消去y,得x2-4mx+1
22、6m-16=0.令=16m2-4(16m-16)=0,即m2-4m+4=0,解得m=2,即过点M的切线方程为y=2x-4.根据抛物线的对称性可知,过点N(-4,4)的切线与直线y=2x-4关于y轴对称,即过点N的切线方程为y=-2x-4.综上,过点M和点N的切线方程为y=2x-4和y=-2x-4.(2)存在符合题意的点,理由如下:设P(0,b),M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.联立y=kx+4,y=x24,消去y,得x2-4kx-16=0,故x1+x2=4k,x1x2=-16,从而k1+k2=y1-bx1+y2-bx2=kx1+4-bx1+kx2+4-
23、bx2=2kx1x2+(4-b)(x1+x2)x1x2=k(4+b)4.当b=-4时,有k1+k2=0,则直线PM与直线PN的倾斜角互补,故OPM=OPN,所以点P(0,-4)符合题意.12.解析(1)因为M(a,3)是抛物线y2=4x上一定点,所以32=4a,a=94,所以M94,3.因为抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,所以点M到其准线的距离为94-(-1)=134.(2)证明:由题意知直线AM,BM的斜率存在且不为0,设直线AM的方程为y-3=kx-94,由y-3=kx-94,y2=4x,得y2-4ky+12k-9=0.所以yA+3=4k,所以yA=4k-3.因为直线AM,BM的斜率互为相反数,所以直线BM的方程为y-3=-kx-94.同理可得yB=4-k-3只需将yA=4k-3中的k换为-k.所以kAB=yB-yAxB-xA=yB-yAyB24-yA24=4yB+yA=44-k-3+4k-3=-23.所以直线AB的斜率为定值-23.