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1、120232024 学年第一学期福州市高中毕业班开门考数 学 试 题（完卷时间：120 分钟；满分:150 分）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 到 2 页，第卷 3至 4 页注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致2.第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号第卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效3.考试结束，考生必须将答题卡交回第 卷一、单项选
2、择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知复数z满足11iz，则在复平面内，z对应的点在A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考查意图】本小题以复数为载体，主要考查复数的基本运算、几何意义等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养，体现基础性【答案】A【解析】由11iz 得11i1i2z，应选 A2.已知集合210Ax xBx x，则AB A0 1，B0，C1，D，【考查意图】本小题以不等式为载体，主要考查集合运算等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等核心
3、素养，体现基础性【答案】C【解析】110AxxBx x，故AB(1,)，应选 C3.已知点02P x，在抛物线2:4C yx上，则P到C的准线的距离为A4B3C2D12【考查意图】本小题以抛物线为载体，主要考查抛物线的图象和性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性【答案】C【解析】抛物线24yx的准线为1x ，由PC得01x，故P到准线的距离为 2，应选 C4.“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗他准备在春
4、季的 6 个节气与夏季的 6 个节气中共选出 3 个节气，若春季的节气和夏季的节气各至少选出 1 个，则小明选取节气的不同情况的种数是A90B180C270D360【考查意图】本小题以二十四节气为载体，主要考查排列与组合等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力和应用意识；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性和应用性【答案】B【解析】根据题意可知，小明可以选取 1 春 2 夏或 2 春 1 夏其中 1 春 2 夏的不同情况有：1662CC90种；2 春 1 夏的不同情况有：1662CC90种，所以小明选取节气的不同情况有：9090180 种应选 B5.一个正四棱台形油槽可以装煤油319
5、0 000 cm，其上、下底面边长分别为60 cm和40 cm，则该油槽的深度为A75cm4B25 cmC50 cmD75 cm【考查意图】本小题以正四棱台形油槽为载体，主要考查空间几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和应用性【答案】D【解析】设正四棱台的高，即深度为hcm，依题意，得22190 000604060403h，解得75h，应选 D6.一个袋子中有大小和质地相同的 4 个球，其中有 2 个红球，2 个黄球，每次从中随机摸出 1 个球，摸出的球不再放回则第二次摸到
6、黄球的条件下，第一次摸到红球的概率为3A13B12C23D34【考查意图】本小题主要考查条件概率、全概率公式等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识；考查化归与转化思想；考查数学建模、逻辑推理、数据分析等核心素养，体现综合性、应用性与创新性【答案】C【解析】解法一：记第i次摸到红球为事件iA，摸到黄球为事件iB（1 2i ，），则2P B1211211211123232P A P B AP BP B B，12121221433P ABP A P B A，故12122()2()()3P ABP A BP B应选 C解法二：记第i次摸到红球为事件iA，摸到黄球为事件iB（1 2i ，）
7、由抽签的公平性可知22142P B，又12221433P AB，所以12122()2()()3P ABP A BP B应选 C7.已知1ea，ln2b，5ln5c，则Aabc Bbca Cacb Dcab【考查意图】本小题以数的大小比较为载体，主要考查函数与导数等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力、应用意识；考查数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、应用性和综合性【答案】A【解答】解法一：1lneeea，ln2ln4ln224b，5ln5ln 55c，令 lnxf xx，fx21lnxx，当ex时，0fx，故 f x在区间e ，上单调递减，所以abc 解 法 二：因 为10
8、5101052232255，所 以5ln2ln5，即bc在同一坐标系中作出函数 22xf xg xx，的图象，如图所示，由图可知，ef eg，即e22e，所以e22e2e2e，即11e22e，所以111ln2lne2ee，即ba（令 lnxf xx，fx21lnxx，当0ex时，0fx，故 f x在区间0 e，上单调递增，所以1lneln2ln2ee2ab）4综上，abc 应选 A8.若定义在R上的函数 sincosf xxx（0）的图象在区间0，上恰有 5 条对称轴，则的取值范围为A172144，B172544，C172544，D334144，【考查意图】本小题以三角函数为载体，考查三角函数
9、的图象与性质、三角恒等变换等基础知识；考查抽象概括能力、推理论证能力、应用意识；考查数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性【答案】A【解析】由已知，2sin4f xx，令=42xk，kZ，得(41)4kx，kZ，依题意知，有 5 个整数k满足(41)04k，即0414k，所以0k，1，2，3，4，则44144 51，故172144，应选 A二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9.某市抽查一周空气质量指数变化情况，得到一组数据：
10、80，76，73，82，86，75，81 以下关于这组数据判断正确的有A极差为 13B中位数为 82C平均数为 79D方差为 124【考查意图】本小题主要考查极差、中位数、平均数、方差等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想；考查数据分析等核心素养，体现基础性【答案】AC10.已知圆:M221xy，直线:31l yk x，则Al恒过定点31，B若l平分圆周M，则33k C当3k 时，l与圆M相切D当33k时，l与圆M相交【考查意图】本小题以直线与圆为载体，考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力；考查直观想象、逻辑推理等核心素养；体现基础性
11、和综合性【答案】BC【解析】依题意，l恒过定点31，选项 A 错误；5若l平分圆周M，则l经过圆M的圆心0 0，代入直线方程得33k，选项 B 正确；圆心0 0O，到l的距离2311kdk，当3k 时，1dr，l与圆M相切，选项 C正确；若l与圆M相交，则1d，即22311kk，即03k，故选项 D 错误综上，应选 BC11.已知函数 332f xxax有两个极值点则A fx的图象关于点0 2，对称B fx的极值之和为4Ca R，使得 fx有三个零点D当01a时，()f x只有一个零点【考查意图】本小题以三次函数为载体，主要考查函数与导数等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力、应用意识；考
12、查数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、应用性和综合性【答案】ACD【解答】fx的图象可由奇函数 33g xxax的图象向上平移 2 个单位长度得到，故 fx的图象关于点0 2，对称，选项 A 正确设 fx的 极 值 点 分 别 为12xx，（12xx），则 由 对 称 性 可 知120 xx，故1fx2224fx，即 fx的极值之和为 4，选项 B 错误依题意，方程 2330fxxa有两异根，则120axaxa ，fx在区间a，上单调递增，在区间aa，上单调递减，在区间a，单调递增由图象可知，当120fxfx时，fx的图象与x轴有 3 个交点，即 fx有 3 个零点，选项C 正
13、确当01a时，322 10faa aa aa a，此时 fx只有一个零点，选项 D 正确综上，应选 ACD12.已知正四棱柱1111ABCDABC D的底面边长为 2，球 O 与正四棱柱的上、下底面及侧棱都相切P为平面1CDD上一点，且直线BP与球 O 相切，则A球O的表面积为4B直线1BD与BP夹角等于45C该正四棱柱的侧面积为16 2D侧面11ABB A与球面的交线长为2【考查意图】本小题以正四棱柱为载体，主要考查球、直线与平面的位置关系等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、应用性和综合性【答案】BCD6
14、【解答】如图，设球 O 与下底面相切于点1O，则1OO 平面ABCD，连接1O A，则1OAO为直线OA与平面ABCD所成的角因为球 O 与正四棱柱的侧棱相切，所以其半径112ROOO A，所以4 28S表，四棱柱的侧面积为242 216 2，故选项A 错误，C 正确依题意，1BBBP，均为球O的切线，1BD经过球心O，所以111B BDPBD，又1112 2B DBB，所以111PBDB BD 45，选项 B 正确对于选项 D，棱1AA的中点F，即球O与棱1AA的切点应为交线上的点，故交线应为过F的圆截面圆的圆心即为矩形11ABB A的中心E，在RtOEF中，2OFR，112OEBC，所以截
15、面圆半径211rEF，周长为2，该选项正确综上，应选 BCD第卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.已知向量1 212ab，若ab，则实数的值为【考查意图】本小题以平面向量为载体，主要考查平面向量的基本运算等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养，体现基础性【答案】5【解析】由ab得12 20，解得514.将圆周 16 等分，设每份圆弧所对的圆心角为，则sincos的值为【考查意图】本小题以圆的等分为载体，考查三角恒等变换等基础知识；考查推理论证
16、能力，抽象概括能力；考查逻辑推理等核心素养；体现基础性与应用性【答案】24【解析】依题意，得8，所以112sincossin2sin224415.已知定义域为R的函数 fx同时具有下列三个性质，则 fx （写出一个满足条件的函数即可）fxyfxfy；fx是偶函数；当0 xy时，0fxfy7【考查意图】本小题以函数的性质为载体，考查函数的奇偶性、函数与导数等基础知识；考查推理论证能力；考查逻辑推理等核心素养；体现基础性、综合性与应用性【答案】x（答案不唯一，0kx k 均可）16.已知双曲线2222:1xyCab（00ab，）的左焦点为F，两条渐近线分别为12ll，点A在1l上，点B在2l上，且
17、点A位于第一象限，原点O与B关于直线AF对称若2AFb，则C的离心率为【考查意图】本小题以双曲线为载体，主要考查双曲线的离心率、双曲线的图象和性质、直线与双曲线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性【答案】2【解答】依题意，1l的方程为byxa，2AFl，设垂足为P，则FPb因为2AFb2 FP，所以点FA，关于直线2l对称，FOPAOP，又12ll，关于y轴对称，所以1l的倾斜角为1180603，故tan60ba 3，所以离心率2212bea四、解答题：本大题共 6 小题，共 70
18、 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分 10 分）已知等比数列 na的前n项和为nS，且12nnaS（1）求 na的通项公式；（2）若221lognnba，求数列 nb的前n项和nT【命题意图】本小题主要考查等差数列、等比数列、递推数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力和创新能力等，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性满分 10 分【解答】（1）解法一：由12nnaS得213222aSaS，1 分设等比数列 na的公比为q，所以1211212a qa qq，2 分解得1
19、22aq，或120aq，（舍去）4 分8所以2nna 5 分（2）212212loglog 221nnnban，7 分故11b，1212(1)12nnbbnn（2n），所以 nb是首项为 1，公差为 2 的等差数列，所以1212122nnn bbnnTn 10 分解法二：（1）因为12nnaS，所以当2n时，12nnaS，1 分得12nnaa，2 分所以等比数列 na的公比12nnaqa 3 分由式得212aa，得12a，4 分所以2nna 5 分（2）12nnTbbb2123221logloglognaaa21321logna aa 7 分1 3212log 2n 12122log 2nn2
20、n10 分18.（本小题满分 12 分）记ABC的内角A B C，所对的边分别为a b c，已知2b，6B（1）若2c，求a；（2）求ABC面积的最大值【命题意图】本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性和综合性满分 12 分【解答】解法一：（1）因为2b，2c，6B，根据余弦定理得2222cosbacacB，所以222224o6c saa，3 分9即22 320aa，解得31a 6 分（2）根据余弦定理,得2222cosbacacB,所以2222
21、22cos323236acacacacacacac，8 分（当且仅当31ac时取等号），9 分即22 2323ac，所以ABC面积111123sinsin2 23226442ABCSacBacac，即ABC面积的最大值为23212 分解法二：（1）因为2b，2c 且6B,根据正弦定理,得sinsinbcBC,所以22sinsin6C，即2sin2C，1 分因为cb，所以CB，所以566C，所以4C 或34C，2 分当4C 时，123262sinsinsin6422224ABC，根据正弦定理,得sinsinabAB,所以622sin431sinsin6bAaB；4 分当34C 时，3123262
22、sinsinsin6422224ABC，根据正弦定理,得sinsinabAB,所以622sin431sinsin6bAaB；10综上，31a 6 分（2）略，同解法一解法三：（1）因为2b，2c 且6B,根据正弦定理,得sinsinbcBC,所以22sinsin6C，即2sin2C，1 分因为cb，所以CB，所以566C，所以4C 或34C，2 分当4C 时，76412ABC，根据正弦定理,得sinsinabAB,所以72sinsin122 2sin2 2 sincoscossinsin343434sin6bAaB2 2 sincoscossin313434；4 分当34C 时，36412AB
23、C，根据正弦定理,得sinsinabAB,所以2sinsin122 2sin2 2 sincoscossinsin343434sin6bAaB2 2 sincoscossin313434；综上，31a 6 分（2）根据正弦定理,得22 2sinsinsinsin6acbACB,所以2 2sinaA，2 2sincC，11即252 2sinsin8sinsin6acACAA138sincossin22AAA22sin24 3sinAA1cos22sin24 32AA2sin22 3cos22 3AA134sin2cos22 322AA4sin 22 33A，8 分因为506A，所以42333A，
24、所以当232A，即512A 时，sin 23A取得最大值为 1，即ac最大值为42 3，所以ABC面积111123sinsin42 3226442ABCSacBacac，即ABC面积的最大值为23212 分19.（本小题满分 12 分）国际上常采用身体质量指数（Body Mass Index，缩写BMI）来衡量人体肥瘦程度，其计算公式是22kgBMIm体重（单位：）身高（单位：）为了解某公司员工的身体肥瘦情况，研究人员从该公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了 50 名男员工、30 名女员工的身高和体重数据计算得到他们的BMI值，并根据“中国成人的BMI数值标准”简称“指标”
25、整理得到如下结果：（1）若该公司男员工有 1 500 名，则该公司共有多少名员工？（2）以频率估计概率，分别从该公司男、女员工中各随机抽取 2 名员工，求抽到的员工中至少有一名是肥胖的概率【命题意图】本小题主要考查分层抽样、独立事件的概率、互斥事件、对立事件的概率等基础知识；考查数学建模能力，运算求解能力，逻辑推理能力，创新能力以及阅读能力等；考查统计与概率思想、分类与整合思想等；考查数学抽象，数学建模和数学运算等核心素养；体现应用性和创新性满分 12 分【解】（1）设该公司共有x名员工，依题意得1500505030 x，3 分指标人数性别偏瘦（BMI 18.5）正常（18.5BMI24）偏胖
26、（24BMI28）肥胖（BMI28）男12171110女9117312解得2 400 x，所以该公司共有 2 400 名员工 5 分（2）依题意，事件“抽到一名男员工不为肥胖”的概率为404505，事件“抽到一名女员工不为肥胖”的概率为2793010，7 分由事件的独立性，得抽到的两个男员工都不存在肥胖的概率为44165525，8 分抽到的两个女员工都不存在肥胖的概率为99811010100，9 分设事件 M 为“抽到的员工中至少有一名是肥胖”，则事件M为“抽到的员工都不存在肥胖”，所以811632410025625P M，10 分所以3243011625625P M ，所以抽到的员工中至少有
27、一名是肥胖的概率为30162512 分20.（本小题满分 12 分）如图，在底面为菱形的四棱锥MABCD中，2ADBDMB，2MAMD（1）求证：平面MAD 平面ABCD；（2）已知2MNNB ，求直线BN与平面ACN所成角的正弦值【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，直线与平面所成角等基础知识；考查空间想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力等；考查化归与转化思想，数形结合思想，函数与方程思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性和综合性满分 12 分【解答】（1）取AD的中点为O，连结,OM OB，因为四边形ABCD是为菱形，且2ADBD，
28、所以ABD为正三角形，所以BOAD，且3BO 因为MAMD2，所以MOAD，2 分13所以2222211MOMAAO，又因为2MB，所以222MOBOMB，所以MOBO，4 分因为ADBOO，AD 平面ABCD，BO平面ABCD所以MO 平面ABCD，5 分又因为MO平面MAD，所以平面MAD 平面ABCD6 分（2）由（1）知，,OA OBOM两两垂直，故以O为坐标原点，分别以,OA OB OM 为 x，y，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz则1,0,0,0,3,0,AB2,3,0,C0,0,1,M2 3 10,33N7 分所以3,3,0,CA 3 12,33CN2,0,0C
29、B，设平面ACN的法向量为,x y zn，则00CACNnn，即330312033xyxyz，取1x，则1,3,3n9 分因为0,3,1,BM 则333 13cos13213BMBMBM ，nnn，11 分所以直线BN与平面ACN所成角的正弦值为3 1313 12 分21.（本小题满分 12 分）14已知椭圆22:143xyE的右焦点为F，左、右顶点分别为A B，点C在E上，44PQPyQy，分别为直线AC BC，上的点（1）求PQyy的值；（2）设直线BP与E的另一个交点为D，求证：直线CD经过F【命题意图】本小题主要考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与圆、椭圆的位置关系，平面向量等基础
30、知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，直观想象能力和创新能力等；考查数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性，综合性与创新性满分 12 分【解答】（1）依题意，2 02 0AB，1 分设11C xy，则2211143xy，直线AC方程为1122yyxx，令4x 得1162Pyyx，2 分直线BC方程为1122yyxx，令4x 得1122Qyyx，3 分所以2121124PQyy yx2121123 144xx4 分9，即PQyy的值为95 分（2）设224D xyPt，则直线AP方程为26tyx，直线BP的方程为22tyx，由222
31、63412tyxxy，得222227441080txt xt，6 分所以2124108227txt，即21254227txt，故112182627ttyxt7 分由22223412tyxxy，得2222344120txt xt，所以22241223txt，即222263txt，故2226223ttyxt8 分15所以122111xyxy22222227369182733 27tttttttt222262733270327ttttt，10 分又1 0F，所以向量111FCxy，与221FDxy，共线，11 分所以直线CD经过F12 分解法二：（1）依题意，2 02 0AB，1 分设11C xy，
32、则2211143xy，所以111122ACBCyykkxx2 分21214yx21213 144xx3 分34 4 分即3442 42QPAPBQyykk，故PQy y的值为95 分（2）设11224C xyD xyPt，要证直线CD经过1 0F，只需证向量111FCxy，与221FDxy，共线，6 分即证122111xyxy（*）7 分因为2222112014343xy，所以111123246PACyxykxy，同理可得222223242PBDyxykxy，9 分所以21122123ACBDxykkxy，即1221123620 x yx yyy，同理可得1221123260 x yx yyy
33、，10 分得12211244440 x yx yyy，即122111xyxy 11 分所以（*）式成立，命题得证12 分1622.（本小题满分 12 分）已知函数 lnf xxa，记曲线 yf x在点 11xf x，处的切线为l，l在x轴上的截距为2x（20 x）（1）当1ex，1a 时，求切线方程；（2）证明：12eeaaxx【命题意图】本小题主要考查导数，函数的单调性、零点、不等式等基础知识；考查逻辑推理能力，直观想象能力，运算求解能力和创新能力等；考查函数与方程思想，化归与转化思想，分类与整合思想等；考查逻辑推理，直观想象，数学运算等核心素养；体现基础性、综合性和创新性满分 12 分【解
34、答】（1）1()fxx，1 分当1ex，1a 时，1lne10f x，即切点为e 0，2 分所以所求切线斜率 1eekf，3 分所以所求的切线方程为1(e)eyx，即11eyx4 分（2）由于11lnf xxa，所以切线l的方程为1111(ln)()yxaxxx 5 分令0y，得1111(ln)()xaxxx，解得2111(ln)xxxxa（*）6 分由20 x，得11eax7 分构造函数(ln)g xxxxa，所以 lngxax，所以当0eax 时，0gx，g x单调递增；当eax时，0gx，g x单调递减故 maxeeaag xg所以2eax 8 分若1eax，由（*）式知12xx，所以12eaxx，故12eeaaxx10 分若1eax，则1212ee(e)(e)aaaaxxxx12()2eaxx，17所以12111ee2(ln)2eaaaxxxxxa构造函数()2(ln)2eaxxxxa（1ee)aax，所以()(1)ln0 xax，故()x在区间1(eeaa，）上单调递增，所以()(e)0ax，所以1112(ln)2e0axxxa，即所以12ee0aaxx，即12eeaaxx综上，不等式成立12eeaaxx成立（当且仅当1eax 时取等号）12 分