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1、 第二章 直线和圆的方程2.3 直线的交点坐标与距离公式2.3.1两条直线的交点坐标例1 求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：解：解方程组得所以，与的交点是（图2.3-1）图2.3-1例2 判断下列各对直线的位置关系如果相交，求出交点的坐标：（1），；（2），；（3），分析：解直线，的方程组成的方程组，若方程组有唯一解，则与相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则；若方程组中的两个方程可化成同一个方程，则与重合解：（1）解方程组得所以，与相交，交点是（2）解方程组得，矛盾，这个方程组无解，所以与无公共点，（3）解方程组得和可以化成同一个方程，即和表示同一条直线，与重合 练习1. 求下列两条
2、直线的交点坐标，并画出图形：（1），；（2），【答案】（1）交点坐标为，图形见解析；（2）交点坐标为，图形见解析.【解析】【分析】（1）联立两直线的方程，可得出交点坐标，并作出图形；（2）联立两直线的方程，可得出交点坐标，并作出图形.【详解】（1）联立，解得，交点为，如下图所示：（2）联立，解得，交点为，如下图所示：2. 判断下列各对直线的位置关系如果相交，求出交点的坐标：（1），；（2），；（3），【答案】（1）相交，；（2）重合；（3）平行【解析】【分析】（1）联立，解得即可；（2）l1：2x6y+40化为与直线l2方程相同；（3）l1与l2的方程都化为斜截式，即可判断出【详解】（1）联立
3、，解得x，y，其交点为（2）l1：2x6y+40化为与直线l2重合；（3）l1：（1）x+y3，化为y（1）x+3；l2：x+（1）y2化为y（1）x，两条直线的斜率相等而在y轴上的截距不等l1/l23. 直线l经过原点，且经过直线与直线的交点，求直线l的方程【答案】【解析】【分析】经过直线与直线的交点的直线可设为： ，把代入求出，即可得到直线方程.【详解】经过直线与直线的交点的直线可设为：把代入，得：，解得：，所以，所求的直线方程为：.2.3.2两点间的距离公式例3 已知点，在x轴上求一点P，使，并求的值解：设所求点，则，由，得：解得所以，所求点为，且例4 用坐标法证明：平行四边形两条对角线
4、的平方和等于两条邻边的平方和的两倍分析：首先要建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系证明：如图2.3-4，四边形是平行四边形以顶点A为原点，边所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系 图2.3-4在中，点A坐标是，设点B的坐标为，点D的坐标为，由平行四边形的性质，得点C的坐标为由两点间的距离公式，得，所以，所以，即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍 练习4. 求下列两点间的距离：（1），；（2），；（3），；（4），【答案】（1）8；（2）3；（3）2；（4）【解析】【分析】（1）（2）（3）（4）直接利用
5、两点的距离公式求解；【详解】（1）|AB|6+28；（2）|CD|1+43；（3）|PQ|2；（4）|MN|5. 已知与两点间的距离是17，求a的值【答案】8【解析】【分析】直接利用两点间距离公式即可求解【详解】因为与两点间的距离是17，所以，解得：a86. 用坐标法证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离都相等【答案】证明见解析.【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设，得到AB 的中点C的坐标为，然后用两点间的距离分别求得，即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设，则AB 的中点C的坐标为. ， ，即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离都相等.【点睛】本题主要考查两点间的距离公式的应
6、用，属于基础题.2.3.3点到直线的距离公式例5 求点到直线的距离分析：将直线l的方程写成，再用点到直线的距离公式求解解：点到直线的距离例6 已知的三个顶点分别是，求的面积分析：由三角形面积公式可知只要利用距离公式求出边的长和边上的高即可解：如图2.3-7，设边上的高为h，则边上的高h就是点C到直线的距离边所在直线l的方程为，即点到直线的距离因此，图2.3-7 练习7. 求原点到下列直线的距离：（1） （2）【答案】（1）（2）0【解析】【分析】直接代入点到直线的距离公式即可.【详解】（1），（2）直线，则8. 求下列点到直线的距离：（1），；（2），；（3），【答案】（1）；（2）0；（3）
7、【解析】【分析】由点到直线的距离公式对各小题进行计算即可.【详解】（1）；（2）；（3）；9. 已知点到直线的距离为1，求C的值【答案】15或5【解析】【分析】直接利用点到直线距离公式列方程求解即可.【详解】点到直线的距离为，即，故，即或2.3.4两条平行直线间的距离例7 已知两条平行直线，求与间的距离分析：在上选取一点，如与坐标抽的交点，用点到直线的距离公式求这点到的距离，即与间的距离解：先求与x轴的交点A的坐标容易知道，点A的坐标为点A到直线的距离所以与间的距离为例8 求证：两条平行直线与间的距离为分析：两条平行直线间的距离即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离证明：在直
8、线上任取一点，点到直线的距离就是这两条平行直线间的距离，即|因为点在直线上，所以，即，因此练习10. 求下列两条平行直线间的距离：（1），；（2），【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】根据平行线的距离公式分别求解即可.【详解】（1）；（2）11. 已知两条平行直线与间的距离为，求的值【答案】或【解析】【分析】直接利用两平行线之间的距离公式列方程，解方程即可求解.【详解】因为两条平行直线与间的距离为，所以，解得或，所以的值为或.12. 如图，已知直线与直线，在上任取一点A，在上任取一点B，连接AB，取AB的靠近点A的三等分点C，过点C作的平行线，求与间的距离【答案】【解析】【分析】过A做于D
9、，交于E，根据三角形相似及题干条件，可得，利用两平行线间距离公式，可得与间的距离AD，进而可求与间的距离AE.【详解】过A做于D，交于E，如图所示：因为，且由题意得，所以，所以，又直线与间的距离，所以求与间的距离.习题2.3复习巩固13. 判断下列各对直线的位置关系如果相交，求出交点的坐标：（1）， ；（2）， ；（3）， ；【答案】（1）两直线相交，交点；（2）平行；（3）重合【解析】【分析】分别求出直线的斜率，判断斜率是否相等，不相等再将直线方程联立解方程组求交点即可.【详解】（1）， ，此时，所以两直线相交， ，解得，所以两直线的交点为.（2）， ，所以，所以两直线平行；（3）， ，且可
10、化为，故两直线重合.14. 求满足下列条件的直线的方程（1）经过两条直线和交点，且垂直于直线；（2）经过两条直线和的交点，且平行于直线；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）联立两直线方程求得两直线交点，由直线与直线垂直求得斜率，代入直线方程的点斜式得答案；（2）联立两直线方程求得两直线交点，由直线与直线平行求得斜率，代入直线方程的点斜式得答案【详解】（1）联立，解得，所以，两条直线和的交点为，又直线的斜率为，故所求直线方程为，即；（2）联立，解得，所以，两条直线和的交点坐标为，又直线的斜率为，故所求直线方程为，即.【点睛】结论点睛：已知直线的一般方程为.（1）与直线平行的直线的方程可
11、设为；（2）与直线垂直的直线的方程可设为.15. 已知，六个点，线段AB，MN，PQ能围成一个三角形吗？为什么？【答案】不能，原因见解析.【解析】【分析】分别计算出，从而可得，进而可得结果.【详解】依题意得，因为，所以线段，不能围成一个三角形.16. 已知、三点，且，求的值【答案】【解析】【分析】利用两点间的距离公式可得出关于的等式，由此可解得实数的值.【详解】由可得，解得.17. （1）求在x轴上与点A(5，12)的距离为13的点的坐标.（2）已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1，5)间的距离等于10，求点P的纵坐标.【答案】（1）或；（2）或11.【解析】【分析】（1）设x轴上点的坐标为
12、，由距离公式可得关于x的方程，解方程可得；（2）设点P的纵坐标为y，由距离公式可得关于y的方程，解方程即可.【详解】（1）设x轴上点的坐标为，由距离公式可得，解得或，所以所求点的坐标为或；（2）设点P的纵坐标为y，由距离公式可得，解得或，所以点P的纵坐标为或11.【点睛】本题考查两点间的距离公式，属于基础题.18. 求点到直线的距离【答案】【解析】【分析】直接利用距离公式计算可得；【详解】解：点到直线的距离19. 求两条平行直线与间的距离【答案】【解析】【分析】由条件根据两条平行直线间的距离公式求得两条平行直线3x2y10与3x2y+10间的距离【详解】解：两条平行直线3x2y10与3x2y+
13、10间的距离为 20. 的一组对边AB和CD所在直线的方程分别是与，过的两条对角线的交点作与AB所在直线的平行线l，求l与CD所在直线的距离【答案】【解析】【分析】利用平行求得过点O且与AB所在直线平行的直线l方程，然后利用平行线间距离公式求解即可.【详解】由题意，设平行四边形ABCD两对角线的交点为点O.由平行四边形性质，点O到这组对边AB和CD所在直线的距离相同,则过点O且与AB所在直线平行的直线l方程为:即;所以由两平行线距离公式可得直线l与CD所在直线的距离为:，综上，直线l与CD所在直线的距离为.综合运用21. 三条直线，与相交于一点，求a的值【答案】a1【解析】【分析】联立直线4x
14、+3y10与2xy10，求出交点坐标，再代入直线ax+2y+80，即可求得a的值【详解】解：解方程组，得，交点坐标为：（4，2），代入直线ax+2y+80，得4a4+80，a122. 已知的顶点，边AB上的中线CM所在直线方程为，边AC上的高BH所在直线方程为求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先根据直线AC与直线BH垂直，斜率乘积为-1，得到，从而利用点斜式求出直线AC方程，与CM所在直线联立求出点C坐标；（2）先设出点的坐标为，利用中点坐标公式表达出点坐标，再把B点坐标代入BH所在直线，求出，从而求出点B坐标，结合第一问求解的点C的坐标，
15、求出直线BC的方程【小问1详解】因为边AC上的高BH所在直线方程为 ，且的顶点直线AC方程：，即与联立， ，解得：所以顶点C的坐标为【小问2详解】因为CM所在直线方程为故设点的坐标为因为是中点，所以因为在BH所在直线上所以，解得：所以点坐标为由第一问知：C的坐标为故直线BC的方程为，整理得：23. 在x轴上求一点P，使以，和P为顶点的三角形的面积为10【答案】或.【解析】【分析】首先设出点的坐标，利用面积公式，直接求解.【详解】设，直线方程是，即，点到直线的距离，解得：或，所以点或.24. 已知AO是边BC的中线，用坐标法证明【答案】证明见解析【解析】【分析】结合图形，设A、B、C三点的坐标，
16、再根据题意和点点的距离公式即可证明.【详解】取BC边所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图设，(其中)，则，所以，即证.25. 已知点到直线的距离d分别为下列各值：（1）；（2）求a的值【答案】（1）a2或a；（2）a或a2【解析】【分析】（1）由点到直线的距离公式可得4，解方程可得；（2）由点到直线的距离公式可得4，解不等式可得【详解】（1）直线方程可化为3x4y20，由点到直线的距离公式可得4，解得a2或a；（2）由点到直线的距离公式可得4，解得a或a226. 已知点到直线的距离相等，求得值【答案】【解析】【详解】试题分析：利用点到直线距离公式列出关于a的方程求解即可
17、试题解析：点到直线的距离相等，考点：点到直线距离公式27. 的四条边所在直线的方程分别是，求的面积【答案】9【解析】【分析】先求得点B,C,D坐标，由点到的距离及的长即可求得的面积【详解】由，联立求得交点，由，联立得交点，由，联立得交点，由点到的距离，故.拓广探索28. 已知为任意实数，当变化时，方程表示什么图形？图形有何特点？【答案】直线，过定点【解析】【分析】此方程为过与的直线系方程.【详解】因为方程化简得：为任意实数，方程表示直线.因为，所以当，直线恒成立，故直线过定点.29. 已知，（1）求证：，并求使等式成立的条件（2）说明上述不等式的几何意义【答案】（1）证明见解析；（2）边长为1
18、的正方形内任意一点到四个顶点的距离的和不小于两条对角线的和.【解析】【分析】（1）作图，利用两点间的距离公式可知|PO|，|PA|，|PB|，|PC|，利用三角不等式可证|PO|+|PB|+|PA|+|PC|2；（2）根据边长为1的正方形内任意一点到四个顶点的距离和与两条对角线的和的大小关系求解即可【详解】（1）证明：0x1，0y1，设P（x，y），A（1，0），B（1，1），C（0，1），如图：则|PO|，|PA|，|PB|，|PC|，|PO|+|PB|BO|，|PA|+|PC|AC|PO|+|PB|+|PA|+|PC| （当且仅当点P为正方形的对角线AC与OB的交点是取等号），即xy时取等号（2）对于（1）中不等式，它的几何意义是：边长为1的正方形内任意一点到四个顶点的距离的和不小于两条对角线的和.