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1、 教 案教学基本信息课题余弦定理的推导学科数学学段： 高中年级高一教材书名：普通高中教科书数学必修第二册A版 版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月教学设计参与人员姓名单位设计者实施者指导者课件制作者其他参与者教学目标及教学重点、难点本节课的主要知识要素是余弦定理的发现和证明过程，核心环节是利用几种不同的方法来推导余弦定理并牢记公式；体会定理探究过程中的数学研究方法和思想；教学过程中主要培养学生数学抽象、逻辑推理和数学运算的能力.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图复习引入同学们好！我是来自北京市第二中学的数学教师傅靖.相信在大家之前的数学学习中，三角形应当是大家最熟悉的几
2、何图形之一，我们研究过很多三角形的有关问题，那么今天这节课，我们以更明确的视角，更多样的思路，探究三角形中一个优美的结论，余弦定理.首先，我们来回顾一下曾经学习过的相关知识.我们知道，一个三角形中，包含着各种各样的几何量，比如角度、边长、面积等等；其中，我们把三角形的三个角和三条边叫做三角形的元素. 对于三角形中的元素，首先要明确它们的表示方法：在ABC中，我们用大写字母来表示角，用相应的小写字母来表示角的对边. 除了规范的表示三角形中的元素外，我们还关注于元素之间的关系.比如边的关系，对于任意三角形，三边之间存在着不等关系，而特殊的，比如在直角三角形中有勾股定理，此外，我们还知道一些角的关系
3、：比如三角形内角和是，这对于任意三角形都成立.还有一类，就是边与角之间的关系；比如对于任意三角形，边角之间存在着不等的对应关系，而更明确的关系是，在直角三角形中表示锐角三角函数，因此三角函数也搭建起了边与角之间联系的平台.以上，我们复习了在一个三角形中，利用一些定量关系来表示元素之间的关系的常用结论.那么对于两个三角形之间，又有着怎样的关系呢？在初中我们探究过两种三角形之间的关系，即三角形的相似和全等；对于一般三角形的相似，我们主要有三种判定方法，这说明，当两个三角形中有某些对应元素存在确定的关系时，三角形相似；而对于全等的判定，我们主要有四种方法，这说明，当某些对应元素分别相等时，两个三角形
4、全等，所以通过两个三角形中对应元素之间的关系，我们可以对三角形是否相似或全等做定性的判断.同时，三角形的相似和全等之间，也存在着联系.比如，两类关系中都有涉及两边及夹角关系的判定方法，那么当两边从成比例到分别相等时，三角形也从相似变为全等，实际上，相似比等于1的相似三角形就是全等三角形.可见，随着三角形中对应元素之间的关系逐步确定，三角形的形状也能够逐步明确.那么请大家想一想，我们能否继续找到三角形元素之间更加明确的关系，来进一步研究三角形呢？今天，我们不妨就从三角形全等的判定方法中的“SAS”“边角边”出发，做更深入的思考.我们知道，所谓的“边角边”，指的是三角形中两条边与它们的夹角，因此这
5、个判定方法可以定性的得到两边及其夹角分别相等的两个三角形全等这样的结论.其实这就说明，如果给定了三角形的两条边及其夹角，三角形应当是唯一确定的.那既然三角形能够确定，在这个三角形中除了已知的两边及其夹角之外的其他元素应当也能够确定，由此可见，三角形中已知两边及其夹角就能够确定三角形中的其他元素，那么他们之间存在怎样的确定关系呢？换句话说，能否用已知的两边及其夹角，试着表示出三角形中的其他元素？能否找到某些确定的定量关系呢？结合初中学习的三角形中的有关边角关系和三角形之间的关系等知识，引出本节课探究内容.探究新知下面我们一起来解决这个问题.首先我们用数学语言来描述一下这个问题，比如，我们先来解决
6、：在ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，那么怎样用a，b和C表示c呢？我们先来明确思路.第一种思路，既然我们探究的是三角形中用已知边、角来表示边的问题，很多同学自然地想要画一画三角形来辅助分析.那应该画一个什么样的三角形呢？实际上，我们没有规定它的形状，因此对于一般的三角形，想来定量的表示边长，恐怕并不容易，这就需要我们想办法把一般的转化为特殊的，熟悉的，能够顺利求出边长的图形，显然，通过课前回顾我们知道，直角三角形就是一个很好的桥梁，我们既可以用勾股定理来表示边的关系，也可以利用锐角三角函数建立边与角之间的关系.因此我们不妨尝试把一般的三角形转化为直角三角形，再利用几何关系表
7、示边长，而从一般三角形中构造出直角三角形，我们最常用的方法，就是作三角形的高线，利用高线与底边的垂直关系来构造直角三角形，再利用勾股定理求得边长.因此首先要明确的就是如何作高.我们知道，一个三角形可以作出三条高线，那么选择哪一条呢？这时，我们要充分结合条件中已知的a，b和C这样的两边及其夹角，那么辅助线的选择是尽可能不去破坏已知条件，并能够充分利用已知条件，想办法将要求的c放入直角三角形中，而高线AD，BE都可以构造出c为斜边的直角三角形，并且也都能完整的保留住C，因此都可以成为构造的辅助线，这里我们不妨选择高线AD.此时对于画出的示意图，由于我们画出的C 是个锐角，因此高线AD的垂足D是落在
8、BC边上的.但实际上，C大小的不同，决定了垂足位置的不同，形成的直角三角形与已知三角形关系也不同，因此我们还要对C的大小来进行分类说明.当C是锐角时，我们已经分析；而三角形本身就是一个直角三角形，因此我们可以直接利用勾股定理，用已知的a，b来表示c；而如果C是直角，此时我们要构造的高线其实就是边a，b这两条直角边，而如果C是钝角，此时我们构造BC边上的高线AD，垂足应当落在BC边的延长线上，构造的直角三角形不能落在ABC的内部.由此可见，我们需要对C进行分类来逐一说明.第一种情况，当C为锐角时，根据我们刚刚的分析，可以作线段AD垂直BC于点D，此时，要求的c可以看作是RtADB的斜边，因此只需
9、要找到两条直角边AD，BD与已知元素之间的关系，再利用勾股定理即可表示c；而这两条直角边的表示，则需要借助已知条件较为集中的另一个RtADC来进行表示，首先在RtADC中，利用锐角三角函数可知；而BD的长度，则需要间接地利用来表示，所以还要求得CD，很简单，所以，因此RtADB的两条直角边都已经用已知元素表示出来了，再用勾股定理表示c即可，所以我们将两边代入勾股定理，得到，展开后得到其中，化简后调整书写顺序可以得到， 这就是我们探究的结论，那么对于这个结论，其他不同类型的C是否也成立呢？我们继续来研究.第二种情况，当C为直角时，由勾股定理得，此时问题已经解决.但请同学们想一想，既然第一种情况是
10、通过作垂线构造直角三角形求得c，那么如果C本身就是直角，三角形就是直角三角形，此时，第一种情况得到的结论是否还成立呢？实际上我们知道，当C是直角时，可得，因此，所以中最后一项为0，因此，而这不就是我们的勾股定理吗？所以可见，答案是成立的，当C为直角时，我们也可以用第一种情况的结论表示勾股定理.最后，我们来看第三种情况.当C是钝角时，我们作BC边上的高线AD,垂足落在BC边的延长线上，此时，c可看作是RtADB的斜边，同样只要找到边AD，BD与已知元素的关系，即可用勾股定理表示c，结合已知条件，我们需要借助另一个直角三角形RtADC来表示AD与BD，而在这个三角形中，我们则需要借助ACD，也就是
11、ACB的补角的三角函数值来表示边长，因此可得， 利用诱导公式，得，同样另一条边，利用诱导公式得，所以要求的BD可以间接地利用来表示，代入等于，其实细心的同学可以发现，此时的AD和BD与第一种情况C为锐角时的结果相同，因此，在RtADB中，利用勾股定理，代入和之前相同的表达式，整理后，我们得到了相同的结论：.所以小结一下这三类情况：当C为锐角时，我们得到了；而当C为直角时，三边关系满足的勾股定理，同样也可以用这个等式表达；而当C为钝角时，虽然所作的高线落在三角形的外面，但通过计算知道，最终的结果是相同的，这说明，等式可以表示任意三角形中c与a，b和C之间的关系.那么梳理以上探究过程，我们从问题出
12、发，尝试利用熟悉的勾股定理来表示边长，这就需要通过作高线来转化构造直角三角形得以实现，而高线的选择与已知条件有关，高线的位置也与角的大小有关，因此我们需要分类讨论来逐一说明，从而得到这个结果，而最终我们发现，虽然角的情况不同，但都可以利用这个等式表示c与已知元素之间的关系.可见，这个探究思路我们是从熟悉的几何图形出发，容易联想，但需要分类讨论，运算量较大，那么有没有其他研究的方法呢？我们来介绍第二种思路.对于最终表示边长的问题，有的同学会想到，线段的长度，能否利用两点之间的距离公式来表示？当然可以,但这就需要我们找到c的端点A和B的坐标，再利用两点间的距离公式，代入求解算出c的长度.而点坐标的
13、表示，则必须借助坐标系来得以实现，因此，这个思路的关键就是建立恰当的平面直角坐标系.那么如何建系更为合适呢？我们来分析一下：我们知道a，b和C，不妨就从这个角出发，以C作为坐标原点，以其中一条已知边作x轴，这里我们不妨选择以CB为正方向作x轴，因此，以C为坐标原点，有向线段CB的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，这样就可以轻松地得到C与B的坐标，我们只需再找到A的坐标即可.而通过三角函数，就可以得到A的坐标，即，从而代入两点间距离公式，得到AB间距离的表达式，,进一步展开，我们发现等于，合并化简之后得到了AB的距离与已知元素的关系，记为（1）式，为了使式子更加简洁，我们将（1）式两边同时平方
14、，得到，也就是，而这个结论也和我们第一种方法讨论的结果相同.但是对于这种解法，请同学们想一想，是否还需要像解法1一样，根据C的大小来进行分类讨论呢？我们来看，我们在示意图中画出了C为锐角的情形，得到了A，B的坐标，而由于C等于时，所以我们也可以把它们统一成前面的形式，.而如果C为钝角，此时A落在第二象限，可看作ACB终边上的一点，利用任意角的三角函数定义我们也可以写出A的坐标，结果相同.由此可见，既然我们选择借助坐标系来解决问题，而在坐标系中可以表示任意角的三角函数值，所以当角确定之后，角的终边上点的坐标可以由角的三角函数值来确定，因此依据任意角的三角函数的概念，答案是不需要分类讨论.所以小结
15、一下这种探究思路，我们从问题出发，希望借助两点间的距离公式表示边长，这就需要找到两个端点的坐标，所以我们要把图形放在适当的坐标系中来实现，最终，我们得到了相同的公式.而由于在坐标系中可以表示任意角的三角函数值，因此这种方法避免了分类讨论，运算量相对较小，至此，我们已经通过两种不同的方法探究了结果.同学们还有其他的思路吗？其实，思路的产生要充分联系已知和问题，既然问题涉及三角形两边及其夹角，而在我们学习过的知识中，还有哪些知识是包含了长度与角度的呢？相信有同学联想到了，在我们学习的向量知识中，向量的数量积运算包含了长度与角度的联系，因此我们也可以尝试借助向量来探究.首先要在三角形中合理的设置向量
16、，我们知道，三角形的三条边依次相接，因此在设置向量时，需要遵循的是向量的三角形法则.结合已知，假如我们从C出发，设置共起点的向量a，b，此时根据向量的三角形法则，向量，其中，这样我们就可以借助向量的运算，将三条边建立起联系；最终求得向量c的模长，也就是c的长度.根据向量数量积运算的性质，而我们又有三个向量的关系，从而可以解决问题，我们来看解题过程：首先，我们如图假设相关向量，,则根据向量的三角形法则可知：，依据假设，即，记为（1）式，而由于，我们将（1）式代入，就等于向量与其自身作数量积运算，即，结合运算律展开得到，合并整理得到，又因为向量数量积的性质与定义，代入整理得到，而该式中向量的模长就
17、是三角形的边长，回归到三角形的边与角我们也能够得到.那么请大家想一想，这种解法3是否也需要根据角C的大小来分类讨论呢？我们看，在这样的锐角三角形中，三边所对应设置的向量能够满足向量的三角形法则，实际上，在任意三角形中，向量的三角形法则都成立，因此三个向量间的关系是相同的，所以依据向量的三角形法则，我们得到答案，这种方法也无需分类讨论.所以小结这种解法，结合已知条件，联系学过的包含长度和角度的知识，我们尝试利用向量的数量积的性质来解决问题，这就需要我们利用向量来表示三边的关系，因此，遵循法则构造向量是本题的关键.同样的，我们也能够得到.所以我们总结一下这三种思路：第一种方法，我们是通过构造直角三
18、角形，用勾股定理求边长，这种思路的好处是从大家熟悉的几何图形入手，容易联想；但问题在于需要进行分类讨论，虽然结果统一，但需要逐一计算说明，比较麻烦.第二种方法，是利用两点间距离公式计算边长，好处是可以通过将图形放到平面直角坐标系中，统一点的坐标的表示，避免分类，因此运算量较小；但在此之前我们需要选择恰当的坐标系才能简化运算.最后一种方法是借助关联了长度与角度的向量的数量积，利用性质表示向量的模长，即边长，好处是无需分类讨论，且大大降低了运算量，但对于刚刚学习了向量的同学们来说，要逐渐熟悉对新知识的应用，其实，向量作为一个既有大小、又有方向的量，常常能够简化分析与运算的过程，在连接代数与几何问题
19、之间扮演了重要的角色，希望同学们能用好向量这一工具解决数学中的问题.通过设置问题激发解题思路，并利用三种不同的方法来尝试解决问题，从而推导余弦定理，并对三种推导思路加以分析比较.分析巩固以上我们通过三种方法，均得到，而这个等式，也就是我们本节课研究的核心知识，我们将该式称为余弦定理.下面我们来分析一下余弦定理的结构以便帮助大家记忆：我们看，等式的前半部分表示了三边的关系，从形式上看不就是我们熟悉的勾股定理吗？其实从前面的研究过程中我们可以知道，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理也是余弦定理的一个特例，两个定理之间有着紧密的联系.而等式的后半部分是两边及其夹角余弦乘积的2倍，其中的2ab和前面
20、的，形式上是完全平方公式的展开式，只需在2ab一项上再乘以夹角的余弦即可，由于乘得是角的余弦值，故称之为余弦定理；这个夹角请大家注意，是待求边c的对角，最后，只需在两部分之间写上一个减号，就得到了余弦定理.实际上，从余弦定理的推导过程中可以看出，三角形中的余弦定理不止有这一个等式.其实我们只要知道三角形的两边及其夹角，就可以同理刚才的过程，得到另外的两个等式，；而这三个等式就称为余弦定理.实际上，这三个等式统一的含义为：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.更进一步观察每个等式，我们可以发现，其实每个等式中均含有同一个三角形中的三条边和一个角共四个元
21、素，因此利用等量关系，知道其中的三个元素，就可以求得另一个元素.比如从第一个等式中，我们可以已知b，c和A，求出a；同样的，如果我们知道了三条边长，利用这个等量关系，其实也可以表示cosA，实际上，可以将等式变形，为了用边来表示角，我们将边角分离，调整符号，得到，接着，将等式两边同时除以不为零的2bc，就得到，这样我们就可以直接利用三条边来表示A的余弦值；同理其余两个等式也可变形为角的余弦的表达式，得到，我们把这三个用边来表示角的余弦的关系式称为余弦定理的推论.我们来总结对余弦定理及其推论的理解：首先，它们巧妙地将利用“SAS”和“SSS”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画.得到了元
22、素间的等量关系；其次，它们揭示了三角形中三条边与某一角的关系，因此从方程角度看，已知三个元素，我们可以求出第四个元素；实际上，像这样已知三角形中的几个元素，求另外几个元素的过程，我们称为解三角形，定义为：一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.因此，只有当我们确定了一个三角形的三个角，三条边这六个元素时，才完成了解三角形.以上，是我们本节课探究的内容.通过辨析公式说明定理的记忆方法；通过变形推导出余弦定理的推论，并加深对余弦定理及其推论的理解，给出解三角形的定义.课堂小结最后我们来进行课堂小结.本节课，我们学习
23、的核心知识是余弦定理及其推论，大家要熟记公式的形式.而探究过程中运用到的研究方法是：从问题出发，找寻与边角相关的已有知识；我们利用了三种不同的思路来解决这个问题，实际上，第一种方法是通过构造熟悉的几何图形来解决问题，我们称之为几何法，我们利用几何图形的关系与特征，以三角函数为载体求得了结果；第二种方法，是通过建立坐标系，求得线段端点的坐标，利用两点间距离公式，求得边长，我们称之为坐标法，这种方法突出了以坐标系为平台，将几何问题代数化的过程，也是数学研究中的重要思想；而第三种方法，是利用向量及向量的数量积的性质，巧妙地表示向量的模长，即边长，我们称之为向量法，而向量法突出体现了向量的工具性价值，
24、借助向量，我们也能建立起几何与代数之间的联系.最终通过三种方法，我们得到了相同的三角形中表示边角关系的重要定理：余弦定理及其推论；希望同学们能够理解并牢记定理形式，体会定理推导过程中蕴含的研究思想和方法，为下节课研究定理的应用奠定基础.小结本节课所学知识.余弦定理的推导学习任务单【学习目标】本节课的主要知识要素是余弦定理的发现和证明过程，核心环节是利用几种不同的方法来推导余弦定理并牢记公式；体会定理探究过程中的数学研究方法和思想；教学过程中主要培养学生数学抽象、逻辑推理和数学运算的能力.【课上任务】1 在初中阶段，学习过哪些三角形中表示边与角关系的知识？学习过哪些三角形之间的关系？2 在ABC
25、中，已知a，b和C，如何表示c？3 如何利用三角形的几何特征，通过已知的两边及其夹角表示第三条边？如何作一般三角形的高线来构造直角三角形？如何对已知角的大小进行分类？4 能否利用两点间距离公式表示第三边长度？如何恰当地建立平面直角坐标系？是否需要对已知角的大小进行分类讨论？5 如何用向量表示三角形中的三条边？向量数量积的哪些性质可以表示c与已知量之间的关系？是否需要对已知角的大小进行分类讨论？6三种推导方法各自的特点是什么？7余弦定理的公式是什么？有几个？表示的含义是什么？8余弦定理如何记忆？ 9如何对余弦定理进行变形，利用三边关系表示角的大小？余弦定理的推论表示的含义是什么？10如何理解余弦定理及其推论的本质与作用？11什么叫做解三角形？ 【学习疑问】（可选）12哪段文字没看明白？13哪个环节没弄清楚？14有什么困惑？15您想向同伴提出什么问题？16您想向老师提出什么问题？17没看明白的文字，用自己的话怎么说？18本节课有几个环节，环节之间的联系和顺序是怎样的？19同伴提出的问题，您怎么解决？【课后作业】20作业1(1)在ABC中，已知，求. (2)在ABC中，已知，求.21作业2（个人学习感想：哪个知识最重要，最有用，需要注意的关键之处等）【课后作业参考答案】(1)解：由余弦定理，得： .所以.(2)解：由余弦定理的推论，得： .因为在ABC中，所以.