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1、第5章一元函数的导数及其应用【章头语】为了描述现实世界中的运动、变化现象,在数学中引入了函数.刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念.在对函数的深人研究中,数学家创立了微积分,这是具有划时代意义的伟大创造,被誉为数学史上的里程碑.微积分的创立与处理四类科学问题直接相关.一是已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度,反之,已知物体的加速度作为时间的函数,求速度与路程;二是求曲线的切线;三是求函数的最大值与最小值;四是求长度、面积、体积和重心等.历史上科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰,终于在17世纪中叶,牛顿和莱布尼茨在前人探索与研究的基础上,凭
2、着他们敏锐的直觉和丰富的想象力,各自独立地创立了微积分.导数是微积分的核心内容之一,是现代数学的基本概念,蕴含着微积分的基本思想;导数定量地刻画了函数的局部变化,是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本方法,因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具.在本章,我们将通过丰富的实际背景和具体实例,学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想,感悟极限的思想.通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用,体会导数的意义.5.1导数的概念及其意义【节引言】在必修第一册中,我们研究了函数的单调性,并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指
3、数函数、对数函数增长速度的差异,知道“对数增长”是越来越慢的,“指数爆炸”比“直线上升”快得多.进一步地,能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢?下面我们就来研究这个问题.5.1.1变化率问题问题1高台跳水远动员的速度【探究】在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系(t)=4.9t2+4.8t+11.如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢?直觉告诉我们,运动员从起跳到入水的过程中,在上升阶段运动得越来越慢,在下降阶段运动得越来越快.我们可以把整个运动时间段分成许多小段,用运动员在每段时间内的平均速度v近似地描述
4、他的运动状态.例如,在0t0.5这段时间里,v=(0.5)(0)0.50=2.35(m/s);在1t2这段时间里,v=(2)(1)21=9.9(m/s).一般地,在t1tt2这段时间里,v=t2t1t2t1=4.9t1+t2+4.8.【思考】计算运动员在0t4849这段时间里的平均速度,你发现了什么?你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?我们发现,运动员在0t4849这段时间里的平均速度为0.显然,在这段时间内,运动员并不处于静止状态.因此,用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.为了精确刻画运动员的运动状态,需要引入瞬时速度的概念.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时
5、速度(instantaneousvelocity).【探究】瞬时速度与平均速度有什么关系?你能利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度吗?设运动员在t0时刻附近某一时间段内的平均速度是v,可以想象,如果不断缩短这一时间段的长度,那么v将越来越趋近于运动员在t0时刻的瞬时速度.为了求运动员在t=1时的瞬时速度,我们在t=1之后或之前,任意取一个时刻1+t,t是时间改变量,可以是正值,也可以是负值,但不为0.当t0时,1+t在1之后;当t0时,把运动员在时间段1,1+t内近似看成做匀速直线运动,计算时间段1,1+t内的平均速度v,用平均速度v近似表示运动员在t=1时的瞬时速度.当t0时,在时间段
6、1+t,1内可作类似处理.为了提高近似表示的精确度,我们不断缩短时间间隔,得到如下表格（表5:1-1）.表5.1-1当t0时,在时间段1,1+t内tv=(1)(1+t)1(1+t)v=(1+t)(1)(1+t)1=4.9(t)2+5ttt=4.9(t)25tt=4.9t5=4.9t5续表当t0时,在时间段1,1+t内0.014.9510.015.0490.0014.99510.0015.00490.00014.999510.00015.000490.000014.9999510.000015.0000490.0000014.99999510.0000015.0000049【观察】给出t更多的值
7、,利用计算工具计算对应的平均速度v的值.当t无限趋近于0时,平均速度v有什么变化趋势?我们发现,当t无限趋近于0,即无论t从小于1的一边,还是从大于1的一边无限趋近于1时,平均速度v都无限趋近于5.事实上,由v=(1+t)(1)(1+t)1=4.9t5可以发现,当t无限趋近于0时,4.9t也无限趋近于0,所以v无限趋近于5.这与前面得到的结论一致.数学中,我们把5叫做“当t无限趋近于0时,v=(1+t)(1)t的极限”,记为limt0(1+t)(1)t=5.从物理的角度看,当时间间隔|t|无限趋近于0时,平均速度v就无限趋近于t=1时的瞬时速度.因此,运动员在t=1s时的瞬时速度v(1)=5m
8、/s.【思考】(1)求运动员在t=2s时的瞬时速度;（2）如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度?【练习】1.求问题1中高台跳水运动员在t=0.5s时的瞬时速度.2.火箭发射ts后,其高度(单位:m)为(t)=0.9t2.求:(1)在1t2这段时间里,火箭爬高的平均速度;(2)发射后第10s时,火箭爬高的瞬时速度.3.一个小球从5m的高处自由下落,其位移y(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为y(t)=4.9t2.求t=1s时小球的瞬时速度.问题2抛物线的切线的斜率我们知道,如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么这条直线与这个圆相切.对于一般的曲线C,如何定义它的切线呢
9、?下面我们以抛物线f(x)=x2为例进行研究.【探究】你认为应该如何定义抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线?与研究瞬时速度类似,为了研究抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线,我们通常在点P0(1,1)的附近任取一点Px,x2,考察抛物线f(x)=x2的割线P0P的变化情况.【观察】如图5.1-1,当点Px,x2沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1,1)时,割线P0P有什么变化趋势?图5.1-1利用信息技术工具，演示图5.1-1中P0P的动态变化趋势.我们发现,当点P无限趋近于点P0时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)=x2
10、在点P0(1,1)处的切线.【探究】我们知道,斜率是确定直线的一个要素.如何求抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率k0呢?从上述切线的定义可见,抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有内在联系.记x=x1,(x可以是正值，也可以是负值，但不为0)则点P的坐标是1+x,(1+x)2.于是,割线P0P的斜率k=f(x)f(1)x1=(1+x)21(1+x)1=x+2.我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0,并且可以通过不断缩短横坐标间隔|x|来提高近似表示的精确度,得到如下表格（表5.1-2）.(1)x可以是正值,也可
11、以是负值,但不为0.表5.1-2x0xk=x+2xk=x+20.011.990.012.010.0011.9990.0012.0010.00011.99990.00012.00010.000011.999990.0000012.000010.0000011.9999990.0000012.000001【观察】利用计算工具计算更多割线P0P的斜率k的值,当x无限趋近于0时,割线P0P的斜率k有什么变化趋势?我们发现,当x无限趋近于0时,即无论x从小于1的一边,还是从大于1的一边无限趋近于1时,割线P0P的斜率k都无限趋近于2.事实上,由k=f(1+x)f(1)x=x+2可以直接看出,当x无限趋近
12、于0时,x+2无限趋近于2.我们把2叫做“当x无限趋近于0时,k=f(1+x)f(1)x的极限”,记为limx0f(1+x)f(1)x=2.从几何图形上看,当横坐标间隔|x|无限变小时,点P无限趋近于点P0,于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T.这时,割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0.因此,切线P0T的斜率k0=2.【思考】观察问题1中的函数(t)=4.9t2+4.8t+11的图象(图5.1-2),平均速度v=(1+t)(1)(1+t)1的几何意义是什么?瞬时速度v(1)呢?图5.1-2【练习】1.你认为应该怎样定义抛物线f(x)=x2在点x0,x02处的切线
13、?试求抛物线f(x)=x2在点(1,1)处切线的斜率.2.求扐物线f(x)=x2+1在点(0,1)处的切线方程.5.1.2导数的概念及其几何意义【节引言】前面我们研究了两类变化率问题:一类是物理学中的问题,涉及平均速度和瞬时速度;另一类是几何学中的问题,涉及割线斜率和切线斜率.这两类问题来自不同的学科领域,但在解决问题时,都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法;问题的答案也有一样的表示形式.下面我们用上述思想方法研究更一般的问题.对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+x,相应地,函数值y就从fx0变化到fx0+x.这时,x的变化量为x,y的变化量为y=fx0+xfx0
14、.我们把比值yx,即yx=fx0+xfx0x叫做函数y=f(x)从x0到x0+x的平均变化率.如果当x0时,平均变化率yx无限趋近于一个确定的值,即yx有极限,则称y=f(x)在x=x0处可导,并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(derivative)(也称为瞬时变化率),记作fx0或yx=x0,即fx0=limx0yx=limx0fx0+xfx0x.由导数的定义可知,问题1中运动员在t=1时的瞬时速度v(1),就是函数(t)=4.9t2+4.8t+11在t=1处的导数(1);问题2中抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率k0,就是函数f(x)=x2在x=1
15、处的导数f(1).实际上,导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率,如效率、交变电流，比热容等.【贴士】例1设f(x)=1x,求f(1).解:f(1)=limx0f(1+x)f(1)x=limx011+x1x=limx011+x=1.例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.已知在第xh时,原油的温度(单位:C为y=f(x)=x27x+15(0x8).计算第2h与第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解:在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是f(2)和f(6).根据导数的定义,yx=f(2+x)f(2)x=(2+x)27(2+x)+152272
16、+15x=4x+(x)27xx=x3,所以f(2)=limx0yx=limx0(x3)=3.同理可得f(6)=5.(请同学们自己完成具体运算过程)在第2h与第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为3C/h具体运算过程.与5C/h.说明在第2h附近,原油温度大约以3C/h的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5C/h的速率上升.一般地,fx00x08反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况.例3一辆汽车在公路上沿直线变速行驶,假设ts时汽车的速度（单位:m/s)为y=v(t)=t2+6t+60,求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度,并说明它们的意义.分析：瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率.因此,
17、在第2s与第6s时,汽车的瞬时加速度分别为v(2),v(6).解：在第2s和第6s时,汽车的瞬时加速度就是v(2)和v(6).根据导数的定义,yt=v(2+t)v(2)t=(2+t)2+6(2+t)+6022+62+60t=t+2,所以v(2)=limt0yt=limt0(t+2)=2.同理可得v(6)=6.在第2s与第6s时,汽车的瞬时加速度分别是2m/s2与6m/s2.说明在第2s附近,汽车的速度每秒大约增加2m/s;在第6s附近,汽车的速度每秒大约减少6m/s.【练习】1在例2中,计算第3h与第5h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.2设f(x)=x,求f(1).3一质点A沿直线
18、运动,位移y(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为y(t)=2t2+1,求质点A在t=2.7s时的瞬时速度.4设函数f(x)=x21.求:(1)当自变量x由1变到1.1时,函数的平均变化率;(2)函数在x=1处的导数.我们知道,导数fx0表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率,反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况.那么导数fx0的几何意义是什么?【思考】观察函数y=f(x)的图象(图5.1-3),平均变化率yx=fx0+xfx0x表示什么?瞬时变化率fx0=limx0yx=limx0fx0+xfx0x图5.1-3表示什么?容易发现,平均变化率yx=fx0+xfx0x表示割
19、线P0P的斜率.如图5.1-4,在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x),如果当点P(x,f(x)沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0x0,fx0时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的切线(tangentline).（此处的切线定义与初中学过的圆的切线定义有什么不同?）【贴士】图5.1-4利用信息技术工具,演示图5.1-4中P0P的动态变化效果.做一做,看一看!与问题2中抛物线的割线和切线之间的关系类似,容易知道,割线P0P的斜率k=f(x)fx0xx0.记x=xx0,当点P沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0时,即当x0时,k无限
20、趋近于函数y=f(x)在x=x0处的导数.因此,函数y=f(x)在x=x0处的导数fx0就是切线P0T的斜率k0,即k0=limx0fx0+xfx0x=fx0.这就是导数的几何意义.继续观察图5.1-4,可以发现点P0处的切线P0T比任何一条割线更贴近点P0附近的曲线.进一步地,利用信息技术工具将点P0附近的曲线不断放大（图5.1-5）,可以发现点P0附近的曲线越来越接近于直线.因此,在点P0附近,曲线y=f(x)可以用点P0处的切线P0T近似代替.图5.1-5(数学上常用简单的对象刻画复杂的对象.例如,用有理数3.1416近似代替无理数.这里,我们用曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线
21、,这是微积分中重要的思想方法一以直代曲.)例4图5.1-6是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数(t)=4.9t2+4.8t+11的图象.根据图象,请描述、比较曲线(t)在t=t0,t1,t2附近的变化情况.图5.1-6解：我们用曲线(t)在t=t0,t1,t2处的切线斜率,刻画曲线(t)在上述三个时刻附近的变化情况.（1）当t=t0时,曲线(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴,t0=0.这时,在t=t0附近曲线比较平坦,几乎没有升降.(2)当t=t1时,曲线(t)在t=t1处的切线l1的斜率t10.这时,在t=t1附近曲线下降,即函数(t)在t=t1附近单调递减.(3
22、)当t=t2时,曲线(t)在t=t2处的切线l2的斜率t2f(2)f(3)0(B)f(1)f(2)f(3)0(C)0f(1)f(2)f(2)0f(3)2求曲线y=2x2+1在点(1,1)处的切线方程.3吹气球时,气球的半径r(单位:dm)与体积V(单位:L)之间的函数(第2题)关系是r(V)=33V4.利用信息技术工具,画出0V5时函数的图象,并根据其图象估计V=0.6,1.2L时,气球的瞬时膨胀率.习题5.1【复习巩固】1一个物体从10m高处做自由落体运动,ts时该物体距离地面的高度（单位:m)为(t)=4.9t2+10.求该物体在t=1时的瞬时速度,并解释此时物体的运动状况.2圆的面积S(
23、单位:cm2)与半径R(单位:cm)的关系为S=R2.求R=5cm时面积关于半径的瞬时变化率.3某质点沿直线运动,位移y(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为y(t)=5t2+6.求:(1)2t3这段时间内的平均速度;(2)t=2s时的瞬时速度.4已知车轮旋转的角度(单位:rad)与时间t(单位:s)之间的关系为(t)=258t2.求车轮转动开始后第3.2s时的瞬时角速度.5小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是（）.(A)(B)(C)(D)6如图,试描述函数f(x)在x=5,4,2,0,1附近的变化情况.7求曲
24、线y=12x22在点1,32处的切线的倾斜角.(第6题)【综合运用】8一个质量为m=3kg的物体做直线运动,设位移y(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为y(t)=1+t2,并且物体的动能Ek=12mv2.求物体开始运动后第5s时的动能.9根据下面的文字叙述,画出相应的路程关于时间的函数图象的大致形状.(1)汽车在笔直的公路上匀速行驶;(2)汽车在笔直的公路上不断加速行驶;(3)汽车在笔直的公路上不断减速行驶.10.已知函数f(x)的图象,试画出其导函数f(x)图象的大致形状.(1)(2)(3)(第10题)【拓广探索】11.在高台跳水运动中,ts时运动员的重心相对于水面的高度（单位:m)
25、是(t)=4.9t2+4.8t+11.高度关于时间t的导数是速度v,速度v关于时间t的导数v的物理意义是什么?试求v,v关于时间t的函数解析式.12.根据下列条件,分别画出函数y=f(x)的图象在这点附近的大致形状:(1)f(1)=5,f(1)=1;(2)f(5)=10,f(5)=15;(3)f(10)=20,f(10)=0.5.2导数的运算由导函数的定义可知,一个函数的导数是唯一确定的.在必修第一册中我们学过基本初等函数,并且知道,很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的.由此自然想到,能否先求出基本初等函数的导数,然后研究出导数的“运算法则”,这样就可以利用导数的运算
26、法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数.本节我们就来研究这些问题.5.2.1基本初等函数的导数根据导数的定义,求函数y=f(x)的导数,就是求出当x0时,yx无限趋近的那个定值.下面我们求几个常用函数的导数.1函数y=f(x)=c的导数因为yx=f(x+x)f(x)x=ccx=0,所以y=limx0yx=limx00=0.若y=c（图5.2-1）表示路程关于时间的函数,则y=0可以图5.2-1解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态.2.函数y=f(x)=x的导数因为yx=f(x+x)f(x)x=(x+x)xx=1,所以y=limx0yx=limx01=1.若y=x（图5.2-2
27、）表示路程关于时间的函数,则y=1可以图5.2-2解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.3.函数y=f(x)=x2的导数因为yx=f(x+x)f(x)x=(x+x)2x2x=x2+2xx+(x)2x2x=2x+x,所以y=limx0yx=limx0(2x+x)=2x.y=2x表示函数y=x2的图象（图5.2-3）上点(x,y)处切线的斜率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y=2x表明：当x0时,随着x的增加,y越来越大,y=x2增加得越来越快.若y=x2表示路程关于时间的函数,则y=2x可以解释为某物体做变速运动,它在时刻x的瞬时
28、速度为2x.图5.2-34.函数y=f(x)=x3的导数因为yx=f(x+x)f(x)x=(x+x)3x3x=x3+3x2x+3x(x)2+(x)3x3x=3x2+3xx+(x)2,所以y=limx0yx=limx03x2+3xx+(x)2=3x2.y=3x2表示函数y=x3的图象（图5.2-4）上点(x,y)处切线的斜率为3x2,这说明随着x的变化,切线的斜率也在变化,且恒为非负数.5.函数y=f(x)=1x的导数图5.2-4因为yx=f(x+x)f(x)x=1x+x1xx=x(x+x)x(x+x)x=1x2+xx,所以y=limx0yx=limx01x2+xx=1x2.【探究】画出函数y=
29、1x的图象.根据图象,描述它的变化情况,并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.6.函数y=f(x)=x的导数因为yx=f(x+x)f(x)x=x+xxx=(x+xx)(x+x+x)x(x+x+x)=1x+x+x,所以y=limx0yx=limx01x+x+x=12x.前面我们根据导数的定义求出了一些常用函数的导数.一般地,有下面的基本初等函数的导数公式表（表5.2-1）,这些公式可以直接使用.表5.2-1基本初等函数的导数公式1.若f(x)=cc为常数),则f(x)=0;2.若f(x)=x(Q,且0),则f(x)=xa1;3.若f(x)=sinx,则f(x)=cosx;4.若f(x)=cosx
30、,则f(x)=sinx;5.若f(x)=ax(a0,且a1),则f(x)=axlna;特别地,若f(x)=ex,则f(x)=ex;6.若f(x)=logax(a0,且a1),则f(x)=1xlna;特别地,若f(x)=lnx,则f(x)=1x.例1求下列函数的导数:(1)y=x23;(2)y=log2x.解：（1）y=x23=23x231=23x13;(2)y=log2x=1xln2.例2假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%,物价p(单位:元)与时间t(单位:年)之间的关系为p(t)=p0(1+5%)t,其中p0为t=0时的物价.假定某种商品的p0=1,那么在第10个年头,这种商品的价格上
31、涨的速度大约是多少（精确到0.01元/年)?解：根据基本初等函数的导数公式表,有p(t)=1.05tln1.05.所以,在第10个年头,这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.(如果某种商品的p0=5,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少?)【练习】1.求下列函数的导数:(1)y=1x4;(2)y=3x4(3)y=3x;(4)y=12x;(5)y=log4x;(6)y=log12x.2.求下列函数在给定点的导数:(1)y=x5在x=3处的导数;（2）y=lnx在x=23处的导数;(3)y=sinx在x=2处的导数;(4)y=ex在x=0处的导数.3.求余弦曲线y=cosx
32、在点2,0处的切线方程.4.求曲线y=x12在点(4,2)处的切线方程.5.2.2导数的四则运算法则在例2中,当p0=5时,p(t)=51.05t.这时,求p关于t的导数可以看成求函数f(t)=5与g(t)=1.05t乘积的导数.一般地,如何求两个函数的和、差、积、商的导数呢?【探究】设f(x)=x2,g(x)=x,计算f(x)+g(x)与f(x)g(x),它们与f(x)和g(x)有什么关系?再取几组函数试试,上述关系仍然成立吗?由此你能想到什么?设y=f(x)+g(x)=x2+x,因为yx=(x+x)2+(x+x)x2+xx=(x)2+2xx+xx=x+2x+1,所以f(x)+g(x)=y=
33、limx0yx=limx0(x+2x+1)=2x+1.而f(x)=x2=2x,g(x)=x=1,所以f(x)+g(x)=f(x)+g(x).同样地,对于上述函数,f(x)g(x)=f(x)g(x).一般地,对于两个函数f(x)和g(x)的和（或差）的导数,我们有如下法则:f(x)g(x)=f(x)g(x).例3求下列函数的导数:(1)y=x3x+3;(2)y=2x+cosx.解：(1)y=x3x+3=x3(x)+(3)=3x21(2)y=2x+cosx=2x+(cosx)=2xln2sinx.【思考】设f(x)=x2,g(x)=x,计算f(x)g(x)与f(x)g(x),它们是否相等?f(x)
34、与g(x)商的导数是否等于它们导数的商呢?通过计算可知,f(x)g(x)=x3=3x2,f(x)g(x)=2x1=2x,因此f(x)g(x)f(x)g(x).同样地,f(x)g(x)与f(x)g(x)也不相等.事实上,对于两个函数f(x)和g(x)的乘积（或商）的导数,我们有如下法则:f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x);f(x)g(x)=f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)2(g(x)0).由函数的乘积的导数法则可以得出cf(x)=cf(x)+cf(x)=cf(x),也就是说,常数与函数的积的导数,等于常数与函数的导数的积,即cf(x)=cf(x).例4求下列函数的导数:
35、(1)y=x3ex(2)y=2sinxx2.解：（1）y=x3ex=x3ex+x3ex=3x2ex+x3ex(2)y=2sinxx2=(2sinx)x22sinxx2x22=2x2cosx4xsinxx4=2xcosx4sinxx3.例5日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水的纯净度的提高,所需净化费用不断增加.已知将1t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为c(x)=5284100x(80x12,则y=lnu.从而y=ln(2x1)可以看成是由y=lnu和u=2x1x12经过“复合”得到的,即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.如果把y与u的关系记作y=f(u),u与x的关系
36、记作u=g(x),那么这个“复合”过程可表示为y=f(u)=f(g(x)=ln(2x1).一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数(compositefunction),记作y=f(g(x).我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过“复合”得到的.例如,函数y=ln(2x1)由y=lnu和u=2x1复合而成.又如,函数y=sin2x由y=sinu和u=2x复合而成.如何求复合函数的导数呢?我们先来研究y=sin2x的导数.一个合理的猜想是,函数y=sin2x的导数一定与函数y=sinu
37、,u=2x的导数有关.下面我们就来研究这种关系.以yx表示y对x的导数,yu表示y对u的导数,ux表示u对x的导数.一方面,yx=(sin2x)=(2sinxcosx)=2(sinx)cosx+sinx(cosx)=2cosxcosx+sinx(sinx)=2cos2xsin2x=2cos2x.另一方面,yu=(sinu)=cosu,ux=(2x)=2.可以发现,yx=2cos2x=cosu2=yuux.一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx=yuux.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数
38、的乘积.例6求下列函数的导数:(1)y=(3x+5)3;(2)y=e0.05x+1;(3)y=ln(2x1).解:(1)函数y=(3x+5)3可以看作函数y=u3和u=3x+5的复合函数.根据复合函数的求导法则,有yx=yuux=u3(3x+5)=3u23=9(3x+5)2.（2）函数y=e0.05x+1可以看作函数y=eu和u=0.05x+1的复合函数.根据复合函数的求导法则,有yx=yuux=eu(0.05x+1)=0.05eu=0.05e0.05x+1.（3）函数y=ln(2x1)可以看作函数y=lnu和u=2x1的复合函数.根据复合函数的求导法则,有yx=yuux=(lnu)(2x1)=21u=22x1.例7某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位:mm)与时间t(单位:s)之间的关系为y=18sin23t2.求函数y在t=3s时的导数,并解释它的实际意义.解:函数y=18sin23t2可以看作函数y=18sinu和u=23t2的复合函数,根据复合函数的求导法则,有yt=yuut=(18sinu)23t2=18cosu23=12cos23t2.当t=3时,yt=1