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1、 第一章集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件例1下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；（3）若四边形为菱形，则这个四边形对角线互相垂直；（4）若，则；（5）若，则；（6）若x，y为无理数，则为无理数.解：（1）这是一条平行四边形的判定定理，所以p是q的充分条件.（2）这是一条相似三角形的判定定理，所以p是q的充分条件.（3）这是一条菱形的性质定理，所以p是q的充分条件.（4）由于，但，所以p不是q的充分条件.（5）由等式的性质知，所以p是q的充分条件（6
2、）为无理数，但为有理数，所以p不是q的充分条件.例2下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；（4）若，则；（5）若，则；（6）若为无理数，则x，y为无理数.解：（1）这是平行四边形的一条性质定理，所以，q是p的必要条件.（2）这是三角形相似的一条性质定理，所以，q是p的必要条件.（3）如图1.4-1，四边形的对角线互相垂直，但它不是菱形，所以，q不是p的必要条件.（4）显然，所以，q是p必要条件.（5）由于，但
3、，所以，q不是p的必要条件.（6）由于为无理数，但1，不全是无理数，所以，q不是p的必要条件.例3下列各题中，哪些p是q的充要条件？（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；（3）p：，q：，；（4）p：是一元二次方程的一个根，q：（）.解：（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形（为什么），所以，所以p不是q的充要条件.（2）因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即，所以p是q的充要条件.（3）因为时，不一定成立（为什么），所以，所以p不是q的充要条
4、件.（4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即，所以p是q的充要条件.例4已知：的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证：是直线l与相切的充要条件.分析：设p：，q：直线l与相切.要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性（）和必要性（）即可.证明：设p：，q：直线l与相切.（1）充分性（）：如图1.4-2，作于点P，则.若，则点P在上.在直线l上任取一点Q（异于点P），连接.在中，.所以，除点P外直线l上的点都在的外部，即直线l与仅有一个公共点P.所以直线l与相切.（2）必要性（）：若直线l与相切，不妨设切点为P，则.因此，.由（1）（2）可得，是直线l与相切的充要条件.1.4.
5、1充分条件与必要条件练习1. 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？（1）若平面内点P在线段的垂直平分线上，则；（2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；（3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.【答案】（1）p是q的充分条件；（2）p不是q的充分条件；（3）p是q的充分条件【解析】【分析】根据所给命题，判断出能否得到，从而得到p是否是q的充分条件，得到答案.【详解】（1）线段垂直平分线的性质，p是q的充分条件；（2）三角形的两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等，p不是q的充分条件；（3）相似三角形的性质，p是
6、q的充分条件.【点睛】本题考查判断是否为充分条件，属于简单题.2. 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？（1）若直线l与有且仅有一个交点，则l为的一条切线；（2）若x是无理数，则也是无理数.【答案】（1）q是p的必要条件；（2）q不是p的必要条件【解析】【分析】根据所给命题，判断出能否得到，从而得到q是否是p的必要条件，得到答案.【详解】（1）这是圆的切线定义，所以q是p的必要条件；（2）由于是无理数，但不是无理数，所以q不是p的必要条件.【点睛】本题考查判断是否为必要条件，属于简单题.3. 如图，直线a与b被直线1所截，分别得到了，和.请根据这些信息，写出几个“”的
7、充分条件和必要条件. 【答案】充分条件和必要条件见解析【解析】【分析】根据可以得到内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，根据内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，得到.【详解】因为内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，得到，所以 “”的充分条件：，；因为可以得到内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，所以“”的必要条件：，.【点睛】本题考查充分条件和必要条件，属于简单题.1.4.2充要条件练习4. 下列各题中，哪些p是q的充要条件？（1）p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；（2）内两条弦相等，内两条弦所对的圆周角相等；（3）为空集，与B之一为空集.【答案】（1）p是q的充要条件；（2
8、）p不是g的充要条件；（3）p不是q的充要条件【解析】【分析】根据所给命题，判断出能否得到，从而得到p是否是q的充要条件，得到答案.【详解】在（1）中，三角形中等边对等角，等角对等边，所以，所以p是q的充要条件；在（2）中，内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补，因此，所以p不是q的充要条件；在（3）中，取，显然，但与均不为空集，因此，所以p不是q的充要条件.【点睛】本题考查充要条件的判断，属于简单题.5. 分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件.【答案】见解析【解析】【分析】根据三角形全等的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，得到答案.【详解】“两个三角形全等”的充
9、要条件如下：三边对应相等；两边及其夹角对应相等；两角及其夹边对应相等；两角及一角的对边对应相等.“两个三角形相似”的充要条件如下：三个内角对应相等（或两个内角对应相等）；三边对应成比例；两边对应成比例且夹角相等.【点睛】本题考查写命题的充要条件，属于简单题.6. 证明：如图，梯形为等腰梯形的充要条件是.【答案】证明见解析【解析】【分析】先由梯形为等腰梯形，证明，验证必要性；再由证明梯形 为等腰梯形，验证充分性，即可得出结论成立.【详解】证明：（1）必要性. 在等腰梯形中，又， .（2）充分性.如图，过点作，交的延长线于点E.，四边形是平行四边形. .，.又， .在和中，.梯形为等腰梯形.由（1
10、）（2）可得，梯形为等腰梯形的充要条件是.【点睛】本题主要考查充要条件的证明，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.习题1.4复习巩固7. 举例说明:(1)p是q的充分不必要条件;(2)p是q的必要不充分条件;(3)p是q的充要条件.【答案】(1)“”是“”的充分不必要条件;(2)“”是“”的必要不充分条件;(3)“内错角相等”是“两直线平行”的充要条件【解析】【分析】根据充分与必要条件的概念举例即可.【详解】(1)可根据数轴上的关系举例：“”是“”的充分不必要条件;(2)可根据方程的根的解举例：“”是“”的必要不充分条件;(3)可根据定理举例：“内错角相等”是“两直线平行”的充要条
11、件【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的理解,属于基础题型.8. 在下列各题中,判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答):(1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形;(2)在一元二次方程中，有实数根，;(3);(4);(5).【答案】(1)必要不充分条件;(2)充要条件;(3)充分不必要条件;(4)必要不充分条件;(5)既不充分又不必要条件.【解析】【分析】(1)根据等腰三角形与等边三角形的关系分析.(2)根据二次方程的根分析(3)根据集合的基本关系分析(4)根据集合的基本关系分析(5)举例说明分析【详解】(1)因为等腰
12、三角形是特殊的等边三角形,故p是q的必要不充分条件.(2) 一元二次方程有实数根则判别式.故p是q的充要条件.(3)因为,故且；当时不一定成立.故p是q的充分不必要条件.(4) 因为,故或,所以不一定成立；当时一定成立.故p是q的必要不充分条件.(5) 当时,满足但不成立.当时,满足但不成立.故p是q的既不充分又不必要条件.【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,属于基础题型.9. 判断下列命题的真假:(1)点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在外的充要条件;(2)两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件;(3)是的必要不充分条件;(4)x或y为有理数是xy为有理数的既不
13、充分又不必要条件.【答案】(1)真命题;(2)假命题;(3)假命题;(4)真命题.【解析】【分析】(1)根据点与圆的位置关系判断.(2)举例说明即可.(3)根据集合的关系直接判断(4)举例说明即可.【详解】(1)根据点与圆的位置关系知点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在外的充要条件.故(1)为真命题.(2)两个三角形面积相等也可能同底等高,全等三角形面积一定相等.故两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件.故(2)为假命题.(3)是的充要条件.故(3)为假命题.(4)当时,满足“x或y为有理数”但“xy为有理数”不成立.当时满足“xy为有理数”但“x或y为有理数”不成立.故(4
14、)为真命题.【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的辨析,属于基础题型.综合运用10. 已知A=满足条件p,B=满足条件q,(1)如果,那么p是q的什么条件?(2)如果,那么p是q的什么条件?(3)如果,那么p是q的什么条件?【答案】(1)充分条件;(2)必要条件;(3)充要条件.【解析】【分析】(1) 根据集合间的基本关系判断和的包含关系再即可.(2) 根据集合间的基本关系判断和的包含关系再即可.(3) 根据集合间的基本关系判断和的包含关系再即可.【详解】(1)如果,则满足条件p也满足条件q.故p是q的充分条件.(2)如果,则满足条件q也满足条件p.故p是q的必要条件.(3)如果,则满足条件p
15、满足条件q,且满足条件q也满足条件p.故p是q的充要条件.【点睛】本题主要考查了集合的关系与充分必要条件的关系,属于基础题型.11. 设证明:的充要条件是.【答案】见解析【解析】【分析】分别证明充分性与必要性即可.【详解】证明:(1)充分性:如果,那么,.(2)必要性:如果,那么,.由(1)(2)知,的充要条件是.【点睛】本题主要考查了充分必要条件的证明,需要分别证明充分性与必要性,属于中等题型.拓广探索12. 设a,b,c分别是的三条边,且.我们知道,如果为直角三角形,那么(勾股定理).反过来,如果,那么为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,为直角三角形的充要条件是.请利用边长a,b,
16、c分别给出为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明.【答案】为锐角三角形的充要条件是.为钝角三角形的充要条件是.证明见解析【解析】【分析】根据勾股定理易得为锐角三角形的充要条件是.为钝角三角形的充要条件是.再分别证明充分与必要性即可.【详解】解:(1)设a,b,c分别是的三条边,且,为锐角三角形的充要条件是.证明如下:必要性:在中,是锐角,作,D为垂足,如图(1).显然,即.充分性:在中,不是直角.假设为钝角,如图(2).作,交BC延长线于点D.则.即,与“”矛盾.故为锐角,即为锐角三角形. (2)设a,b,c分别是的三条边,且,为钝角三角形的充要条件是.证明如下:必要性:在中,为钝角,如图(2),显然:.即.充分性:在中,不是直角,假设为锐角,如图(1),则.即,这与“”矛盾,从而必为钝角,即为钝角三角形.【点睛】本题主要考查了锐角与钝角三角形的充分必要条件证明,证明时注意用反证法,属于中等题型