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1、2 0 2 3 年 5 升 6 思维拓展：长方体和正方体 2 0 2 3 年 5 升 6 思维拓展：长方体和正方体 一、选择题 一、选择题 1把一个长 8 厘米、宽 6 厘米、高 4 厘米的长方体滑虚线切成两个立体图形，下图中（）的切法增加的表面积最小。ABCD2有一个深 4 分米的长方体容器，其内侧底面为边长 3 分米的正方形。当容器底面的一边紧贴桌面倾斜如图时，容器内的水刚好不溢出。则此时容器内的水有（）。A13.5 升 B18 升 C22.5 升 D27 升 3某部门规定：旅客随身携带的行李的长、宽、高的和不能超过 150 厘米。请问，旅客所带的长方体箱子体积不能超过多少立方厘米？（）。
2、A100000 B125000 C150000 D180000 4用小正方体搭成如下图的大正方体，如果（）块小正方体，剩下图形的表面积最大。A拿走 A B拿走 B C拿走 C D拿走任意 5下图长方体侧面 4 个面的总面积是 70cm2，它的高是（）cm。A3 B4 C5 D6 6把棱长是 5cm 的正方体的表面涂色后，再锯成棱长是 1cm 的小正方体（无剩余，损耗不计），那么，只一面涂色的有（）块。A6 B24 C36 D54 二、填空题二、填空题 7一个棱长为 8 分米的正方体水缸，水深 6 分米，如果放入一块石头完全浸入水中，水溢出 25 升，则这块石头的体积是()立方分米。8 用三个完
3、全相同的正方体拼成一个长方体，它的表面积是126cm2，那么这个长方体的体积是()cm3。9把一个长 7dm、宽 6dm、高 4dm 的长方体切成两个同样大小的小长方体，表面积最多增加()，最少增加()。10将小正方体按如图方式摆放在地上，根据摆放规律填写表格。小正方体的个数 1 2 3 4 5 n 露在外面的面的个数 5 8 11()()()11 一个长方体的底面是一个正方形，高是 3.6dm，它的体积是 14.4dm3，则长方体的表面积是()dm2。12把一个长方体的高减少 2dm 后，就变成一个正方体，这时表面积减少了 56dm2，变成的正方体的体积是()dm3。13一块长方体木块，沿着
4、高锯掉 2cm 后，成为一个正方体，表面积减少 40 平方厘米。求原来长方体木块的体积是()。14一个长方体，如果长增加 2 厘米，则体积增加 40 立方厘米，如果宽增加 3 厘米，则体积增加 90 立方厘米，如果高增加 4 厘米，则体积增加 96 立方厘米，原长方体的表面积是()平方厘米？三、解答题三、解答题 15做一个无盖的长方体铁桶，共用铁皮 192 平方分米。已知桶底是边长 10 分米的正方形，请问桶高几分米？16如图，张叔叔有一个长为 60 厘米，宽为 40 厘米，高为 50 厘米的无盖长方体水槽。（1）做这样一个长方体水槽至少需要多少平方厘米的玻璃？（2）张叔叔把这个长方体水槽装入
5、 30 厘米深的水，装入的水是多少毫升？（3）张叔叔在这个已有 30 厘米深的水的水槽中，放入一个长是 20 厘米，宽是 20 厘米，高是 30 厘米的长方体石块浸没在水槽中，水槽中的水将上升多少厘米？17把四个大小、形状相同的盒子包装在一起，如果每个盒子的长、宽、高分别是 8cm、6cm、5cm，那么最少需要多大的包装纸？18一个长方体的玻璃缸，长 8dm，宽 6dm，高 5dm，水深 4.5dm，如果投入一块棱长为 4dm 的正方体铁块（完全淹没），这个正方体铁块的体积是多少？缸里会溢出多少 L 水？19小明的爸爸被称为“制作小能手”。爱心福利院要改善孩子们的居住环境，想请小明的爸爸制作一
6、个长0.6 米，宽 0.5 米，高 0.4 米的无盖鱼缸。现在他家里有好多块下面四种型号的长方形与正方形玻璃。请你根据上面的信息解决下面的问题：（1）请你帮助小明的爸爸想一想，需要选哪种型号的玻璃，各选多少块？（2）请你算一算，小明的爸爸做这个鱼缸，一共需要多少平方米的玻璃？（3）要使这个鱼缸里的水深 0.35 米，需要倒入多少升水？20下图是用 24 个棱长 2cm 的小正方体粘合而成的几何体。（1）在 A、B、C 三个缺口中选一处补入一个小正方体，补在（）处，能使这个几何体的表面积保持不变。（2）在这三个缺口处都补入一个小正方体，这个几何体的表面积会增加还是会减少？增加（或减少）多少cm2
7、？参考答案：参考答案：1C【分析】不论是哪一种切法，都是增加两个长方形的面，比较长方形的面积大小，即可确定哪一种切法增加的表面积最小。【详解】A增加两个长方形的面，长方形的长是 8 厘米，宽是 6 厘米，8 6 296=（平方厘米）；B增加两个长方形的面，长方形的长是 8 厘米，宽是 4 厘米，8 4 264=（平方厘米）；C增加两个长方形的面，长方形的长是 6 厘米，宽是 4 厘米，6 4 248=（平方厘米）；D增加两个长方形的面，长方形的长大于 8 厘米，宽是 6 厘米，增加的面积大于 96 平方厘米；表面积增加最少的是增加 48 平方厘米，故答案选：C。【点睛】本题考查的是立体几何的切
8、割问题，每切一刀，都会增加两个面。2C【分析】因为是长方体容器，根据长方体的体积公式：长宽高，求出容器的体积；无水的部分看作是底面是直角三角形的棱柱，再根据棱柱的体积公式：底面积高，求出无水的部分的体积；相减即可求得容器内的水的体积。【详解】容器体积：433 123 36（立方分米）无水部分体积：3323 923 4.53 13.5（立方分米）容器内水的体积：3613.522.5（立方分米）22.5 立方分米22.5 升 故答案为：C。【点睛】本题主要考查体积的计算，本题容器内水的体积容器的容积无水部分的体积，重点是把无水部分看作是底面是直角三角形的棱柱。3B【解析】可以设箱子的长、宽、高分别
9、为 x、y、z 厘米，则 xyz150。由于，当且仅当 xyz50 厘米时，等式成立。因此体积最大为 505050125000 立方厘米。【详解】解：设箱子的长、宽、高分别为 x、y、z 厘米，xyz150 解得：xyz50 因此 V最大503125000（立方厘米）故答案为：B。【点睛】本题也可直接依据几何知识判断，长、宽、高之和在一定的情况下正方体的体积最大。因此可直接得出棱长为 150350（厘米），从而解决问题。4C【分析】表面积：是立体图形各个面积的总和。如正方体有六个面，且每个面的面积都相等。所以正方体的表面积是：棱长棱长6。据此进行分类讨论。【详解】拿走 A，少了 3 个正方形面
10、积，同时也增加了 3 个正方形的面积，即表面积不发生变化；拿走 B，少了 2 个正方形面积，同时也增加了 4 个正方形的面积，即表面积比原来增加了 2 个正方形的面积；拿走 C，少了 1 个正方形面积，同时也增加了 5 个正方形的面积，即表面积比原来增加了 4 个正方形的面积。所以拿走 C 块小正方体，剩下图形的表面积最大。故选：C。【点睛】熟练掌握表面积的概念，再根据此概念进行分类讨论得出答案。5C【分析】长方体的侧面展开是一个大长方形，大长方形的长长2宽2，用侧面总面积大长方形的长高。【详解】70（4232）70（86）7014 5（厘米）故答案为：C【点睛】本题考查了长方体表面积，长方体
11、表面积（长宽长高宽高）2。6D【解析】将正方体的表面涂色后，只有一面涂色、两面涂色的小正方体的个数是有规律可循的，故我们 先找到这个规律，再结合题意计算即可。【详解】依题意，只一面涂色的小正方体位于每个面除去四条棱剩下的面上，故每个面有（52）（52）339（个）这样的小正方体。那 6 个面共有 9654（个）这样的小正方体。故答案为 D。【点睛】本题属于“涂色的小正方体”的问题，有一定的难度，同样需要较强的空间思维能力，只要能分析出“只一面涂色的”小正方体的位置的特征，问题就迎刃而解了。7153【分析】由题意得石头的体积等于上升的水的体积加上溢出水的体积，根据长方体的体积计算公式：长方体体积
12、=长宽高计算即可。【详解】25 升25=立方分米 8 88625（）=64 225 =12825=153（立方分米）【点睛】关键是利用转化思想，将不规则物体的体积转化成规则的长方体体积进行计算。881【分析】用三个完全相同的正方体拼成一个长方体，长方体表面积比三个正方体表面积和减少 4 个面，据此求出长方体中正方形的数量，求出一个正方形面积，通过正方形面积确定正方体棱长，根据正方体体积棱长棱长棱长，求出一个正方体体积，再3 即可。【详解】634 184 14（个）126149（平方厘米）933 333381（立方厘米）【点睛】关键是先求出正方体一个面的面积，确定棱长，进而求出拼成的长方体体积。
13、9 84 平方分米 48 平方分米【分析】以长乘宽作为横截面增加的最多，增加两个这样的面；以宽乘高作为横截面增加的最少，增加两个这样的面。据此计算即可。【详解】（1）762 422 84（平方分米）（2）462 242 48（平方分米）【点睛】掌握用哪个面作为横截面会增加的最多或最少是解决此题的关键。10 14 17 （3n2）【分析】根据图示，1 个小正方体露在外面的面的个数是 5 个；2 个小正方体露在外面的面的个数是 538（个）；3 个小正方体露在外面的面的个数是：53311（个）；n 个小正方体露在外面的面的个数是：53（n1）（3n2）个。据此解答。【详解】1 个小正方体露在外面的
14、面的个数是 5 个 2 个小正方体露在外面的面的个数是 538（个）3 个小正方体露在外面的面的个数是：53311（个）4 个小正方体露在外面的面的个数是：533314（个）5 小正方体露在外面的面的个数是：5333317（个）n 个小正方体露在外面的面的个数是：53（n1）（3n2）个 如表：小正方体的个数 1 2 3 4 5 n 露在外面的面的个数 5 8 11 14 17 （3n2）【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键是根据所给图示及表格发现这组图形变化的规律；解答此类题目，要依靠细心的观察及平时积累的经验。1136.8【分析】长方体的体积等于底面积乘高，根据高和体积可以求出底面积
15、，然后求出底面的边长，计算四个侧面的面积，加上两个底面的面积，即为长方体的表面积。【详解】14.43.64=（dm2）正方形面积是 4，那么边长是 2 厘米；2 3.6 44 2+28.88=+36.8=（dm2）所以长方体的表面积是 36.8dm2。【点睛】本题考查的是长方体的表面积和体积，当长方体中有两个面是正方形时，其余的四个面是完全一样的长方形。12343【分析】减少部分的面积正好是以 2dm 为长方体的高、以原来长方体的长和宽的为长和宽的新长方体的前、后、左、右四个面的面积，又因为剩下部分是正方体，说明长方体的长宽，说明四个面完全相同，用表面积 56 除以 4 即可求出一个面的面积，
16、再除以减少的高 2 即可求出长或宽，据此解答即可。【详解】56414（dm）1427（dm）777343（dm3）【点睛】理解减少面积就是以 2dm 为高，以原来长方体的长和宽的为长和宽的新长方体的前、后、左、右四个面的面积并且长和宽相等四个面的面积相等是解决此题的关键。13175 立方厘米【分析】首先关注长方体沿高锯掉 2 厘米前后的变化表面积减少 40 平方厘米，实际上，减少的是与原长方体同长同宽，但高为 2 里面的那部分长方体的侧面积。这个侧面积有前、后、左、右 4 个面，4 个面面积为 40 平方厘米，则一个面的面积可求，而一个面的宽（即锯掉长方体的高）为 2 厘米，则每个面的长也可求
17、，列式为 4042，由于锯掉一部分后变成了正方体，则宽与长相等，都是 5 厘米。因为是沿高锯掉的，原长方体的长与宽并没有改变，只是高减少了 2 厘米，则原长方体的体积55（52），计算即可。【详解】4042 102 5（厘米）55（52）257 175（立方厘米）【点睛】长方体中有 6 个面，其中只有一组相对的面可以为正方形。本题涉及到的长方体就是这种类型。沿高锯掉 2 厘米成为正方体，则要从锯掉那部分长方体减少的面积入手，层层突破，解决问题。14148【分析】由题意，长增加 2 厘米，体积增加 40 立方厘米，可知宽高240 立方厘米，则宽高40220平方厘米；同理可知长高30 平方厘米，长
18、宽24 平方厘米，根据长方体的表面积（长宽长高宽高）2 列式解答即可。【详解】表面积（长宽长高宽高）2（964903402）2（243020）2 742 148（平方厘米）故答案为：148【点睛】此题关键是理解长增加宽和高不变，宽增加长和高不变，高增加长和宽不变，根据长方体的表面积公式解答即可。152.3 分米【分析】铁皮面积底面积前后左右 4 个面的面积和，将前后左右 4 个面展开是长方形，长方形的宽就是长方体的高，长方体的长是长方体底面周长，用前后左右 4 个面的面积和底面周长长方体的高，据此分析。【详解】（1921010）（104）（192100）40 9240 2.3（分米）答：桶高
19、2.3 分米。【点睛】关键是熟悉长方体特征，能想明白无盖长方体铁通展开的形状。16（1）12400 平方厘米（2）72000 毫升（3）5 厘米【分析】（1）求做一个无盖的长方体水槽需要的玻璃面积，就是求长方体的下面、前后面、左右面共 5 个面的面积之和，即“长宽长高2宽高2”，代入数据计算即可。（2）求 30 厘米深的水的容积，根据长方体的体积长宽高，代入数据计算，结果要换算单位，进率：1立方厘米1 毫升。（3）在水槽中浸没一个长方体石块，则水上升部分的体积就是石块的体积，根据长方体的体积长宽高，计算出石块的体积；再根据长方体的高体积底面积，其中底面积是水槽的“长宽”，代入数据计算，求出水上
20、升的高度。【详解】（1）60406050240502 240060004000 12400（平方厘米）答：做这样一个长方体水槽至少需要 12400 平方厘米的玻璃。（2）604030 240030 72000（立方厘米）72000 立方厘米72000 毫升 答：装入的水是 72000 毫升。（3）202030 40030 12000（立方厘米）12000（6040）120002400 5（厘米）答：水槽中的水将上升 5 厘米。【点睛】灵活运用长方体的表面积、体积公式，以及把石块的体积转移到水上升部分的体积是解题的关键。17592cm2【分析】根据题意，要使需要的包装纸最少，就要把四个盒子的最大
21、面重合在一起；因为 868565，所以要把 86 的面、85 的面分别重合起来，拼成一个长为 8cm，宽为（62）cm，高为（52）cm 的长方体，这样包装纸用的最少；根据长方体的表面积（长宽长高宽高）2，代入数据计算即可。【详解】如图：6212（cm）5210（cm）（8128101210）2（9680120）2 2962 592（cm2）答：最少需要 592 cm2的包装纸。【点睛】本题考查立体图形的拼组，先找出盒子的哪些面的面积大，把它们重合起来，这样拼成的长方体用的包装纸最少；掌握长方体的表面积公式并灵活运用。18364dm；40L【分析】根据正方体体积边长边长边长，求出正方体的体积；
22、溢出的水的体积等于放入的正方体木块的体积减去高为 54.50.5 分米的长方体的体积，长方体体积长宽高，计算即可。【详解】444 164 64（dm3）6486（54.5）64480.5 6424 40（dm3）40 dm340L 答：这个正方体铁块的体积是 64dm3，缸里的水会溢出 40L。【点睛】本题考查正方体体积公式、长方体体积公式的应用，关键数熟记公式。19（1）2 块号、2 块号、1 块号；（2）1.18 平方米；（3）105 升【分析】（1）无盖玻璃鱼缸长 0.6 米，宽 0.5 米，高 0.4 米，需要长 0.6 米，宽 0.5 米的玻璃 1 块；长 0.5 米，宽 0.4 米
23、的玻璃 2 块；长 0.6 米，宽 0.4 米的玻璃 2 块；（2）根据“长方体的表面积（长宽长高宽高）2”求出长方体的表面积，需要玻璃的面积长方体的表面积长方体的底面积；（3）倒入水的体积玻璃鱼缸的底面积鱼缸里水的深度，最后把单位转化为升即可。【详解】（1）号玻璃和号玻璃各需要 2 块，号玻璃需要 1 块；（2）（0.60.50.60.40.50.4）20.60.5（0.30.240.2）20.60.5 0.7420.60.5 1.480.3 1.18（平方米）答：一共需要 1.18 平方米的玻璃。（3）0.60.50.351000 0.30.351000 0.1051000 105（升）答
24、：需要倒入 105 升水。【点睛】本题主要考查长方体的特征以及长方体表面积和体积公式的应用，解题过程中要注意单位换算。20（1）B （2）减少；减少 24cm2【分析】（1）在 A、B、C 三个缺口中分别补入一个小正方体，对比补入前后表面积是否有改变，选出表面积保持不变的一处即可；（2）在这三个缺口处都补入一个小正方体，对比补入前后表面积的变化情况，数出相差的面，计算出相差面的面积即可。【详解】据分析知：（1）补在 B 处，能使这个几何体的表面积保持不变；（2）在这三个缺口处都补入一个小正方体后，少了 6 个正方形的面，即表面积减少了；减少的面积：224（平方厘米），6424（平方厘米）。答：这个几何体的表面积会减少，减少 24cm2。【点睛】具有一定的空间想象能力，并能理解好正方体的表面积，这是解决此题的关键。