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1、 全等三角形 知识点一：全等形 能够完全重合的两个图形叫全等形。知识点二：全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形 知识点三：对应顶点，对应边，对应角 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。知识点四：全等三角形的性质 全等三角形对应边相等，对应角相等 知识点五：三角形全等的判定定理（一）三边对应相等的两个三角形全等。简写成“边边边”或“SSS”知识点六：三角形全等的判定定理（二）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS”知识点七：三角形全等的判定定理（三）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”
2、或“ASA”知识点八：三角形全等的判定定理（四）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。简写成“角角边”或“AAS”知识点九：直角三角形全等的判定定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简写成“斜边、直角边”或“HL”三、规律方法指导 1.探索三角形全等的条件：(1）一般三角形全等的判别方法有四种方法：边角边（SAS）；角边角(ASA);角角边(AAS);边边边(SSS).(2)直角三角形的全等的条件:除了使用 SAS、ASA、AAS、SSS 判别方法外，还有一种重要的判别方法，也就是斜边、直角边（HL）判别方法.2判别两个三角形全等指导 （1）已知两边 （2）已知一边一
3、角 （3）已知两角 3经验与提示：寻找全等三角形对应边、对应角的规律：全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边 全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角 有公共边的，公共边一定是对应边 有公共角的，公共角一定是对应角 有对顶角的，对顶角是对应角全等三角形中的最大边(角)是对应边(角)，最小边(角)是对应边(角)找全等三角形的方法 可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构
4、造全等三角形。证明线段相等的方法：中点定义；等式的性质；全等三角形的对应边相等；借助中间线段（即要证 a=b,只需证 a=c,c=b 即可）。随着知识深化，今后还有其它方法。证明角相等的方法：对顶角相等；同角（或等角）的余角（或补角）相等；两直线平行，同位角、内错角相等；等式的性质；垂直的定义；全等三角形的对应角相等；全等三角形知识点三对应顶点对应边对应角两个全等三角形重合在一起重合的顶点叫对应顶点重合的边叫对应边重合的角叫对应角知识点四全等三角形的性质全等三角形对应边相等对应角相等知识点五三角形全等的判定定理一三边三角形全等简写成边角边或知识点七三角形全等的判定定理三两角和它们的夹边对应相等
5、的两个三角形全等简写成角边角或知识点八三角形全等的判定定理四两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等简写成角角边或知方法指导探索三角形全等的条件一般三角形全等的判别方法有四种方法边角边角边角角角边边边边直角三角形的全等的条件除了使用判别方法外还有一种重要的判别方法也就是斜边直角边判别方法判别两个三角形全等指导已知两边 三角形的外角等于与它不相邻的两内角和。随着知识的深化，今后还有其它的方法。证垂直的常用方法 证明两直线的夹角等于 90；证明邻补角相等；若三角形的两锐角互余，则第三个角是直角；垂直于两条平行线中的一条直线，也必须垂直另一条。证明此角所在的三角形与已知直角三角形全等；邻补角
6、的平分线互相垂直。全等三角形中几个重要结论 全等三角形对应角的平分线相等；全等三角形对应边上的中线相等；全等三角形对应边上的高相等。4.知识的应用 （1）全等三角形的性质的应用：根据三角形全等找对应边，对应角，进而计算线段的长度或角的度数.（2）全等三角形判别方法的应用：根据判别方法说明两个三角形全等，进一步根据性质说明线段相等或角相等.（3）用全等三角形测量距离的步骤：先明确要解决什么实际问题；选用全等三角形的判别方法构造全等三角形；说明理由.5注意点 （1）书写全等三角形时一般把对应顶点的字母放在对应的位置.（2）三角形全等的判别方法中不存在“ASS”、“AAA”的形式，判别三角形全等的条
7、件中至少有一条边.（3）寻找三角形全等的条件时，要结合图形，挖掘图中的隐含条件：如公共边、公共角、对顶角、中点、角平分线、高线等所带来的相等关系.（4）运用三角形全等测距离时，应注意分析已知条件，探索三角形全等的条件，理清要测定的距离，画出符合的图形，根据三角形全等说明测量理由.（5）注意只有说明两个直角三角形全等时，才使用“HL”，说明一般的三角形全等不能使用“HL”.6.数学思想方法 （1）转化思想：如将实际问题转化数学问题解决等.（2）方程思想：如通过设未知数，根据三角形内角和之间的关系构造方程解决角度问题.（3）类比思想：如说明两个三角形全等时，根据已知条件选择三角形全等 全等三角形知
8、识点三对应顶点对应边对应角两个全等三角形重合在一起重合的顶点叫对应顶点重合的边叫对应边重合的角叫对应角知识点四全等三角形的性质全等三角形对应边相等对应角相等知识点五三角形全等的判定定理一三边三角形全等简写成边角边或知识点七三角形全等的判定定理三两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等简写成角边角或知识点八三角形全等的判定定理四两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等简写成角角边或知方法指导探索三角形全等的条件一般三角形全等的判别方法有四种方法边角边角边角角角边边边边直角三角形的全等的条件除了使用判别方法外还有一种重要的判别方法也就是斜边直角边判别方法判别两个三角形全等指导已知两边经典例
9、题透析 类型一：全等三角形性质的应用 1、如图，ABDACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角.思路点拨:AB=AC，AB和AC是对应边，A是公共角，A和A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.解析：AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，A和A是对应角，B和C，AEC 和ADB是对应角.总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边.已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.举一反三：【变式 1】如图，ABCDBE.问线段AE和CD相等吗？为什么？【答案
10、】证明：由ABCDBE，得 AB=DB,BC=BE，则 AB-BE=DB-BC，即 AE=CD。【变式 2】如右图，。求证：AE CF 【答案】AE CF 全等三角形知识点三对应顶点对应边对应角两个全等三角形重合在一起重合的顶点叫对应顶点重合的边叫对应边重合的角叫对应角知识点四全等三角形的性质全等三角形对应边相等对应角相等知识点五三角形全等的判定定理一三边三角形全等简写成边角边或知识点七三角形全等的判定定理三两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等简写成角边角或知识点八三角形全等的判定定理四两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等简写成角角边或知方法指导探索三角形全等的条件一般三角形全
11、等的判别方法有四种方法边角边角边角角角边边边边直角三角形的全等的条件除了使用判别方法外还有一种重要的判别方法也就是斜边直角边判别方法判别两个三角形全等指导已知两边 2、如图，已知ABC DEF，A=30，B=50，BF=2，求DFE的度数与 EC的长。思路点拨:由全等三角形性质可知：DFE=ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求ACB的度数与 BF的长即可。解析：在ABC中，ACB=180-A-B，又A=30，B=50，所以ACB=100.又因为ABC DEF，所以ACB=DFE，BC=EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）。所以DFE=100 EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。总
12、结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相等。举一反三：【变式 1】如图所示，ACD ECD，CEF BEF，ACB=90.求证：（1）CD AB；（2）EFAC.【答案】(1）因为ACD ECD，所以ADC=EDC（全等三角形的对应角相等）.因为ADC+EDC=180，所以ADC=EDC=90.所以 CD AB.(2）因为CEF BEF,所以CFE=BFE（全等三角形的对应角相等）.因为CFE+BFE=180，所以CFE=BFE=90.因为ACB=90,所以ACB=BFE.所以 EFAC.类型二：全等三角形的证明 3、如图，AC BD，DF CE，ECB FDA，求证：ADF BCE 思路点拨
13、:欲证ADF BCE，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少全等三角形知识点三对应顶点对应边对应角两个全等三角形重合在一起重合的顶点叫对应顶点重合的边叫对应边重合的角叫对应角知识点四全等三角形的性质全等三角形对应边相等对应角相等知识点五三角形全等的判定定理一三边三角形全等简写成边角边或知识点七三角形全等的判定定理三两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等简写成角边角或知识点八三角形全等的判定定理四两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等简写成角角边或知方法指导探索三角形全等的条件一般三角形全等的判别方法有四种方法边角边角边角角角边边边边直角三角形的全等的条件除了使用判别方法外
14、还有一种重要的判别方法也就是斜边直角边判别方法判别两个三角形全等指导已知两边这角的另一边，可通过 AC BD而得 解析：AC BD(已知)AB-BD AB-AC(等式性质)即 ADBC 在ADF与BCE中 ADF BCE(SAS)总结升华：利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形，(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等 举一反三：【变式 1】如图，已知 AB DC，AB DC，求证：AD BC 【答案】AB CD 34 在ABD和CDB中 ABD CDB(SAS)12(全等三角形对应角相等)
15、AD BC(内错角相等两直线平行)【变式 2】如图，已知 EB AD于 B，FCAD于 C，且 EB FC，AB CD 求证 AFDE 【答案】EB AD(已知)EBD 90(垂直定义)同理可证FCA 90 EBD FCA AB CD，BC BC AC AB+BC BC+CD BD 在ACF和DBE中 全等三角形知识点三对应顶点对应边对应角两个全等三角形重合在一起重合的顶点叫对应顶点重合的边叫对应边重合的角叫对应角知识点四全等三角形的性质全等三角形对应边相等对应角相等知识点五三角形全等的判定定理一三边三角形全等简写成边角边或知识点七三角形全等的判定定理三两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
16、简写成角边角或知识点八三角形全等的判定定理四两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等简写成角角边或知方法指导探索三角形全等的条件一般三角形全等的判别方法有四种方法边角边角边角角角边边边边直角三角形的全等的条件除了使用判别方法外还有一种重要的判别方法也就是斜边直角边判别方法判别两个三角形全等指导已知两边 ACF DBE(SAS)AF DE(全等三角形对应边相等)类型三：综合应用 4、如图，AD为ABC的中线。求证：AB+AC2AD.思路点拨:要证 AB+AC2AD，由图想到：AB+BDAD，AC+CDAD，所以 AB+AC+BC2AD，所以不能直接证出。由 2AD想到构造一条线段等于 2
17、AD，即倍长中线。解析：延长 AD至 E，使 DE=AD，连接 BE 因为 AD为ABC的中线，所以 BD=CD.在ACD和EBD中，所以ACD EBD(SAS).所以 BE=CA.在ABE中，AB+BEAE，所以 AB+AC2AD.总结升华：通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。举一反三：【变式 1】已知：如图，在 RtABC中，AB=AC,BAC=90,1=2，CE BD的延长线于 E，求证：BD=2CE.【答案】分别延长 CE、BA交于 F.因为 BE CF,所以BEF=BEC=90.在BEF和BEC中，所以BEF BEC(ASA).所以 CE=FE=CF.又因为BAC=9
18、0,BECF.全等三角形知识点三对应顶点对应边对应角两个全等三角形重合在一起重合的顶点叫对应顶点重合的边叫对应边重合的角叫对应角知识点四全等三角形的性质全等三角形对应边相等对应角相等知识点五三角形全等的判定定理一三边三角形全等简写成边角边或知识点七三角形全等的判定定理三两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等简写成角边角或知识点八三角形全等的判定定理四两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等简写成角角边或知方法指导探索三角形全等的条件一般三角形全等的判别方法有四种方法边角边角边角角角边边边边直角三角形的全等的条件除了使用判别方法外还有一种重要的判别方法也就是斜边直角边判别方法判别两个三
19、角形全等指导已知两边 所以BAC=CAF=90，1+BDA=90，1+BFC=90.所以BDA=BFC.在ABD和ACF中，所以ABD ACF(AAS)所以 BD=CF.所以 BD=2CE.5、如图，AB CD，BE DF，BD，求证：(1)AECF，(2)AECF，(3)AFE CEF 思路点拨:(1)直接通过ABE CDF而得，(2)先证明AEB CFD，(3)由(1)(2)可证明AEF CFE而得，总之，欲证两边(角)相等，找这两边(角)所在的两个三角形然后证明它们全等 解析：(1)在ABE与CDF中 ABE CDF(SAS)AE CF(全等三角形对应边相等)(2)AEB CFD(全等三
20、角形对应角相等)AE CF(内错角相等，两直线平行)(3)在AEF与CFE中 AEF CFE(SAS)AFE CEF(全等三角形对应角相等)总结升华：在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角(边)作为判定另一对三角形全等的条件 举一反三：【变式 1】如图，在ABC中，延长 AC边上的中线 BD到 F，使 DFBD，延长 AB边上的中线 CE到 G，使 EG CE，求证 AFAG 全等三角形知识点三对应顶点对应边对应角两个全等三角形重合在一起重合的顶点叫对应顶点重合的边叫对应边重合的角叫对应角知识点四全等三角形的性质全等三角形对应边相等对应角相等知识点五三角形全等的判定定理一三边三角形全等简写成
21、边角边或知识点七三角形全等的判定定理三两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等简写成角边角或知识点八三角形全等的判定定理四两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等简写成角角边或知方法指导探索三角形全等的条件一般三角形全等的判别方法有四种方法边角边角边角角角边边边边直角三角形的全等的条件除了使用判别方法外还有一种重要的判别方法也就是斜边直角边判别方法判别两个三角形全等指导已知两边 【答案】在AGE与BCE中 AGE BCE(SAS)AG BC(全等三角形对应边相等)在AFD与CBD中 AFD CBD(SAS)AF CB(全等三角形对应边相等)AF AG(等量代换)6、如图 ABAC，BD
22、 AC于 D，CE AB于 E，BD、CE相交于 F 求证：AF平分BAC 思路点拨:若能证得得 AD=AE，由于ADB、AEC都是直角，可证得 RtADF RtAEF，而要证 AD=AE，就应先考虑 RtABD与 RtAEC，由题意已知 AB=AC，BAC是公共角，可证得 RtABD RtACE 解析：在 RtABD与 RtACE中 RtABD RtACE(AAS)AD=AE(全等三角形对应边相等)在 RtADF与 RtAEF中 RtADF RtAEF(HL)全等三角形知识点三对应顶点对应边对应角两个全等三角形重合在一起重合的顶点叫对应顶点重合的边叫对应边重合的角叫对应角知识点四全等三角形的
23、性质全等三角形对应边相等对应角相等知识点五三角形全等的判定定理一三边三角形全等简写成边角边或知识点七三角形全等的判定定理三两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等简写成角边角或知识点八三角形全等的判定定理四两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等简写成角角边或知方法指导探索三角形全等的条件一般三角形全等的判别方法有四种方法边角边角边角角角边边边边直角三角形的全等的条件除了使用判别方法外还有一种重要的判别方法也就是斜边直角边判别方法判别两个三角形全等指导已知两边 DAF=EAF(全等三角形对应角相等)AF平分BAC(角平分线的定义)总结升华：条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等
24、得出待求的结论。举一反三：【变式 1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证 已知：如图，在ABC与ABC中AB=A B，BC=B C，AD BC于 D，ADBC于 D且 AD=A D 求证：ABC ABC 证明：在 RtABD与 RtABD中 RtABD Rt ABD(HL)B=B(全等三角形对应角相等)在ABC与ABC中 ABC ABC(SAS)【变式 2】已知，如图，AC、BD相交于 O，AC=BD，CD90 求证：OC=OD 【答案】C=D=90 ABD、ACB为直角三角形 在 RtABD和 RtABC中 RtABD RtABC
25、(HL)AD=BC 全等三角形知识点三对应顶点对应边对应角两个全等三角形重合在一起重合的顶点叫对应顶点重合的边叫对应边重合的角叫对应角知识点四全等三角形的性质全等三角形对应边相等对应角相等知识点五三角形全等的判定定理一三边三角形全等简写成边角边或知识点七三角形全等的判定定理三两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等简写成角边角或知识点八三角形全等的判定定理四两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等简写成角角边或知方法指导探索三角形全等的条件一般三角形全等的判别方法有四种方法边角边角边角角角边边边边直角三角形的全等的条件除了使用判别方法外还有一种重要的判别方法也就是斜边直角边判别方法判别
26、两个三角形全等指导已知两边 在AOD 和BOC中 AOD BOC(AAS)OD=OC 7、ABC中，AB=AC，D是底边 BC上任意一点，DE AB，DF AC，CG AB垂足分别是 E、F、G.试判断：猜测线段 DE、DF、CG的数量有何关系？并证明你的猜想。思路点拨:寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径 解析：结论：DE+DF=CG 方法一：（截长法）板书此种方法（3 分钟）作 DM CG于 M DE AB，CG AB，DM CG 四边形 EDMG 是矩形 DE=GM DM/AB MDC=B AB=AC B=FCD MDC=FCD 而 DM CG，DF AC DMC=CFD 在MDC 和
27、FCD中 全等三角形知识点三对应顶点对应边对应角两个全等三角形重合在一起重合的顶点叫对应顶点重合的边叫对应边重合的角叫对应角知识点四全等三角形的性质全等三角形对应边相等对应角相等知识点五三角形全等的判定定理一三边三角形全等简写成边角边或知识点七三角形全等的判定定理三两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等简写成角边角或知识点八三角形全等的判定定理四两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等简写成角角边或知方法指导探索三角形全等的条件一般三角形全等的判别方法有四种方法边角边角边角角角边边边边直角三角形的全等的条件除了使用判别方法外还有一种重要的判别方法也就是斜边直角边判别方法判别两个三角形
28、全等指导已知两边 MDC FCD（AAS）MC=DF DE+DF=GM+MC=CG 总结升华：方法二（补短法）作 CM ED交 ED的延长线于 M（证明过程略）总结：截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法 方法三（面积法）使用等积转化 引申：如果将条件“D是底边 BC上任意一点”改为“D是底边 BC的延长线上任意一点”，此时图形如何？DE、DF和 CG会有怎样的关系？画出图形，写出你的猜想并加以证明 举一反三：【变式 1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。【答案】证明的过程使用三种证明方法，包括：（1）截长法（2）补短法（3）面积法 全等三角形知识点三对应顶点对应边对应角两个全等三角形重合在一起重合的顶点叫对应顶点重合的边叫对应边重合的角叫对应角知识点四全等三角形的性质全等三角形对应边相等对应角相等知识点五三角形全等的判定定理一三边三角形全等简写成边角边或知识点七三角形全等的判定定理三两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等简写成角边角或知识点八三角形全等的判定定理四两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等简写成角角边或知方法指导探索三角形全等的条件一般三角形全等的判别方法有四种方法边角边角边角角角边边边边直角三角形的全等的条件除了使用判别方法外还有一种重要的判别方法也就是斜边直角边判别方法判别两个三角形全等指导已知两边