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1、圆周运动中的临界问题 1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题 如图 1、图 2 所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的情况 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用 v临界 Rg 能过最高点的条件：v Rg，当 v Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。不能过最高点的条件：vv临界（实际上球没到最高点时就脱离了轨道）。如图 3 所示情形，小球与轻质杆相连。杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力 能过最高点 v 临界0，此时支持力 Nmg 当 0v Rg 时，N为支持力，有 0Nmg，且 N随 v 的增大而减小 当 v Rg 时，N0 当 v Rg，N为拉力，有 N0，N随
2、 v 的增大而增大 例 1（99 年高考题）如图 4 所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过 O的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动。图中 a、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能是（）A、a 处为拉力，b 处为拉力 B、a 处为拉力，b 处为推力 C、a 处为推力，b 处为拉力 D、a 处为推力，b 处为推力 R 绳 图 1 v0 v R 图 2 v O R 杆 图 3 b O a 图 4 例 2 长度为 L的轻质细杆 OA，A端有一质量为 m 的小球，如图 5 所示，小球以O 点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是s，g 取 10m s2，
3、则此时细杆 OA受到 （）A、的拉力 B、的压力 C、24N的拉力 D、24N的压力 例 3 长 L，质量可以忽略的的杆，其下端固定于 O点，上端连接着一个质量 m 2kg 的小球 A，A绕 O点做圆周运动（同图 5），在 A通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：当 A的速率 v11m s 时 当 A的速率 v24m s 时 2、在水平面内作圆周运动的临界问题 在水平面上做圆周运动的物体，当角速度变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。例 4 如图 6
4、所示，两绳系一质量为 m 的小球，上面绳长 L2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为 30与 45，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为 3 rad s 时，上、下两绳拉力分别为多大？A L O m 图 5 30 45 A B C 图 6 动过最高点的情况绳图图临界条件绳子或轨道对小球没有力的作用临界杆图能过最高点的条件当时绳对球产生拉力轨道对球产生压力不能过最高点的条件临界实际上球没到最高点时就脱离了轨道如图所示情形小球与轻质杆相连杆与有随的增大而增大例年高考题如图所示细杆的一端与一小球相连可绕过的水平轴自由转动现给小球一初速度使它做圆周运动图中分别表示小球轨道的最低点和最高点则杆
5、对球作用力可能是处为拉力处为拉力处为拉力处为推力处为推做圆周运动通过最高点时小球的速率是取则此时细杆受到的拉力的压力的拉力的压力例长质量可以忽略的的杆其下端固定于点上端连接着一个质量的小球绕点做圆周运动同图在通过最高点试讨论在下列两种情况下杆的受力当的速率例 5 如图 7 所示，细绳一端系着质量 M 的物体，静止在水平肌，另一端通过光滑的小孔吊着质量 m 的物体，M的中与圆孔距离为，并知 M和水平面的最大静摩擦力为 2N。现使此平面绕中心轴线转动，问角速度在什么范围 m会处于静止状态？（g10m s2）说明：一般求解“在什么范围内”这一类的问题就是要分析两个临界状态。3、巩固练习 1、汽车通过
6、拱桥颗顶点的速度为 10 ms 时，车对桥的压力为车重的34。如果使汽车驶至桥顶时对桥恰无压力，则汽车的速度为 （）A、15 ms B、20 ms C、25 ms D、30m s 2、如图 8 所示，水平转盘上放有质量为 m的物块，当物块到转轴的距离为 r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间最大静摩擦力是其下压力的倍。求：当转盘角速度1g2r 时，细绳的拉力 T1。当转盘角速度23g2r 时，细绳的拉力 T2。三、小结 1、解圆周运动的问题时，一定要注意找准圆心，绳子的悬点不一定是圆心。2、把临界状态下的某物理量的特征抓住是关键。如速度的值是多大、某个力恰好存在还是
7、不存在以及这个力的方向如何。r o 图 8 M r o m 图 7 动过最高点的情况绳图图临界条件绳子或轨道对小球没有力的作用临界杆图能过最高点的条件当时绳对球产生拉力轨道对球产生压力不能过最高点的条件临界实际上球没到最高点时就脱离了轨道如图所示情形小球与轻质杆相连杆与有随的增大而增大例年高考题如图所示细杆的一端与一小球相连可绕过的水平轴自由转动现给小球一初速度使它做圆周运动图中分别表示小球轨道的最低点和最高点则杆对球作用力可能是处为拉力处为拉力处为拉力处为推力处为推做圆周运动通过最高点时小球的速率是取则此时细杆受到的拉力的压力的拉力的压力例长质量可以忽略的的杆其下端固定于点上端连接着一个质量
8、的小球绕点做圆周运动同图在通过最高点试讨论在下列两种情况下杆的受力当的速率答案 例 1分析：答案 A是正确的，只要小球在最高点 b 的速度大于gL，其中 L 是杆的长；答案 B也是正确的，此时小球的速度有 0vgL；答案 C、D肯定是错误的，因为小球在最低点时，杆对小球一定是拉力。例 2 解法：小球在 A点的速度大于gL 时，杆受到拉力，小于gL 时，杆受压力。V0=gL 错误!m s错误!m s 由于 v ms5 ms，我们知道：过最高点时，球对细杆产生压力。小球受重力 mg和细杆的支持力 N 由牛顿第二定律 mgNm v2L Nmgm v2L 故应选 B。例 3 解法一：（同上例）小球的速
9、度大于 5 ms 时受拉力，小于 5 ms 时受压力。当 v11m s5 ms 时，小球受向下的重力mg和向上的支持力 N 由牛顿第二定律 mgNm v2L Nmgm v2L 16N 即杆受小球的压力 16N。当 v24m s5 ms 时，小球受向下的重力mg和向下的拉力 F 由牛顿第二定律 mgFm v2L Fm v2L mg44N 即杆受小球的拉力 44N。解法二：小球在最高点时既可以受拉力也可以受支持力，因此杆受小球的作用力也可以是拉力或者是压力。我们可不去做具体的判断而假设一个方向。如设杆竖直向下拉小球 A，则小球的受力就是上面解法中的的情形。由牛顿第二定律 mgFm v2L 得到 F
10、m（v2L g）N mg mg F 动过最高点的情况绳图图临界条件绳子或轨道对小球没有力的作用临界杆图能过最高点的条件当时绳对球产生拉力轨道对球产生压力不能过最高点的条件临界实际上球没到最高点时就脱离了轨道如图所示情形小球与轻质杆相连杆与有随的增大而增大例年高考题如图所示细杆的一端与一小球相连可绕过的水平轴自由转动现给小球一初速度使它做圆周运动图中分别表示小球轨道的最低点和最高点则杆对球作用力可能是处为拉力处为拉力处为拉力处为推力处为推做圆周运动通过最高点时小球的速率是取则此时细杆受到的拉力的压力的拉力的压力例长质量可以忽略的的杆其下端固定于点上端连接着一个质量的小球绕点做圆周运动同图在通过最
11、高点试讨论在下列两种情况下杆的受力当的速率当 v11m s 时，F116N F1为负值，说明它的实际方向与所设的方向相反，即小球受力应向上，为支持力。则杆应受压力。当 v24m s 时，F244N。F2为正值，说明它的实际方向与所设的方向相同，即小球受力就是向下的，是拉力。则杆也应受拉力。例 4解析：当角速度很小时，AC和 BC与轴的夹角都很小，BC并不张紧。当逐渐增大到 30时，BC才被拉直（这是一个临界状态），但 BC绳中的张力仍然为零。设这时的角速度为1，则有：TACcos30 mg TACsin30 m 12Lsin30 将已知条件代入上式解得 1 rad s 当角速度继续增大时 TA
12、C减小，TBC增大。设角速度达到2时，TAC0（这又是一个临界状态），则有：TBCcos45 mg TBCsin45 m 22Lsin30 将已知条件代入上式解得 2 rad s 所以 当满足 rad s rad s，AC、BC两绳始终张紧。本题所给条件 3 rad s，此时两绳拉力 TAC、TBC都存在。TACsin30 TBCsin45 m 2Lsin30 TACcos30 TBCcos45 mg 将数据代入上面两式解得 TAC，TBC 注意：解题时注意圆心的位置（半径的大小）。如果 rad s 时，TBC0，AC与轴的夹角小于 30。如果s 时，TAC0，BC与轴的夹角大于 45 例 5
13、 解析：要使 m静止，M也应与平面相对静止。而M与平面静止时有两个临界状态：当为所求范围最小值时，M有向着圆心运动的趋势，水平面对 M的静摩擦力的方向背离圆心，大小等于最大静摩擦力2N。此时，对 M运用牛顿第二定律。有 TfmM 12r 且 T mg 解得 1 rad s M r o m 图 7 动过最高点的情况绳图图临界条件绳子或轨道对小球没有力的作用临界杆图能过最高点的条件当时绳对球产生拉力轨道对球产生压力不能过最高点的条件临界实际上球没到最高点时就脱离了轨道如图所示情形小球与轻质杆相连杆与有随的增大而增大例年高考题如图所示细杆的一端与一小球相连可绕过的水平轴自由转动现给小球一初速度使它做
14、圆周运动图中分别表示小球轨道的最低点和最高点则杆对球作用力可能是处为拉力处为拉力处为拉力处为推力处为推做圆周运动通过最高点时小球的速率是取则此时细杆受到的拉力的压力的拉力的压力例长质量可以忽略的的杆其下端固定于点上端连接着一个质量的小球绕点做圆周运动同图在通过最高点试讨论在下列两种情况下杆的受力当的速率当为所求范围最大值时，M有背离圆心运动的趋势，水平面对 M的静摩擦力的方向向着圆心，大小还等于最大静摩擦力 2N。再对 M运用牛顿第二定律。有 TfmM 22r 解得 2 rad s 所以，题中所求的范围是：rad s rad s 动过最高点的情况绳图图临界条件绳子或轨道对小球没有力的作用临界杆图能过最高点的条件当时绳对球产生拉力轨道对球产生压力不能过最高点的条件临界实际上球没到最高点时就脱离了轨道如图所示情形小球与轻质杆相连杆与有随的增大而增大例年高考题如图所示细杆的一端与一小球相连可绕过的水平轴自由转动现给小球一初速度使它做圆周运动图中分别表示小球轨道的最低点和最高点则杆对球作用力可能是处为拉力处为拉力处为拉力处为推力处为推做圆周运动通过最高点时小球的速率是取则此时细杆受到的拉力的压力的拉力的压力例长质量可以忽略的的杆其下端固定于点上端连接着一个质量的小球绕点做圆周运动同图在通过最高点试讨论在下列两种情况下杆的受力当的速率