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1、学习必备 欢迎下载 数学试题（考试范围：北师大版必修五第一章；考试时间：120 分钟；总分：150 分）注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 第卷(选择题 60 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题有 4 个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面_”()A各正三角形内一点 B各正三角形的某高线上的点 C各正三角形的中心 D各正三角形外的某点 答案 C 解析 正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形表示的侧面，所以
2、边的中点对应的就是正三角形的中心故选 C.2下列求导运算正确的是()A.x1x11x2 B(log2x)1xln 2 C(3x)3xlog3e D(x2cos x)2xsin x 解析：x1x11x2，A错(log2x)1x1ln 21xln 2，B正确故选 B.答案：B 3用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是()A假设至少有一个钝角 B假设至少有两个钝角 C假设没有一个钝角 D假设没有一个钝角或至少有两个钝角 解析：用反证法对命题的假设就是对命题的否定，“至多有一个”的否定是“至少有两个”，故选 B.答案：B 4函数yxex的增区间为()A(1，)B(0，)C(，0
3、)D(，1)解析：由y1ex0 解得x0.答案：B 学习必备 欢迎下载 5函数f(x)13x3ax1 在(，1)上为增加的，在(1,1)上为减少的，则f(1)等于()A.73 B1 C.13 D1 解析：f(x)x2a，又f(1)0，a1，f(1)131113.答案：C 6已知函数f(x)ax3bx2c，其导函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的极小值是()Aabc B8a4bc C3a2b Dc 解析：由f(x)的图像知：x0 是f(x)的极小值点，f(x)minf(0)c.答案：D 7已知bn为等比数列，b52，则b1b2b3b929.若an为等差数列，a52，则an的类似结论为()
4、Aa1a2a3a929 Ba1a2a929 Ca1a2a929 Da1a2a929 答案 D 解析 由等差数列的性质知，a1a9a2a82a5，故 D成立 8曲线yx32x1 在点(1,0)处的切线方程为()Ayx1 Byx1 Cy2x2 Dy2x2 解析：由题可知，点(1,0)在曲线yx32x1 上，求导可得y3x22，所以在点(1,0)处的切线的斜率k1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得切线方程为yx1.答案：A 9用数学归纳法证明恒等式：123n2n4n22，则由nk到nk1 时，等式左端应添加的项是()Ak21 B(k1)2 名班级考号等信息请将答案正确填写在答题卡上第卷选择题
5、分一选择题本大题共个小题每小题分共分每小题有个选项其中有且仅有一个是正确的把正确的选项填在答题卡中由正三角形的内切圆切于三边的中点可类比猜想正四面体的正三角形的边对应正四面体的面即正三角形表示的侧面所以边的中点对应的就是正三角形的中心故选下列求导运算正确的是解析答案错正确故选用反证法证明命题三角形的内角至多有一个钝角时假设正确的是假设至少有一个钝角假的否定至多有一个的否定是至少有两个故选答案函数的增区间为解析由解得答案学习必备欢迎下载函数在上为增加的在上为减少的则等于解析又答案已知函数其导函数的图像如图所示则函数的极小值是解析由的图像知是的极小值点学习必备 欢迎下载 C(k1)12 D(k21
6、)(k22)(k1)2 解析：nk时，左端为 123k2，nk1 时，左端为 123k2(k21)(k22)(k1)2.两式相减，可知等式左端应添加的项是(k21)(k22)(k1)2.故选 D.答案：D 10用边长为 48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A6 B8 C10 D12 答案 B 解析 设截去的小正方形的边长为xcm，铁盒的容积为Vcm3，由题意，得Vx(48 2x)2(0 x24)，V12(24 x)(8 x)令V0，则在(0,24)内有x8，故当x8 时
7、，V有最大值 11.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f(x)(f(x)，若f(x)0 在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数以下四个函数在(0，2)上不是凸函数的是()Af(x)sinxcosx Bf(x)lnx2x Cf(x)x32x1 Df(x)xex 答案 D 解析 若f(x)sinxcosx，则f(x)sinxcosx，在x(0，2)上，恒有f(x)0；若f(x)lnx2x，则f(x)1x2，在x(0，2)上，恒有f(x)0；若f(x)x32x1，则f(x)6x，在x(0，2)上，恒有f(x)0，故
8、选 D.12f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0.对任意正数a、b，若ab，则必有()Aaf(b)bf(a)B.bf(a)af(b)Caf(a)f(b)D.bf(b)f(a)答案 A 名班级考号等信息请将答案正确填写在答题卡上第卷选择题分一选择题本大题共个小题每小题分共分每小题有个选项其中有且仅有一个是正确的把正确的选项填在答题卡中由正三角形的内切圆切于三边的中点可类比猜想正四面体的正三角形的边对应正四面体的面即正三角形表示的侧面所以边的中点对应的就是正三角形的中心故选下列求导运算正确的是解析答案错正确故选用反证法证明命题三角形的内角至多有一个钝角时假设正确的是
9、假设至少有一个钝角假的否定至多有一个的否定是至少有两个故选答案函数的增区间为解析由解得答案学习必备欢迎下载函数在上为增加的在上为减少的则等于解析又答案已知函数其导函数的图像如图所示则函数的极小值是解析由的图像知是的极小值点学习必备 欢迎下载 解析 xf(x)f(x)0，又f(x)0，xf(x)f(x)0.设yfxx，则yxfxfxx20，故yfxx是递减的或是常函数 又a0，则af(b)bf(a)第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 个小题，每空 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13函数yx33x26x2，x 1,1 的最大值为_，最小值为_ 解析：y3x26
10、x63(x1)21 0，所以函数f(x)在 1,1 上为增函数，最大值为f(1)2，最小值为f(1)12.答案：2 12 14已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_ 解析：由原函数有零点，可将问题转化为方程 ex2xa0 有解问题，即方程a2xex有解 令函数g(x)2xex，则g(x)2ex，令g(x)0，得xln 2，所以g(x)在(，ln 2)上是增函数，在(ln 2，)上是减函数，所以g(x)的最大值为：g(ln 2)2ln 2 2.因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，所以，a(，2ln 2 2 15.已知f(x)x1x，x0，若f1(x)f(x)，fn1(x)f(
11、fn(x)，nN，则f2014(x)的表达式为_ 答案 x12014x 解析 f1(x)f(x)x1x，f2(x)f(f1(x)x1x1x1x112x，f3(x)f(f2(x)x121x12xx13x，f2014(x)x12014x.应寻求规律，找出解析式 名班级考号等信息请将答案正确填写在答题卡上第卷选择题分一选择题本大题共个小题每小题分共分每小题有个选项其中有且仅有一个是正确的把正确的选项填在答题卡中由正三角形的内切圆切于三边的中点可类比猜想正四面体的正三角形的边对应正四面体的面即正三角形表示的侧面所以边的中点对应的就是正三角形的中心故选下列求导运算正确的是解析答案错正确故选用反证法证明命
12、题三角形的内角至多有一个钝角时假设正确的是假设至少有一个钝角假的否定至多有一个的否定是至少有两个故选答案函数的增区间为解析由解得答案学习必备欢迎下载函数在上为增加的在上为减少的则等于解析又答案已知函数其导函数的图像如图所示则函数的极小值是解析由的图像知是的极小值点学习必备 欢迎下载 16.如图为函数f(x)的图像，f(x)为函数f(x)的导函数，则不等式xf(x)0 的解集为_ 答案(3，1)(0,1)解析 xf(x)0，fx，或 x0 的解集为(3，1)(0,1)是f(x)的递减区间，f(x)0 的解集为(0,1)故不等式的解集为(3，1)(0,1)三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70
13、 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（本小题满分 10 分）设函数f(x)13x3x23x1.求f(x)的单调区间和极值 解析：f(x)x22x3，由f(x)0，得x1 或x3.列表如下：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)0 0 f(x)83 8 函数f(x)的极大值为83，极小值为8，函数f(x)的单调递增区间是(，1)和(3，)，递减区间是(1,3)18求与曲线yx2相切，且与直线x2y10 垂直的直线方程.18答案：所求切线的方程为y12(x1)，即y2x1.19.求函数f(x)ex(3 x2)在区间2,5 上的最值 19 解：f(x)3exexx2，f(x)3ex
14、(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1)，在区间2,5 上，f(x)ex(x3)(x1)0，即函数f(x)在区间2,5 上单调递减，x2 时，函数f(x)取得最大值f(2)e2；x5 时，函数f(x)取得最小值f(5)22e5.20.(本小题满分 12 分)已知函数f(x)x3ax2bxc在x1 与x2 处都取得极值(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；名班级考号等信息请将答案正确填写在答题卡上第卷选择题分一选择题本大题共个小题每小题分共分每小题有个选项其中有且仅有一个是正确的把正确的选项填在答题卡中由正三角形的内切圆切于三边的中点可类比猜想正四面体的正三角形的边对应正
15、四面体的面即正三角形表示的侧面所以边的中点对应的就是正三角形的中心故选下列求导运算正确的是解析答案错正确故选用反证法证明命题三角形的内角至多有一个钝角时假设正确的是假设至少有一个钝角假的否定至多有一个的否定是至少有两个故选答案函数的增区间为解析由解得答案学习必备欢迎下载函数在上为增加的在上为减少的则等于解析又答案已知函数其导函数的图像如图所示则函数的极小值是解析由的图像知是的极小值点学习必备 欢迎下载(2)若对x 2,3，不等式f(x)32cc2恒成立，求c的取值范围 20.解：(1)f(x)3x22axb，由题意得 f0，f0，即 32ab0，124ab0，解得 a32，b6.所以f(x)x
16、332x26xc，f(x)3x23x6.令f(x)0，解得1x0，解得x2.所以f(x)的减区间为(1,2)，增区间为(，1)，(2，)(2)由(1)知，f(x)在(，1)上单调递增；在(1,2)上单调递减；在(2，)上单调递增 所以x 2,3 时，f(x)的最大值即为f(1)与f(3)中的较大者 f(1)72c，f(3)92c.所以当x1 时，f(x)取得最大值 要使f(x)32cf(1)32c，即 2c275c，解得c72.所以c的取值范围为(，1)72，.21(本小题满分 12 分)若函数f(x)ax3bx，当x2 时，函数f(x)有极值163.(1)求函数的解析式；(2)若关于x的方程
17、f(x)k有三个零点，求实数k的取值范围 解析：f(x)3ax2b.(1)由题意可得 f12ab0f8a2b163，解得 a13b4.故所求的函数解析式为f(x)13x34x.(2)由(1)可知f(x)x24(x2)(x2)，当x2 或x2 时，f(x)0，f(x)单调递增；名班级考号等信息请将答案正确填写在答题卡上第卷选择题分一选择题本大题共个小题每小题分共分每小题有个选项其中有且仅有一个是正确的把正确的选项填在答题卡中由正三角形的内切圆切于三边的中点可类比猜想正四面体的正三角形的边对应正四面体的面即正三角形表示的侧面所以边的中点对应的就是正三角形的中心故选下列求导运算正确的是解析答案错正确
18、故选用反证法证明命题三角形的内角至多有一个钝角时假设正确的是假设至少有一个钝角假的否定至多有一个的否定是至少有两个故选答案函数的增区间为解析由解得答案学习必备欢迎下载函数在上为增加的在上为减少的则等于解析又答案已知函数其导函数的图像如图所示则函数的极小值是解析由的图像知是的极小值点学习必备 欢迎下载 当2x2 时，f(x)0，f(x)单调递减；因此，当x2 时，f(x)有极大值163；当x2 时，f(x)有极小值163.所以函数的大致图像如图所示 故实数k的取值范围是163k163.22.(本小题满分 12 分)已知函数f(x)12x2alnx(aR)(1)若f(x)在x2 时取得极值，求a的
19、值；(2)求f(x)的单调区间；(3)求证：当x1 时，12x2lnx0，所以当 0 x2 时，f(x)2 时，f(x)0.所以当a4 时，x2 是f(x)的极小值点所以a4.(2)因为f(x)xax，所以当a0 时，f(x)的单调递增区间为(0，)当a0 时，f(x)xaxx2ax(xa)(xa)x，令f(x)0 有xa，所以函数f(x)的单调递增区间为(a，)；令f(x)0 有 0 x1 时，g(x)(x1)(2x2x1)x0，所以g(x)在(1，)上是增函数 所以g(x)g(1)160.所以当x1 时，12x2lnx23x3.名班级考号等信息请将答案正确填写在答题卡上第卷选择题分一选择题本大题共个小题每小题分共分每小题有个选项其中有且仅有一个是正确的把正确的选项填在答题卡中由正三角形的内切圆切于三边的中点可类比猜想正四面体的正三角形的边对应正四面体的面即正三角形表示的侧面所以边的中点对应的就是正三角形的中心故选下列求导运算正确的是解析答案错正确故选用反证法证明命题三角形的内角至多有一个钝角时假设正确的是假设至少有一个钝角假的否定至多有一个的否定是至少有两个故选答案函数的增区间为解析由解得答案学习必备欢迎下载函数在上为增加的在上为减少的则等于解析又答案已知函数其导函数的图像如图所示则函数的极小值是解析由的图像知是的极小值点