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1、开封市第十中学高二数学选修 2-3第一章测试题 一选择题（每题 5 分，满分 60 分）1四个同学，争夺三项冠军，冠军获得者可能有的种类是()A4 B24 C43 D34 答案 C解析 依分步乘法计数原理，冠军获得者可能有的种数是 44443.故选 C.2210 所有正约数的个数共有()A12 个 B14 个 C16 个 D20 个 答案 C 解析 由 2102 3 5 7 知正约数的个数为 2 2 2 216.选 C.3设 mN*，且 m15，则(15m)(16m)(20m)等于()AA615m BA15m20m CA620m DA520m 答案 C 解析 解法 1：(15m)(16m)(2
2、0m)(20m)(19m)(20m)61A620m.解法 2：特值法令 m14 得 123456A66.选 C.4A、B、C、D、E 五人站成一排，如果 A必须站在 B 的左边(A、B 可以不相邻)，则不同排法有()A24 种 B60 种 C90 种 D120 种 答案 B 解析 5 个人全排列有 5！120 种、A 在 B 左边和 A 在 B 右边的情形一样多，不同排法有1212060 种 5在(x 3)10的展开式中，x6的系数是()A27C610 B27C410 C9C610 D9C410 答案 D 解析 Tr1Cr10 x10r(3)r.令 10r6，解得 r4.系数为(3)4C410
3、9C410.6用 1、2、3、4、5 这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A36 B30 C40 D60 答案 A 解析 奇数的个位数字为 1、3 或 5，偶数的个位数字为 2、4.故奇数有35A3536 个 76 人站成一排，甲、乙、丙 3 人必须站在一起的所有排列的总数为()AA66 B3A33 CA33 A33 D4！3!答案 D 解析 甲、乙、丙三人站在一起有 A33种站法，把 3 人作为一个元素与其他 3 人排列有 A44种，共有 A33 A44种故选 D.86 人站成一排，甲、乙、丙 3 个人不能都站在一起的排法种数为()A720 B144 C576 D684
4、 答案 C 解析“不能都站在一起”与“都站在一起”是对立事件，由间接法可得 A66A33A44576.点评 不能都站在一起，与都不相邻应区分 9C97982C9698C9598等于()AC9799 BC97100 CC9899 DC98100 答案 B 类是答案解析依分步乘法计数原理冠军获得者可能有的种数是故选所有正约数的个数共有个个个个答案解析由知正约数的个数为选设且则等于答案解析解法解法特值法令得选五人站成一排如果必须站在的左边可以不相邻则不同排法令解得系数为用这五个数字组成没有重复数字的三位数其中奇数的个数为答案解析奇数的个位数字为或偶数的个位数字为故奇数有个人站成一排甲乙丙人必须站在一
5、起的所有排列的总数为答案解析甲乙丙三人站在一起有种站法把人站在一起与都站在一起是对立事件由间接法可得点评不能都站在一起与都不相邻应区分答案等于解析原式故选已知集合若集合满足则不同集合的个数为答案解析中必含有且至少含有中的一个元素又的个数为个某年级有个班分别派名解析 原式C9798C9698C9698C9598C9799C9699C97100，故选 B.10已知集合 A1,2,3,4,5,6，B1,2，若集合 M 满足 BMA，则不同集合 M的个数为()A12 B13 C14 D15 答案 C 解析 BM，M 中必含有 1、2 且至少含有 3、4、5、6 中的一个元素，又MA，MA，M 的个数为
6、 C14C24C3414 个 11某年级有 6 个班，分别派 3 名语文教师任教，每个教师教 2 个班，则不同的任课方法种数为()AC26 C24 C22 BA26 A24 A22 CC26 C24 C22 C33 D.A26 C24 C22A33 答案 A 121(1x)(1x)2(1x)n的展开式的各项系数之和为()A2n1 B2n1 C2n11 D2n 答案 C 解析 解法一：令 x1 得，12222n 1(2n11)212n11.解法二：令 n1，知各项系数和为 3，排除 A、B、D，选 C.二填空题（每小题 5 分，满分 20 分）13三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位
7、，则不同的坐法种数为_ 答案 24 解析“每人两边都有空位”是说三个人不相邻，且不能坐两头，可视作 5 个空位和 3 个人满足上述两要求的一个排列，只要将 3 个人插入 5 个空位形成的 4 个空档中即类是答案解析依分步乘法计数原理冠军获得者可能有的种数是故选所有正约数的个数共有个个个个答案解析由知正约数的个数为选设且则等于答案解析解法解法特值法令得选五人站成一排如果必须站在的左边可以不相邻则不同排法令解得系数为用这五个数字组成没有重复数字的三位数其中奇数的个数为答案解析奇数的个位数字为或偶数的个位数字为故奇数有个人站成一排甲乙丙人必须站在一起的所有排列的总数为答案解析甲乙丙三人站在一起有种站
8、法把人站在一起与都站在一起是对立事件由间接法可得点评不能都站在一起与都不相邻应区分答案等于解析原式故选已知集合若集合满足则不同集合的个数为答案解析中必含有且至少含有中的一个元素又的个数为个某年级有个班分别派名可 有 A3424 种不同坐法 14方程 Cx17Cx16C2x216的解集是_ 答案 5 解析 因为 Cx17Cx16Cx116，所以 Cx116C2x216，由组合数公式的性质，得 x12x2 或 x12x216，得 x13(舍去)，x25.15方程组 x2y23，y2z24，z2x25.有_组解 答案 8 解析 由方程组 x2y23，y2z24，z2x25.可得 x22，y21，z2
9、3.因此在2，2，1，1，3，3中各取一个即可构成方程组的一组解，由分步乘法计数原理共有 2228 组解 16(2010 湖北文，11)在(1x2)10的展开式中，x4的系数为_ 答案 45 解析 本题主要考查二项式定理(1x2)10的展开式中，只有两个括号含 x2的项，则 x4的系数为 C210(1)245 三、解答题 17（满分 12 分）求和：12！23！34！n(n1)！.解析 k(k1)！k11(k1)！k1(k1)！1(k1)！1k！1(k1)！，原式1112！12！13！13！14！1n！1(n1)！11(n1)！.18（满分 10 分）用 1、2、3、4、5、6、7 这 7 个
10、数字组成没有重复数字的四位数 类是答案解析依分步乘法计数原理冠军获得者可能有的种数是故选所有正约数的个数共有个个个个答案解析由知正约数的个数为选设且则等于答案解析解法解法特值法令得选五人站成一排如果必须站在的左边可以不相邻则不同排法令解得系数为用这五个数字组成没有重复数字的三位数其中奇数的个数为答案解析奇数的个位数字为或偶数的个位数字为故奇数有个人站成一排甲乙丙人必须站在一起的所有排列的总数为答案解析甲乙丙三人站在一起有种站法把人站在一起与都站在一起是对立事件由间接法可得点评不能都站在一起与都不相邻应区分答案等于解析原式故选已知集合若集合满足则不同集合的个数为答案解析中必含有且至少含有中的一个
11、元素又的个数为个某年级有个班分别派名(1)这些四位数中偶数有多少个？能被 5 整除的有多少个？(2)这些四位数中大于 6500 的有多少个？解析(1)偶数的个位数只能是 2、4、6 有 A13种排法，其它位上有 A36种排法，由分步乘法计数原理知共有四位偶数 A13 A36360 个；能被 5 整除的数个位必须是 5，故有 A36120 个(2)最高位上是 7 时大于 6500，有 A36种，最高位上是 6 时，百位上只能是 7 或 5，故有 2A25种由分类加法计数原理知，这些四位数中大于 6500 的共有 A362A25160个 19（满分 12 分）一场晚会有 5 个演唱节目和 3 个舞
12、蹈节目，要求排出一个节目单 (1)3 个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？(以上两个题只列出算式)解析(1)先从 5 个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有 A25种排法，再将剩余的3 个演唱节目，3 个舞蹈节目排在中间 6 个位置上有 A66种排法，故共有 A25A66种排法(2)先不考虑排列要求，有 A88种排列，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5 个演唱节目中选 4 个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A45A44种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(A88A45A44)种 20（满分 12 分）六人按
13、下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站右端，也不站左端；(2)甲、乙站在两端；(3)甲不站左端，乙不站右端 解析(1)解法一：因甲不站左右两端，故第一步先从甲以外的 5 个人中任选二人站在左右两端，有 A25种不同的站法；第二步再让剩下的 4 个人站在中间的四个位置上，有A44种不同的站法，由分步乘法计数原理共有 A25 A44480 种不同的站法 解法二：因甲不站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有A14种不同的站法；第二步再让余下的 5 个人站在其他 5 个位置上，有 A55种不同的站法，类是答案解析依分步乘法计数原理冠军获得者可能有的种数是故选所有正约
14、数的个数共有个个个个答案解析由知正约数的个数为选设且则等于答案解析解法解法特值法令得选五人站成一排如果必须站在的左边可以不相邻则不同排法令解得系数为用这五个数字组成没有重复数字的三位数其中奇数的个数为答案解析奇数的个位数字为或偶数的个位数字为故奇数有个人站成一排甲乙丙人必须站在一起的所有排列的总数为答案解析甲乙丙三人站在一起有种站法把人站在一起与都站在一起是对立事件由间接法可得点评不能都站在一起与都不相邻应区分答案等于解析原式故选已知集合若集合满足则不同集合的个数为答案解析中必含有且至少含有中的一个元素又的个数为个某年级有个班分别派名故共有 A14 A55480 种不同的站法 解法三：我们对
15、6 个人，不考虑甲站位的要求，做全排列，有 A66种不同的站法；但其中包含甲在左端或右端的情况，因此减去甲站左端或右端的排列数 2A55，于是共有 A662A55480 种不同的站法(2)解法一：首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有 A22种不同的站法；再让其他4 个人在中间 4 个位置做全排列，有 A44种不同的站法，根据分步乘法计数原理，共有 A22 A4448 种不同的站法 解法二：“位置分析法”，首先考虑两端 2 个位置，由甲、乙去站，有 A22种站法，再考虑中间 4 个位置，由剩下的 4 个人去站，有 A44种站法，根据分步乘法计数原理，共有 A22 A4448 种不同的站法(3)
16、解法一：“间接法”，甲在左端的站法有 A55种，乙在右端的站法有 A55种，而甲在左端且乙在右端的站法有 A44种，故共有 A662A55A44504 种不同的站法 解法二：“直接法”，以元素甲的位置进行考虑，可分两类：a.甲站右端有 A55种不同的站法；b.甲在中间 4 个位置之一，而乙不在右端，可先排甲后排乙，再排其余 4 个，有 A14 A14 A44种不同的站法，故共有 A55A14 A14 A44504 种不同的站法 21（满分 12 分）有 9 本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得 4 本，乙得 3 本，丙得 2 本；(2)一人得 4
17、本，一人得 3 本，一人得 2 本；(3)甲、乙、丙各得 3 本 分析 由题目可获取以下主要信息：9 本不同的课外书分给甲、乙丙三名同学；题目中的 3 个问题的条件不同 解答本题先判断是否与顺序有关，然后利用相关的知识去解答 解析(1)分三步完成：第一步：从 9 本不同的书中，任取 4 本分给甲，有 C49种方法；类是答案解析依分步乘法计数原理冠军获得者可能有的种数是故选所有正约数的个数共有个个个个答案解析由知正约数的个数为选设且则等于答案解析解法解法特值法令得选五人站成一排如果必须站在的左边可以不相邻则不同排法令解得系数为用这五个数字组成没有重复数字的三位数其中奇数的个数为答案解析奇数的个位
18、数字为或偶数的个位数字为故奇数有个人站成一排甲乙丙人必须站在一起的所有排列的总数为答案解析甲乙丙三人站在一起有种站法把人站在一起与都站在一起是对立事件由间接法可得点评不能都站在一起与都不相邻应区分答案等于解析原式故选已知集合若集合满足则不同集合的个数为答案解析中必含有且至少含有中的一个元素又的个数为个某年级有个班分别派名第二步：从余下的 5 本书中，任取 3 本给乙，有 C35种方法；第三步：把剩下的书给丙有 C22种方法，共有不同的分法有 C49 C35 C221260(种)(2)分两步完成：第一步：将 4 本、3 本、2 本分成三组有 C49 C35 C22种方法；第二步：将分成的三组书分
19、给甲、乙、丙三个人，有 A33种方法，共有 C49 C35 C22 A337560(种)(3)用与(1)相同的方法求解，得 C39 C36 C331680(种)22（满分 12 分）已知在(3x123x)n的展开式中，第 6 项为常数项(1)求 n；(2)求含 x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项 解析(1)Tr1Crn(3x)nr(123x)r Crn(x13)nr(12 x13)r(12)r Crn xn2r3.第 6 项为常数项，r5 时有n2r30，n10.(2)令n2r32，得 r12(n6)2，所求的系数为 C210(12)2454.类是答案解析依分步乘法计数原理冠军获得者
20、可能有的种数是故选所有正约数的个数共有个个个个答案解析由知正约数的个数为选设且则等于答案解析解法解法特值法令得选五人站成一排如果必须站在的左边可以不相邻则不同排法令解得系数为用这五个数字组成没有重复数字的三位数其中奇数的个数为答案解析奇数的个位数字为或偶数的个位数字为故奇数有个人站成一排甲乙丙人必须站在一起的所有排列的总数为答案解析甲乙丙三人站在一起有种站法把人站在一起与都站在一起是对立事件由间接法可得点评不能都站在一起与都不相邻应区分答案等于解析原式故选已知集合若集合满足则不同集合的个数为答案解析中必含有且至少含有中的一个元素又的个数为个某年级有个班分别派名(3)根据通项公式，由题意得：10
21、2r3Z0r10rZ 令102r3k(kZ)，则 102r3k，即 r103k2532k.rZ，k应为偶数，k可取 2,0，2，r2,5,8，第 3 项、第 6 项与第 9 项为有理项 它们分别为 C210(12)2 x2，C510(12)5，C810(12)8 x2.类是答案解析依分步乘法计数原理冠军获得者可能有的种数是故选所有正约数的个数共有个个个个答案解析由知正约数的个数为选设且则等于答案解析解法解法特值法令得选五人站成一排如果必须站在的左边可以不相邻则不同排法令解得系数为用这五个数字组成没有重复数字的三位数其中奇数的个数为答案解析奇数的个位数字为或偶数的个位数字为故奇数有个人站成一排甲乙丙人必须站在一起的所有排列的总数为答案解析甲乙丙三人站在一起有种站法把人站在一起与都站在一起是对立事件由间接法可得点评不能都站在一起与都不相邻应区分答案等于解析原式故选已知集合若集合满足则不同集合的个数为答案解析中必含有且至少含有中的一个元素又的个数为个某年级有个班分别派名